5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式（第一课时）同步检测-2024-2025学年高一上学期数学人教A版(2019）必修第一册

5.5.1　两角和与差的正弦、余弦和正切公式（第一课时）（同步检测） 一、选择题 1.若cos (α－β)＝，则(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2＝(　　) A. B.－ C. D.－ 2.计算的值是(　　) A. B.－ C. D.－ 3.若α∈[0，π]，sin sin ＋cos cos ＝0，则α的值是(　　) A. B. C. D. 4.已知cos (α－β)cos α＋sin (α－β)sin α＝－，β∈，则sin β的值是(　　) A. B.－ C.－ D. 5.cos 56°cos 26°＋sin 56°cos 64°的值为(　　) A. B.－ C. D.－ 6.已知sin α＝，α是第二象限角，则cos(α－60°)＝(　　) A. B. C. D. 7.已知cos ＝－，则cos x＋cos 的值是(　　) A.－ B.± C.－1 D.±1 8.(多选)下列关于函数f(x)＝cos ·cos x－sin sin x的性质叙述中正确的是(　　) A.最小正周期为π B.函数图象关于直线x＝对称 C.函数图象关于直线x＝－对称 D.函数图象关于点对称 9.(多选)已知α，β∈且sin α＝，sin(α＋β)＝，则(　　) A.cos(α＋β)＝ B.cos(α＋β)＝－ C.cos β＝ D.cos β＝ 二、填空题 10.在△ABC中，sin A＝，cos B＝－，则cos (A－B)＝________ 11.已知α是锐角，sin α＝，则cos ＝________ 12.已知cos ＝cos α，则tan α＝________ 13.化简：＝________ 三、解答题 14.若0＜α＜，－＜β＜0，cos α＝，cos ＝，求cos 的值． 15.已知sin α＋sin β＝，求cos α＋cos β的取值范围． 16.已知A(cos α，sin α)，B(cos β，sin β)，其中α，β为锐角，且|AB|＝. (1)求cos (α－β)的值；(2)若cos α＝，求cos β的值． 参考答案及解析： 一、选择题 1.A　解析：原式＝2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)＝2＋2cos (α－β)＝2＋2×＝. 2.C　解析：＝＝＝. 3.D　解析：因为cos cos ＋sin sin ＝0，所以cos ＝0，所以cos α＝0.又因为α∈[0，π]，所以α＝.故选D. 4.C　解析：∵cos (α－β)cos α＋sin (α－β)sin α＝cos (α－β－α)＝cos (－β)＝cos β＝－，β∈，∴sin β＝－＝－.故选C. 5.C 解析：原式＝cos 56°cos 26°＋sin 56°sin 26°＝cos (56°－26°)＝cos 30°＝. 6.B　解析：因为sin α＝，α是第二象限角，所以cos α＝－，故cos(α－60°)＝cos αcos 60°＋sin αsin 60°＝×＋×＝．故选B． 7.C　解析：cos x＋cos ＝cos x＋cos x＋×sin x＝cos x＋sin x＝＝×＝cos ＝－1. 8.ABC　解析：函数f(x)＝cos cos x－sin sin x＝cos cos (－x)＋sin sin (－x)＝cos ＝cos ，所以函数的最小正周期是π，由2x＋＝kπ，k∈Z，得x＝－，k∈Z，所以函数图象关于直线x＝－，k∈Z对称，故选项B，C正确．由2x＋＝kπ＋，k∈Z，得x＝＋，k∈Z，所以函数图象关于点对称，k∈Z，故选项D错误． 9.BD 解析：因为α，β∈，所以α＋β∈(0，π)， 又因为sin(α＋β)＝＜sin α＝，所以α＋β∈，所以cos α＝，cos(α＋β)＝－， 故cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－×＋×＝. 二、填空题 10.答案：－　 解析：因为cos B＝－，且0＜B＜π，所以＜B＜π.所以sin B＝＝＝，且0＜A＜，所以cosA＝＝＝，所以cos(A－B)＝cos A cos B＋sin A sin B＝×＋×＝－. 11.答案： 解析：因为α是锐角，sin α＝，所以cos α＝，所以cos ＝cos cos α＋sin sin α＝×＋×＝ 12.答案： 解析：cos ＝cos αcos ＋sin αsin ＝cos α＋sin α＝cos α，所以sin α＝cos α，所以＝，即tan α＝. 13.答案：　 解析：原式＝＝ ＝＝＝. 三、解答题 14.解：由cos α＝，0＜α＜，得sin α＝. 由cos ＝，－＜＜0，得sin ＝－. 所以cos ＝cos αcos ＋sin αsin ＝×＋×＝－. 15.解：由sin α＋sin β＝，平方可得sin2α＋2sin αsin β＋sin2β＝，① 设cos α＋cos β＝m，平方可得cos2α＋2cos αcos β＋cos2β＝m2，② ①＋②得2＋2cos αcos β＋2sin αsin β＝＋m2，即m2＝＋2cos(α－β)． ∵cos(α－β)∈[－1，1]，∴m2∈， ∴0≤m2≤，∴－≤m≤， 故cos α＋cos β的取值范围为． 16.解：(1)由|AB|＝，得＝， 所以2－2(cos αcos β＋sin αsin β)＝.所以cos (α－β)＝. (2)因为cos α＝，cos (α－β)＝，α，β为锐角，所以sin α＝，sin (α－β)＝±. 当sin (α－β)＝时，cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos (α－β)＋sin αsin (α－β)＝. 当sin (α－β)＝－时，cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos (α－β)＋sin αsin (α－β)＝0. 因为β为锐角，所以cos β＝. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$