精品解析：2023-2024学年八年级下学期苏科版数学期末复习试题

2023-2024学年八年级下册数学苏科版期末复习试题 一、单选题（共10小题，满分40分） 1. 以下代数式的值可以为负数的是（ ） A. |3－x| B. x2＋x C. D. x2－2x＋1 2. 已知二次根式与是同类二次根式，则a的值可以是（        ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 3. 以下调查中，适合普查的是（ ） A. 了解一批钢笔的使用寿命 B. 了解公民保护环境的意识 C. 了解长江水质情况 D. 了解班级每位学生校服的尺码 4. 如图平行四边形，对角线相交于O点，，，（　　） A. B. C. D. 5. 如图，矩形中，对角线，交于点O，如果，那么度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，四边形是矩形，点E在线段的延长线上，连接交于点F，，点G是的中点，若，则的长为（　　） A. 8 B. 9 C. D. 7. 如图，是矩形内的一个动点，连接，得到，设它们的面积分别是，给出如下结论： ； ； 若，则点一定是与的交点； 若，则点一定在上． 其中正确结论的序号是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，点是的边的中点，且与关于直线对称，若，，则点到线段的距离为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点为正方形的中心，，平分交于点，延长到点，使，连接交的延长线于点，连接交于点，连接则以下四个结论中：①；②；③连接，则；④；正确的结论为（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ②③ 10. 如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在直线折叠后展开，折痕为MN；再过点D折叠， 使得点A落在MN上的点F处，折痕为DE，则的值是（ ） A. B. －1 C. 2－ D. 3－ 二、填空题（共8小题，满分32分） 11. 如图，在直角坐标系中，已知点，将绕点逆时针方向旋转后得到，则点的坐标是_____． 12. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，若，则的取值范围是________． 13. 如图，将正方形放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E的坐标为，则点F的坐标为______． 14. 如图，三个边长均为1正方形按如图所示的方式摆放，A1，A2分别是正方形对角线的交点，则重叠部分的面积和为______. 15. 当取最小值时，a的值是__________. 16. 如图，在反比例函数图象中，△AOB是等边三角形，点A在双曲线一支上，将△AOB绕点O顺时针旋转α （0°＜α＜360° ），使点A仍在双曲线上，则α＝_____． 17. 如图，正方形的边长为，是边上的一点，且是对角线上的一动点，连接，当点在上运动 时，周长的最小值是_________ 18. 如图，为矩形对角线，的交点，，是直线上的动点，且，则的最小值是_________． 三、解答题（共6小题，每题8分，满分48分） 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，Rt△AOB中，∠OAB=90°，OA=AB，将Rt△AOB放置于直角坐标系中，OB在x轴上，点O是原点，点A在第一象限．点A与点C关于x轴对称，连结BC，OC．双曲线 (x＞0)与OA边交于点D、与AB边交于点E． (1)求点D的坐标； (2)求证：四边形ABCD是正方形； (3)连结AC交OB于点H，过点E作EG⊥AC于点G，交OA边于点F，求四边形OHGF的面积． 21. 在二次根式的计算和比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果，例如，比较 和 的大小，我们可以把 a 和 b 分别平方，，，则 ，∴ 请利用“平方法”解决下面问题： （1）比较 ， 大小，c d（填写，或者）． （2）猜想 ， 之间的大小，并证明． （3）已知，化简= （直接写出答案）． 22 阅读题目：计算， 小明同学是这样计算的= 小刚同学是这样计算= 问题填空： （1）两位同学做法正确的是（ ） A. 小明正确 B.小刚正确 C. 小明、小刚都正确 D. 小明、小刚都不正确 （2）小明同学在计算时用到了公式 ① （a≥0，b≥0）；② （a≥0） 小刚同学在计算时运用了公式 ① （a≥0，b≥0）； ② （a≥0） 23. 如图，菱形ABCD的对角线AC和BD交于点O，点E在线段OB上（不与点B，点O重合），点F在线段OD上，且DF＝BE，连接AE，AF，CE，CF． （1）求证：四边形AECF是菱形； （2）若AC＝4，BD＝8，当BE＝3时，判断△ADE的形状，说明理由． 24. 在中，，，点D，E是边，的中点，连接，，点M，N分别是和的中点，连接． （1）如图1，与的数量关系是_________； （2）如图2，将绕点A顺时针旋转，连接，请写出和的数量关系，并就图2的情形说明理由； （3）在的旋转过程中，当B，D，E三点共线时，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年八年级下册数学苏科版期末复习试题 一、单选题（共10小题，满分40分） 1. 以下代数式的值可以为负数的是（ ） A. |3－x| B. x2＋x C. D. x2－2x＋1 【答案】B 【解析】 【分析】各式化简得到结果，利用非负数的性质判断即可． 【详解】解：A、|3-x|≥0，不符合题意； B、当x=时，原式=＜0，符合题意； C、≥0，不符合题意； D、原式=（x-1）2≥0，不符合题意． 故选：B． 【点睛】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 2. 已知二次根式与是同类二次根式，则a的值可以是（        ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【详解】解：A当时,，与不是同类二次根式． B、当时，，与是同类二次根式． C、当时，，与不是同类二次根式． D、当时，，与不是同类二次根式． 故选：B 【点睛】本题考查同类二次根式的概念．化成最简二次根式后的被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式． 3. 以下调查中，适合普查的是（ ） A. 了解一批钢笔的使用寿命 B. 了解公民保护环境的意识 C. 了解长江水质情况 D. 了解班级每位学生校服的尺码 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似． 【详解】解：A．了解一批钢笔的使用寿命适合抽样调查； B．了解公民保护环境的意识适合抽样调查； C．了解长江水质情况适合抽样调查； D．了解班级每位学生校服的尺码适合全面调查； 故选D． 4. 如图平行四边形，对角线相交于O点，，，（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点A作于点E，先求出，的度数，利用平行四边形的性质、直角三角形斜边中线的性质证明，从而证明是等边三角形，进而可求、的度数，利用等边对等角可证，最后利用三角形内角和定理求的度数即可． 【详解】解：过点A作于点E， ， ∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，找出所求问题需要的条件是解题的关键． 5. 如图，矩形中，对角线，交于点O，如果，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形的性质证得，根据三角形的外角的性质即可解决问题． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， ， ， ， ． 故选：C． 【点睛】本题考查矩形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 6. 如图，四边形是矩形，点E在线段的延长线上，连接交于点F，，点G是的中点，若，则的长为（　　） A. 8 B. 9 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直角三角形的性质可得，从而得到，进而得到，再由勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵G是的中点，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的性质、直角三角形斜边中线性质、勾股定理，等腰三角形的性质与判断等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型． 7. 如图，是矩形内的一个动点，连接，得到，设它们的面积分别是，给出如下结论： ； ； 若，则点一定是与的交点； 若，则点一定在上． 其中正确结论的序号是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点作，交于，交于，作，交于，交于，由矩形的性质容易证出错误，正确，若，则，作于，于，延长交于，先证，再证明，得到，从而得到与重合，得出③错误，正确，由此即可得到答案． 【详解】解：如图，过点作，交于，交于，作，交于，交于， ， 则，，，， 四边形是矩形， ，， ， ，故错误，正确； 若，则，作于，于，延长交于，如图所示： ， 则， ，，， ， 四边形是矩形， ， ， 在和中， ， ， ， ∵， ∴， 与重合， 一定在上，故③错误，正确， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，三角形面积，全等三角形的判定与性质，熟知矩形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 8. 如图，点是的边的中点，且与关于直线对称，若，，则点到线段的距离为（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过折叠的性质可证明△CDE为等边三角形，进而可证明∠ADE=120°，即AD//CE，根据同底等高的三角形面积相等可得，作EF⊥BC，AG⊥BC，根据勾股定理可求得EF，AG，AC，再依据面积公式可求得点到线段的距离． 【详解】解：∵是的边的中点， ∴CD=BD， 由折叠的性质可得DE=BD，∠ADE=∠ADB， ∵， ∴， ∴△CDE为等边三角形， ∴∠DEC=∠CDE=60°， ∴∠CDE=∠ADE-∠ADC=∠ADB-∠ADC=180°-2∠ADC=60°, ∴∠ADC=60°，∠ADE=120°， ∴∠ADE+∠CED=180°， ∴AD//CE， ∴， 作EF⊥BC，AG⊥BC，分别交BC于G、F， ∴∠DAG=90°-∠ADG=30°，∠DEF=90°-∠EDF=30°， ∴， ∴，， ∴，, ∴, 设到线段的距离为，则 ，解得， 故选：D． 【点睛】本题考查折叠的性质，等边三角形的性质和判定，勾股定理，含30°角的直角三角形．能正确作出辅助线求得AC的长度是解题关键．本题中还需正确构造辅助线理解同底等高的三角形面积相等． 9. 如图，点为正方形的中心，，平分交于点，延长到点，使，连接交的延长线于点，连接交于点，连接则以下四个结论中：①；②；③连接，则；④；正确的结论为（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ②③ 【答案】C 【解析】 【分析】①过点作于点，求出，证明，然后可得，再根据等腰三角形三线合一与中位线定理可得出结论；②由三角形中位线定理知，，，然后可得结论；③先证，由点是中点，得，，从而得，进而即可判断③错误；④根据四边形是正方形，是的平分线可求出，进而得到，再由是中点，可得，求出即可得出结论． 【详解】解：①过点作于点，则， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，, ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴（）， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴，故①正确； ②∵点为正方形的中心，，， ∴， ∵是的中位线，, ∴,, ∴, ∴， ∴， 故②正确； ③如图， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵，, ∴， ∵， ∴，故③错误； ④∵四边形是正方形，是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∵是中点， ∴， ∴， ∴，故④正确； 故选：C． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及正方形的性质等知识，利用正方形的性质结合角平分线的性质逐步解答是解题关键． 10. 如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在直线折叠后展开，折痕为MN；再过点D折叠， 使得点A落在MN上的点F处，折痕为DE，则的值是（ ） A. B. －1 C. 2－ D. 3－ 【答案】C 【解析】 【分析】设AD=a，由折叠的性质可得AM=DN=DC=AD=a，∠EFD=90°，利用勾股定理解出FN，设EF=AE=b，则EM=，在Rt△EMF中，ME2+MF2=EF2，从而求出a，b之间的关系，进而得出的值． 【详解】解：∵把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN，设AD=MN=a， ∴AM=DN=DC=AD=a， ∵四边形ABCD为正方形，过点D折叠纸片，使点A落在MN上的点F处， ∴FD=AD=a，∠DNF=90°，∠FME=90°， 在Rt△DFN中，FN===， ∴MF=MN-FN=a-=， 设EF=AE=b，则ME=， 在Rt△EMF中， ME2+MF2=EF2， 即+=b2， 解得：b=(2-)a， ∴==2-． 故选∶C． 【点睛】此题考查了正方形与折叠、勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握折叠的性质． 二、填空题（共8小题，满分32分） 11. 如图，在直角坐标系中，已知点，将绕点逆时针方向旋转后得到，则点的坐标是_____． 【答案】． 【解析】 【分析】根据中心对称的性质解决问题即可． 详解】解：由题意关于原点对称， ， ， 故本答案为：． 【点睛】本题考查中心对称，旋转变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 12. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，若，则的取值范围是________． 【答案】或 【解析】 【分析】观察函数图象，根据一次函数的图象位于反比例函数图象的上方时一次函数值大，可得答案． 【详解】解：一次函数与反比例函数的图象交于，两点， 当一次函数的图象位于反比例函数图象的上方时，则， 则x的取值范围是或． 故答案为或． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，以及两种函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键． 13. 如图，将正方形放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E的坐标为，则点F的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点E作x轴的垂线，垂足为H．过点G作x轴的垂线，垂足为M，连接交于点，结合全等三角形的性质可以求得点G的坐标，再由正方形的中心对称的性质求得点F的坐标． 【详解】如图，过点E作x轴的垂线，垂足为H．过点G作x轴的垂线，垂足为M，连接交于点， ∵四边形是正方形， ∴，， ，， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵点是的中点 ∴， ∵点F与点O关于点对称， ∴点F的坐标为 ， 故答案是：． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、中点坐标公式等，正确添加辅助线以及熟练掌握和运用相关内容是解题的关键． 14. 如图，三个边长均为1的正方形按如图所示的方式摆放，A1，A2分别是正方形对角线的交点，则重叠部分的面积和为______. 【答案】 【解析】 【分析】过点A1分别作正方形两边的垂线A1D与A1E，根据正方形的性质可得A1D=A1E，再根据同角的余角相等求出∠BA1D=∠CA1E，然后利用“角边角”证明△A1BD和△A1CE全等，根据全等三角形的面积相等求出阴影部分的面积等于正方形面积的，即可求解． 【详解】如图，过点A1分别作正方形两边的垂线A1D与A1E， ∵点A1是正方形的中心， ∴A1D=A1E， ∵∠BA1D+∠BA1E=90°，∠CA1E+∠BA1E=90°， ∴∠BA1D=∠CA1E，A1D=A1E，∠A1DB=∠A1EC=90°， ∴△A1BD≌△A1CE（ASA）， ∴△A1BD的面积=△A1CE的面积， ∴两个正方形的重合面积=正方形面积=， ∴重叠部分的面积和为×2=. 故答案是:. 【点睛】考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，作辅助线构造出全等三角形求出阴影部分的面积是正方形的面积的是解题的关键． 15. 当取最小值时，a的值是__________. 【答案】- 【解析】 【分析】根据二次根式一定为非负数，既最小值为0求解. 【详解】≥0, ∴的最小值为0， ∴2a+3=0, ∴a=-. 【点睛】本题考查的是二次根式的非负性，熟练掌握这一点是解题的关键. 16. 如图，在反比例函数图象中，△AOB是等边三角形，点A在双曲线的一支上，将△AOB绕点O顺时针旋转α （0°＜α＜360° ），使点A仍在双曲线上，则α＝_____． 【答案】30°、180°、210° 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质，双曲线的轴对称性和中心对称性即可求解． 【详解】解：根据反比例函数的轴对称性，A点关于直线y＝x对称， ∵△OAB是等边三角形， ∴∠AOB＝60°， ∴AO与直线y＝x的夹角是15°， ∴α＝2×15°＝30°时点A落在双曲线上， 根据反比例函数的中心对称性， ∴点A旋转到直线OA上时，点A落在双曲线上， ∴此时α＝180°， 根据反比例函数的轴对称性，继续旋转30°时，点A落在双曲线上， ∴此时α＝210°； 故答案为30°、180°、210°． 【点睛】本题考查了反比例函数的综合运用，旋转的性质，等边三角形的性质．关键是通过旋转及双曲线的对称性得出结论． 17. 如图，正方形的边长为，是边上的一点，且是对角线上的一动点，连接，当点在上运动 时，周长的最小值是_________ 【答案】 【解析】 【分析】根据两点之间线段最短和点和点关于对称，即可求得周长的最小值，本题得以解决． 【详解】解：∵两点关于对称， ∴连接于交于点，连接， ∵四边形正方形，为对角线， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴此时△的周长就是周长的最小值， ∵，， ∴， 在中，由勾股定理得： ∴， ∴周长的最小值是， 故答案为：12． 【点睛】本题考查轴对称 最短路线问题、正方形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 18. 如图，为矩形对角线，的交点，，是直线上的动点，且，则的最小值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】如图所示，作点O关于BC的对称点P，连接PM，将MP沿着MN的方向平移MN长的距离，得到NQ，连接PQ，则四边形MNQP是平行四边形;再利用平行四边形的性质以及轴对称的性质，可得当O，N，Q在同一直线上时，OM+ON的最小值等于OQ长，即可完成解答． 【详解】解：如图所示，作点O关于BC的对称点P，连接PM，将MP沿着MN的方向平移MN长的距离，得到NQ，连接PQ，则四边形MNQP是平行四边形， ∵MN=PQ=1，PM=NQ=MO， ∴OM+ON=QN+ON， ∴当O，N，Q在同一直线上时，OM+ON的最小值等于OQ长， 连接PO，交BC于E， ∴BC垂直平分OP， 又∵矩形ABCD中，OB=OC， ∴E是BC的中点， ∴OE是△ABC的中位线， ∴OE=AB=2， ∴OP=2×2=4， 又∵PQ//MN， ∴PQ⊥OP， ∴Rt△OPQ中，OQ= ∴OM+ON的最小值是； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质以及最短路线问题，其中掌握最短路径问题是解答本题的关键． 三、解答题（共6小题，每题8分，满分48分） 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 【解析】 【分析】先把分子、分母能分解因式的分解因式，再把除法转化为乘法，约分后再代入求值即可． 【详解】解： 当 上式 【点睛】本题考查的是分式的除法运算，掌握把除法转化为乘法是解题的关键． 20. 如图，Rt△AOB中，∠OAB=90°，OA=AB，将Rt△AOB放置于直角坐标系中，OB在x轴上，点O是原点，点A在第一象限．点A与点C关于x轴对称，连结BC，OC．双曲线 (x＞0)与OA边交于点D、与AB边交于点E． (1)求点D的坐标； (2)求证：四边形ABCD是正方形； (3)连结AC交OB于点H，过点E作EG⊥AC于点G，交OA边于点F，求四边形OHGF的面积． 【答案】（1）点D的坐标为(3，3)；（2）见解析；（3）． 【解析】 【分析】(1)由OA=AB，∠OAB=90°可得出∠AOB=∠ABO=45°，进而可设点D的坐标为(a，a)，再利用反比例函数图象上点的坐标特征结合点D在第一象限，即可求出点D的坐标； (2)由点A与点C关于x轴对称结合OA=AB可得出OA=OC=AB=BC，进而可得出四边形ABCO是菱形，再结合∠OAB=90°，即可证出四边形ABCO是正方形； (3)依照题意画出图形，易证△AFG≌△AEG，进而可得出S四边形OHGF=S△AOH-S△AFG=S△AOH-S△AEG，设点A的坐标为(m，m)，点E的坐标为(n，)，易证AG=GE，进而可得出2m-n=，再利用三角形的面积公式结合S四边形OHGF=S△AOH-S△AEG，即可求出四边形OHGF的面积． 【详解】解：(1)∵OA=AB，∠OAB=90°， ∴∠AOB=∠ABO=45°， ∴设点D的坐标为(a，a)． ∵点D在反比例函数y=的图象上， ∴a=，解得：a=±3． ∵点D在第一象限， ∴a=3， ∴点D的坐标为(3，3)． (2)证明：∵点A与点C关于x轴对称， ∴OA=OC，AB=BC． 又∵OA=AB， ∴OA=OC=AB=BC， ∴四边形ABCO是菱形． 又∵∠OAB=90°， ∴四边形ABCO是正方形． (3)依照题意，画出图形，如图所示． ∵EG⊥AC， ∴∠AGE=∠AGF=90°． ∵四边形ABCO是正方形， ∴AC⊥OB． ∵OA=AB， ∴∠FAG=EAG． 在△AFG和△AEG中， ， ∴△AFG≌△AEG(ASA)， ∴S四边形OHGF=S△AOH-S△AFG=S△AOH-S△AEG． 设点A的坐标为(m，m)，点E的坐标为(n，)． ∵OA=AB，EF∥OB， ∴AG=GE， ∴m-=n-m，即2m-n=， ∴S四边形OHGF=m2-(n-m)(m-)=m2-mn++m2-=m(2m-n)+-=+-=． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、正方形的判定与性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及三角形的面积，解题的关键是：(1)利用反比例函数图象上点的坐标特征，求出点D的坐标；(2)利用正方形的判定定理证出四边形ABCO是正方形；(3)利用三角形的面积公式结合S四边形OHGF=S△AOH-S△AEG，求出四边形OHGF的面积． 21. 在二次根式的计算和比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果，例如，比较 和 的大小，我们可以把 a 和 b 分别平方，，，则 ，∴ 请利用“平方法”解决下面问题： （1）比较 ， 大小，c d（填写，或者）． （2）猜想 ， 之间的大小，并证明． （3）已知，化简= （直接写出答案）． 【答案】（1） （2），证明见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质和完全平方公式是解题的关键； （1）根据题干中“平方法”题干比较与的大小比较c与d； （2）先与，然后比较与的大小，得到m与n的大小； （3）根据题干中“平方法”找出，，再利用二次根式的性质结合完全平方公式进而开平方得出答案． 【小问1详解】 ，， ，， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 ，理由如下： ，， ， ， ， ， 【小问3详解】 ，， ， ， ， ， ，即 原式， ． 22. 阅读题目：计算， 小明同学是这样计算的= 小刚同学是这样计算的= 问题填空： （1）两位同学做法正确的是（ ） A. 小明正确 B.小刚正确 C. 小明、小刚都正确 D. 小明、小刚都不正确 （2）小明同学在计算时用到了公式 ① （a≥0，b≥0）；② （a≥0） 小刚同学在计算时运用了公式 ① （a≥0，b≥0）； ② （a≥0） 【答案】C , , a, , a 【解析】 【分析】（1）观察两位同学的做法，判断即可； （2）分析两位同学的方法，填写即可． 【详解】解：（1）小明、小刚的计算都正确． 故选C． （2）小明：① （a≥0，b≥0）；② （a≥0）； 小刚：①（a≥0，b≥0）；② （a≥0）． 故答案为 ，a，，a． 【点睛】此题考查了二次根式的乘法，以及二次根式的化简与性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 23. 如图，菱形ABCD的对角线AC和BD交于点O，点E在线段OB上（不与点B，点O重合），点F在线段OD上，且DF＝BE，连接AE，AF，CE，CF． （1）求证：四边形AECF是菱形； （2）若AC＝4，BD＝8，当BE＝3时，判断△ADE的形状，说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）直角三角形，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质得出AC⊥BD，AO=CO，BO=DO，求出OE=OF，再根据菱形的判定得出即可； （2）根据菱形的性质求出AO=2，BO=DO=4，求出OE和DE，根据勾股定理求出AD2=20，AE2=5，求出AD2+AE2=DE2，再根据勾股定理的逆定理求出答案即可． 【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BC，AO＝CO，BO＝DO， ∵BE＝DF，BO＝DO， ∴BO﹣BE＝DO﹣DF， 即OE＝OF， ∵AO＝CO， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵AC⊥BD， ∴四边形AECF菱形； （2）解：△ADE是直角三角形， 理由是：∵AC＝4，BD＝8，AO＝CO，BO＝DO， ∴AO＝2，BO＝DO＝4， ∵BE＝3， ∴OE＝4﹣3＝1，DE＝DO+OE＝4+1＝5， 在Rt△AOD中，由勾股定理得：AD2＝AO2+DO2＝22+42＝20， 在Rt△AOE中，由勾股定理得：AE2＝AO2+OE2＝22+12＝5， ∵DE2＝52＝25， ∴AD2+AE2＝DE2， ∴∠DAE＝90°， 即△ADE是直角三角形． 【点睛】本题考查了菱形的性质和判定，平行四边形的判定，勾股定理，勾股定理的逆定理等知识点，能熟记菱形的性质和判定是解此题的关键． 24. 在中，，，点D，E是边，的中点，连接，，点M，N分别是和的中点，连接． （1）如图1，与的数量关系是_________； （2）如图2，将绕点A顺时针旋转，连接，请写出和的数量关系，并就图2的情形说明理由； （3）在的旋转过程中，当B，D，E三点共线时，求线段的长． 【答案】（1） （2），见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）可证，，即可求解； （2）连接，可证，可得，即可求解； （3）①当点E在线段上时，过点作于点，可求，，即可求解；②当点D在线段上时，过点作于点Q，可求，，即可求解． 【小问1详解】 解：点D，E是边，的中点， ，， ， ， 点M，N分别是和的中点， 是的中位线， ， ， 故答案：． 【小问2详解】 解：，理由如下： 如图，连接， 由（1）同理可得： ， 由旋转得：， ， ， 在和中 ， （）， ， 点M，N分别是和的中点， ， ． 【小问3详解】 解：①如图，当点E在线段上时，过点作于点 ， ，， ， 在（1）中：点D，E是边，的中点， ， ， ，， ， ， ， ， 在中， ， ； ②如图，当点D在线段上时，过点作于点Q， 在中，，， ， 由①同理可求， 在中，， ，， ； ． 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形全等判定及性质，三角形中位线定理，掌握相关的判定方法及性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$