第二十四章　圆课件 2024-2025学年 人教版数学九年级上册

第二十四章　圆 24.1　圆的有关性质 24.1.1　圆 创新作业本·数学九年级上（人教版） 1 1．下列说法中正确的是(　 　) A．弦是直径 B．半圆是弧 C．过圆心的线段是直径 D．圆心相同的两个圆是等圆 1 圆及其有关概念 B 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（人教版） 2．下列说法中正确的是(　 　) A．长度相等的弧是等弧 B．优弧大于劣弧 C．优弧有可能与劣弧相等 D．等弧是指能够互相重合的弧 D 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（人教版） 3．如图，_______是⊙O的直径，弦有_____________，劣弧有_________，优弧有____________. AC AB，BC，AC 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（人教版） 2 圆的半径相等 4．如图，在⊙O中，半径为5，∠AOB＝60°，则弦AB的长是______. 5 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（人教版） 5．如图， AB 是 ⊙O 的直径，点 D 是弦 BC 的中点．若AC＝4 cm，则 OD 的长是________cm. 2 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（人教版） 6．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且点C，D在直径AB的异侧，连接AD，OD，OC.若∠AOC＝70°，且AD∥OC，则∠AOD的度数是__________. 40° 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（人教版） 7．如图，AB，CD为⊙O的两条直径，点E，F在直径CD上，且CE＝DF.求证：AF＝BE. 证明：证△AOF≌△BOE(SAS)即可． 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（人教版） 8．如图，△ABC和△ABD都是直角三角形，且∠C＝∠D＝90°.求证：点A，B，C，D在同一个圆上． 证明：如图，取AB的中点O，连接OC，OD， 证OA＝OB＝OC＝OD即可． 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（人教版） 9．有一个圆的半径为5，则该圆的弦长不可能是(　 　) A．1 B．4 C．10 D．11 D 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（人教版） 10．如图，⊙O的直径BA的延长线与弦DC的延长线交于点E，且CE＝OB.若∠DOB＝72°，则∠E的度数是(　 　) A．36° B．30° C．18° D．24° D 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（人教版） 11．如图，A，B，C是⊙O上三点，∠A＝80°，∠C＝60°，则∠B的度数是____________. 140° 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（人教版） 12．如图，在△ABC中，以点A为圆心画弧分别交BA的延长线和AC于点E，F，连接EF并延长交BC于点G，EG⊥BC.求证：AB＝AC. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（人教版） 证明：∵AE＝AF，∴∠E＝∠AFE. ∵∠AFE＝∠CFG，∴∠E＝∠CFG. ∵EG⊥BC， ∴∠E＋∠B＝90°，∠C＋∠CFG＝90°， ∴∠B＝∠C，∴AB＝AC. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（人教版） 13．如图，在⊙O中，半径OC与直径AB垂直，E，F分别为OC，OA上一点，且满足OE＝OF，BE的延长线交CF于点D.请问：BE与CF有怎样的关系？说明理由． 解：BE＝CF，BE⊥CF.理由如下： ∵半径OC与直径AB垂直， ∴∠BOE＝∠COF＝90°. 在△BOE与△COF中， 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（人教版） ∴△BOE≌△COF(SAS)， ∴BE＝CF，∠B＝∠C. ∵∠B＋∠BEO＝90°，∠CED＝∠BEO， ∴∠C＋∠CED＝90°， ∴∠CDE＝90°，∴BE⊥CF. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（人教版） ， ， $$第二十四章　圆 24.1　圆的有关性质 24.1.2　垂直于弦的直径 创新作业本·数学九年级上（人教版） 1 1．下列说法中错误的是(　 　) A．圆既是轴对称图形又是中心对称图形 B．圆有无数条对称轴 C．圆的每一条直径都是它的对称轴 D．圆的对称中心是它的圆心 2．将圆对折，两侧正好完全重合，说明圆是__________图形，直径所在的________就是圆的对称轴，圆有________条对称轴． 1 圆的对称性 C 轴对称 直线 无数 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） 2 垂径定理及其推论 3．如图，在半径为5 cm的⊙O中，弦AB＝8 cm，OC⊥AB于点C，则OC的长是(　 　) A．3 cm B．4 cm C．5 cm D．6 cm A 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） 4．如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E.下列结论中错误的是(　 　) D 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） 5．如图，已知AB是半圆O的直径，弦CD∥AB.若CD＝8，AB＝10，则CD与AB之间的距离是______. 6．如图，⊙O的直径CD过弦AB的中点E，且CE＝2，DE＝8，则AB的长是______. 3 8 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） 7．如图，AB是⊙O的弦，点C，D在直线AB上，且AC＝BD，连接OC，OD.求证：OC＝OD. 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） 证明：如图，过点O作OH⊥CD于点H，则AH＝BH. ∵AC＝BD，∴AC＋AH＝BD＋BH，即CH＝DH. 在△OCH和△ODH中， ∴△OCH≌△ODH(SAS)，∴OC＝OD. 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） 3 垂径定理的应用 8．往直径为52 cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示．若水面宽AB＝48 cm，则水的最大深度是________cm. 16 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） 9．为了测量一个铁球的直径，将该铁球放入工作槽内，测得有关数据(单位：cm)如图所示，则该铁球的直径长为________cm. 10 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） 10．如图，在⊙O中，AB，AC是互相垂直的两条弦．若AB＝16 cm，AC＝12 cm，则⊙O的半径长是(　 　) A．14 cm 　 B．12 cm　 C．10 cm　 D．8 cm C 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） 11．如图所示，小区内有个圆形花坛O，点C在弦AB上，AC＝11，BC＝21，OC＝13，则这个花坛的面积为________.(结果保留π) 400 π 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） 12．【数学文化】(2023·东营)“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”转化为现在的数学语言表达就是：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为点E，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD的长度为________寸． 26 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） 13．如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度AB为60 m，拱高PM为18 m，当水面涨到跨度只有30 m时，就要采取紧急措施．若拱顶离水面只有4 m，即PN＝4 m时，是否需要采取紧急措施？ 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） 解：如图，设圆心为O，半径为r，连接AO，A′O，OM，OB.在Rt△OAM中，OA2＝AM2＋OM2，即r2＝302＋(r－18)2，解得r＝34. ∵A′B′＝32>30，∴不需要采取紧急措施． 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） 14．如图，AB为⊙O的弦，点C在AB上，AC＝4，BC＝2，CD⊥OC交⊙O于点D，求CD的长． 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） 解：如图，过点O作OE⊥AB于点E，连接OA，OD. ∵AC＝4，BC＝2，∴AB＝6. ∵OE⊥AB， ∴AE＝BE＝3，∴CE＝3－2＝1. 设OE＝x，由勾股定理，得OA2＝x2＋9，OC2＝x2＋1. ∵CD⊥OC，∴CD2＝OD2－OC2＝x2＋9－(x2＋1)＝8， 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） 15．如图，在⊙O中，点E，F分别是弦AB，CD的中点，且AB＝CD. (1)求证：∠AEF＝∠CFE. (2)若∠EOF＝120°，OE＝4 cm，求EF的长． 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） 解：(1)证明：∵点E，F分别是弦AB，CD的中点， ∴EO⊥AB，FO⊥CD， ∴∠AEO＝∠CFO＝90°. ∵OE⊥AB于点E， OF⊥CD于点F， ∴OE和OF是圆的两条弦的弦心距． ∵AB，CD是⊙O的两条弦，且AB＝CD， ∴OE＝OF，∴∠OEF＝∠OFE， ∴∠AEO－∠OEF＝∠CFO－∠OFE， 即∠AEF＝∠CFE. 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） (2)如图，过点O作OM⊥EF于点M. 由(1)可知∠OEF＝∠OFE. 又∵∠EOF＝120°， 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） A．CE＝DE　 B．＝ C．＝ D．OE＝CD 在Rt△OA′N中，A′N＝＝＝16(m)，A′B′＝2A′N＝32(m)， ∴CD＝2(舍去负值)． ∴∠OEF＝(180°－∠EOF)＝×(180°－120°)＝30°， ∴OM＝OE＝×4＝2(cm)． 在Rt△OEM中，EM＝＝＝ 2(cm)， ∴EF＝4 cm. $$第二十四章　圆 24.1　圆的有关性质 24.1.3　弧、弦、圆心角 创新作业本·数学九年级上（人教版） 1 1．如图，下列各角中是圆心角的是(　 　) A．∠ABC B．∠AOB C．∠OAB D．∠OBC 1 认识圆心角 B 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） 60° 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） 2 弧、弦、圆心角之间的关系 3．若两个圆心角相等，则(　 　) A．这两个圆心角所对的弦相等 B．这两个圆心角所对的弧相等 C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等 D．以上说法都错误 D 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） A．32° B．60° C．68°　 D．64° D 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） 60° 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） 40° 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） 证明：如图，连接OC. 证∠A＝∠ACO＝∠COD＝∠DOB即可． 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） 8．如图，在⊙O中，弦AD＝BC.求证：AB＝CD. 证明：∵弦AD＝BC， ∴AB＝CD. 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） 证明：如图，连接OE. ∴∠AOC＝∠COE， ∴△AOC≌△EOC(SAS)， ∴∠ACO＝∠ECO， ∴CD平分∠ACE. 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） 10．【教材P85练习1改编】如图，在⊙O中，AB，CD是⊙O的两条弦，OM⊥CD于点M，ON⊥AB于点N.若AB＝CD，则下列结论中错误的是(　 　) A．∠AOB＝∠DOC C．OM＝DM D．OM＝ON C 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） A．120° B．135° C．150° D．165° A 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） 12．如图，在△ABC中，∠B＝70°，⊙O截三边所得的弦DE＝FG＝HI，则∠AOC＝____________. 125° 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） 证明：如图，连接AF. ∵AB＝AF， ∴∠ABF＝∠AFB. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠EAF＝∠AFB，∠GAE＝∠ABF， ∴∠GAE＝∠EAF， 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） 证明：如图，连接OM，ON. ∵AB是⊙O的直径，点C，D是直径AB上的两点，且AC＝BD， ∴OC＝OD. ∵MC⊥AB，ND⊥AB， ∴∠OCM＝∠ODN＝90°. 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） 15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点O到Rt△ABC三边所在直线的距离都相等，以点O为圆心，OC为半径的⊙O与Rt△ABC三边所在的直线分别交于点D，E，F，G. (1)求证：BE＝BF. (2)若BF＝2，AD＝16，求⊙O的半径． 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） 解：(1)证明：如图，过点O分别作OM⊥FG于点M，ON⊥CE于点N，连接OB. 易证FG＝CE，FM＝EN，△BOM≌△BON(HL)， ∴BM＝BN， ∴BE＝BF. (2)如图，连接OC，过点O作OH⊥CD于点H. 易证AM＝AH，FM＝CH，设AC＝x， ∴AC＝AF＝x，则CD＝16－x， 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） 在Rt△ABC中，AB2＝AC2＋BC2， 即(x＋2)2＝x2＋(14－x)2， 解得x1＝8，x2＝24(不合题意，舍去)， 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） 2．如图，AB是⊙O的直径，PA＝PB，∠P＝60°，则所对的圆心角的度数是__________. 4．【教材P85练习2改编】如图，AB，CD是⊙O的直径，＝.若∠AOE＝32°，则∠COE的度数是　(　 　) 5．如图，AB是⊙O的直径，＝＝.若∠COD＝40°，则∠AEO的度数是__________. 6．如图，在⊙O中，弦AE平行于直径CD，连接AO.若∠AOC＝40°，则所对的圆心角的度数是__________. 7．如图，AB是⊙O的直径，弦AC平行于半径OD.求证：＝. ∴＝， ∴＋＝＋， 即＝， 9．如图，AB，CD是⊙O的直径，点E是⊙O上一点，且＝.求证：CD平分∠ACE. ∵∠AOC＝∠BOD，∴＝. ∵＝， ∴＝， B. ＝ 11．【新考法】把一张圆形纸片按如图所示的方式折叠两次后展开(图中的虚线表示折痕)，则所对的圆心角的度数是(　 　) 13．如图，以平行四边形ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作⊙A，交AD，BC于点E，F，延长BA交⊙A于点G，求证：＝. ∴＝. 14．如图，在⊙O中，C，D是直径AB上的两点，且AC＝BD，MC⊥AB于点C，ND⊥AB于点D，点M，N在⊙O上．求证：＝. 在Rt△OMC和Rt△OND中， ∴Rt△OMC≌Rt△OND(HL)， ∴∠COM＝∠DON，∴＝. ∴CH＝CD＝8－＝CN＝EN. ∵BE＝BF＝2， ∴BN＝EN－BE＝8－－2＝6－， ∴BC＝BN＋CN＝6－＋8－＝14－x. ∴CH＝4，∴OC＝4， 即⊙O的半径为4. $$第二十四章　圆 24.1　圆的有关性质 24.1.4　圆周角 第1课时　圆周角定理及其推论 创新作业本·数学九年级上（人教版） 1 1．下列图形中的角是圆周角的是(　 　) 1 圆周角定理 C 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） 2．(2023·河南)如图，点A，B，C在⊙O上，若∠C＝55°，则∠AOB的度数是(　 　) A．95° B．100° C．105° D．110° D 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） 3．(2024·蜀山一模)如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABO＝35°，则∠C的度数是(　 　) A．35° B．40° C．55° D．65° C 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） 15° 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） 2 圆周角定理的推论 5．如图，点A，B，C，D在⊙O上，则图中与∠A相等的角是(　 　) A．∠B B．∠C C．∠DEB D．∠D D 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） 6．(2023·广东)如图，AB是⊙O的直径，∠BAC＝50°，则∠D的度数是(　 　) A．20° B．40° C．50° D．80° B 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） 7．(2023·黄冈)如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，连接AC，AD，BD，若∠C＝20°，∠BPC＝70°，则∠ADC的度数是(　 　) A．70° B．60° C．50° D．40° D 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） 8．如图，△ABC的顶点都在⊙O上，AE是⊙O的直径，AD⊥BC于点D.求证：∠BAO＝∠CAD. 证明：如图，连接CE， 则∠ECA＝90°，∠B＝∠E ， 证∠BAD＝∠EAC， ∴∠BAO＝∠CAD. 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） 9．(2023·鞍山)如图，AC，BC为⊙O的两条弦，D，G分别为AC，BC的中点，⊙O的半径为2.若∠C＝45°，则DG的长 是(　 　) D 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） A．22° B．32° C．34° D．44° C 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） 11．如图，△ABC的顶点都在⊙O上，AB＝m. (1)若∠ACB＝30°，则⊙O的直径为______. (2)若∠ACB＝45°，则⊙O的直径为____. 2m 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） 12．如图，⊙O的半径为5.若∠AOB＋∠COD＝180°，弦CD＝6，求弦AB的长． 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） 解：如图，延长AO交⊙O于点E，连接BE，则∠AOB＋∠BOE＝180°. 又∵∠AOB＋∠COD＝180°， ∴∠BOE＝∠COD， ∴BE＝CD＝6. ∵AE为⊙O的直径， ∴∠ABE＝90°， 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） 13．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于点E. (1)求证：∠BCO＝∠D. 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） 解：(1)证明：∵OC＝OB， ∴∠BCO＝∠B. ∵∠B＝∠D， ∴∠BCO＝∠D. (2)∵AB是⊙O的直径，且 CD⊥AB于点E， 在Rt△OCE中，OC2＝CE2＋OE2. 设⊙O的半径为r，则OC＝r，OE＝OA－AE＝r－2，∴r2＝ ∴⊙O的半径为3. 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） 14．如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，∠ACB的平分线交⊙O于点D. (1)若AC＝6，BC＝8. ①求S四边形ADBC； ②求CD的长． (2)若AB＝10，求AC＋BC的最大值． 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） (2)如图，过点B作BF⊥CD于点F， 易证△BFD≌△DEA， ∴BF＝DE. 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） 4．如图，点A，B，C都在⊙O上，OC⊥OB，点A在劣弧上，且OA＝AB，则∠ABC的度数是__________. A．2 B． C． D． 10．如图，AB，CD是⊙O的两条直径，点E是劣弧的中点，连接BC，DE.若∠ABC＝22°，则∠CDE的度数为(　 　) m ∴AB＝＝＝8. (2)若CD＝4，AE＝2，求⊙O的半径． ∴CE＝CD＝×4＝2. (2)2＋(r－2)2，解得r＝3， 解：(1)①在Rt△ABC中，AB＝＝＝10，BD＝AD＝AB＝5， S四边形ADBC＝S△ABC＋S△ABD＝ AC·BC＋AD·BD＝ ×(6×8＋5×5)＝49； ②如图，过点A作AE⊥CD于点E， 则CE＝AE＝AC＝3， DE＝＝＝4， ∴CD＝DE＋CE＝4＋3＝7. ∵AC＝CE，BC＝BF＝DE， ∴AC＋BC＝(CE＋DE)＝CD， 故当CD最大时，AC＋BC最大，此时CD为直径，CD＝10， ∴AC＋BC的最大值为10. $$第二十四章　圆 24.1　圆的有关性质 24.1.4　圆周角 第2课时　圆内接四边形 创新作业本·数学九年级上（人教版） 1 1．如图，四边形ABCD内接于⊙O.若∠A＝40°，则∠C的度数是(　 　) A．110°　 B．120° C．135° D．140° 圆内接四边形的性质 D 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） 2．已知在圆内接四边形ABCD中，∠A∶∠C＝1∶2，则∠A的度数是(　 　) A．50° B．60° C．100° D．120° 3．(2023·泰安)如图，AB是⊙O的直径，D，C是⊙O上的点，∠ADC＝115°，则∠BAC的度数是(　 　) A．25° B．30° C．35° D．40° B A 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） 4．(2023·襄阳)如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在CD的延长线上．若∠ADE＝70°，则∠AOC的度数是_________. 140° 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） 5．如图，点A，B，C，D都在⊙O上，∠DAB＝90°，CD＝3，BC＝4，则∠C的度数是_______，⊙O的直径长是______. 90° 5 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） 6．如图，四边形ABCD是平行四边形，⊙O经过点A，C，D，且与BC相交于点E，连接AE.求证：AB＝AE. 证明：∵∠B＝∠D， ∠AEB＝∠D， ∴∠B＝∠AEB， ∴AB＝AE. 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） 解：如图，连接BC. ∵∠BOC＝40°， ∴∠ABC＝70°， ∴∠D＝180°－∠ABC＝180°－70°＝110°. 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） 8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E，F分别在AB，DC的延长线上，且∠F＋∠EBC＝180°，求证：EF∥AD. 证明：∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠ABC＋∠D＝180°. ∵∠ABC＋∠EBC＝180°， ∴∠EBC＝∠D. ∵∠F＋∠EBC＝180°， ∴∠F＋∠D＝180°， ∴EF∥AD. 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） A．45° B．50° C．55° D．60° B 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） 10．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD，BC的延长线相交于点E，AB，DC的延长线相交于点F.若∠A＝50°，∠E＝45°，则∠F的度数是__________. 35° 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） 11．如图，四边形ABCD内接于⊙O，且∠C＝2∠A. (1)求∠A的度数．   解：(1)∠A＝60°. (2)如图，作直径BE， 连接DE，则∠E＝∠A＝60°， ∠BDE＝90°， ∴BE＝8，∴⊙O的半径为4. 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） 12．如图，AB是⊙O的直径，D，E为⊙O上位于直径AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD＝BD，连接AC交⊙O于点F，连接AE，DE，DF. (1)求证：∠E＝∠C. (2)若∠E＝55°，求∠BDF的度数． 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） 解：(1)证明：如图，连接AD， 则∠ADB＝90°，∴AD⊥BC. ∵CD＝BD，∴AB＝AC， ∴∠C＝∠B＝∠E， 即∠E＝∠C. (2)∵∠B＝∠E＝55°， ∴∠BAD＝∠CAD＝35°， ∴∠CAB＝70°，∴∠BDF＝110°. 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） 13．已知，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，BD平分∠ABC，∠BAC＝∠ADB. (1)如图1，求证：BD是圆的直径． (2)如图2，点O为圆心，过点C作∠BCF，使∠BCF＝∠ACB，交AB的延长线于点F，若FC∥AD，BF＝2，求⊙O半径的长． 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） 解：(1)证明：∵BD平分∠ABC， ∴BD是圆的直径． 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） (2)如图，连接OC. ∵FC∥AD，∴∠F＋∠BAD＝180°. ∵BD是圆的直径，∴∠BAD＝90°， ∴∠F＝90°. ∵∠BCF＝∠ACB，∴∠BAC＝∠ACB＝∠BCF. ∵∠BAC＋∠ACB＋∠BCF＝90°， 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） ∴∠BCF＝∠BAC＝30°，∴BC＝2BF＝4. ∵∠BOC＝2∠BAC＝60°，OB＝OC， ∴△OBC是等边三角形， ∴OB＝BC＝4，即⊙O半径的长是4. 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） 7．如图，AB是半圆O的直径，点O为圆心，C是半圆O上的一点，D是上的一点．若∠BOC＝40°，求∠D的度数． 9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上的一点，且＝，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC.若∠ABC＝105°，∠BAC＝25°，则∠E的度数是(　 　) (2)若BD＝4，求⊙O的半径． ∴∠ABD＝∠CBD，∴＝. ∵∠BAC＝∠ADB，∴＝， ∴＋＝＋， ∴＝， ∴是半圆， ∵＝，∴∠BAC＝∠ACB. $$第二十四章　圆 24.2　点和圆、直线和圆的位置关系24.2.1　点和圆的位置关系 创新作业本·数学九年级上（人教版） 1 1．已知⊙O的半径为2，点P到圆心O的距离为4，则点P在 (　 　) A．⊙O内　　 B．⊙O上 C．⊙O外　　 D．无法确定 1 点和圆的位置关系 C 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） 2．已知圆的直径为10 cm，若点P到圆心O的距离是d，则 (　 　) A．当d＝8 cm时，点P在⊙O外 B．当d＝10 cm时，点P在⊙O上 C．当d＝5 cm时，点P在⊙O内 D．当d＝0 cm时，点P在⊙O上 A 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） 3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，CD⊥AB于点D，点O为AB的中点，以点C为圆心，r为半径作⊙C. (1)若r＝3，则点A在⊙C______，点D在⊙C______，点B在⊙C上． (2)当r＝__________时，点O在⊙C上；当r＝__________时，点D在⊙C上． 外 内 2.5 2.4 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） 4．已知正方形ABCD的边长为1，以顶点A为圆心，作一个半径为1的圆．分别指出正方形ABCD的顶点A，B，C，D与⊙A的位置关系？ 解：∵点A为⊙A的圆心，∴点A在⊙A内． ∵AB＝1，∴点B在⊙A上． ∵AD＝1，∴点D在⊙A上． 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） 2 三角形的外接圆与外心 5．下列说法中正确的是(　 　) A．三点确定一个圆 B．三角形的外心到三角形三边的距离相等 C．三角形有且只有一个外接圆 D．圆有且只有一个内接三角形 6．下列三角形的外心位于其一边上的是(　 　) A．等腰三角形　 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．直角三角形 7．在Rt△ABC 中，∠C＝90°.若AB＝2，则Rt△ABC的外接圆半径为__________. C D 1 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） 3 反证法 8．用反证法证明∠A＞60°时，应先假设____________. 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） 9．如图，AB，CD是⊙O内非直径的两条弦，求证：AB与CD不能互相平分． 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） 证明：设AB，CD交于点P，连接OP. 假设AB与CD能互相平分，则CP＝DP，AP＝BP. ∵AB，CD是⊙O内非直径的两条弦， ∴OP⊥AB，OP⊥CD. 这与“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾，所以假设不成立． 所以AB与CD不能互相平分． 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） 10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝4.以点A为圆心，r为半径作圆，当点C在⊙A内且点B在⊙A外时，r的值可能是(　 　) A．2 B．3 C．4 D．5 C 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） 11．在数轴上，点A所表示的实数为3，点B所表示的实数为a，⊙A的半径为2.下列说法中错误的是　(　 　) A．当a＜5时，点B在⊙A内 B．当1＜a＜5时，点B在⊙A内 C．当a＜1时，点B在⊙A外 D．当a＞5时，点B在⊙A外 A 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） 12．如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠B＝58°，则∠CAO的度数是__________. 32° 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） 13．在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示． (1)画出△ABC的外接圆⊙O′. (2)直接写出点O′的坐标为______________. (3)△ABC外接圆的半径为____.(直接写出结果) (3,4) 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） 14．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝6，AM是边BC上的中线． (1)以点A为圆心，4为半径作⊙A，则点B，C，M与⊙A是什么位置关系？ (2)若以点A为圆心作⊙A，使点B，C，M三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，求⊙A的半径r的取值范围． 解：(1)点B在⊙A上，点C在⊙A外，点M在⊙A内． 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） 15．如图，点D是等边三角形ABC的边BC上的中点，AB＝2，动点M满足AM⊥CM. (1)求证：点A，D，C，M在同一个圆上． (2)连接BM，求线段BM长的最大值和最小值． 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） 解：(1)证明：如图1，连接AD. ∵AD是等边三角形ABC的边BC上的中线，∴AD也是等边三角形ABC的边BC上的高线，则△ACD是直角三角形． 设点O是AC的中点，连接OD，OM. ∵AC是Rt△ACD和Rt△ACM的斜边，OD，OM分别是斜边AC上的中线， ∴OA＝OD＝OC＝OM， 即点A，D，C，M在同一个圆上． 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） (2)如图2，当直线BM经过AC中点O时，BM的长有最大值和最小值． 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） ∵AC＝＝＞1，∴点C在⊙A外． ∠A≤60° (2)<r<6. 线段BM长的最大值为OB＋OM＝＋1， 线段BM长的最小值为OB－OM′＝－1. $$第二十四章　圆 24.2　点和圆、直线和圆的位置关系24.2.2　直线和圆的位置关系 第1课时　直线和圆的位置关系 创新作业本·数学九年级上（人教版） 1 1．已知⊙O的半径是6，点O到直线l的距离为5，则直线l与⊙O的位置关系是(　 　) A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 2．在平面直角坐标系中，以点(4,3)为圆心，4为半径的圆 (　 　) A．与x轴相切 B．与x轴相离 C．与y轴相切 D．与y轴相交 1 直线和圆的位置关系的判定 C C 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） 3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5.若以点B为圆心，4为半径作⊙B，则⊙B与AC的位置关系是(　 　) A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定 A 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） 4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4 cm，BC＝2 cm，以点C为圆心，r为半径的圆与AB有何种位置关系？请写出判断过程． (1)r＝1.5 cm. (3)r＝2 cm. 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） 2 直线和圆的位置关系的性质 5．直线l与半径为r的⊙O相交，且圆心O到直线l的距离为6，则r的取值范围是(　 　) A．r<6 B．r＝6 C．r>6 D．r≥6 6．(2023·宿迁)在同一平面内，已知⊙O的半径为2，圆心O到直线l的距离为3，点P为圆上的一个动点，则点P到直线l的最大距离是(　 　) A．2 B．5 C．6 D．8 C B 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） 7．如图，∠AOB＝30°，P是OA上的一点，OP＝24，以点P为圆心，r为半径作⊙P. (1)若r＝12，试判断⊙P与OB的位置关系． (2)若⊙P与OB相离，试直接写出r需满足的条件． 解：(1)相切． (2)0<r<12. 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） 8．已知⊙O的半径是一元二次方程x2－2x－3＝0的一个根，圆心O到直线l的距离d＝4，则直线l与⊙O的位置关系是 (　 　) A．相交 B．相切 C．相离 D．平行 C 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） 9．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，点D，E分别是边AC，AB的中点，则以DE为直径的圆与BC的位置关系是 (　 　) A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定 B 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） 10．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D是边BC上的中点，以点D为圆心，2.5 为半径作圆，则⊙D与直线AC的位置关系是____________. 相交 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） 50°或110° 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） 12．如图，在平面直角坐标系中，以点A(8,3)为圆心，5个单位长度为半径的⊙A交x轴于点B，C. (1)将⊙A向左平移______个单位长度与y轴首次相切，得⊙A1，此时点A1的坐标为______________. (2)求出点B，C的坐标． 3 (5,3) 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） 解：(1)根据直线和圆相切的位置关系与数量之间的联系，得点A1的坐标是(5,3)，则移动的距离是8－5＝3. 故答案为3；(5,3)． (2)如图，连接AC，过点A作AD⊥BC于点D，则BC＝2DC. 由点A(8,3)可得AD＝3. 又∵半径AC＝5， ∴点B的坐标是(4,0)，点C的坐标是(12,0)． 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） 13．如图，O为坐标原点，一次函数y＝kx＋b的图象与x轴、y轴分别相交于A，B两点，半径为2的⊙O经过A，B两点． (1)求此一次函数的解析式． (2)求圆心O到直线AB的距离． 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） 解：(1)∵半径为2的⊙O经过A，B两点， ∴OA＝OB＝2，∴A(2,0)，B(0,2)． 把A(2,0)，B(0,2)代入y＝kx＋b， ∴一次函数的解析式为y＝－x＋2. 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） (2)设圆心O到直线AB的距离为h. 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） 14．【教材P101习题3改编】如图，OC平分∠AOB，D是OC上任意一点，⊙D和OA相切于点E，连接CE. (1)求证：OB与⊙D相切． (2)若OE＝4，⊙D的半径为3，求CE的长． 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） (2)r＝ cm. 解：∵在Rt△ABC中，AB＝4 cm，BC＝2 cm， ∴AC＝2 cm， ∴点C到AB的距离为＝＝(cm)． (1)当r＝1.5 cm时，⊙C与AB相离． (2)当r＝ cm时，⊙C与AB相切． (3)当r＝2 cm时，⊙C与AB相交． 11．如图，∠ABC＝80°，O是射线BC上的一点，以点O为圆心，OB长为半径作⊙O，要使射线BA与⊙O相切，应将射线BA绕点B顺时针旋转的度数为____________. ∴在Rt△ADC中，DC＝＝ ＝4， 得解得 ∵AB＝＝＝2， ∴S△AOB＝OA·OB＝AB·h， ∴h＝＝＝， 故圆心O到直线AB的距离为. 解：(1)过点D作DF⊥OB于点F，连接DE，证DE＝DF即可． (2)过点E作EM⊥OD于点M，OD＝＝5. ∵OD·EM＝OE·DE，∴EM＝，∴DM＝＝， ∴CM＝DM＋CD＝，∴CE＝＝. $$第二十四章　圆 24.2　点和圆、直线和圆的位置关系24.2.2　直线和圆的位置关系 第2课时　切线的判定和性质 创新作业本·数学九年级上（人教版） 1 1．下列说法中正确的是(　 　) A．与圆有公共点的直线是圆的切线 B．到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线 C．垂直于圆的半径的直线是圆的切线 D．经过圆的半径的外端点的直线是圆的切线 1 切线的判定 B 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（人教版） 2．如图，A是⊙O上的一点，AO＝5，PO＝13，AP＝12，则PA与⊙O的位置关系是(　 　) A．相离　 B．相切 C．相交　 D．无法确定 B 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（人教版） 3．如图，点A，B是⊙O上的两点，AC是过点A的一条直线．若∠ABO＝40°，当∠CAB＝__________时，AC是⊙O的切线． 50° 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（人教版） 4．如图，AB是⊙O的弦，OA⊥OD，AB，OD相交于点C，且CD＝BD. (1)求证：BD与⊙O相切． (2)若BD＝8，OA＝6，求AC的长． 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（人教版） 解：(1)证明：如图，连接OB. ∵∠OAC＋∠ACO＝90°， ∠A＝∠OBA， ∠ACO＝∠DCB＝∠DBC， ∴∠ABO＋∠DBC＝90°， ∴BD与⊙O相切． 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（人教版） 2 切线的性质 5．如图，PA是⊙O的切线，点A为切点，连接AO.若⊙O的半径为2，∠APO＝30°，则OP的长是(　 　) D 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（人教版） 6．如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C.若∠A＝25°，则∠D的度数是(　 　) A．20° B．30° C．40° D．50° C 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（人教版） 7．如图，若以▱ABCD的一边AB为直径的⊙O恰好与CD相切于点D，则∠C的度数是__________. 45° 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（人教版） 8．如图，AB是⊙O的直径，直线l是⊙O的切线，点C为切点．若过点A作AD⊥l，垂足为D.求证：AC平分∠DAB. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（人教版） 证明：如图，连接OC. ∵直线l是⊙O的切线，点C为切点， ∴OC⊥l. ∵AD⊥l，∴OC∥AD， ∴∠DAC＝∠OCA. ∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA， ∴∠DAC＝∠OAC， 即AC平分∠DAB. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（人教版） 9．如图，AB是⊙O的直径，下列条件中不能判定直线AD是⊙O的切线的是(　 　) A．AB＝4，AD＝3，BD＝5　 B．∠B＝45°，AB＝AD C．∠B＝55°，∠DAC＝55° D．∠ADC＝∠B D 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（人教版） 10．如图，在⊙O中，AB切⊙O于点A，连接OB交⊙O于点C，过点A作AD∥OB交⊙O于点D，连接CD.若∠B＝50°，则∠OCD的度数是(　 　) A．15° B．20° C．25° D．30° B 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（人教版） A．DE是⊙O的切线 B．直径AB的长为20 cm C．弦AC的长为16 cm D 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（人教版） 12．如图，菱形ABOC的边AB，AC分别与⊙O相切于点D，E.若点D是边AB的中点，则∠DOE的度数是__________. 60° 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（人教版） 13．(2023·北京)如图，OA是⊙O的半径，BC是⊙O的弦，OA⊥BC于点D，AE是⊙O的切线，AE交OC的延长线于点E.若∠AOC＝45°，BC＝2，则线段AE的长是____. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（人教版） 14．(2023·大连)如图1，点A，B，C在⊙O上，AC是⊙O的直径，AD平分∠BAC，与⊙O相交于点D，连接OD，与BC相交于点E. (1)求∠OEC的度数． (2)如图2，过点A作⊙O的切线，与CB的延长线相交于点F， 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（人教版） 解：(1)∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠OAD. ∵∠OAD＝∠ODA，∴∠BAD＝∠ODA， ∴AB∥OD，∴∠B＝∠OEC. ∵AC是⊙O的直径， ∴∠B＝90°，∴∠OEC＝90°. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（人教版） (2)如图，连接DC. ∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°. 设⊙O的半径为r，则OA＝OD＝OC＝r， OE＝r－4，AB＝2OE＝2r－8，AC＝2r. 在Rt△ADC中，DC2＝AC2－AD2＝CE2＋DE2＝OC2－OE2＋DE2， 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（人教版） ∵AF是⊙O的切线，∴AF⊥AC. ∵DG∥FA，∴DG⊥AC， 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（人教版） (2)在Rt△OBD中，OD＝＝＝10，OC＝OD－CD＝10－8＝2. 在Rt△AOC中，AC＝＝＝2. A．1 B． C．2 D．4 11．如图，AB，AC分别是⊙O的直径和弦，点D为的中点，DE⊥AC交AC的延长线于点E，连接BC.若DE＝6 cm，CE＝2 cm，下列结论中错误的是(　 　) D．点C为的三等分点 过点D作DG∥FA，与AC相交于点G.若AD＝2，DE＝4，求DG的长． ∴(2r)2－(2)2＝r2－(r－4)2＋42，解得r＝7或－5(舍去)， ∴AC＝14，DC＝. ∴S△ADC＝AD·DC＝AC·DG， ∴×2×＝×14DG，解得DG＝2. $$第二十四章　圆 24.2　点和圆、直线和圆的位置关系24.2.2　直线和圆的位置关系 第3课时　切线长定理 创新作业本·数学九年级上（人教版） 1 1．如图，P为⊙O外一点，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点．若PA＝3，则PB的长是(　 　) A．2 B．3　 C．4　　 D．5 1 切线长定理 B 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） 2．如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，OP交⊙O于点E.下列结论中错误的是(　 　) A．∠1＝∠2 B．PA＝PB C．OP⊥AB D．PE＝OE D 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） 3．如图，AB，AC，BD是⊙O的切线，P，C，D为切点，若AB＝10，AC＝7，则BD的长是______. 3 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） 4．【教材P101习题6改编】如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O外一点，CA，CD是⊙O的两条切线，点A，D为切点，连接BD，AD.若∠ACD＝48°，则∠DBA的度数是__________. 66° 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） 5．如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，连接PO与⊙O相交于点C，连接AC，BC.求证：AC＝BC. 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） 证明：∵PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点， ∴PA＝PB， ∠APC＝∠BPC. 又∵PC＝PC， ∴△APC≌△BPC(SAS)， ∴AC＝BC. 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） 2 三角形的内切圆与内心 6．三角形的内心是(　 　) A．三角形三条中线的交点 B．三角形三条高线的交点 C．三角形三边垂直平分线的交点 D．三角形三条角平分线的交点 D 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） A 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） 8．直角三角形的两条直角边长分别是5和12，则它的内切圆的半径是______. 9．如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，且AD＝2，△ABC的周长为14，则BC的长是____. 2 5 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） 10．如图，点I是Rt△ABC的内心，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4.将∠ACB平移使其顶点C与点I重合，两边分别交AB于点D，E，则△IDE的周长是(　 　) A．3 B．4　　　 C．5　　 D．7 C 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） 11．(2023·广州)如图，△ABC的内切圆⊙I与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，若⊙I的半径为r，∠A＝α，则(BF＋CE－BC)的值和∠FDE的大小分别是(　 　) A．2r,90°－α B．0,90°－α D 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） 12．如图，AB，AC是⊙O的两条切线，点B，C为切点．若∠A＝50°，P是⊙O上异于点B，C的一个动点，则∠BPC的度数是________________. 65°或115° 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） 13．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线与△ABC的外接圆相交于点D，连接BD.求证：DE＝DB. 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） 证明：如图，连接BE. ∵点E是△ABC的内心， ∴∠BAD＝∠CAD， ∠ABE＝∠CBE. 又∵∠CBD＝∠CAD， ∴∠BED＝∠BAD＋∠ABE＝∠CAD＋∠CBE＝∠CBD＋∠CBE＝∠DBE， ∴∠BED＝∠DBE， ∴DE＝DB. 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） 14．【教材P102习题11改编】如图，直线AB，BC，CD分别与⊙O相切于点E，F，G，且AB∥CD，OB＝6，OC＝8. (1)求∠BOC的度数． (2)求BE＋CG的长． 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） 解：(1)根据切线长定理，得BE＝BF，CF＝CG， ∠OBF＝∠OBE， ∠OCF＝∠OCG. ∵AB∥CD， ∴∠ABC＋∠BCD＝180°， ∴∠BOC＝180°－(∠OBC＋∠OCB)＝90°. 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） 15．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆交于点D. (1)如图1，连接DB，求证：DB＝DE. 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） 证明：(1)如图，连接BE. ∵点E是△ABC的内心，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4. ∵∠2＝∠6，∴∠1＝∠6. ∵∠5＝∠1＋∠3，∠DBE＝∠6＋∠4＝∠1＋∠3， ∴∠5＝∠DBE，∴DB＝DE. (2)如图，延长AC至点F，使CF＝AB，连接DF. ∵点E为△ABC的内心，∠BAC＝60°， ∴∠DBC＝∠DCB＝30°，DB＝DC. ∵∠ABD＋∠ACD＝180°，∠ACD＋∠DCF＝180°， ∴∠ABD＝∠DCF. 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） ∴△ABD≌△FCD(SAS)，∴∠F＝∠BAD＝30°. 在△ADF中，∠F＝∠DAF＝30°， 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） 7．如图，边长为2的等边三角形ABC的内切圆的半径 是(　 　) A．1　 B． C．2　 D．2 C．2r,90°－ D．0,90°－ ∴∠OBC＋∠OCB＝(∠ABC＋∠BCD)＝90°. (2)在Rt△BOC中， BC＝＝＝10， ∴BE＋CG＝BF＋CF＝BC＝10. (2)如图2，若∠BAC＝60°，求证：AB＋AC＝AD. 在△ABD和△FCD中， 过点D作DG⊥AF于点G，则GF＝DG，AD＝2GD， ∴AF＝AD. ∵AF＝AC＋CF＝AC＋AB，∴AB＋AC＝AD. $$第二十四章　圆 24.3　正多边形和圆 创新作业本·数学九年级上（人教版） 1 1．下列说法中错误的是(　 　) A．圆内接正多边形的每个内角都相等 B．圆内接正多边形都是轴对称图形 C．圆内接正多边形都是中心对称图形 D．圆内接正多边形的中心到各边的距离的相等 1 正多边形与圆的关系 C 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） 2．如图，五边形ABCDE内接于⊙O，且AB＝BC＝CD＝DE＝EA.求证：五边形ABCDE是正五边形． 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） 证明：∵五边形ABCDE内接于⊙O，且AB＝BC＝CD＝DE＝EA， 点A，B，C，D，E将⊙O五等分， ∴五边形ABCDE是正五边形． 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） 2 与正多边形有关的计算 3．若一个正多边形的中心角为 90°，则这个正多边形的边数是(　 　) A．4 B．5 C．6 D．7 A 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） 4．(2023·安徽)如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接OC，OD，则∠BAE－∠COD＝(　 　) A．60° B．54° C．48° D．36° D 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） 5．【教材P106练习3改编】求半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长、边心距、中心角和面积，将结果填写在表中： 1 120° 90° 8 2 60° 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） 6.(2023·陕西)如图，正八边形的边长为2，对角线AB，CD相交于点E，则线段BE的长为________. 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） 3 等分圆周画正多边形 7．如图，用尺规作⊙O的内接正四边形ABCD.(不写作法，保留作图痕迹) 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） 解：如图所示，四边形ABCD即为所求． 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） 144° 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） 2 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） 10．如图，AB，CD是⊙O中互相垂直的两条直径，以点A为圆心，OA长为半径画弧，与⊙O相交于E，F两点，连接AE. (1)求证：AE是正六边形的一条边． (2)请在图上作出这个正六边形．(不写作法，保留作图痕迹) 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） 解：(1)证明：如图，连接OE，OF，AF. ∵AE＝OA＝OE， ∴△AOE是正三角形， ∴∠OAE＝60°. 同理△OAF是正三角形． ∴∠OAF＝60°， ∴AE＝AF，且∠EAF＝∠OAE＋∠OAF＝120°， ∴AE是正六边形的一条边． (2)如图所示，正六边形AFGBHE即为所求． 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） 11．【核心素养·图形直观】如图1,2,3，…，n，M，N分别是⊙O的内接正△ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDEFG…的边AB，BC上的点，且BM＝CN，连接OM，ON. (1)求图1中∠MON的度数． (2)图2中∠MON的度数是__________，图3中∠MON的度数是__________. (3)探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系．(直接写出答案) 90° 72° 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） 解：(1)如图1，连接OA，OB. ∵正△ABC内接于⊙O， ∴OA＝OB，∠OAM＝∠OBN＝30°， ∠AOB＝120°. ∵BM＝CN，AB＝BC，∴AM＝BN， ∴△AOM≌△BON(SAS)， ∴∠AOM＝∠BON， ∴∠AOM＋∠BOM＝∠BON＋∠BOM， ∴∠AOB＝∠MON＝120°. 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） ∴＝＝＝＝， 6 圆的内接正多边形 边长 边心距 中心角 面积 正三角形 正方形 正六边形 2 3 2 2＋ 8．如图，⊙O与正五边形ABCDE的边AB，DE分别相切于B，D两点，则所对的圆心角∠BOD的度数是____________. 9．(2023·杭州)如图，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，设正六边形ABCDEF的面积为S1，△ACE的面积为S2，则＝______. (3)∠MON＝. $$第二十四章　圆 24.4　弧长和扇形面积 第1课时　弧长和扇形面积 创新作业本·数学九年级上（人教版） 1 1．(2023·大连)在半径为3的圆中，90°的圆心角所对的弧长是(　 　) 1 弧长公式 C 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（人教版） 2．(1)已知扇形的半径为10，弧长为10π，则这个扇形的圆心角为____________. (2)若弧长为4π cm的扇形的圆心角为120°，则这个扇形的半径为______cm. 180° 6 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（人教版） π 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（人教版） 30° 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（人教版） 5．如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O相切于点A，BC交⊙O于点D.已知⊙O的半径为6，∠C＝40°. (1)求∠B的度数． 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（人教版） 解：(1)∵AC与⊙O相切于点A， ∴∠BAC＝90°. ∵∠C＝40°， ∴∠B＝50°. (2)如图，连接OD. ∵∠B＝50°，∴∠AOD＝2∠B＝100°， 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（人教版） 2 扇形面积公式 6．已知扇形的圆心角为120°，半径为3，则这个扇形的面积是(　 　) A．π B．2π C．3π D．4π 7．若扇形的面积为3π，圆心角为60°，则这个扇形的半径是(　 　) A．3 B．9 C D 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（人教版） 8．(2023·锦州)如图，点A，B，C在⊙O上，∠ABC＝40°，连接OA，OC.若⊙O的半径为3，则扇形AOC(阴影部分)的面积为(　 　) D 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（人教版） 9．如图，扇形折扇完全打开后，OA，OB的夹角为120°，OA的长为30 cm，AC的长为20 cm.求图中阴影部分的面积S.(结果保留π) 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（人教版） 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（人教版） 10．如图，等边三角形ABC内接于⊙O.若⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积是(　 　) C 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（人教版） C 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（人教版） 12．【新考法】如图，分别以等边三角形的3个顶点为圆心，边长为半径画弧，三段弧围成的图形称为“莱洛三角形”．若等边三角形的边长为6 cm，则该“莱洛三角形”的周长是________cm. 6π 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（人教版） 13．如图，已知正方形铁丝框ABCD的边长为10.现使其变形为以点A为圆心，AB长为半径的扇形(忽略铁丝的粗细)，则所得的扇形的面积是__________. 100 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（人教版） 14．(2023·内蒙古)如图，正方形ABCD的边长为2，对角线AC，BD相交于点O，以点B为圆心，对角线BD的长为半径画弧，交BC的延长线于点E，则图中阴影部分的面积为______. π 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（人教版） 15．如图，点A，B，C在⊙O上，∠ABC＝60°，直线AD∥BC，AB＝AD，点O在BD上． (1)判断直线AD与⊙O的位置关系，并说明理由． (2)若⊙O的半径为6，求图中阴影部分的面积． 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（人教版） 解：(1)直线AD与⊙O相切．理由如下： 如图所示，连接OA. ∵AD∥BC， ∴∠D＝∠DBC. ∵AB＝AD，∴∠D＝∠ABD. ∵∠ABC＝60°，∴∠DBC＝∠ABD＝∠D＝30°， ∴∠BAD＝120°. ∵OA＝OB， ∴∠BAO＝∠ABD＝30°， ∴∠OAD＝90°，∴OA⊥AD. ∵OA是⊙O的半径，∴直线AD与⊙O相切． 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（人教版） (2)如图，连接OC，作OH⊥BC于点H. ∵OB＝OC＝6， ∴∠OCB＝∠OBC＝30°，∴∠BOC＝120°， 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（人教版） A．π B．9π C．π D．π 3．如图，已知⊙O的半径为2，AB是⊙O的弦．若AB＝2，则劣弧的长为______. 4．如图，点A，B，C在半径为6的⊙O上，若的长为2π，则∠ACB的度数是__________. (2)求的长．(结果保留π) ∴的长是＝. C．2 D．3 A．π B．π C．π D．2π 解：∵S扇形AOB＝＝300π(cm2)， S扇形COD＝ ＝π(cm2)， ∴S＝S扇形AOB－S扇形COD＝300π－π＝π(cm2)． A． B．π C．π D．2π 11．如图，⊙O的半径为3，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB，OD.若∠BOD＝∠BCD，则劣弧的长是(　 　) A．π B．π C．2π D．3π ∴OH＝OB＝3，∴BH＝＝3， ∴BC＝2BH＝6， ∴扇形BOC的面积为＝12π. ∵S△OBC＝BC·OH＝×6×3＝9， ∴阴影部分的面积为S扇形BOC－S△BOC＝12π－9. $$第二十四章　圆 24.4　弧长和扇形面积 第2课时　圆锥的侧面积和全面积 创新作业本·数学九年级上（人教版） 1 1．已知一个圆锥的底面圆的半径为5 cm，母线长为13 cm，则这个圆锥的侧面积是(　 　) A．60π cm2 B．65π cm2 C．120π cm2　 D．130π cm2 1 圆锥的侧面积和全面积的计算 B 2π 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） 3．已知Rt△ABC的一条直角边AB＝12，另一条直角边BC＝5，求以AB为轴旋转一周所得到的圆锥的全面积． 解：底面圆的面积：πr2＝π×52＝25π. 圆锥的全面积：25π＋65π＝90π. 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） 2 圆锥侧面展开图的相关计算 4．已知一个圆锥侧面展开图的面积是24π的扇形，其弧长是2π，则这个扇形的半径为(　 　) A．24 B．22 C．12 D．6 5．圆锥的底面圆的半径是5 cm，侧面展开图的圆心角是180°，则圆锥的高是(　 　) A A 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） 6．已知圆锥的底面圆的半径为3 cm，高为4 cm，则母线长是______cm，圆锥的侧面积是__________cm2. 5 15π 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） 7．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形．若圆锥的底面圆的半径r＝2 cm，母线l＝6 cm，求扇形的圆心角θ. 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） 解：圆锥的底面周长是2π×2＝ 4π (cm)． ∵圆锥的底面圆的半径r＝2 cm， 母线l＝6 cm， 解得θ＝120°， ∴扇形的圆心角θ为120°. 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） 8．如图，在正方形纸板上剪下一个扇形和圆，刚好能围成一个圆锥模型．若设围成的圆锥的底面圆的半径为r，母线长为l，则r与l之间的关系是(　 　) A．l＝2r B．4l＝9r C．l＝3r D．l＝4r D 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） 2 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） 10．(2023·自贡)如图，小珍同学用半径为8 cm、圆心角为100°的扇形纸片，制作一个底面半径为2 cm的圆锥侧面，则圆锥上粘贴部分的面积是____cm2. 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） 11．如图，现有一个圆心角为90°、半径为80 cm的扇形铁片，用它恰好围成一个圆锥形的量筒．若用其他铁片再做一个圆形盖子把量筒底面密封．(接缝都忽略不计) (1)求该圆形盖子的底面半径． (2)制作这个密封量筒共用铁片多少平方厘米？(结果保留π) 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） 设圆锥底面圆的半径是r cm，则2πr＝40π， 解得r＝20. 故该圆形盖子的底面半径是20 cm. 2 000π(cm2)， ∴制作这个密封量筒共用铁片2 000π cm2. 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） (1)求AB的长． (2)用该扇形铁皮围成一个圆锥的侧面，求所得圆锥的底面圆的半径． 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） 解：(1)如图，连接BC. ∵∠BAC＝90°， ∴BC为⊙O的直径， 在Rt△ABC中，AB＝AC＝1 m. (2)设所得圆锥的底面圆的半径为r m. 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） (2)如图2，将阴影部分剪掉，余下扇形AEF，将扇形AEF围成一个圆锥的侧面，AE与AF正好重合，圆锥侧面无重叠，求这个圆锥的高h. 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） 解：(1)∵在等腰三角形ABC中，∠BAC＝120°， ∴∠B＝30°. ∵AD是∠BAC的平分线， ∴AD⊥BC，BD＝CD， 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） (2)设圆锥的底面圆的半径为r. 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（人教版） 2．已知一个圆锥的高为，高所在直线与母线的夹角为30°，则这个圆锥的侧面积是________. 侧面圆的面积：πr＝π×5×＝65π. A．5 cm B．10 cm C．6 cm　　 D．5 cm ∴＝＝4π， 9．如图，从直径为8的圆形纸片⊙O上剪出一个圆心角为90°的扇形ABC，使点A，B，C在⊙O上．将剪下的扇形作为一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径是______. 解：(1)圆锥的底面周长是＝40π(cm)． (2)S＝S侧＋S底＝×π×802＋400π＝ 12．如图，有一块直径是 m的圆形铁皮，现从中剪出一个圆周角是90°的最大扇形ABC. 根据题意，得2πr＝，解得r＝， ∴所得圆锥的底面圆的半径为 m. 即BC＝ m. 13．【核心素养·图形直观】如图1，在等腰三角形ABC中，∠BAC＝120°，AD是∠BAC的平分线，且AD＝6，以点A为圆心，AD长为半径画，分别交AB，AC于点E，F. (1)求由及线段FC，CB，BE围成的图形(图中阴影部分)的面积． ∴BD＝AD＝6，∴BC＝2BD＝12， ∴S阴影＝S△ABC－S扇形AEF＝×6×12－＝36－12π . 根据题意，得2πr＝，解得r＝2， ∴这个圆锥的高h＝＝4. $$第二十四章　圆 ◆小试卷(七) 创新作业本·数学九年级上（人教版） 1 一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分) 1．下列条件可以确定一个圆的是(　 　) A．已知圆心 B．已知半径 C．过三个已知点 D．过一个三角形的三个顶点 D 创新作业本·数学九年级上（人教版） 2．若⊙A的半径为5，圆心A的坐标是(1,2)，点P的坐标是(5,2)，则点P与⊙A的位置关系是(　 　) A．点P在⊙A内 B．点P在⊙A上 C．点P在⊙A外 D．无法确定 3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3 cm，AC＝4 cm，以点C为圆心，2.5 cm长为半径作圆，则⊙C与直线AB的位置关系是(　 　) A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 A A 创新作业本·数学九年级上（人教版） 4．(2023·哈尔滨)如图，AB是⊙O的切线，A为切点，连接OA，点C在⊙O上，OC⊥OA，连接BC并延长，交⊙O于点D，连接OD.若∠B＝65°，则∠DOC的度数是(　 　) A．45° B．50° C．65° D．75° B 创新作业本·数学九年级上（人教版） 5．如图，△ADC内接于⊙O，BC是⊙O的直径．若∠A＝66°，则∠BCD的度数是(　 　) A．14° B．24° C．34° D．66° B 创新作业本·数学九年级上（人教版） 6．如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O外一点，PA切⊙O于点A，连接PO并延长交⊙O于点C，连接AC.若AB＝10，∠P＝30°，则AC的长是(　 　) A 创新作业本·数学九年级上（人教版） 7．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠BAC＝40°，点I是△ABC的内心，BI的延长线交⊙O于点D，连接AD，则∠CAD的度数是(　 　) A．35° B．30° C．25° D．20° C 创新作业本·数学九年级上（人教版） 8．如图，PA，PB是⊙O的两条切线，点A，B为切点，直线OP交⊙O于C，D两点，交AB于点E，AF为⊙O的直径．下列结论中错误的是(　 　) C．PE⊥AB　 D．∠ABP＝∠AOP B 创新作业本·数学九年级上（人教版） 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 9．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，E是AB延长线上的一点，∠E＝20°，当∠A＝__________时，CE是⊙O的切线． 35° 创新作业本·数学九年级上（人教版） 10．如图，⊙O的半径为1，△ABC内接于⊙O.若∠A＝60°，∠B＝75°，则AB＝____. 创新作业本·数学九年级上（人教版） 11．如图，直线y＝x－2与x轴、y轴分别交于M，N两点，将半径为1的⊙O以每秒1个单位长度的速度向右做平移运动，当移动______________s时，直线MN恰好与⊙O相切． 创新作业本·数学九年级上（人教版） (1)若△PDE的周长为10，则PA的长是______. (2)连接CA，CB，若∠P＝50°，则∠BCA的度数是________. 5 115° 创新作业本·数学九年级上（人教版） 三、解答题(本大题共3小题，共40分) 13．(本题12分)如图，已知△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的切线且与半径OB的延长线交于点D，∠A＝30°，求∠BCD的度数． 创新作业本·数学九年级上（人教版） 解：如图，连接OC. ∵CD是⊙O的切线，∴∠OCD＝90°. 由圆周角定理，可知∠BOC＝2∠A＝60°， ∵OB＝OC， ∴△BOC是等边三角形， ∴∠BCD＝∠OCD－∠BCO＝90°－60°＝30°. 创新作业本·数学九年级上（人教版） 14．(本题14分)如图，AD是⊙O的直径，AB是弦，∠A＋∠C＝90°，CD∥AB.求证：BC是⊙O的切线． 创新作业本·数学九年级上（人教版） 证明：如图， 连接OB，BD. ∵AD是⊙O的直径， ∴∠ABD＝90°， ∴∠A＋∠1＝90°. 又∵OB＝OD， ∴∠1＝∠2， ∴∠A＋∠2＝90°①. 创新作业本·数学九年级上（人教版） ∵CD∥AB，∴∠BDC＝∠ABD＝90°， ∴∠C＋∠3＝90°②. 由①＋②，得(∠A＋∠C)＋∠2＋∠3＝180°， ∴∠2＋∠3＝180°－90°＝90°. 又∵OB是⊙O的半径，点B是⊙O上的点， ∴BC是⊙O的切线． 创新作业本·数学九年级上（人教版） (1)求∠OCB的度数． (2)若EF＝3，求⊙O直径的长． 创新作业本·数学九年级上（人教版） 解：(1)∵PC与⊙O相切于点C， ∴OC⊥PC，∴∠OCB＋∠BCP＝90°. ∵OB＝OC， ∴∠OCB＝∠OBC. ∵∠ABC＝2∠BCP， ∴∠OCB＝2∠BCP，∴3∠BCP＝90°， ∴∠BCP＝30°，∴∠OCB＝60°. 创新作业本·数学九年级上（人教版） (2)如图，连接DE. ∵CD是直径，∴∠DEC＝90°. 创新作业本·数学九年级上（人教版） A．5 B．5 C．5 D． A．PA＝PB　 B．＝ 2－或2＋ 12．如图，P是⊙O外一点，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，C是上的任意一点，过点C作⊙O的切线分别交PA，PB于点D，E. 15．(本题14分)(2023·济南)如图，AB，CD为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C的切线与AB的延长线交于点P，∠ABC＝2∠BCP，点E是的中点，弦CE，BD相交于点F. ∵点E是的中点，∴＝， ∴∠DCE＝∠FDE＝∠ECB＝∠DCB＝30°. ∵∠E＝90°，EF＝3，∠FDE＝30°， ∴DE＝EF＝3. ∵∠E＝90°，∠DCE＝30°， ∴CD＝2DE＝6， ∴⊙O直径的长是6. $$第二十四章　圆 ◆小试卷(八) 创新作业本·数学九年级上（人教版） 1 一、选择题(本大题共8小题，每小题4分，共32分) 1．若一个正多边形的中心角为72°，则这个正多边形的边数是(　 　) A．4 B．5 C．6 D．7 2．(2023·东营)若圆锥侧面展开图的面积是15π，母线长是5，则这个圆锥的底面半径是(　 　) A．3 B．4 C．5 D．6 B A 创新作业本·数学九年级上（人教版） 3．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接AC，则∠BAC的度数是(　 　) A．45° B．38° C．36° D．30° C 创新作业本·数学九年级上（人教版） 4．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5.若把Rt△ABC绕直线AC旋转一周，则所得圆锥的侧面积是 (　 　) A．6π B．9π C．12π D．15π D 创新作业本·数学九年级上（人教版） A．30°　 B．45°　 C．50°　　 D．55° B 创新作业本·数学九年级上（人教版） 6．三个正方形在扇形中的位置如图所示，点O为扇形的圆心，正方形的顶点A，B，C分别在扇形的两条半径和弧上．若每个正方形的边长都为1，则扇形OEF的面积 是(　 　) A 创新作业本·数学九年级上（人教版） A 创新作业本·数学九年级上（人教版） 8．(2023·河北)如图，点P1～P8是⊙O上的八等分点．若△P1P3P7、四边形P3P4P6P7的周长分别为a，b，则下列正确的是(　 　) A．a＜b B．a＝b C．a＞b D．a，b大小无法比较 A 创新作业本·数学九年级上（人教版） 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 9．已知⊙O的内接正六边形的周长为12 cm，则这个圆的半径是______cm. 10．用一个圆心角为120°的扇形作一个圆锥的侧面．若这个圆锥的底面圆的半径恰好等于4，则这个圆锥的母线长是________. 2 12 创新作业本·数学九年级上（人教版） 10π 创新作业本·数学九年级上（人教版） 12．如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过格点A(0,4)，B(－4,4)，C(－6,2)． (1)若该圆弧所在圆的圆心为点D，则AD的长是______. (2)若扇形DAC是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是____. 创新作业本·数学九年级上（人教版） 三、解答题(本大题共4小题，共48分) 13．(本题10分)如图，已知正方形ABCD，AB＝4，以点A为圆心，AB长为半径画弧得到扇形ABD.现将该扇形围成一圆锥的侧面，求该圆锥的底面圆的半径． 创新作业本·数学九年级上（人教版） 解：设圆锥的底面圆的半径为r. 解得r＝1， ∴该圆锥的底面圆的半径为1. 创新作业本·数学九年级上（人教版） (1)求∠BPC的度数． (2)若⊙O的半径为8，求正方形ABCD的边长． 创新作业本·数学九年级上（人教版） 15．(本题12分)如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD交AD于点E，连接BC交AD于点F. (1)求证：AE＝ED. 创新作业本·数学九年级上（人教版） 解：(1)证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°. ∵OC∥BD， ∴∠AEO＝∠ADB＝90°， 即OC⊥AD， ∴AE＝ED. ∴∠ABC＝∠CBD＝36°， ∴∠AOC＝2∠ABC＝72°， 创新作业本·数学九年级上（人教版） 16．(本题14分)如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，∠ACD＝60°，∠ADC＝50°. (1)求∠CEB的度数． 创新作业本·数学九年级上（人教版） 解：(1)如图，连接BC， 则∠ADC＝∠ABC. ∵∠ADC＝50°， ∴∠ABC＝50°. ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠BAC＝40°. ∵∠CEB＝∠ACD＋∠BAC，∠ACD＝60°， ∴∠CEB＝60°＋40°＝100°. (2)如图，连接BD，OC， 则∠AOC＝2∠ADC＝100°. 创新作业本·数学九年级上（人教版） 5．如图，正八边形ABCDEFGH内接于⊙O，P是上的任意一点，连接PD，PF，则∠DPF的度数是(　 　) A.　 B． C．π D． 7．如图，正方形ABCD内接于⊙O，M是上的一点，连接BM，CM，且BM＝CM.若⊙O的半径为2，则的长是(　 　) A. B． C． D． 11．如图，把一个圆锥沿母线OA剪开，展开后得到扇形AOC.已知圆锥的高h＝12 cm，OA＝13 cm，则扇形AOC中的长是__________cm. 2 根据题意，得2πr＝， 14．(本题12分)如图，正方形ABCD的外接圆为⊙O，点P在劣弧上(点P不与点C重合)． 解：(1)∠BPC＝45°. (2)8. (2)若AB＝10，∠CBD＝36°，求的长． (2)∵OC⊥AD，∴＝， ∴＝＝2π. (2)若AD＝2，求扇形OAC的面积． ∵∠BAD＝∠BCD＝30°，∠ADB＝90°，AD＝2， ∴AB＝4，∴AO＝2，∴S扇形OAC＝＝. $$第二十四章　圆 ◆小试卷(六) 创新作业本·数学九年级上（人教版） 1 一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．下列说法中正确的是(　 　) A．直径是圆的对称轴 B．经过圆心的直线是圆的对称轴 C．与圆相交的直线是圆的对称轴 D．与半径垂直的直线是圆的对称轴 B 创新作业本·数学九年级上（人教版） 2．如图，在⊙O中，∠BOC＝54°，则∠BAC的度数是　 (　 　) A．27° B．28° C．36° D．54° A 创新作业本·数学九年级上（人教版） 3．如图，AB，AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D，连接BC，且AB＝10，AC＝8，则OD的长是(　 　) C．4 D．5 A 创新作业本·数学九年级上（人教版） 4．如图，四边形ABCD内接于⊙O.若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的度数是(　 　) A．45° B．50° C．60°　 D．75° 5．如图， AB是⊙O 的直径， CD为弦，AB⊥CD.若∠BOC＝70°，则∠A的度数是(　 　) A．70° B．35° C．30° D．20° C B 创新作业本·数学九年级上（人教版） C．3 D．4 A 创新作业本·数学九年级上（人教版） 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 70° 创新作业本·数学九年级上（人教版） 创新作业本·数学九年级上（人教版） 9．如图，△ABC内接于⊙O，∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，CD⊥AB于点D.若⊙O的半径为2，则CD的长是____. 创新作业本·数学九年级上（人教版） 10．如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD＝30°，则∠B＋∠E的度数是____________. 210° 创新作业本·数学九年级上（人教版） 三、解答题(本大题共4小题，共50分) 11．(本题12分)如图，⊙O的弦AB，CD的延长线相交于点P，且AB＝CD.求证：PA＝PC. 创新作业本·数学九年级上（人教版） 证明：如图， 连接AC. ∵AB＝CD， ∴∠C＝∠A， ∴PA＝PC. 创新作业本·数学九年级上（人教版） 12．(本题12分)如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD，垂足是点M，AM＝18，BM＝8.求弦CD的长． 创新作业本·数学九年级上（人教版） 解：如图，连接OC. ∵AM＝18，BM＝8， ∴AB＝26， ∴OM＝OB－BM＝13－8＝5. ∵直径AB⊥弦CD于点M， ∴CD＝2CM＝2DM. 在Rt△OCM中，由勾股定理，得 ∴CD＝24. 创新作业本·数学九年级上（人教版） 13．(本题12分)如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DAE是四边形ABCD的一个外角，且AD平分∠CAE. (1)求证：∠DAE＝∠BCD. (2)求证：DB＝DC. 创新作业本·数学九年级上（人教版） 证明：(1)∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠BCD＋∠DAB＝180°. 又∵∠DAE＋∠DAB＝180°， ∴∠DAE＝∠BCD. (2)∵∠DAC与∠DBC是同弧所对的圆周角， ∴∠DAC＝∠DBC. ∵AD平分∠CAE， ∴∠DAE＝∠DAC. 由(1)可知∠DAE＝∠BCD， ∴∠BCD＝∠DBC， ∴DB＝DC. 创新作业本·数学九年级上（人教版） 14．(本题14分)如图，⊙O中两条互相垂直的弦AB，CD相交于点P，AB经过点O，E是AC的中点，连接OE，EP，延长EP交BD于点F. (2)求证：EF⊥BD. 创新作业本·数学九年级上（人教版） 解：(1)∵E是AC的中点， ∴OE垂直平分AC， ∴OE⊥AC，AC＝2AE. 创新作业本·数学九年级上（人教版） (2)证明：∵AB⊥CD， ∴∠APC＝∠BPD＝90°， ∴∠DPF＋∠BPF＝90°. ∵E是AC的中点， ∵∠EPC＝∠DPF，∠B＝∠C， ∴∠DPF＝∠B， ∴∠B＋∠BPF＝90°， ∴∠BFP＝180°－(∠B＋∠BPF)＝90°， ∴EF⊥BD. 创新作业本·数学九年级上（人教版） A．3 B． 6．如图，在⊙O中，AB⊥AC，AB＝6，AC＝8，D是的中点，则CD的长是(　 　) A．2 B．2 7．如图，在⊙O中，＝，∠A＝40°，则∠C的度数是__________. 8．如图，⊙O的半径为5，AB为弦，点C为的中点．若∠ABC＝30°，则弦AB的长是______. 5 ∴＝， ∴＋＝＋，即＝， ∴OC＝OA＝OB＝AB＝13， CM＝＝＝12， (1)若AB＝10，OE＝，求AC的长． ∵AB＝10，∴OA＝AB＝5. 在Rt△AOE中，OE＝， ∴AE＝＝＝， ∴AC＝2AE＝2. ∴EP＝EC＝AC，∴∠EPC＝∠C. $$第二十四章　圆 ★单元复习与小结——核心考点归纳 创新作业本·数学九年级上（人教版） 1 1 垂径定理及其推论 1．(2023·宜昌)如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，AC，OB交于点D.若AD＝CD＝8，OD＝6，则BD的长是(　 　) A．5 B．4 C．3 D．2 B 创新作业本·数学九年级上（人教版） 2．已知⊙O的半径为7，AB是⊙O的弦，点P在弦AB上．若PA＝4，PB＝6，则OP的长为(　 　) D 创新作业本·数学九年级上（人教版） 3．如图，在△ABC中，∠ACB＝130°，∠BAC＝20°，BC＝2.若以点C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，则BD的长是______. 创新作业本·数学九年级上（人教版） 4．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，AB＝10，AC＝6，OD⊥BC，垂足为D，则BD的长是______. 4 创新作业本·数学九年级上（人教版） 5．(2023·永州)如图，⊙O是一个盛有水的容器的横截面，⊙O的半径为10 cm，水的最深处到水面AB的距离为4 cm，则水面AB的宽度为________cm. 16 创新作业本·数学九年级上（人教版） 2 弧、弦、圆心角、圆周角之间的转化 A．24° B．26° C．48° D．66° C 创新作业本·数学九年级上（人教版） 7．如图，点A，B，C，D均为⊙O上的点，且AB＝CD.下列说法中错误的是(　 　) A．∠AOB＝∠COD B．∠AOC＝∠BOD C．AC＝BD D．OC＝CD D 创新作业本·数学九年级上（人教版） 8．(2023·杭州)如图，在⊙O中，半径OA，OB互相垂直，点C在劣弧AB上．若∠ABC＝19°，则∠BAC的度数是(　 　) A．23° B．24° C．25° D．26° D 创新作业本·数学九年级上（人教版） 9．如图，⊙O为△ACD的外接圆，AB是⊙O的直径．若∠BAD＝50°，则∠ACD的度数是__________. 40° 创新作业本·数学九年级上（人教版） 1 创新作业本·数学九年级上（人教版） 11．(2023·安徽)已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线BD是⊙O的直径． (1)如图1，连接OA，CA，若OA⊥BD，求证：CA平分∠BCD. 创新作业本·数学九年级上（人教版） 证明：如图，延长AE交BC于点M，延长CE交AB于点N. ∵AE⊥BC，CE⊥AB，∴∠AMB＝∠CNB＝90°. ∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD＝∠BCD＝90°， ∴∠BAD＝∠CNB，∠BCD＝∠AMB， ∴AD∥NC，CD∥AM， ∴四边形AECD是平行四边形， ∴AE＝CD＝3， 创新作业本·数学九年级上（人教版） 3 切线的性质和判定 12．如图，点A，B，C是⊙O上的三点，半径OC＝1，∠ABC＝30°，切线PA交OC的延长线于点P，则PA的长是(　 　) B 创新作业本·数学九年级上（人教版） 13．(2023·眉山)如图，AB切⊙O于点B，连接OA交⊙O于点C，BD∥OA交⊙O于点D，连接CD，若∠OCD＝25°，则∠A的度数是(　 　) A．25° B．35° C．40° D．45° C 创新作业本·数学九年级上（人教版） 14．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC.若以点C为圆心，作半径为2 cm圆与斜边AB相切，则BC的长是______cm. 15．如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，CD切⊙O于点E，分别交PA，PB于点C，D.若△PCD的周长为3，则PA的长是__________. 1.5 创新作业本·数学九年级上（人教版） 16．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC于点E，CA的延长线交⊙O于点F. (1)求证：DE是⊙O的切线． (2)若DE＋EA＝8，AF＝16，求⊙O的半径． 创新作业本·数学九年级上（人教版） 解：(1)证明：∵OB＝OD， ∴∠ABC＝∠ODB. ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∴∠ODB＝∠ACB， ∴OD∥AC. ∵DE⊥AC，OD是半径， ∴DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线． 创新作业本·数学九年级上（人教版） (2)如图，过点O作OH⊥AF于点H， 则∠ODE＝∠DEH＝∠OHE＝90°. ∴四边形ODEH是矩形，∴OD＝EH，OH＝DE， 设AE＝x.∵DE＋AE＝8， ∴OH＝DE＝8－x，OA＝OD＝HE＝AH＋AE＝8＋x. 在Rt△AOH中，由勾股定理，得AH2＋OH2＝OA2，即82＋(8－x)2＝(8＋x)2，解得x＝2， ∴OA＝8＋2＝10，∴⊙O的半径为10. 创新作业本·数学九年级上（人教版） 4 圆中的有关计算 17．(2023·牡丹江)用一个圆心角为90°，半径为8的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面直径是(　 　) A．6 B．5 C．4 D．3 C 创新作业本·数学九年级上（人教版） C 创新作业本·数学九年级上（人教版） 19．(2023·重庆B卷)如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，E为BC的中点，连接AE，DE.以点E为圆心，EB长为半径画弧，分别与AE，DE交于点M，N，则图中阴影部分的面积为__________(结果保留π)． 4－π 创新作业本·数学九年级上（人教版） 20．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，点D为边AB的中点，点O在边BC上，以点O为圆心的圆过顶点C，与边AB交于点D. (1)求证：直线AB是⊙O的切线． 创新作业本·数学九年级上（人教版） 解：(1)证明：如图所示，连接OD，CD. ∵∠ACB＝90°，∠B＝30°， ∴AD＝AC，∴△ADC是等边三角形， ∴∠ADC＝∠ACD＝60°. ∵∠ACB＝90°，∴∠DCO＝90°－60°＝30°. ∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠DCO＝30°， ∴∠ADO＝∠ADC＋∠ODC＝60°＋30°＝90°，即OD⊥AB. ∵OD过圆心O，∴直线AB是⊙O的切线． 创新作业本·数学九年级上（人教版） ∵∠B＝30°，∠BDO＝∠ADO＝90°， ∴∠BOD＝60°，BO＝2DO. 创新作业本·数学九年级上（人教版） A． B．4 C． D．5 2 6．如图，在⊙O中，点A是的中点，∠ADC＝24°，则∠AOB的度数是(　 　) 10．如图，△ABC是⊙O的内接三角形．若∠ABC＝45°，AC＝，则⊙O的半径是______. 证明：∵OA⊥BD，∴＝， ∴∠ACB＝∠ACD，即CA平分∠BCD. (2)如图2，E为⊙O内一点，满足AE⊥BC，CE⊥AB.若BD＝3，AE＝3，求弦BC的长． ∴BC＝＝＝3. A．2 B． C. D． 2 ∴AH＝AF＝8. 18．(2023·青岛)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝58°，∠ACD＝40°.若⊙O的半径为5，则的长是(　 　) A．π B．π C．π D．π (2)若AC＝，求图中阴影部分的面积． ∴AC＝AB，∠A＝90°－∠B＝60°. ∵点D为AB的中点，∴BD＝AD＝AB， (2)由(1)可知，AC＝AD＝BD＝AB， 又∵AC＝，∴BD＝AC＝. 由勾股定理，得BO2＝OD2＋BD2，即(2OD)2＝OD2＋()2，解得OD＝1(负数舍去)， 所以阴影部分的面积S＝S△BOD－S扇形DOE＝×1×－＝－. $$第二十四章　圆 实践操作一　圆与无刻度直尺画图 创新作业本·数学九年级上（人教版） 1 类型一　画圆心或直径 1．如图，⊙P经过格点A，B，E，画圆心P. 创新作业本·数学九年级上（人教版） 类型二　画平行弦 创新作业本·数学九年级上（人教版） 类型三　画角平分线 3．如图，⊙P经过格点A，B，C，画弦BD，使BD平分∠ABC. 创新作业本·数学九年级上（人教版） 类型四　画弧的中点 创新作业本·数学九年级上（人教版） 类型五　画切线 5．如图，点O，A，Q都是格点，⊙O经过点A，过点Q作⊙O的两条切线． 创新作业本·数学九年级上（人教版） 类型六　画等弧 创新作业本·数学九年级上（人教版） 类型七　画内心 7．如图，O是格点，⊙O经过格点A，M，N，画△AMN的内心I. 创新作业本·数学九年级上（人教版） 类型八　画等弦 8．如图，⊙P经过格点A，B，E，F是⊙P与网格线的交点，画弦FG，使FG＝FA. 创新作业本·数学九年级上（人教版） 2．如图，在⊙O中，C是的中点，D是优弧上一点，画弦DE，使DE∥AB. 4．如图，点A，B，C均为格点，A，B，C在⊙O上，画圆心O及的中点H. 6．如图，AB，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，在上画点E，使＝. $$第二十四章　圆 实践操作二　尺规作图与圆 创新作业本·数学九年级上（人教版） 1 1．(2023·甘肃)1672年，丹麦数学家莫尔在他的著作《欧几里得作图》中指出：只用圆规可以完成一切尺规作图.1797年，意大利数学家马斯凯罗尼又独立发现此结论，并写在他的著作《圆规的几何学》中．请你利用数学家们发现的结论，完成下面的作图题： 如图，已知⊙O，A是⊙O上一点，只用圆规将⊙O的圆周四等分．(按如下步骤完成，保留作图痕迹) ①以点A为圆心，OA长为半径，自点A起，在⊙O上逆时针 创新作业本·数学九年级上（人教版） ②分别以点A，D为圆心，AC长为半径作弧，两弧交于⊙O上方点E； ③以点A为圆心，OE长为半径作弧，交⊙O于G，H两点，即点A，G，D，H将⊙O的圆周四等分． 创新作业本·数学九年级上（人教版） 解：如图，点A，G，D，H把⊙O的圆周四等分． 创新作业本·数学九年级上（人教版） 2．(2023·连云港)如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交边AC于点D，连接BD，过点C作CE∥AB. (1)请用无刻度的直尺和圆规作图：过点B作⊙O的切线，交CE于点F.(不写作法，保留作图痕迹，标明字母) (2)在(1)的条件下，求证：BD＝BF. 创新作业本·数学九年级上（人教版） 解：(1)方法不唯一，如图所示，BF即为所求． (2)∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB. 又∵CE∥AB，∴∠ABC＝∠BCF， ∴∠BCF＝∠ACB. ∵点D在以AB为直径的圆上，∴∠ADB＝90°， ∴∠BDC＝90°. 又∵BF为⊙O的切线，∴∠ABF＝90°. ∵CE∥AB， ∴∠BFC＋∠ABF＝180°，∴∠BFC＝90°，∴∠BDC＝∠BFC. 创新作业本·数学九年级上（人教版） ∴△BCD≌△BCF(AAS)，∴BD＝BF. 创新作业本·数学九年级上（人教版） 3．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是边BC上的高． (1)尺规作图：作△ABC的外接圆⊙O. 创新作业本·数学九年级上（人教版） 解：(1)如图，作AC的垂直平分线交AD于点O，以点O为圆心， OA的长为半径作⊙O，则⊙O即为所求． 设OA＝OB＝R，则OD＝9－R. ∵OB2＝OD2＋BD2，∴R2＝(9－R)2＋32，解得R＝5， ∴⊙O的半径为5. 创新作业本·数学九年级上（人教版） 方向顺次截取＝＝； ∵在△BCD和△BCF中， (2)若AB＝3，BC＝6，求⊙O的半径． (2)连接OB.∵AD⊥BC，∴BD＝BC＝3. ∵AB＝3，∴AD＝＝9. $$第二十四章　圆 综合与实践一　垂径定理应用 创新作业本·数学九年级上（人教版） 1 利用素材解决：《桥梁的设计》 问题驱动 某地欲修建一座拱桥，桥的底部两端间的水面宽AB＝L称为跨度，桥面最高点C到AB的距离CD＝h称为拱高，拱桥的轮廓可以设计成圆弧形或抛物线形，若修建拱桥的跨度L＝32米，拱高h＝8米． 创新作业本·数学九年级上（人教版） 设计方案 方案一 方案二 设计类型 圆弧形 抛物线形 任务一 设计成圆弧形，求该圆弧所在圆的半径. 设计成抛物线形，以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立坐标系，求桥拱的函数解析式． 创新作业本·数学九年级上（人教版） 设计方案 方案一 方案二 任务二 如图，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形EFGH，测得EF＝6.1米，EH＝16米．请你通过计算说明货船能否分别顺利通过这两座桥梁？ 创新作业本·数学九年级上（人教版） 解：任务一： 创新作业本·数学九年级上（人教版） 创新作业本·数学九年级上（人教版） 任务二： ①在圆弧形拱桥中，假设货船能顺利通过拱桥，且货船的顶端正好接触到拱桥，如图所示：连接OE，则OE＝R＝20，OM＝OD＋DM＝12＋6.1＝18.1，在Rt△OEM中，EM2＝OE2－OM2，∴EM2＝202－18.12＝72.39＞64，∴货船能顺利通过圆弧形拱桥； 创新作业本·数学九年级上（人教版） ①设计成圆弧形，设所在圆的圆心为O，C为的中点，CD⊥AB于点D，延长CD经过点O，设⊙O的半径为R，在Rt△OBD中，OB2＝OD2＋DB2，∵BD＝AB＝16米，CD＝8米，∴R2＝(R－8)2＋162，解得R＝20，∴圆弧所在圆的半径为20米； ②设计成抛物线形，以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立坐标系，设桥拱的函数解析式为y＝ax2＋c，又∵抛物线经过点C(0,8)和点B(16,0)，∴0＝256a＋8，解得a＝－，∴桥拱的函数解析式为y＝－x2＋8(－16≤x≤16)． ②在抛物线形拱桥中，当x＝8时，y＝－×64＋8＝6＜6.1，∴货船不能顺利通过抛物线形拱桥． $$第二十四章　圆 综合与实践二　垂径、弧长综合应用 创新作业本·数学九年级上（人教版） 1 (2023·河北)装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以AB为直径的半圆O，AB＝50 cm，如图1和图2所示，MN为水面截线，GH为台面截线，MN∥GH. 计算：在图1中，已知MN＝48 cm，作OC⊥MN于点C. (1)求OC的长． 操作：将图1中的水面沿GH向右作无滑动的滚动，使水流出一部分，当∠ANM＝30°时停止滚动，如图2.其中，半圆的中点为Q，GH与半圆的切点为E，连接OE交MN于点D. 探究：在图2中 创新作业本·数学九年级上（人教版） 创新作业本·数学九年级上（人教版） 解：(1)连接OM. 创新作业本·数学九年级上（人教版） (2)∵GH与半圆的切点为E，∴OE⊥GH. ∵MN∥GH，∴OE⊥MN于点D. 创新作业本·数学九年级上（人教版） 创新作业本·数学九年级上（人教版） (2)操作后水面高度下降了多少？ (3)连接OQ并延长交GH于点F，求线段EF与的长度，并比较大小． ∵O为圆心，OC⊥MN于点C，MN＝48 cm，∴MC＝MN＝24 cm. ∵AB＝50 cm，∴OM＝AB＝25 cm， ∴在Rt△OMC中，OC＝＝＝7 cm. ∵∠ANM＝30°，ON＝25 cm，∴OD＝ON＝ cm， ∴操作后水面高度下降高度为：－7＝ cm. (3)∵OE⊥MN于点D，∠ANM＝30°，∴∠DOB＝60°. ∵半圆的中点为Q，∴＝，∴∠QOB＝90°，∴∠QOE＝30°， ∴EF＝OE＝ cm，＝＝ cm. ∵－＝＝>0， ∴线段EF的长度大于的长度． $$