11.二次函数的应用（尖子生学案） 2024-2025学年苏科版数学九年级下册

编号： 11 学生姓名： 年 级： 九年级 辅导科目：数学 课题 二次函数的应用 教学内容 【题型预览】 题型1：数学物理相结合 题型2： 抛物线型大跳台 题型3： 函数帮你算长度 题型4：函数帮你算收益 题型5：函数教你折图形 【重点题型讲解】 题型1：数学物理相结合 1.如图，物理实验课上，嘉嘉和琪琪为了探究钢球沿斜面滚下时，滚动的距离s（单位:cm）与滚动的时间t（单位:s）之间的关系，两人分别在甲、乙两个斜面上做实验，已知钢球在甲斜面上滚动的速度每秒增加1.5cm，在乙斜面上滚动的速度每秒增加1.2cm，开始时的速度均为0，甲斜面的长是30cm.（提示:，其中v0是开始时的速度，vk是ts时的速度） （1）分别求出S甲，S乙关于t的函数解析式; （2）求钢球从甲斜面顶端滚到底端时t的值; （3）若乙斜面的坡比为1:，且坡面的垂直高度为10cm，比较钢球从斜面顶端滚到底端所用时间t甲与t乙的大小，并说明理由. 题型2： 抛物线型大跳台 2.2022年北京冬奥会上，中国运动健儿在“首钢滑雪大跳台“收获了”双金“，让大跳台再次成为焦点.某景区模仿“首钢滑雪大跳台”设计如图所示的滑道，其中线段AB表示距离水平面（x轴）高度为20m的平台（点A在y轴上），滑道BC可以看作是反比例函数图象的一部分，点B到y轴的距离是3m，点C到水平面的距离为3m，滑道CD可以看作是二次函数图象的一部分，最高点距水平面4m，到y轴的水平距离和到点D的水平距离相等，且点D距离y轴的水平距离不小于50m. （1）求滑道BC的函数解析式及自变量x的取值范围; （2）求滑道CD的函数解析式及自变量x的取值范围; （3）在小明沿滑道从点B滑到点D处的过程中，当他距地面4m时，试求他所滑过的水平距离d. 题型3： 函数帮你算长度 3.某公园有一个抛物线形状的观景拱桥ACB，其横截面如图所示，建立平面直角坐标系，已知抛物线的解析式为x2+c且过点C（0，5）.（长度单位:m） （1）现因搞庆典活动，计划在拱桥的台阶表面铺设一条宽度为1.5m的地毯，地毯的价格为20元/m2，求购买地毯需多少元？ （2）在拱桥加固维修时，搭建的“脚手架”为矩形EFGH（H，G分别在抛物线的左右侧上），并增加铺设斜面EG和HF，已知矩形EFGH的周长为27.5m，求增加斜面的长. 题型4：函数帮你算收益 4.重庆在打造“森林重庆”的过程中对“两翼一圈”中的“两翼”地区实施万元增收工程，为了提高农户收入，某县决定对在森林间的空地上种植中草药实行政府补贴，规定每种植一亩中草药一次性补贴农户若干元，经调查，种植亩数y（亩）与补贴数额x（元）之间成一次函数关系，且补贴与种植情况如下表: 补贴数额x(元) 100 200 ●●● 种植亩数y(亩) 1600 2400 ●● 随着补贴数额x的不断增大，种植规模也不断增加，但每亩中草药的收益z（元）会相应降低，该县补贴政策实施前每亩中草药的收益为3000元，而每补贴10元，每亩中草药的收益会相应减少30元. （1）分别求出政府补贴政策实施后，种植亩数y（亩）、每亩中草药的收益z（元）与政府补贴数额x（元）之间的函数关系式; （2）要使全县种植这种中草药的总收益w（元）最大，政府应将每亩补贴数额x定为多少元？并求出总收益w的最大值和此时的种植亩数;（总收益＝每亩收益×亩数） （3）在取得最大收益的情况下，为了发展森林旅游，需占用其中不超过60亩的森林空地修建一个森林公园.已知修建森林公园平均每亩的费用为650元，此外还要购置部分游乐设施，这项费用（元）等于修建的森林公园面积（亩）的平方的25倍.这样，将空地用来修建森林公园比用来种植中草药时每亩的平均收益增加了2000元，在扣除所有修建费用后总收益为85000元，求修建的森林公园大约有多少亩？（结果精确到个位，参考数据:≈1.414，≈1.732，≈2.236） 题型5：函数教你折图形 5.将一条长度为6的线段折成三段AB,BC,CD,一边靠墙围成四边形ABCD,设AB＝x. （1）如图① ，若四边形ABCD是一个底角为60°的等腰梯形，梯形ABCD的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围; （2）如图② ，若四边形ABCD是一个矩形，矩形ABCD的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围; （3）试比较一边靠墙围成矩形与一边靠墙围成底角为60°的等腰梯形的两种围法中，哪种能使四边形ABCD的面积最大？求出最大面积，并写出此时AB，BC，CD的长度. 【综合强化练习】 1.如图是一个高脚杯的截面图，杯子底座AB＝2cm，O为AB的中点，OP＝6cm，杯高15cm，杯口CD＝6cm，杯体CPD呈抛物线状，以AB所在直线为x轴，OP所在直线为y轴建立平面直角坐标系. （1）求杯体CPD所在抛物线的解析式; （2）将杯子向右平移2个单位长度，得到的新抛物线与y轴交于点E，点A，B，O，P，C，D的对应点分别为点A′，B′，O′，P′，C′，D′，过点D′放入一根吸管，若吸管在杯内的一端与杯壁的接触点不高于点E，且接触点落在左杯壁（包含杯底），求吸管所在直线y＝kx+b中k的取值范围. 2.科研人员为了研究弹射器的某项性能，利用无人机测量小钢球竖直向上运动的相关数据.无人机上升到离地面30米处开始保持匀速竖直上升，此时，在地面用弹射器（高度不计）竖直向上弹射一个小钢球（忽略空气阻力），在1秒时，它们距离地面高度相同，在4秒时，小钢球距离地面高度达到最大值80米.其中无人机离地面高度y1（米）与小钢球运动时间x （秒）之间的函数关系如图所示;小钢球离地面高度y2（米）与它的运动时间x（秒）之间的函数关系如图中抛物线. （1）求出y2与x之间的函数关系式; （2）设m秒时，小钢球与无人机的高度再次相同. ① 求m的值及此时小钢球距离地面的高度; ② 当1＜a＜m时，嘉嘉认为当时，小钢球和无人机的高度差最大，琪琪认为当x＝4时，小钢球和无人机的高度差最大，你认为谁的说法正确，试说明理由，并求出小钢球和无人机高度差的最大值. 20 1 学科网（北京）股份有限公司 $$