黑龙江省鹤岗市第一中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题

鹤岗一中2023-2024学年上学期期中考试 高二数学 分值：150 时间：120分钟 一、单选题(每题5分，40分) 1．直线x+6y+2=0在x轴和y轴上的截距分别是（     ） A．2， B．－2， C．，－3 D．－2，－3 2．设B是椭圆的上顶点，点P在C上，则的最大值为（    ） A． B． C． D．2 3．数列满足，，则“”是“为单调递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．某校高一年级有女生504人，男生596人．学校想通过抽样的方法估计高一年级全体学生的平均体重，从高一女生和男生中随机抽取50人和60人，经计算这50个女生的平均体重为，60个男生的平均体重为，依据以上条件，估计该校高一年级全体学生的平均体重最合理的计算方法为（    ） A． B． C． D． 5．已知双曲线的一条渐近线过点，则的离心率为（　　） A． B． C． D．3 6．已知，且，则（　　） A．1 B． C． D．2 7．已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点，，线段的中点为，过点作抛物线的准线的垂线，垂足为，则的最小值为（   ） A．1 B． C．2 D． 8．如图，圆台的高为4，上、下底面半径分别为3、5，M、N分别在上、下底面圆周上，且，则||等于（    ） A． B．5 C． D．5 二、多选题(每题6分，24分) 9．已知椭圆分别为它的左右焦点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（    ） A．点到右焦点的距离的最大值为9 B．焦距为10 C．若，则的面积为9 D．的周长为20 10．若，下面结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 11．如图，在棱长为1的正方体中，Q是棱上的动点，则下列说法正确的是（    ）    A．不存在点Q，使得 B．存在点Q，使得 C．对于任意点Q，Q到的距离的取值范围为 D．对于任意点Q，都是钝角三角形 12．太极图被称为“中华第一图”，闪烁着中华文明进程的光辉，它是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳角，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美定义，若一个函数的图像能够将圆的周长和面积同时等分成两个部分，则称该函数为圆的一个“太极函数”，给出下列命题，其中正确的命题为（    ） A．函数可以是某个圆的“太极函数” B．正弦函数可以同时是无数个圆的“太极函数” C．圆的所有非常数函数的太极函数都不能为偶函数 D．函数是“太极函数”的充要条件为函数的图像是中心对称图形 三、填空题(每题5分，20分) 13．若直线与直线平行，则与之间的距离为 ． 14．已知直线与抛物线相交于两点，为的焦点，若||=3||，则 . 15．为不超过的最大整数，设为函数的值域中所有元素的个数.若数列的前项和为，则 . 16．已知椭圆：的左、右焦点分别是，，斜率为的直线经过左焦点且交C于A，B两点（点A在第一象限），设的内切圆半径为，的内切圆半径为，若，则椭圆的离心率 ． 四、解答题 17．（9分）等差数列中，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求n. 18．（10分）已知直线恒过定点且分别交轴､轴的正半轴于两点. (1)求过定点且与直线垂直的直线的方程； (2)求当面积最小时，直线的方程. 19．（10分）已知双曲线的焦点与椭圆的焦点相同，且双曲线经过点． (1)求双曲线的标准方程； (2)设为双曲线上异于点的两点，记直线的斜率为，若．求直线恒过的定点． 20．（12分）如图，直三棱柱中，，，，点是的中点． （1）求证∶平面； （2）求与平面所成角的正弦值及直线到面的距离． 21．（12分）已知圆C：x2+y2﹣8x﹣6y+F＝0与圆O：x2+y2＝4相外切，切点为A，过点P（4，1）的直线与圆C交于点M，N，线段MN的中点为Q． （1）求点Q的轨迹方程； （2）若|AQ|＝|AP|，点P与点Q不重合，求直线MN的方程及△AMN的面积． 22．（13分）分别根据下列条件求圆的标准方程： (1)圆心在直线上，半径为2，且与直线相切； (2)过三点，，. 第 2 页 共 4 页 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学答案 1-8：BAADCDBA；9-12：AC AD ABC AB 13．；14．；15．；16．； 17．(1)，. (2)11 【分析】 （1）利用等差数列的定义计算基本量即可； （2）利用等差数列的求和公式计算基本量即可. 【详解】（1）设公差为，则由题意可得， 又， 所以，； （2）由（1）可知， 即，所以. 18．(1)； (2). 【分析】（1）由已知直线确定其所过定点，再由垂直关系确定斜率，应用点斜式写出所求直线； （2）设直线的方程为，应用基本不等式及面积公式求最小面积对应参数值，即可得直线方程. 【详解】（1）直线，则， 由，得，故直线恒过定点. 又直线与直线垂直，故， 所以直线的方程为，即. （2）设直线的方程为，则， 又，即，当且仅当时取等号，. 当面积最小时，直线的方程为，即. 19．(1) (2) 【分析】 （1）根据焦点坐标以及经过的点，代入即可求解， （2）联立直线与双曲线方程得韦达定理，根据两点斜率公式求解两直线的斜率，代入韦达定理化简即可求解. 【详解】（1）椭圆的焦点坐标为 故为双曲线的焦点，故双曲线， 设双曲线的方程为：，代入点，，可得或，又因为双曲线中，故，双曲线方程为． （2）当直线斜率为0时，易得直线方程为：，此时，符合，此时直线经过， 直线斜率不为0时，设直线，联立直线与双曲线方程可得：． 设，则直线斜率，直线斜率．由易知：．代入可得：．又因为． 原式可转化为， 由韦达定理可得：，代入式子中化简可得：．故或． 若，直线为，恒过点， 若，直线方程为，直线恒过定点， 与题目中为异于的点矛盾，故直线恒过定点为．    20．(1)证明见解析；(2)；. 【分析】(1)连接A1C交AC1于点N，连接MN，证明B1C//MN即可推理得证； (2)由给定条件，以点C为原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，借助空间向量即可求线面角及线面距离. 【详解】(1)在直三棱柱中，连接A1C交AC1于点N，连接MN，如图， 则点N是线段A1C中点，而M是线段A1B1中点，从而有MN//B1C，又平面，平面， 所以平面； (2)依题意，平面ABC，又，则以点C为原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图， 则， ， 令为平面的法向量，则，令，得， 设直线与平面所成角为，则， 所以与平面所成角的正弦值是； 由(1)知，平面，则直线到平面的距离等于点B1到平面的距离d， 因此，， 所以直线到平面的距离是. 21．（1）；（2），. 【分析】（1）利用两圆外切确定圆，通过弦心距与弦垂直可得，故知轨迹为以为直径的圆； （2）先求得点坐标，由可知，也在以为圆心，以为直径的圆上，该圆与点的轨迹圆联立可得直线也即直线的方程，之后利用点到直线距离公式等知识求解即可． 【详解】解：（1）圆的标准方程为， 圆心，半径为， 由圆与圆相外切可知，解得， 圆， 又，则点在圆内， 弦过点，是的中点， 则， 点的轨迹是以为直径的圆， 其方程为； （2）线段与圆的交点为， 由，解得， 若， 则，是以点为圆心，为半径的圆与点的轨迹的交点， 由，与， 作差可得， 即直线的方程为， 点到直线的距离， ， 点到直线的距离， 的面积． 22．(1)或 (2). 【分析】（1）由半径为2，且与直线相切，可得圆心纵坐标，后结合圆心在直线上可得圆心坐标即可得答案； （2）设相应圆方程为，代入三点坐标，解相应三元一次方程可得答案. 【详解】（1）因圆半径为2，且与直线相切，则圆心纵坐标为或. 又圆心在直线上，则圆心坐标为或. 故相应圆的标准方程为：或； （2）设相应圆方程为，代入三点，，， 则，即圆的一般方程为：. 故圆的标准方程为：. 第 2 页 共 7 页 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $$