5.4 三角函数的图像和性质-重点强化提升讲义——2025届高三数学一轮复习

5.4 三角函数的图像和性质 ( 知识 归纳 ) 1、正弦函数和余弦函数的图象：正弦函数和余弦函数图象的作图方法：五点法：先取横坐标分别为0，的五点，再用光滑的曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。 2、正弦函数、余弦函数的性质： （1）定义域：都是R。 （2）值域：都是， 对，当时，取最大值1；当时，取最小值－1； 对，当时，取最大值1，当时，取最小值－1。 （3）周期性：，的最小正周期都是2； （4）奇偶性与对称性： ①正弦函数是奇函数，对称中心是，对称轴是直线； ②余弦函数是偶函数，对称中心是，对称轴是直线；（正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于轴的直线，对称中心为图象与轴的交点）。 （5）单调性： 上单调递增，在单调递减； 在上单调递增,在上单调递减。特别提醒，别忘了！ 3、正切函数的图象和性质： （1）定义域：。 （2）值域是R，无最大值也无最小值； （3）奇偶性与对称性：是奇函数，对称中心是，特别提醒：正(余)切型函数的对称中心有两类：一类是图象与轴的交点，另一类是渐近线与轴的交点，但无对称轴，这是与正弦、余弦函数的不同之处。 （4）单调性：正切函数在开区间内都是增函数。但要注意在整个定义域上不具有单调性。 4、正弦、余弦、正切函数的图像和性质 ( 函 数 性 质 ) 图象 定义域 值域 最值 当时，；当 时，． 当时， ；当 时，． 既无最大值也无最小值 周期性 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 在 上是增函数；在 上是减函数． 在上是增函数；在 上是减函数． 在 上是增函数． 对称性 对称中心 对称轴 对称中心 对称轴 对称中心 无对称轴 ( 考点讲解 ) 题型一：正弦函数的图象 1．曲线与交点个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．函数的大致图象是（ ） A．B．C．D． 3．当时，曲线与的交点个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 4．已知函数在上至多有一个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型二：正弦函数图象的应用 1．直线与曲线 的交点个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．当时，曲线与的交点个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3（多选）．函数的图像与直线（为常数）的交点可能有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．已知函数的图象与直线有且仅有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是 ． 题型三：余弦函数的图象 1．已知余弦函数过点，则m的值为（    ） A．0 B．－1 C． D． 2．用“五点法”作的图象，首先描出的五个点的横坐标是（    ） A．0，，π，，2π B．0，，，，π C．0，π，2π，3π，4π D．0，，，， 3．函数的简图是（    ） A． B． C． D． 4．若函数与函数（且）的图象至少有五个交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型四：余弦函数图象的应用 1．已知集合，，则中元素的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（多选）函数，的图像与直线（t为常数，）的交点可能有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．方程在区间上解的个数是 ． 4．函数在区间内的零点个数是 . 题型五：正弦函数的单调性 1．已知函数与，则下列说法错误的是（    ） A．与存在相同的对称轴 B．与存在相同的对称中心 C．与的值域相同 D．与在上有相同的单调性 2．下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 3．（多选）下列不等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 4．若函数与在区间上均单调递增，则实数的取值范围为 . 题型六：正弦函数的定义域、值域和最值 1．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．（多选）给出下列命题： ①函数是奇函数； ②若α，β是第一象限角且，则； ③在区间上的最小值是，最大值是； ④直线是函数图像的一条对称轴； 其中真命题的序号是（      ） A．① B．② C．③ D．④ 3．（多选）已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．的最大值为1 C．是偶函数 D．的图象关于直线对称 4．已知（为常数）. (1)求的递增区间； (2)求的最大值及取得最大值时的集合； (3)若时，的最大值为4，求的值. 题型七：正弦函数的奇偶性 1．已知函数是奇函数，则（    ） A． B．0 C．1 D． 2．（多选）已知函数，则（　　） A．函数是偶函数 B．是函数的一个零点 C．函数在区间上单调递增 D．函数的图象关于直线对称 3．函数且的所有零点的和等于 . 4．已知函数，则 . 题型八：正弦函数的周期性 1．函数是（    ） A．周期为的偶函数 B．周期为的偶函数 C．周期为的奇函数 D．周期为的奇函数 2．（多选）已知函数，下列说法正确的是（    ） A．函数的最小正周期为 B．函数在上单调递增 C．函数的图象关于直线对称 D．函数的图象关于点对称 3．（多选）已知函数，，则（    ） A．与的图象有相同的对称中心 B．与的图象关于轴对称 C．与的图象关于轴对称 D．的解集为（） 4．（多选）设函数的定义域为为奇函数，为偶函数.当时，，则下列结论正确的有（    ） A． B．在上单调递减 C．点是函数的一个对称中心 D．方程有5个实数解 题型九：正弦函数的对称性 1．已知函数，且均为偶函数，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．若关于的方程在内有两个不同的解，，的值为（    ） A． B． C． D． 3．下列说法中，所有正确说法的序号是 ． 终边落在轴上的角的集合是； 函数图象与轴的一个交点是； 函数在第一象限是增函数； 若，则． 4．设函数图象的一条对称轴是直线. (1)求的值； (2)求函数的单调增区间. 题型十：余弦函数的单调性 1．若函数在上单调，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D． 2．（多选）下列式子成立的有（    ） A． B． C． D． 3．（多选）下列函数中，在区间上单调递减的函数是（    ） A． B． C． D． 4．已知． (1)求的最小正周期及单调递增区间； (2)若，求的值域． 题型十一：余弦函数的定义域、值域和最值 1．已知函数，若关于的方程在上有两个不同的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．函数的定义域是 ． 3．函数的定义域为 . 4．函数，，当 时，最小且最小值为 ． 题型十二：余弦函数的奇偶性 1．若为偶函数，则（   ） A．0 B． C． D． 2．（多选）已知，则（ ） A．是偶函数 B．的最小正周期是 C．图象的一个对称中心是 D．在上单调递增 3．（多选）特值法就是选取一个恰当的特殊值代替一般的情况，将复杂或抽象的问题简单化具体化的方法，例如：若是定义域为R的奇函数，且是偶函数，，则可以选择，由此计算出结果．已知函数是定义域为R的偶函数，且，是奇函数，则（       ） A． B． C． D． 4．已知函数在区间的最大值是M，最小值是m，则的值等于 ． 题型十三：余弦函数的周期性 1．对于函数，下列说法中错误的是（    ） A．该函数的值域是 B．函数的对称轴方程是 C．当且仅当时，函数取得最大值1 D．当且仅当时， 2．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若函数图象关于原点对称，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数在上恰有3个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（多选）下列函数中周期为π，且为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 题型十四：余弦函数的对称性 1．已知函数的最小正周期为，则的对称轴可以是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，现有如下说法： 的图象关于直线对称； 为的一个周期； 在上单调递增． 则上述说法中正确的个数为（    ） A． B． C． D． 3．（多选）已知函数，则（    ） A．的一个对称中心为 B．的图象向右平移个单位长度后得到的是奇函数的图象 C．在区间上单调递增 D．若在区间上与有且只有6个交点，则 4．记函数的最小正周期为T，若，为f(x)图像的对称中心.则的最小值为 . 题型十五：正切函数的图象 1．已知（），那么所有可能的值是（　　） A． B．或 C． 或 D． 2．下列关于函数的四个结论中错误的是（    ） A．的图象关于原点对称 B．的图象关于点对称 C．的图象关于直线对称 D．在区间上单调递增 3．已知函数，若方程在区间上恰有3个实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知函数． （1）求函数的定义域； （2）用定义判断函数的奇偶性； （3）在上作出函数的图象． 题型十六：正切函数单调性 1．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 2．设函数，则可断定函数（    ） A．最小正周期为π，奇函数，在区间上单调递增 B．最小正周期为π，偶函数，在区间上单调递减 C．最小正周期为，奇函数，在区间上单调递增 D．最小正周期为，偶函数，在区间上单调递减 3．已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．是函数的一个周期 B．函数在上是增函数 C．函数的图像关于点对称 D．函数是偶函数 4．已知函数在上是减函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型十七：比较正切值的大小和不等式 1．已知函数是定义在上的奇函数，且单调递增，若，则的取值范围是（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 2．已知，，，则它们的大小关系为 （用“”连接） 3．（1）函数的定义域是 ． （2）函数的值域为 ． 4．已知函数． (1)求的单调递减区间； (2)试比较与的大小． 题型十八：正切函数的奇偶性 1．函数（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．是非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数 2．函数是（    ）. A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 3．已知定义在上的函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 4．（多选）关于函数的性质，下列叙述正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．是偶函数 C．的图象关于直线对称 D．在区间上单调递增 题型十九：正切函数的周期性和对称性 1．函数的最小正周期为（    ） A．2 B．1 C． D． 2．设集合，则集合A的元素个数为（    ） A．1013 B．1014 C．2024 D．2025 3．（多选）已知函数，则下列说法正确的是（） A．函数的定义域为 B．函数的周期与函数的周期相同 C．函数图象的对称中心为 D．函数的单调递增区间为 4．函数的对称中心是 ． 题型二十：正切函数的定义域、值域和最值 1．（多选）余切函数是三角函数的一种，表示为，余切函数与正切函数关系密切，在三角学领域有着广泛的应用.已知，则下列关于余切函数的说法正确的是（    ） A．定义域为 B． C．与正切函数有相同的对称中心 D．将函数的图象向右平移个单位均可得到函数的图象 2．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．的定义域为 C．的图象关于点对称 D．在上单调递增 3．（1）函数的定义域为 ； （2）函数的值域为 ． 4．已知函数． (1)求函数的最小正周期； (2)求方程的解集． ( 巩固提升 ) 1．在上，函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 2．下列各点中，可以作为函数图象的对称中心的是（    ） A． B． C． D． 3．函数在区间上的零点个数为（    ） A．1个 B．4个 C．2个 D．0个 4．已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 5．已知函数的图象关于点中心对称，则（    ） A． B． C． D． 6．设，且，则的最小值等于（    ） A． B． C． D． 7．已知函数，则图像有如下性质（    ） A．关于点中心对称 B．关于直线轴对称 C．关于点中心对称 D．关于点中心对称 8．已知函数，若方程在区间上有且仅有2个不等的实根，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．（多选）若的最大值为3，最小值为1，则ab的值可以为（    ） A．2 B． C．0 D． 10．（多选）下列叙述正确的有（    ） A．，的图象关于点成中心对称 B．，的图象关于直线成轴对称 C．，的图象在时达到最高点 D．正弦、余弦函数的图象不超过直线和所夹的范围 11．（多选）在平面直角坐标系中，圆心为O的单位圆与x轴正半轴的交点为A，角的终边与单位圆相交于点P，将点P沿单位圆按逆时针方向旋转角后到点，以下命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 12．的对称中心为 . 13．函数的值域为 ． 14．函数的值域为 . 15．已知函数， (1)用“五点法”作出在长度为一个周期的闭区间上的简图； (2)写出的对称中心与单调递增区间； 16．已知函数． (1)求函数的最小正周期； (2)求函数的单调增区间； (3)当时，求函数的最小值及相应的x的值． ( 走进高考 ) 1．（2024·北京·高考真题）设函数.已知，，且的最小值为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2024·全国·高考真题）函数在区间的图象大致为（    ） A．B．C．D． 3．（2024·天津·高考真题）已知函数的最小正周期为．则在的最小值是（   ） A． B． C．0 D． 4．（2024·天津·高考真题）下列函数是偶函数的是（   ） A． B． C． D． 5．（2024·全国·高考真题）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（    ） A． B． C．1 D．2 6．（2023·天津·高考真题）已知函数的图象关于直线对称，且的一个周期为4，则的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 7．（2023·天津·高考真题）已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（    ）      A． B． C． D． 8．（多选）（2024·全国·高考真题）对于函数和，下列说法中正确的有（    ） A．与有相同的零点 B．与有相同的最大值 C．与有相同的最小正周期 D．与的图象有相同的对称轴 9．（2024·北京·高考真题）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于原点对称.若，则的最大值为 ． 10．（2023·北京·高考真题）已知命题若为第一象限角，且，则．能说明p为假命题的一组的值为 ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.4 三角函数的图像和性质 ( 知识 归纳 ) 1、正弦函数和余弦函数的图象：正弦函数和余弦函数图象的作图方法：五点法：先取横坐标分别为0，的五点，再用光滑的曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。 2、正弦函数、余弦函数的性质： （1）定义域：都是R。 （2）值域：都是， 对，当时，取最大值1；当时，取最小值－1； 对，当时，取最大值1，当时，取最小值－1。 （3）周期性：，的最小正周期都是2； （4）奇偶性与对称性： ①正弦函数是奇函数，对称中心是，对称轴是直线； ②余弦函数是偶函数，对称中心是，对称轴是直线；（正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于轴的直线，对称中心为图象与轴的交点）。 （5）单调性： 上单调递增，在单调递减； 在上单调递增,在上单调递减。特别提醒，别忘了！ 3、正切函数的图象和性质： （1）定义域：。 （2）值域是R，无最大值也无最小值； （3）奇偶性与对称性：是奇函数，对称中心是，特别提醒：正(余)切型函数的对称中心有两类：一类是图象与轴的交点，另一类是渐近线与轴的交点，但无对称轴，这是与正弦、余弦函数的不同之处。 （4）单调性：正切函数在开区间内都是增函数。但要注意在整个定义域上不具有单调性。 4、正弦、余弦、正切函数的图像和性质 ( 函 数 性 质 ) 图象 定义域 值域 最值 当时，；当 时，． 当时， ；当 时，． 既无最大值也无最小值 周期性 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 在 上是增函数；在 上是减函数． 在上是增函数；在 上是减函数． 在 上是增函数． 对称性 对称中心 对称轴 对称中心 对称轴 对称中心 无对称轴 ( 考点讲解 ) 题型一：正弦函数的图象 1．曲线与交点个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】作出曲线与图象，结合图象即可得出答案. 【详解】作出曲线与大致图象，可知，而， 由曲线与图象知，曲线与有个交点. 故选：A. 2．函数的大致图象是（ ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】法一种利用函数的奇偶性可排除AB，再由时，，可排除C，得到D正确；法二中由奇函数和偶函数乘积后为奇函数可排除AB；再由时，，可排除C，得到D正确； 【详解】法一： 对于A、B：因为的定义域为， ， 所以为奇函数，其图象关于原点对称，故A，B错误. 对于C、D：当时，，， 所以，所以，故C错误，D正确； 法二： 对于A、B：因为的定义域为， 函数为奇函数，函数为偶函数， 所以为奇函数，函数图象关于原点对称，故A、B错误； 对于C、D：当时，，， 所以，所以，故C错误，D正确； 故选：D. 3．当时，曲线与的交点个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】作出两函数在上的图象，结合图象即可得答案. 【详解】时，， 令，得，此时， 令，得，此时， 令，得，此时， 令，得，此时， 时，， 函数的周期， 结合周期，利用五点法作出图象，    由图知，共有4个交点. 故选：. 4．已知函数在上至多有一个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角函数零点的分布情况求解即可. 【详解】时， 因为函数在上至多有一个零点， 故解得 故选：D. 题型二：正弦函数图象的应用 1．直线与曲线 的交点个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】由题意知要求交点即求函数的零点，等价于求的零点，等价于求和两函数交点，作出相关图形，利用数型结合从而可求解. 【详解】由题意可得，所以其与直线的交点， 等价于求的零点，等价于的零点， 等价于求函数与函数的交点， 易得函数为周期为2的函数，且时，， 所以是函数的一个对称中心， 对于，， 所以关于点对称，且为增函数，为增函数， 所以在，上单调递增， 所以可以作出和图象如下图， 由图可得其有2个交点，故A正确. 故选：A. 2．当时，曲线与的交点个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据给定条件，转化为方程根的个数列式计算即得. 【详解】依题意，曲线与的交点个数即为方程根的个数， 由，得，， 则或或， 解得或或，因此方程在上有3个解. 所以当时，曲线与的交点个数为3. 故选：A 3（多选）．函数的图像与直线（为常数）的交点可能有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】ABD 【分析】画出函数，的图象，再利用数形结合判断交点个数. 【详解】首先画出函数，的图象，    当时，有0个交点；当时，有1个交点；当时，有3个交点；当时，有1个交点；当时，有0个交点. 故选：ABD 4．已知函数的图象与直线有且仅有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是 ． 【答案】 【分析】将函数写成分段函数的形式，在同一坐标系下画出函数和函数图象，利用数形结合即可判断两函数有两个不同的交点时实数k 的取值范围. 【详解】由题意，得 画出函数的图象，如下图所示：      由图象可知， 当时，函数的图象与直线有且仅有两个不同的交点． 故答案为： 题型三：余弦函数的图象 1．已知余弦函数过点，则m的值为（    ） A．0 B．－1 C． D． 【答案】C 【分析】由余弦函数定义以及特殊三角函数值即可求解. 【详解】. 故选：C. 2．用“五点法”作的图象，首先描出的五个点的横坐标是（    ） A．0，，π，，2π B．0，，，，π C．0，π，2π，3π，4π D．0，，，， 【答案】A 【分析】结合“五点法”作图特征，直接求出结论即可. 【详解】函数的最小正周期为， 用“五点法”作的图象，即作函数在上的图象， 所以五个关键点的横坐标为0，，π，，2π. 故选：A 3．函数的简图是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】利用余弦函数的图象平移可得． 【详解】把的图象向上平移1个单位即可. 故选：D 【点睛】本题考查余弦函数的图象和性质，考查学生数形结合思想和逻辑推理能力，属于基础题． 4．若函数与函数（且）的图象至少有五个交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据对数函数的图象，得到，再作出函数与函数的图象，结合图象，得到，联立即可求解. 【详解】由题意，要使与的图象有多个交点，则 ①， 作出函数与函数的图象，如图所示： 要使得两函数的图象至少有5个交点，则有   ②， 由①②解得，即实数的取值范围是. 故选：D. 【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，以及正弦型函数的图象与对数函数的图象的应用，其中解答中画出两函数的图象，结合图象列出不等关系式是解答的关键，着重考查数形结合思想，以及推理与运算能力. 题型四：余弦函数图象的应用 1．已知集合，，则中元素的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】通过画图即可直接判断. 【详解】因为函数与函数的图象有1个交点， 所以中有1个元素. 故选：B. 2．（多选）函数，的图像与直线（t为常数，）的交点可能有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】ABC 【分析】作出函数图像，通过观察判断结果. 【详解】作出，的图像观察可知，    当或时，的图像与直线的交点个数为0； 当或或时，的图像与直线的交点个数为l； 当或时，的图像与直线的交点个数为2. 故选：ABC. 3．方程在区间上解的个数是 ． 【答案】3 【分析】根据和即可求解. 【详解】由可得或， 若，，则， 若，，则或或 综上可得在区间上的解为或或 故解的个数为3， 故答案为：3 4．函数在区间内的零点个数是 . 【答案】4 【分析】根据角的范围确定余弦函数的符号，去掉绝对值，作函数图象，利用数形结合求解函数的零点个数即可. 【详解】令，则， 设， 则当时，， 当时，， 画出函数的图象， ， 易知函数的图象与直线有4个不同的交点， 故答案为：4 【点睛】本题考查三角函数的求值，函数的零点个数的求法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题. 题型五：正弦函数的单调性 1．已知函数与，则下列说法错误的是（    ） A．与存在相同的对称轴 B．与存在相同的对称中心 C．与的值域相同 D．与在上有相同的单调性 【答案】B 【分析】根据正弦型函数的对称轴方程和对称中心坐标，结合正弦型函数的值域性质、单调性逐一判断即可. 【详解】对于，令，得的对称轴为， 令，得的对称轴为，显然与有相同的对称轴，A正确； 对于，令，得的对称中心为， 令，得的对称中心为， 由得， 显然不存在整数使成立，故与没有相同的对称中心，B错误； 对于C，与的值域显然均为，C正确； 对于D，当时 由在上递增， 由在上递减， 由在上递增， 由在上递减， 与均在上单调递增，在上单调递减，D正确. 故选：B 2．下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意利用函数的奇偶性和单调性，得出结论． 【详解】由于的定义域，不关于原点对称，不存在奇偶性，故排除A； 由于y＝sinx是奇函数，在上不具有单调性，故排除B； 由于y＝3是常函数，不具有单调性，排除C； 由于是奇函数，且在区间上单调递增，符合题意． 故选：D． 3．（多选）下列不等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】对于A，利用在上的单调性分析判断，对于B，化简后利用在上的单调性判断， 对于C，利用在上的单调性判断，对于D，利用诱导公化简，通过与中间量比较可得答案. 【详解】对于A，因为在上单调递增，所以，故A正确； 对于B，， 又在上单调递减，所以， 所以，故B正确； 对于C，因为在上单调递减，，所以，故C错误； 对于D，， 又，即， ，即， 所以，故D正确． 故选：ABD． 4．若函数与在区间上均单调递增，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】确定，根据正弦函数的递增区间求出的范围，结合正弦函数的周期性求出的范围可得答案. 【详解】当时，不具备单调性， 当时，， 若在区间上单调递增，则在在区间上单调递减， 可得，因为在上是单调递增的， 所以在上不可能单调递减，所以不成立， 于是. 若函数在区间上单调递增，则 ，， 若函数在区间上单调递增，则 ，， 因为，所以时，， 综上所述，. 故答案为：. 题型六：正弦函数的定义域、值域和最值 1．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得，结合解出即可得. 【详解】由题意可得，即， 又，故，即定义域为. 故选：C. 2．（多选）给出下列命题： ①函数是奇函数； ②若α，β是第一象限角且，则； ③在区间上的最小值是，最大值是； ④直线是函数图像的一条对称轴； 其中真命题的序号是（      ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】AD 【分析】利用诱导公式化简函数，利用正弦含性质即可求解①，举反例即可求解②，根据整体法，结合正弦函数的性质即可求解③，代入验证即可求解④. 【详解】 ①函数是奇函数，正确； ②若、是第一象限角且，取，，则，不正确； ③，则，所以， 故在区间上的最小值是，最大值是2，不正确； ④当时，， 故是函数的一条对称轴，正确． 故选：AD 3．（多选）已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．的最大值为1 C．是偶函数 D．的图象关于直线对称 【答案】BC 【分析】根据函数的图像逐项判断即可. 【详解】函数， 所以的图像关于轴对称，且不具备周期性，不关于直线对称， 故选项AD错误，C正确， 且的最大值为1，故B正确. 故选：BC 4．已知（为常数）. (1)求的递增区间； (2)求的最大值及取得最大值时的集合； (3)若时，的最大值为4，求的值. 【答案】(1) (2)，有最大值为 (3) 【分析】（1）根据求解即可. （2）根据时取得最大值，再解方程即可. （3）根据题意得到，即可得到，即可得到答案. 【详解】（1），解得. 所以的递增区间. （2）由正弦函数性质知，当时，即，取得最大值为. （3）因为，所以， 所以，即，解得. 题型七：正弦函数的奇偶性 1．已知函数是奇函数，则（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】A 【分析】根据奇函数定义可得恒成立，可得，并代入求定义域检验即可. 【详解】由题意可得： ， 若是奇函数，则， 即恒成立，则，解得， 若，则， 显然，且，即， 可知的定义域为，关于原点对称， 此时为定义在上的奇函数，即符合题意. 故选：A. 2．（多选）已知函数，则（　　） A．函数是偶函数 B．是函数的一个零点 C．函数在区间上单调递增 D．函数的图象关于直线对称 【答案】BCD 【分析】利用特殊值法可判断A选项的正误；计算的值，可判断B选项的正误；利用正弦型函数的单调性可判断C选项的正误；代入检验可判断D选项的正误. 【详解】对于A选项，令， 则，，故函数不是偶函数，A错； 对于B选项，因为，故是函数的一个零点，B对； 对于C选项，当时，， 所以，函数在区间上单调递增，C对； 对于D选项，因为， D对. 故选：BCD. 3．函数且的所有零点的和等于 . 【答案】0 【分析】利用函数与方程的思想分别画出函数和函数的图象，利用奇函数性质即可得出结果. 【详解】由可得， 易知函数和函数都为奇函数， 在同一坐标系下作出两函数在内的图象，如下图所示： 所以两函数图象交点都关于原点成中心对称， 因此函数且的所有零点的和等于0. 故答案为：0 4．已知函数，则 . 【答案】8082 【分析】令，结合为奇函数，求出答案. 【详解】令，则， 由于为奇函数， 故， 其中，， ∴ 故答案为：8082 题型八：正弦函数的周期性 1．函数是（    ） A．周期为的偶函数 B．周期为的偶函数 C．周期为的奇函数 D．周期为的奇函数 【答案】A 【分析】运用周期性定义和奇偶性定义验证即可． 【详解】因为，所以， 所以，则是偶函数. 因为，， 所以是周期为的偶函数. 故选：A. 2．（多选）已知函数，下列说法正确的是（    ） A．函数的最小正周期为 B．函数在上单调递增 C．函数的图象关于直线对称 D．函数的图象关于点对称 【答案】AD 【分析】利用周期公式计算即可判断A项，求出原函数的递增区间，再与B项中的区间对照即可判断；利用代入计算，结合正弦函数的图象的最值点和零点，即可判断C,D两项. 【详解】对于A，的最小正周期为，所以A正确； 对于B，由,，得，, 取，可得在上单调递增，则在上有增有减，故B错误； 对于C，因，故直线不为的一条对称轴，即C错误； 对于D，因，故点是图象的一个对称中心，所以D正确； 故选：AD. 3．（多选）已知函数，，则（    ） A．与的图象有相同的对称中心 B．与的图象关于轴对称 C．与的图象关于轴对称 D．的解集为（） 【答案】ABD 【分析】整体法求得的对称中心即可判断A；由奇偶函数的定义即可判断BC；数形结合即可判断D． 【详解】令（），得（）， 所以图象的对称中心为（）； 令（），得（）， 所以图象的对称中心为（）， 所以与的图象有相同的对称中心，故A正确； ， 所以与的图象关于轴对称，故B正确； ，故C不正确； 由，得，即，所以，， 解得（），故D正确． 故选：ABD． 4．（多选）设函数的定义域为为奇函数，为偶函数.当时，，则下列结论正确的有（    ） A． B．在上单调递减 C．点是函数的一个对称中心 D．方程有5个实数解 【答案】AD 【分析】根据题意可得是函数的一个周期，由对称性作出函数部分图象和的草图，数形结合判断各个选项得解. 【详解】为奇函数，函数的图象关于点成中心对称， 为偶函数，函数的图象关于直线成轴对称. 则且， ，即， 所以， 是函数的一个周期. 当时，，则可作出函数部分图象和的草图如下. 由图可知A，D正确，B，C不正确. 故选：AD.    题型九：正弦函数的对称性 1．已知函数，且均为偶函数，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】首先根据已知条件得到与的图象均关于直线对称，从而得到，，即可得到答案. 【详解】因为均为偶函数， 所以与的图象均关于直线对称， 所以， 即，. 所以的最小值为2． 故选：B 2．若关于的方程在内有两个不同的解，，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】原问题等价于在内有两个不同的解，，利用正弦函数的性质可求得，进而可得答案． 【详解】在内有两个不同的解，， 等价于在内有两个不同的解，， ，则 依题意，得 ，解得， 所以. 故选：B 3．下列说法中，所有正确说法的序号是 ． 终边落在轴上的角的集合是； 函数图象与轴的一个交点是； 函数在第一象限是增函数； 若，则． 【答案】 【分析】取值验证可判断；直接验证可判断；根据第一象限的概念可判断；由诱导公式化简可判断. 【详解】中，取时，的终边在x轴上，故错误； 中，当时，，故正确； 中，第一象限角的集合为，显然在该范围内函数不单调； 中，因为，所以， 所以，故正确. 故答案为：②④ 4．设函数图象的一条对称轴是直线. (1)求的值； (2)求函数的单调增区间. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦函数的对称轴结合题意解出，再求出即可； （2）由正弦函数的递增区间解不等式即可； 【详解】（1）由题意可得正弦函数的对称轴方程为， 因为是函数图象的一条对称轴， 所以， 又，所以， （2）因为， 所以， 解得， 函数的单调增区间为. 题型十：余弦函数的单调性 1．若函数在上单调，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】先由求出的范围，然后由余弦函数的单调性建立不等式求解即可. 【详解】，则， 函数在上单调， 所以，解得：， 所以的最大值为. 故选：D 2．（多选）下列式子成立的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据正弦函数、余弦函数的单调性，再结合诱导公式逐项判断即可求解. 【详解】A．由，，又因为，所以， 所以，故A正确； B．，，因为， 所以，故B错误； C．由，又因为，所以，故C错误； D．因为，所以，因为，所以， 所以，故D正确. 故选：AD. 3．（多选）下列函数中，在区间上单调递减的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据函数的单调性对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，对于， 由，得， 所以在区间上单调递减的函数，A选项正确. B选项，对于， 由，得，不符合题意. C选项，由，得， 且， 所以在区间上单调递减的函数，C选项正确. D选项，对于， 由，得，不符合题意. 故选：AC 4．已知． (1)求的最小正周期及单调递增区间； (2)若，求的值域． 【答案】(1)；单调递增区间为； (2) 【分析】（1）利用求出最小正周期，并整体法求解单调递增区间； （2）求出，结合图象得到函数的最值，得到值域. 【详解】（1）的最小正周期， 令，解得， 故单调递增区间为； （2）时，， 故当，即时，取得最大值，最大值为1， 当，即时，取得最小值，最小值为， 故值域为. 题型十一：余弦函数的定义域、值域和最值 1．已知函数，若关于的方程在上有两个不同的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意先根据余弦型函数性质求出在上的取值范围及相应单调性情况，再结合与有两个交点，从而可求解. 【详解】由题意知当时，，所以， 当时，单调递增，此时， 当时，单调递减，此时， 所以要使有两个不同实数根， 等价于函数与在及上各有一个交点，所以， 所以的取值范围为，故B正确. 故选：B. 2．函数的定义域是 ． 【答案】， 【分析】直接根据对数函数的定义域及余弦函数的图象求解即可． 【详解】由题意可得，即， 所以，， 故答案为：，． 3．函数的定义域为 . 【答案】 【分析】依题意可得，根据余弦函数的性质计算可得. 【详解】对于函数，令，即， 所以， 所以函数的定义域为. 故答案为： 4．函数，，当 时，最小且最小值为 ． 【答案】 【分析】利用换元法令，由余弦型函数单调性可得的取值范围，再结合二次函数的性质即可得答案. 【详解】令， ∴， ． ∵ 在上是减函数， ∴当，即时， ． 故答案为：，. 题型十二：余弦函数的奇偶性 1．若为偶函数，则（   ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断为奇函数，则可判断奇函数，从而可求出的值. 【详解】由，得或，所以定义域为， 令， 因为， 所以为奇函数， 因为为偶函数， 所以奇函数，所以， 因为，所以. 故选：B. 2．（多选）已知，则（ ） A．是偶函数 B．的最小正周期是 C．图象的一个对称中心是 D．在上单调递增 【答案】ABC 【分析】根据余弦函数性质及偶函数定义判断A，利用余弦型函数的最小正周期公式求其最小正周期判断B，根据余弦型函数的对称中心的求法求对称中心，判断C，结合余弦函数单调性判断D. 【详解】因为，定义域为， ，所以是偶函数，故A正确； 函数的最小正周期为，故B正确； 函数，所以是图象的一个对称中心，故C正确； 令，解得， 即的单调递增区间为，故D错误. 故选：ABC. 3．（多选）特值法就是选取一个恰当的特殊值代替一般的情况，将复杂或抽象的问题简单化具体化的方法，例如：若是定义域为R的奇函数，且是偶函数，，则可以选择，由此计算出结果．已知函数是定义域为R的偶函数，且，是奇函数，则（       ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据题中时偶函数的性质及是奇函数的性质，可先判断出周期，再结合列举出一个具体的实例，即可得出答案的结果. 【详解】由函数是定义域为R的偶函数，且，是奇函数，可以选择 ， 则，故A正确， ，故B错误， ，故C正确， ，故D正确， 故选：ACD. 4．已知函数在区间的最大值是M，最小值是m，则的值等于 ． 【答案】 【分析】可设，判断出是奇函数，从而得出的最大值和最小值的和为0，即可求出的值，然后求解． 【详解】函数， 设，，，则是奇函数， 的最大值和最小值互为相反数，且的最大值为，最小值为， ． ． 故答案为： 题型十三：余弦函数的周期性 1．对于函数，下列说法中错误的是（    ） A．该函数的值域是 B．函数的对称轴方程是 C．当且仅当时，函数取得最大值1 D．当且仅当时， 【答案】C 【分析】根据题意，结合正弦函数与余弦函数的图象，画出函数的图象，结合图象，逐项判定，即可求解. 【详解】根据题意，画出函数的图象，如图所示（图中的实线部分）， 结合函数的图象， 对于A中，函数的值域是，所以A正确； 对于B中，函数的对称轴方程是，所以B正确； 对于C中，当且仅当或时，函数取得最大值，所以C不正确； 对于D中，当且仅当时，满足，所以D正确. 故选：C. 2．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若函数图象关于原点对称，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三角函数的平移变换求出函数的图象，然后利用函数的对称性求得的关系式，即可得出答案. 【详解】函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象， 所以， 因为函数图象关于原点对称，， 所以，因为，所以的最小值是. 故选：C. 3．已知函数在上恰有3个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据整体法求解的根，即可根据三个零点列不等式求解. 【详解】令,则，进而可得或， 因此的非负零点有， 要使得在上恰有3个零点，则，解得， 故选：C 4．（多选）下列函数中周期为π，且为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据周期的定义以及奇偶性的定义判断 A；根据 是奇函数， 的周期为 ，分别判断 BD；化简 , 再判断 C. 【详解】对于A,因为 , 所以 的周期为 , 因为 , 所以 是偶函数,A 符合题意； 对于B, 是奇函数，B 不合题意； 对于D, 的周期为 ，所以 D 不合题意； 对于C, 因为 是偶函数， 因为 的周期是 符合题意. 故选: AC. 题型十四：余弦函数的对称性 1．已知函数的最小正周期为，则的对称轴可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由的最小正周期为，求得，再令，即可求解． 【详解】因为函数的最小正周期为， 所以，则， 令，则， 对比选项可知，只有当时，，符合题意，故D正确； 故选：D． 2．已知函数，现有如下说法： 的图象关于直线对称； 为的一个周期； 在上单调递增． 则上述说法中正确的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对于①，验证关于对称的点为是否在图像上即可. 对于②，验证是否成立即可. 对于③，根据复合函数的单调性，即可判断. 【详解】①设为上的任意一点， 则且此点关于对称的点为， ， 点不在函数上，故①错误； ②， 为的一个周期，故②正确； ③当时，单调递增且， ∵在上单调递增， ∴由复合函数的单调性，可知在上单调递增，故③正确． ∴说法正确的有2个. 故选：． 3．（多选）已知函数，则（    ） A．的一个对称中心为 B．的图象向右平移个单位长度后得到的是奇函数的图象 C．在区间上单调递增 D．若在区间上与有且只有6个交点，则 【答案】BD 【分析】代入即可验证A，根据平移可得函数图象，即可由正弦型函数的奇偶性求解B，利用整体法即可判断C，由求解所以根，即可求解D. 【详解】对于A，由，故A错误； 对于B，的图象向右平移个单位长度后得： ，为奇函数，故B正确； 对于C，当时，则，由余弦函数单调性知，在区间上单调递减，故C错误； 对于D，由，得，解得或， 在区间上与有且只有6个交点， 其横坐标从小到大依次为：， 而第7个交点的横坐标为， ，故D正确. 故选：BD 4．记函数的最小正周期为T，若，为f(x)图像的对称中心.则的最小值为 . 【答案】 【分析】首先表示出，根据求出，再根据为函数的零点，即可求出的取值，从而得解； 【详解】解： 因为，（，） 所以最小正周期，因为， 又，所以，即， 又为的零点，所以，解得， 因为，所以当时. 故答案为： 题型十五：正切函数的图象 1．已知（），那么所有可能的值是（　　） A． B．或 C． 或 D． 【答案】B 【分析】利用已知条件，直接求出角所有可能的值即可． 【详解】因为（），所以或. 故选：B. 2．下列关于函数的四个结论中错误的是（    ） A．的图象关于原点对称 B．的图象关于点对称 C．的图象关于直线对称 D．在区间上单调递增 【答案】D 【分析】根据奇函数的定义判断A；根据函数的周期判断B；根据函数的对称轴判断C；根据复合函数的性质或切化弦判断D 【详解】由，得且， 因为，所以函数为奇函数， 所以的图象关于原点对称，所以选项A正确． 因为， 所以是函数的一个周期， 由选项A知点是函数的图象的对称中心， 则也是函数的图象的对称中心，所以选项B正确． 因为， 所以函数的图象关于直线对称，所以选项C正确． 方法一：因为函数在上单调递减，函数在上单调递增， 由复合函数的性质可知，函数在区间上单调递减，所以选项D错误． 方法二：因为，所以在区间上单调递减， 所以选项D错误． 故选：D． 3．已知函数，若方程在区间上恰有3个实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助正切型函数的图象性质计算即可得. 【详解】当时，， 则由题意可得在上有3个实数根， 即可得， 解得，即的取值范围是. 故选：C. 4．已知函数． （1）求函数的定义域； （2）用定义判断函数的奇偶性； （3）在上作出函数的图象． 【答案】（1）；（2）是奇函数；（3）作图见解析. 【分析】（1）解不等式，可得函数的定义域； （2）利用函数奇偶性的定义可判断出函数的奇偶性； （3）将函数在区间上的解析式表示为分段函数，进而可作出该函数在区间上的图象. 【详解】（1）由，得， 所以函数的定义域是． （2）由（1）知函数的定义域关于原点对称， 因为， 所以是奇函数． （3） 所以在上的图象如图所示，    题型十六：正切函数单调性 1．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用整体法即可结合正切函数的单调性求解. 【详解】由，得， 所以函数的单调递增区间为. 故选:B. 2．设函数，则可断定函数（    ） A．最小正周期为π，奇函数，在区间上单调递增 B．最小正周期为π，偶函数，在区间上单调递减 C．最小正周期为，奇函数，在区间上单调递增 D．最小正周期为，偶函数，在区间上单调递减 【答案】B 【分析】 根据给定条件，利用奇偶函数定义、复合函数单调性，结合正切函数性质判断得解. 【详解】函数的定义域为， 显然，即函数是偶函数，排除AC； 又，即函数的周期是， 而，当时，无意义，则不是的周期，因此的最小周期是，排除D； 函数在上单调递增，且，则在上单调递增， 所以函数在上单调递减，B正确. 故选：B 3．已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．是函数的一个周期 B．函数在上是增函数 C．函数的图像关于点对称 D．函数是偶函数 【答案】C 【分析】先利用诱导公式进行化简，然后结合正切函数的性质检验各选项即可判断. 【详解】由题可得：，根据正切函数得周期性可知，函数的最小正周期为，故A错误； 根据正切函数的性质可知，在上是减函数，故B错误； 根据正切函数的性质可知，的图像关于点对称， 取，则函数的图像关于点对称，故C正确； 的图象关于原点对称，为奇函数，故D错误； 故选：C 4．已知函数在上是减函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得到，，即可得到答案. 【详解】因为函数在上是减函数， 所以，，， . 故选：B. 题型十七：比较正切值的大小和不等式 1．已知函数是定义在上的奇函数，且单调递增，若，则的取值范围是（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【答案】D 【分析】根据函数奇偶性和单调性得，解出即可. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，且单调递增， 则，即，即， 则，解得（）. 故选：D. 2．已知，，，则它们的大小关系为 （用“”连接） 【答案】 【分析】先利用给定条件判断三个数的正负，再结合正切函数的性质判断即可. 【详解】因为，所以，，， 由正切函数性质得在上单调递增， 所以，故，即. 故答案为： 3．（1）函数的定义域是 ． （2）函数的值域为 ． 【答案】 【分析】（1）由被开方数非负建立不等式，再结合正切函数图象可解； （2）令，换元法转化为求二次函数值域即可. 【详解】（1）要使有意义， 则，解得， 解得. 故函数的定义域是； （2）设，则， 当时，. 所以的值域是． 故答案为：；. 4．已知函数． (1)求的单调递减区间； (2)试比较与的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先应用诱导公式化简再应用正切函数的单调性求解； （2）先求函数值再结合函数的单调性比较大小. 【详解】（1）， 由，得． 因为在上单调递增， 所以在上单调递减． 故原函数的单调递减区间为． （2）， ， 因为，且在上单调递增， 所以，所以． 题型十八：正切函数的奇偶性 1．函数（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．是非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数 【答案】B 【分析】先判断的定义域是否对称，再利用函数奇偶性的定义判断即可. 【详解】的定义域为，定义域对称， 因为， 所以是偶函数. 故选：B. 2．函数是（    ）. A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 【答案】C 【分析】根据正切函数的性质判断即可. 【详解】函数为最小正周期为的奇函数. 故选：C 3．已知定义在上的函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造，利用其奇偶性及单调性解不等式即可. 【详解】由，得， 令，则，故为奇函数， 则等价于， 因为在上单调递增，则在上单调递增， 所以，解得， 故选：C． 【点睛】关键点睛：本题的关键是构造，利用其单调性和奇偶性得到不等式组，解出即可. 4．（多选）关于函数的性质，下列叙述正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．是偶函数 C．的图象关于直线对称 D．在区间上单调递增 【答案】BCD 【分析】根据正切函数图象作出函数的图象，结合图象可得答案. 【详解】做出函数的图象，且函数的定义域为， 由函数的图象可知，最小正周期为π，A错误； 又，所以是定义域上的偶函数，B正确； 根据函数的图象知，的图象关于直线对称，C正确； 根据的图象知，在区间上单调递增，D正确． 故选：BCD． 题型十九：正切函数的周期性和对称性 1．函数的最小正周期为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据周期公式直接求解即可 【详解】的最小正周期为. 故选：B 2．设集合，则集合A的元素个数为（    ） A．1013 B．1014 C．2024 D．2025 【答案】A 【分析】运用正切函数的单调性，对称性和周期性可解题. 【详解】当时，，由正切函数性质知道，此时单调递增，则集合至少有1012个元素. 即为. 当时，由于正切函数关于对称，则，，，， 则当增加时，元素与前面的重复， 当时，元素等于 0， 当时，运用正切函数的周期性知道，又元素重复出现了， 则集合A的元素个数为1013个. 故选：A. 3．（多选）已知函数，则下列说法正确的是（） A．函数的定义域为 B．函数的周期与函数的周期相同 C．函数图象的对称中心为 D．函数的单调递增区间为 【答案】AD 【分析】利用正切函数的性质逐一求解即可. 【详解】对于A，令,则, 函数的定义域为，A正确; 对于B，函数的周期与的周期相同,为的周期，即函数的周期与函数的周期不相同，错误； 对于C，令则, 函数图象的对称中心为，C错误; 对于D，令, 则, 函数的单调递增区间为，D正确. 故选：AD. 4．函数的对称中心是 ． 【答案】 【分析】根据正切函数的对称中心为，整体代换即可得所求函数的对称中心. 【详解】因为正切函数的对称中心为， 所以令，则， 所以函数的对称中心是. 故答案为：. 题型二十：正切函数的定义域、值域和最值 1．（多选）余切函数是三角函数的一种，表示为，余切函数与正切函数关系密切，在三角学领域有着广泛的应用.已知，则下列关于余切函数的说法正确的是（    ） A．定义域为 B． C．与正切函数有相同的对称中心 D．将函数的图象向右平移个单位均可得到函数的图象 【答案】BCD 【分析】根据正切函数的定义域判断A，由诱导公式结合商数关系判断B，根据正切函数的对称中心判断C，根据图象的平移判断D. 【详解】对于A：由正切函数的定义域可知，即， 所以余切函数定义域为，故A错误； 对于B：，故B正确； 对于C：因为的对称中心为， 令，解得， 由，可知，即的对称中心为， 故余切函数与正切函数有相同的对称中心，故C正确； 的图象向右平移个单位可得， 故D正确. 故选：BCD 2．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．的定义域为 C．的图象关于点对称 D．在上单调递增 【答案】ABD 【分析】对于A，由周期公式求解判断，对于B，由可求出其定义域，对于C，代入验证，对于D，由求出的范围，结合正切函数的性质分析判断. 【详解】对于A，的最小正周期为，所以A正确， 对于B，由，得， 所以的定义域为，所以B正确， 对于C，因为， 所以的图象不关于点对称，所以C错误， 对于D，由，得， 因为在上递增，所以在上单调递增，所以D正确. 故选：ABD 3．（1）函数的定义域为 ； （2）函数的值域为 ． 【答案】 【分析】（1）根据正切型函数的定义进行求解即可； （2）利用换元法，结合正切函数的单调性、二次函数的单调性进行求解即可. 【详解】（1）由，，得，， 即函数的定义域为． （2）令，∵， ∴由正切函数的单调性可知， ∴原函数可化为，， ∵二次函数的图象开口向上，对称轴为， ∴当时，， 当时，， ∴原函数的值域为． 故答案为：； 4．已知函数． (1)求函数的最小正周期； (2)求方程的解集． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正切函数的最小正周期公式计算即可; （2）由，可得，然后解正切函数方程即可. 【详解】（1）最小正周期． （2）由，， 由题意可得，，解得，， 故方程的解集为． ( 巩固提升 ) 1．在上，函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用正弦函数性质，结合图象解题 【详解】在[0，2π]上，函数的定义域满足， 即，结合图象，知道． 故选：B. 2．下列各点中，可以作为函数图象的对称中心的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用余弦函数的性质，逐项验证即可得解. 【详解】对于AC，，AC不是； 对于BD，，B是，D不是. 故选：B 3．函数在区间上的零点个数为（    ） A．1个 B．4个 C．2个 D．0个 【答案】D 【分析】根据函数零点意义得，变形为，并探讨和的最值即可得解. 【详解】当时，由得即， 当时，恒成立，而恒成立， 因此不成立， 所以函数在区间上的零点个数为0. 故选：D. 4．已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角函数、对数函数、指数函数的性质确定a，b，c的范围，进而比较它们的大小关系. 【详解】由题设知：，即， 则，， 所以. 故选：A. 5．已知函数的图象关于点中心对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得，结合，即可得出答案. 【详解】因为函数的图象关于点中心对称， 所以，所以， 因为，所以. 故选：C. 6．设，且，则的最小值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用余弦函数的性质，得到，结合三角函数的性质，求得，即可求解. 【详解】根据三角函数的性质知，， ， ， 要使得，可得， 则，，即， 可得， 所以， 当时， 当时，可得， 所以当或时，的最小值等于. 故选：B. 7．已知函数，则图像有如下性质（    ） A．关于点中心对称 B．关于直线轴对称 C．关于点中心对称 D．关于点中心对称 【答案】D 【分析】根据解析式可得，故可得正确的选项. 【详解】由题意，函数的定义域为， 且 ， 故， 故图像关于点中心对称， 故选：D. 8．已知函数，若方程在区间上有且仅有2个不等的实根，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先分和两种情况得出函数的图象再结合图象得出2个不等的实根，再计算可得的取值范围. 【详解】当时，，当时，， 作出函数在区间上的图象如图所示，    结合图象可得，当时，方程在上有且仅有2个不等的实根，， 且，所以的取值范围是. 故选：A. 9．（多选）若的最大值为3，最小值为1，则ab的值可以为（    ） A．2 B． C．0 D． 【答案】AB 【分析】根据三角函数的性质，结合分类讨论的正负即可求解. 【详解】当时，则得 所以； 当时，得 所以； 综上所述，， 故选：AB 10．（多选）下列叙述正确的有（    ） A．，的图象关于点成中心对称 B．，的图象关于直线成轴对称 C．，的图象在时达到最高点 D．正弦、余弦函数的图象不超过直线和所夹的范围 【答案】ABD 【分析】分别画出函数，，，的图象，结合图象即可得到答案． 【详解】分别画出函数，，，的图象如下： 由图象观察可知, 对于A，，的图象关于点成中心对称，故A正确； 对于B，，的图象关于直线成轴对称, 故B正确； 对于C，，的图象在时，图象与轴相交，因此不是最高点， 故C不正确； 对于D，正弦、余弦函数的图象都在直线和所夹的范围内，故D正确； 故选：ABD. 11．（多选）在平面直角坐标系中，圆心为O的单位圆与x轴正半轴的交点为A，角的终边与单位圆相交于点P，将点P沿单位圆按逆时针方向旋转角后到点，以下命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】根据三角函数的定义、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及余弦函数的性质一一计算可得： 【详解】对于A, 由三角函数的定义可知, , 故选项 A 正确; 对于 B, 由三角函数的定义可知, 因为, 所以,故选项B错; 对于 C,因为 的终边与单位圆相交于点 又 , 所以 , 故选项 C 正确: 对于 D: 因为 , 所以 , 所以 因为 , 所以 , 所以 , 即 , 故选项D正确： 故选: ACD 12．的对称中心为 . 【答案】 【分析】利用正切函数的性质求出对称中心即得. 【详解】由，得，， 所以所求对称中心为. 故答案为： 13．函数的值域为 ． 【答案】 【分析】根据余弦函数的性质，结合整体法即可求解. 【详解】由于，所以， 故， 故答案为：. 14．函数的值域为 . 【答案】 【分析】利用三角恒等变换结合换元法转化为二次函数在给定区间上的值域问题，再利用二次函数的性质得到单调性，求解最值，得到原函数值域即可. 【详解】因为，所以， 故，令， 得到，由二次函数性质得在上单调递减， 在上单调递增，所以的最小值为， 而，，故，故原函数值域为. 故答案为： 15．已知函数， (1)用“五点法”作出在长度为一个周期的闭区间上的简图； (2)写出的对称中心与单调递增区间； 【答案】(1)答案见解析 (2)； 【分析】（1）根据五点法，列表、描点即可得函数图象； （2）根据（1）中图象结合正弦函数性质即可得即可. 【详解】（1）列表可得 x 0 0 1 o 0 据此作图可得：    （2）由（1）图象可知，图象的对称中心为； 单调递增区间为. 16．已知函数． (1)求函数的最小正周期； (2)求函数的单调增区间； (3)当时，求函数的最小值及相应的x的值． 【答案】(1) (2)， (3)时取得最小值 【分析】（1）由最小正周期的计算公式计算即可； （2）由整体法代入求解即可； （3）利用整体法求解范围，进而可求解最小值． 【详解】（1）由，则函数最小正周期为． （2）令，∴，， 故函数的单调递增区间为，． （3）时，， 当，即时取得最小值． ( 走进高考 ) 1．（2024·北京·高考真题）设函数.已知，，且的最小值为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据三角函数最值分析周期性，结合三角函数最小正周期公式运算求解. 【详解】由题意可知：为的最小值点，为的最大值点， 则，即， 且，所以. 故选：B. 2．（2024·全国·高考真题）函数在区间的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数的奇偶性可排除A、C，代入可得，可排除D. 【详解】， 又函数定义域为，故该函数为偶函数，可排除A、C， 又， 故可排除D. 故选：B. 3．（2024·天津·高考真题）已知函数的最小正周期为．则在的最小值是（   ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【分析】先由诱导公式化简，结合周期公式求出，得，再整体求出时，的范围，结合正弦三角函数图象特征即可求解. 【详解】，由得， 即，当时，， 画出图象，如下图， 由图可知，在上递减， 所以，当时， 故选：A 4．（2024·天津·高考真题）下列函数是偶函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据偶函数的判定方法一一判断即可. 【详解】对A，设，函数定义域为，但，，则，故A错误； 对B，设，函数定义域为， 且，则为偶函数，故B正确； 对C，设，函数定义域为，不关于原点对称， 则不是偶函数，故C错误； 对D，设，函数定义域为，因为，， 则，则不是偶函数，故D错误. 故选：B. 5．（2024·全国·高考真题）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】解法一：令，分析可知曲线与恰有一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y轴上，即可得，并代入检验即可；解法二：令，可知为偶函数，根据偶函数的对称性可知的零点只能为0，即可得，并代入检验即可. 【详解】解法一：令，即，可得， 令， 原题意等价于当时，曲线与恰有一个交点， 注意到均为偶函数，可知该交点只能在y轴上， 可得，即，解得， 若，令，可得 因为，则，当且仅当时，等号成立， 可得，当且仅当时，等号成立， 则方程有且仅有一个实根0，即曲线与恰有一个交点， 所以符合题意； 综上所述：. 解法二：令， 原题意等价于有且仅有一个零点， 因为， 则为偶函数， 根据偶函数的对称性可知的零点只能为0， 即，解得， 若，则， 又因为当且仅当时，等号成立， 可得，当且仅当时，等号成立， 即有且仅有一个零点0，所以符合题意； 故选：D. 6．（2023·天津·高考真题）已知函数的图象关于直线对称，且的一个周期为4，则的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意分别考查函数的最小正周期和函数在处的函数值，排除不合题意的选项即可确定满足题意的函数解析式. 【详解】由函数的解析式考查函数的最小周期性： A选项中，B选项中， C选项中，D选项中， 排除选项CD， 对于A选项，当时，函数值，故是函数的一个对称中心，排除选项A， 对于B选项，当时，函数值，故是函数的一条对称轴， 故选：B. 7．（2023·天津·高考真题）已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（    ）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由图知函数为偶函数，应用排除，先判断B中函数的奇偶性，再判断A、C中函数在上的函数符号排除选项，即得答案. 【详解】由图知：函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且， 由且定义域为R，即B中函数为奇函数，排除； 当时、，即A、C中上函数值为正，排除； 故选：D 8．（多选）（2024·全国·高考真题）对于函数和，下列说法中正确的有（    ） A．与有相同的零点 B．与有相同的最大值 C．与有相同的最小正周期 D．与的图象有相同的对称轴 【答案】BC 【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可. 【详解】A选项，令，解得，即为零点， 令，解得，即为零点， 显然零点不同，A选项错误； B选项，显然，B选项正确； C选项，根据周期公式，的周期均为，C选项正确； D选项，根据正弦函数的性质的对称轴满足， 的对称轴满足， 显然图像的对称轴不同，D选项错误. 故选：BC 9．（2024·北京·高考真题）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于原点对称.若，则的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】首先得出，结合三角函数单调性即可求解最值. 【详解】由题意，从而， 因为，所以的取值范围是，的取值范围是， 当且仅当，即时，取得最大值，且最大值为. 故答案为：. 10．（2023·北京·高考真题）已知命题若为第一象限角，且，则．能说明p为假命题的一组的值为 ， ． 【答案】 【分析】根据正切函数单调性以及任意角的定义分析求解. 【详解】因为在上单调递增，若，则， 取， 则，即， 令，则， 因为，则， 即，则. 不妨取，即满足题意. 故答案为：. 学科网（北京）股份有限公司 $$