第23章　解直角三角形 课件 2024-2025学年数学沪科版九年级上册

第23章　解直角三角形 23.1　锐角的三角函数 23.1.1　锐角的三角函数 第1课时　正切 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 1 1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝12，AC＝5，则tan A的值为(　 　) 1 正切的定义 D 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 2．在Rt△ABC中，各边长度都同时缩小为原来的一半，则锐角A的正切值(　 　) A．扩大到原来的2倍 B．缩小为原来的一半 C．不变 D．无法确定 C 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 3．如图，在平面直角坐标系中，直线OA经过点A(3,4)，则tan α的值是(　 　) D 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，tan A＝2，则BC＝________. 5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2AC，则tan A＝____， tan B＝______. 10 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 2 坡度和坡角 7．如图，小明沿斜坡AB上行40 m，其上升的垂直高度CB为20 m，则斜坡AB的坡度为(　 　) C 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（沪科版） A 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 10．如图，两架梯子AB＝10 m，CD＝6 m，将它们分别斜立在墙AE上，它们到墙角的距离BE＝6 m，DE＝2 m．你能判断哪架梯子更陡吗？请说明理由． 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 11．一间公共房屋门前的台阶高出地面1.2 m，台阶拆除后换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列关系或说法正确的是(　 　) A．斜坡AB的坡度是10° B．斜坡AB的坡度是tan 10° C．AC＝1.2tan 10° m B 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 6 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 13．如图，在正方形网格中，小正方形的边长均为1，点A， B，C均在格点上，则∠ABC的正切值是______. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 14．如图，CD是平面镜，光线从点A出发经CD上的点E反射后照射到点B.若入射角为α，AC⊥CD，BD⊥CD，垂足分别为点C，D，且AC＝3，BD＝6，CD＝12.求tan α的值． 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 15．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，作BC的垂直平分线交AC于点D，延长AC至点E，使CE＝AB. (1)若AE＝1，求△ABD的周长． 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 解：(1)如图，连接BD，设BC垂直平分线交BC于点F. ∵DF为BC垂直平分线， ∴BD＝CD. C△ABD＝AB＋AD＋BD＝AB＋AD＋DC＝AB＋AC， ∵AB＝CE， ∴C△ABD＝AC＋CE＝AE＝1. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（沪科版） (2)设AD＝x，∴BD＝3x， 又∵BD＝CD，∴AC＝AD＋CD＝4x. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（沪科版） A． B． C． D． A． B． C． D． 6．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，若BD＝2CD＝8，tan B＝，求tan C的值． 解：∵BD＝2CD＝8， ∴CD＝4. ∵tan B＝，∴＝， ∴AD＝BD＝6， ∴tan C＝＝＝. A．30° B． C． D． 8．河坝横断面如图所示，坝高BC为5 m，迎水坡AB的坡度为1：，则AC的长是(　 　) A．5 m B．10 m C．15 m D．10 m 9．如图，河坝横断面迎水坡AB的坡度为1∶，坝高BC＝4 m，则AB的长是________m. 4 解：梯子CD更陡．理由如下： 由题可知AE＝＝＝8(m)， CE＝＝＝4(m)， ∴tan B＝＝＝，tan D＝＝＝2. ∵2＞，∴tan D＞tan B，即梯子CD更陡． D．AC＝ m 12．如图，商用手扶电梯AB的坡度为1∶.已知手扶电梯的长AB为12 m，则小明乘坐手扶电梯从B处到A处上升的高度AC为______m. 解：由光的反射定律可推出∠AEC＝∠BED. ∵∠ACE＝∠BDE＝90°， ∴△ACE∽△BDE，∴＝， 即＝，解得CE＝4. ∴tan A＝＝. 又∵∠α＝∠A，∴tan α＝. (2)若AD＝BD，求 tan∠ABC的值． 在Rt△ABD中，AB＝＝＝2x. ∴ tan∠ABC＝＝＝. $$第23章　解直角三角形 23.1　锐角的三角函数 23.1.1　锐角的三角函数 第2课时　正弦和余弦 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 1 1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，则sin A的值是(　 　) 1 正弦 C 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 2．在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则sin B的值是(　 　) A 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 12 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 2 余弦 4．如图，在平面直角坐标系中，已知点A(3,0)，B(0，－4)，则cos ∠OAB的值是(　 　) C 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 5．在△ABC中，三边BC，CA，AB满足BC：CA：AB＝5：12：13，则cos B的值是(　 　) C 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 6．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，∠ABC的平分线BD交AC于点D.若CD＝3，求cos A. 解：如图，过点D作DE⊥AB于点E. ∵∠ACB＝90°，BD是∠ABC的角平分线， ∴DE＝CD. ∵AC＝8，CD＝3， ∴AD＝AC－CD＝8－3＝5，DE＝3， 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 3 锐角的三角函数 7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边．下列等式中正确的是(　 　) C 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝6，求锐角A的三角函数． 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，则下列式子中正确的是(　 　) A 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 10．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝6，BC＝8，点D为BC的中点，DE⊥AB于点E，则cos ∠BDE的值为(　 　) B 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 11．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长均为1， △ABC每个顶点都在网格格点上，则sin A＝________. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（沪科版） (2)如果将题中的AB＝15去掉，能求出tan A的值吗？若能求出，请求出来；若不能，请说明理由． 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（沪科版） (1)求△ABC的面积S. (2)求sin A的值． (3)直接写出sin∠ABC的值． 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（沪科版） A． B． C． D． A． B． C． D． 3．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，sin B＝，则BC＝________. A． B．－ C． D． A． B． C． D． ∴AE＝＝＝4， ∴cos A＝＝. A．b＝csin A B．cos B＝ C．tan A＝ D．a＝btan B 解：∵在Rt△ABC中， ∠C＝90°，BC＝3，AC＝6， ∴AB2＝AC2＋BC2，∴AB＝3， ∴sin A＝＝＝，cos A＝＝＝， tan A＝＝＝. A．sin A＝ B．tan A＝ C．cos B＝ D．tan B＝ A． B． C． D． 12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，AB＝15. (1)求tan A的值． 解：(1)∵sin A＝＝，AB＝15， ∴BC＝AB·sin A＝15×＝12， ∴AC＝＝＝9， ∴tan A＝＝＝. 解：(2)能求出tan A的值． ∵sin A＝＝， 设BC＝4x，则AB＝5x，根据勾股定理，得 AC＝＝＝3x， ∴tan A＝＝＝. 13．如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝，AB＝2. 解：(1)过点B作BH⊥AC交AC的延长线于点H. 设CH＝a，则BH2＝()2－a2＝(2)2－(3＋a)2， ∴a＝1，∴BH＝2， ∴S＝AC·BH＝×3×2＝3. (2)在Rt△ABH中，BH＝2，AB＝2， ∴sin A＝＝. (3)过点C作CN⊥AB于点N， 则S＝AB·CN＝AC·BH， ∴2CN＝3×2，∴CN＝， ∴sin∠ABC＝＝. $$第23章　解直角三角形 23.1　锐角的三角函数 23.1.2　30°，45°，60°角的三角函数值 第1课时　30°，45°，60°角的三角函数值 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 1 1．计算|1－tan 60°|的值为(　 　) 1 30°，45°，60°角的三角函数值 C 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 2．已知在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，则cos B的值为(　 　) B 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 4. 计算： (1)tan 60°＋2sin 45°－2cos 30°. (2)cos245°＋tan 30°·sin 30°. 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 2 由三角函数值确定锐角的度数 C D 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 7．已知tan (α－30°)＝1，则锐角α的度数为__________. 8．如图，△ABC为等腰三角形，底边BC＝20，其面积为100，求△ABC各角的度数． 75° 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 10．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，AE⊥BD于点E， 且DE＝3BE，则∠BAE的正弦值为________. 60° 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 13．【核心素养·几何直观】问题呈现 如图1，在边长为1的正方形网格中，连接格点D，N和E，C，DN与EC交于点P，求tan ∠CPN的值． 方法归纳 求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出(或构造出)一个直角三角形．观察发现问题中∠CPN不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题，比如连接格点M，N，可得MN∥EC，则∠DNM＝∠CPN，连接DM，则∠CPN就变换到Rt△DMN中． 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 问题解决 (1)直接写出图1中tan ∠CPN的值为______. (2)如图2，在边长为1的正方形网格中，AN与CM交于点P，求cos ∠CPN的值． 思维拓展 (3)如图3，AB⊥BC于点B，AB＝4BC，点M在AB上，且AM＝BC，延长CB到点N，使BN＝2BC，连接AN交CM的延长线于点P.用上述方法构造网格求∠CPN的度数． 2 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 解：(2)如图，取格点B，连接格点AB，可得AB∥MC，连接BN，∴∠CPN＝∠BAN.易知△ABN为直角三角形． 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（沪科版） (3)设BC的长为单位1，构造如图所示的网格图，取格点D，连接格点A，D，可得AD∥CM，连接DN， ∴∠CPN＝∠DAN. 易知△ADN为直角三角形． 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（沪科版） A．1－ B．0 C．－1 D．1－ A． B． C． D． 3．计算：sin 45°－cos 60°＝________. 解：原式＝＋2×－2×＝. 解：原式＝2＋×＝＋. (3)－1＋(tan 70°－sin 10°)0＋sin 60°·tan 30°. 解：原式＝－2＋1＋×＝－1＋＝－. 5．已知α为锐角，且cos (α－10°)＝，则α的度数是(　 　) A．50° B．60° C．70° D．80° 6．在△ABC中，∠A，∠C都是锐角，且sin A＝cos (90°－C)＝，则△ABC的形状是(　 　) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 解：如图，过点A作AD⊥BC于点D， 则有AD·BC＝100. ∵BC＝20， ∴AD＝10，BD＝10. ∴tan B＝＝＝1， ∴∠B＝∠C＝45°，∠BAC＝90°. 9．△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且(tan A－)2＋|2cos B－1|＝0，则∠C的度数是__________. 11．定义一种运算：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β.例如：当α＝45°，β＝30°时，sin＝×＋×＝，求sin 15°的值． 解：sin 15°＝sin(45°－30°) ＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30° ＝×－× ＝. 12．如图，在平面直角坐标系中，已知点A(1,0)，B(0，－)，点C在x轴上(位于点A右侧)，连接AB，BC.若cos∠ABC＝，求点C的坐标． 解：∵A(1,0)，B(0，－)，∴OA＝1，OB＝， ∴tan∠OBA＝，∴∠OBA＝30°. ∵cos∠ABC＝，∴∠ABC＝30°，∴∠OBC＝60°. ∵tan∠OBC＝＝tan 60°＝， ∴OC＝OB＝3，∴C(3,0)． 在Rt△ABN中，AB＝BN＝，AN＝， ∴cos∠CPN＝cos∠BAN＝＝＝. 在Rt△ADN中，AD＝DN＝， AN＝2， ∴cos∠CPN＝cos∠DAN＝＝＝， ∴∠CPN＝45°. $$第23章　解直角三角形 23.1　锐角的三角函数 23.1.2　30°，45°，60°角的三角函数值 第2课时　互余两锐角的三角函数关系 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 1 2．若α为锐角，且sin 18°＝cos α，则α的度数是(　 　) A．18° B．36° C．54° D．72° 互余两锐角的正弦、余弦的关系 A D 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 3．在Rt△ABC中，AC≠BC，∠C＝90°，则下列式子成立的是(　 　) A．sin A＝sin B B．sin A＝cos B C．tan A＝tan B D．cos A＝tan B 4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cos A＝0.618，则sin B的值是______________. B 0.618 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（沪科版） B 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（沪科版） A 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（沪科版） (1)根据上述规律，计算sin2α＋sin2(90°－α)＝______. (2)计算sin21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 289°. 1 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 1．在△ABC中，∠C＝90°.若cos B＝，则sin A的值是(　 　) A． B．2 C． D．3 解：(1)∵∠B＝90°－∠A，∴cos B＝sin A＝. (2)sin 50°＝cos 40°＝0.766，cos 50°＝sin 40°＝0.642 8. 5．(1)已知sin A＝且∠B＝90°－∠A，求cos B的值． (2)已知sin 40°＝0.642 8，cos 40°＝0.766，求50°角的正弦、余弦值． 6．若cos (36°－α)＝，则sin (54°＋α)的值是(　 　) A． B． C． D． 7．若∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角，则sin 的值是(　 　) A．cos B．sin C．cos C D．cos 8．已知α，β均为锐角，且cos (90°－α)＝，sin β＝，求的值． 解：由题意，得sin α＝cos (90°－α)＝， cos (90°－β)＝sin β＝， ∴＝＝＝. 9．已知sin 2α＋cos 2α＝1，观察下列等式： ①sin 30°＝，cos 60°＝； ②sin 45°＝，cos 45°＝； ③sin 60°＝，cos 30°＝. 解：(2)原式＝(sin 21°＋sin 289°)＋(sin 22°＋sin 288°)＋…＋ sin 245°＝1＋1＋…＋1＋＝44＋＝. $$第23章　解直角三角形 23.1　锐角的三角函数 23.1.3　一般锐角的三角函数值 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 1 A．2和3 B．3和4 C．4和5 D．5和6 1 用计算器求一般锐角的三角函数值或锐角的度数 B 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 2．如图，∠B＝90°，用科学计算器求∠A的度数，下列按键顺序正确的是(　 　) B 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 3．用计算器计算：sin 53°≈________，cos 53°≈________ (结果精确到0.1)． 4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，则AB＝________，∠A＝_____________，∠B＝_____________ (角度精确到1′)． 0.8 0.6 13 22°37′ 67°23′ 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 5．一辆汽车沿着一个山坡行驶了100 m到达坡顶，其竖直高度上升了20 m，求山坡与水平面所成的锐角大小(结果精确到0.1°)． 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 2 锐角三角函数的大小比较 A．0°<∠A<30° B．30°<∠A<45° C．45°<∠A<60° D．60°<∠A<90° 7．比较大小(均选填“＞”“＜”或“＝”)： (1)sin 40°______sin 50°. (2)cos 30°______cos 40°. (3)cos 35°______sin 65°. B ＜ ＞ ＞ 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 8．三角函数sin 70°，cos 70°，tan 70°的大小关系是 (　 　) A．sin 70°>cos 70°>tan 70° B．tan 70°>cos 70°>sin 70° C．tan 70°>sin 70°>cos 70° D．cos 70°>tan 70°>sin 70° C ＜ 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 10．如图，将一张矩形纸片ABCD沿CE折叠，点B恰好落在边AD上，设此点为点F.展开后若AB∶BC＝4∶5，则∠CFD≈ _________(结果精确到0.01°)． 11．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10 cm，∠A＝42°，求△ABC的周长和面积(结果精确到0.1)． 53.13° 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（沪科版） ∴BC＝ABsin 42°，AC＝ABcos 42°， ∴△ABC的周长为AB＋BC＋AC＝AB(1＋sin 42°＋ cos 42°)≈24.1(cm)， 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 1．在科学计算器上，依次按键：，显示的结果在哪两个相邻整数之间(　 　) A． B． C． D． 解：设山坡与水平面所成的锐角为α. 由题意，得sin α＝＝0.2，解得α≈11.5°， ∴山坡与水平面所成的锐角约为11.5°. 6．已知∠A是锐角，且cos A＝，那么锐角A的取值范围是(　 　) 9．比较大小：sin 40°·cos 50°－______0(选填“>”“<”或“＝”)． 解：∵∠C＝90°，∴sin A＝，cos A＝， S△ABC＝BC·AC＝AB2·sin 42°·cos 42°≈24.9(cm2)． $$第23章　解直角三角形 23.2　解直角三角形及其应用 第1课时　解直角三角形 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 1 1．在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，BC＝8，则AB的长是(　 　) 1 直接解直角三角形 D 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（沪科版） D 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 2 45° 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 5．如图，AD是△ABC的高，若BD＝2CD＝6，tan C＝2，求边AB的长． 解：∵BD＝2CD＝6，∴CD＝3. ∵Rt△ADC中，tan C＝2， ∴AD＝CD·tan C＝3×2＝6， 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 2 构造直角三角形解决问题 6．若等腰三角形的腰与底边的比是5：6，则底角的余弦值是 ______. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（沪科版） C 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 10．如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，已知点A(3,0)，B(0,4)，点C在x轴负半轴上，连接AB，BC，若tan ∠ABC＝2，则点C的坐标为___________. (－2,0) 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 解：如图，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E. 在Rt△BED中， 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 12．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D为BC的中点，DE⊥AC于点E，连接BE.已知DE＝2.若∠C＝30°，求sin ∠BEA. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（沪科版） (1)AD的长为________. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（沪科版） (2)参考小红思考问题的方法，解决问题： 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（沪科版） (2)如图3，延长AB与DC相交于点E. ∵∠ABC＝∠BCD＝135°， ∴∠EBC＝∠ECB＝45°， ∴BE＝CE，∠E＝90°. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（沪科版） A．　　 B．4 C．8　　 D．4 2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，tan A＝.下列说法中正确的是(　 　) A．∠A＝30° B．AC＝ C．AB＝2 D．AC＝2 3．如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，BC＝2，则AC＝______，∠B＝__________. 4．根据下列条件解直角三角形，其中∠C＝90°. (1)在Rt△ABC中，b＝2 ，c＝4. (2)在Rt△ABC中，b＝7，∠A＝45°. 解：(1)由勾股定理，得 a＝＝＝2， cos A＝＝＝，∴∠A＝30°， ∠B＝90°－∠A＝90°－30°＝60°. (2)∠B＝90°－∠A＝90°－45°＝45°，∴a＝b＝7. 由勾股定理，得c＝＝＝7. ∴由勾股定理，可得AB＝＝＝6. 7．如图，在△ABC中，sin B＝，tan C＝2，AB＝3，则AC的长是________. 8．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝2，求AB的长． 解：如图，过点C作CD⊥AB于点D. 在Rt△ACD中，∠A＝30°， AC＝2， ∴AD＝AC·cos 30°＝2×＝3， CD＝AC·sin 30°＝2×＝. 在Rt△BCD中，∠B＝45°，∴BD＝CD＝， ∴AB＝AD＋BD＝3＋. 9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝，点D是AC上一点，连接BD.若tan A＝，tan ∠ABD＝，则CD的长为(　 　) A．2 B．3 C． D．2 11．如图，在四边形ABCD中，∠C为钝角，CD＝3，BD＝2，sin ∠DBC＝，求BC的长． DE＝BD·sin ∠DBC＝2×＝2， ∴BE＝＝＝4， CE＝＝＝1， ∴BC＝BE－CE＝4－1＝3. 解：过点B作BH⊥AC于点H. ∵∠C＝30°，DE＝2，∴CD＝4，CE＝2. ∵点D为BC的中点，∴BC＝2CD＝8. 在Rt△BHC，∠C＝30°，∴BH＝4，CH＝4， ∴EH＝CH－CE＝2. 由勾股定理，得BE＝2， ∴sin ∠BEA＝＝＝. 13．小红遇到这样一个问题：如图1，在四边形ABCD中， ∠A＝∠C＝90°，∠D＝60°，AB＝4，BC＝，求AD的长． 小红发现，延长AB与DC相交于点E，通过构造Rt△ADE，经过推理和计算能够使问题得到解决(如图2)． 如图3，在四边形ABCD中， tan A＝，∠B＝∠C＝135°，AB＝9，CD＝3，求BC和AD的长． 解：(1)如图2，在△ADE中， ∵∠A＝90°，∠D＝60°，∴∠E＝30°. 在Rt△BEC中，∵∠BCE＝90°，∠E＝30°，BC＝， ∴BE＝2BC＝2，∴AE＝AB＋BE＝4＋2＝6. 在Rt△ADE中，∵∠A＝90°，∠E＝30°，AE＝6， ∴AD＝AE· tan∠E＝6×＝6.故答案为6. 设BE＝CE＝x，则BC＝x，AE＝9＋x，DE＝3＋x. 在Rt△ADE中，∠E＝90°. ∵tan A＝，∴＝，即＝，∴x＝3. 经检验x＝3是所列方程的解，且符合题意， ∴BC＝3，AE＝12，DE＝6， ∴AD＝＝＝6. $$第23章　解直角三角形 23.2　解直角三角形及其应用 第2课时　仰角与俯角问题 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 1 1．如图，AC，BD表示两栋楼房，则下列说法中正确的是(　 　) A．两楼之间的距离是AD B．从点C看点D的仰角是∠ADC C．从点A看点D的仰角是∠DAB D．从点D看点A的俯角是∠ADB 仰角与俯角问题 C 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 2．如图，在离铁塔150 m的A处(塔宽不计)，用测角器测得塔顶的仰角为α，测角器高AD为1.5 m，则铁塔的高BC的值是(　 　) A 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 30 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 4．如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部C的仰角是30°，测得底部B的俯角是60°，此时无人机与该建筑物的水平距离AD是9 m，那么该建筑物的高度BC为___________m (结果保留根号)． 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 解：由题意得CE＝32 m，EF＝BD＝4 m， ∴CF＝CE－EF＝28 m. ∵四边形BFCG是矩形， ∴BG＝CF＝14 m. ∵∠ACG＝45°，∠BCG＝63.4°， ∴∠FBC＝∠BCG＝63.4°， ∴CG＝BF＝14 m， ∴CG＝AG＝14 m， ∴AB＝BG－AG＝14 m， ∴铜像AB的高度是14 m. 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 6．如图，数学兴趣小组利用无人机A测量学校旗杆高度，已知无人机的飞行高度为37 m，当无人机与旗杆的水平距离是45 m时，观测旗杆顶部的俯角为30°，则旗杆的高度约为(　 　) B 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 423 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 解：如图，过点B作BH⊥DC于点H，过点B作BF⊥OC于点F. 依题意，得OC⊥DC，∠BDH＝37°，∠BEH＝45°. 又BH⊥DC， ∴△BEH和△OEC均为等腰直角三角形， ∴EH＝BH，EC＝OC. ∵DE＝1.5 m，EC＝5 m， ∴OC＝EC＝5 m. ∵BH⊥DC，BF⊥OC，OC⊥DC， ∴四边形BHCF为矩形， ∴BF＝CH，BH＝CF，BF∥CH， 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（沪科版） ∴∠OBF＝∠BEH＝45°，∴△OBF为等腰直角三角形， ∴BF＝OF＝CH. 设BF＝x m，则OF＝CH＝x m， ∴EH＝BH＝EC－CH＝(5－x)m， ∴DH＝DE＋EH＝1.5＋5－x＝(6.5－x)m. 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 答：太阳能电池板宽AB的长度约为1.4 m. 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 9．新情景黄河滚滚流，风车悠悠转，一批批风力发电设备给黄河岸边增添了一道别样的风景．如图，风力发电机舱在点O处，三片扇叶两两所成的角为120°，某中学九年级数学兴趣小组携带皮尺、测角仪进行了实地测量，他们在距离塔杆65 m的点C处安放测角仪(测角仪高度AC＝1 m)，当扇叶a恰好与塔杆重合时，测得扇叶b的末端点 B的仰角为54.5°，经查阅资料知此型 号的发电机每片扇叶长26 m，结合当 地气候条件，当发电机舱的高度在45 m 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 解：如图，过点A作塔杆的垂线AE，点B作水平面的垂线BG，垂线AE与BG交于点D，过点O作BG的垂线与BG交于点F. ∵∠OFD＝∠EDF＝∠OED＝90°， ∴四边形OEDF为矩形， ∠EOF＝90°. ∵∠BOE＝120°，∴∠BOF＝30°. 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（沪科版） ∵FD＝BD－BF≈46.51， ∴FG≈47.51， ∴点O到地面的距离约为47.51 m，在45 m到50 m之间，该发电机机舱的高度合适． 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（沪科版） A．(1.5＋150tan α)m B．m C．(1.5＋150sin α)m D．m 3．如图，在高楼前D点测得楼顶的仰角为30°，向高楼前进a m到C点，又测得仰角为60°，已知该高楼的高度为15 m，则a＝________m. 12 5．(2023·襄阳)在襄阳市诸葛亮广场上矗立着一尊诸葛亮铜像．某校数学兴趣小组利用热气球开展综合实践活动，测量诸葛亮铜像的高度．如图，在点C处，探测器显示，热气球到铜像底座底部所在水平面的距离CE为32 m，从热气球C看铜像顶部A的俯角为45°，看铜像底部B的俯角为63.4°.已知底座BD的高度为4 m，求铜像AB的高度． (结果保留整数．参考数据：sin 63.4°≈ 0.89，cos 63.4°≈0.45，tan 63.4°≈2.00， ≈1.41) ∴＝tan 63.4°≈2.00，解得BF＝14 m， A．15 m B．(37－15)m C．(45－15)m D．22.5 m 7．(2023·黄石)如图，某飞机于空中A处探测到某地面目标在点B处，此时飞行高度AC＝1 200 m，从飞机上看到点B的俯角为37°飞机保持飞行高度不变，且与地面目标分别在两条平行直线上同向运动．当飞机飞行943 m到达点D时，地面目标此时运动到点E处，从点E看到点D的仰角为47.4°，则地面目标运动的距离BE约为__________m.(参考数据：tan 37°≈ ，tan 47.4°≈) 8．(2023·青岛)太阳能路灯的使用，既方便了人们夜间出行，又有利于节能减排．某校组织学生进行综合实践活动——测量太阳能路灯电池板的宽度．如图，太阳能电池板宽为AB，点O是AB的中点，OC是灯杆．地面上三点D，E，C在一条直线上，DE＝1.5 m，EC＝5 m．该校学生在D处测得电池板边缘点B的仰角为37°，在E处测得电池板边缘点B的仰角为45°，此时点A，B，E在一条直线上． 求太阳能电池板宽AB的长度．(结果 精确到0.1 m．参考数据：sin 37°≈， cos 37°≈，tan 37°≈，≈1.41) 在Rt△BDH中，tan∠BDH＝， 即tan 37°＝，∴＝，解得x＝0.5， 检验：x＝0.5是原方程的根． ∴BF＝OF＝0.5 m. 在等腰Rt△OBF中，OB＝≈0.5×≈0.5×1.41＝0.705(m)． ∵点O为AB的中点，∴AB＝2OB≈2×0.705≈1.4(m)． 到50 m之间时，发电机的工作效率最高．请你判断该发电机机舱的高度是否合适．(参考数据：sin 54.5°≈0.81，cos 54.5°≈ 0.58，tan 54.5°≈1.40，≈1.73) 在Rt△BOF中，OB＝26，∠BOF＝30°， ∴BF＝13，OF＝tan 30°·BF＝13≈22.49. ∵AE＝65， ∴AD＝AE－ED＝AE－OF＝65－22.49＝42.51. 在Rt△BDA中，AD＝42.51，∠BAD＝54.5°， 由tan 54.5°＝≈1.4，得BD＝tan 54.5°·AD≈59.51. $$第23章　解直角三角形 23.2　解直角三角形及其应用 第3课时　方向角问题 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 1 1．如图，甲、乙两艘轮船分别在P，M两个港口停靠，港口P在港口M的南偏西22°方向上．某一天，甲、乙两艘轮船分别从P，M两个港口同时出发，以相同的速度航行，乙轮船向正南方向航行，若干小时后，两轮船在N处相遇，则甲轮船的航行方向是(　 　) A．北偏东22° B．北偏东44° C．南偏西68° D．南偏西44° 方向角问题 B 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 2．如图，小明要测量河内小岛B到河边公路l的距离，在点A测得∠BAD＝30°，在点C测得∠BCD＝60°，又测得AC＝50 m，则小岛B到公路l的距离是(　 　) B 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 3．如图，小明在C处看到西北方向上有一凉亭A，北偏东35°的方向上有一棵大树B，已知凉亭A在大树B的正西方向，若BC＝50 m，则AB的长为(　 　) D 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 4．如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向，距离灯塔25 n mile的A处，它沿正北方向航行到达位于灯塔正东方向上 的B处，那么此时轮船与灯塔P的距离为__________n mile. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 5．如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东45°方向，距离灯塔30 n mile的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东30°方向上的B处．这时，B处与灯塔P的距离是_________n mile. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 6．(2023·丹东)一艘轮船由西向东航行，行驶到A岛时，测得灯塔B在它北偏东31°方向上，继续向东航行10 n mile到达C港，此时测得灯塔B在它北偏西61°方向上，求轮船在航行过程中与灯塔B的最短距离．(结果精确到0.1 n mile.参考数据：sin 31°≈0.52，cos 31°≈0.86，tan 31°≈0.60， sin 61°≈0.87，cos 61°≈0.48，tan 61°≈1.80) 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 解：如图，过点B作BD⊥AC于点D. ∵AE⊥AC，CF⊥AC， ∴BD∥AE∥CF， ∴∠ABD＝31°，∠CBD＝61°， ∴AD＝BD·tan ∠ABD＝BD·tan 31°≈0.6BD， CD＝BD·tan ∠CBD＝BD·tan 61°≈1.8BD. ∵AC＝10 n mile， ∴AD＋CD＝0.6BD＋1.8BD＝10， 答：轮船在航行过程中与灯塔B的最短距离为4.2 n mile. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（沪科版） A．1 600 m B．1 300 m C．980 m D．900 m B 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 8．新情景“淄博烧烤”火了，许多游客纷纷从外地来到淄博吃烧烤．如图，济南的小李乘坐高铁由济南来淄博吃烧烤时，在距离铁轨200 m的B处，观察他所乘坐的由济南经过淄博开往青岛的“和谐号”动车．他观察到，当“和谐号”动车车头在A处时，恰好位于B处的北偏东60°方向上；10 s后，动车车头到达C处，恰好位于B处的西北方向上．小李根据所学知识求得，这时段动车的平均速度是___________m/s. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（沪科版） (1)求行进路线BC和CA所在直线的夹角∠BCA 的度数． (2)求检查点B和C之间的距离(结果保留根号)． 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（沪科版） ∵∠NAS＝180°， ∴∠CAB＝180°－∠NAC－∠SAB＝180°－80°－25°＝75°. 在△ABC中，∠CAB＋∠ABC＋∠BCA＝180°， ∴∠BCA＝180°－75°－45°＝60°. 答：行进路线BC和CA所在直线的夹角∠BCA为60°. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（沪科版） (2)过点A作AD⊥BC，垂足为点D. ∴∠ADB＝∠ADC＝90°. ∵∠ABD＝45°， ∴∠BAD＝∠ABD＝45°. ∴AD＝BD. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（沪科版） A．25 m B．25 m C． m D．(25＋25)m A．－(m) B．＋(m) C．50(cos 35°－sin 35°)(m) D．50(cos 35°＋sin 35°)(m) 30 解得BD＝≈4.2 n mile. 7．如图，在铁路建设中，需要确定隧道两洞口A和B的距离．点D，E分别位于测绘点C的正北和正西方向．已知测得两定位点E和D与隧道口A和B的距离分别为200 m和100 m，测绘点H，G分别为CD，CE的中点，测绘方在测绘点H测得点G在点H的南偏西53°的方向上，且HC＝480 m，则隧道AB的长约为(参考数据：sin 53°≈0.8，cos 53°≈0.6，tan 53°≈) (　 　) 20(＋1) 9．如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30 km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，则A，C两港之间的距离是______________km. (30＋10) 10．(2023·内蒙古)为了增强学生体质、锤炼学生意志，某校组织一次定向越野拉练活动．如图，点A为出发点，途中设置两个检查点，分别为点B和点C，行进路线为A→B→C→A.点B在点A的南偏东25°方向3 km处，点C在点A的北偏东80°方向，行进路线AB和BC所在直线的夹角∠ABC＝45°. 解：(1)根据题意，得∠NAC＝80°，∠SAB＝25°，∠ABC＝45°，AB＝3. 在Rt△ABD中，∵sin ∠ABD＝， ∴AD＝3×＝3(km)， ∴BD＝AD＝3(km)． 在Rt△ACD中，∵tan ∠BCA＝， ∴CD＝＝(km)， ∴BC＝BD＋CD＝(3＋)km. 答：检查点B和C之间的距离为(3＋)km. $$第23章　解直角三角形 23.2　解直角三角形及其应用 第4课时　坡度(坡角)问题 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 1 1 坡度(坡角)问题 A 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 2．在山坡上植树，要求两棵树间的坡面距离是3，测得斜坡的倾斜角为27°，则斜坡上相邻两棵树的水平距离是(　 　) B 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（沪科版） A 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 4．已知斜坡的坡角为α，坡度为1∶2.4，小明沿该斜坡行走，上升了20 m，则他行走的路程是________m. 52 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 6．(2023·泰州)如图，堤坝AB长为10 m，坡度i为1∶0.75，底端A在地面上，堤坝与对面的山之间有一深沟，山顶D处立有高20 m的铁塔CD.小明欲测量山高DE，他在A处看到铁塔顶端C刚好在视线AB上，又在坝顶B处测得塔底D的仰角α为26°35′.求堤坝高及山高DE.(sin 26°35′≈0.45， cos 26°35′≈0.89，tan 26°35′≈0.50，小明身高忽略不计，结果精确到1 m) 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 解：如图，过点B作BH⊥AE于点H. ∵坡度i为1∶0.75， ∴设BH＝4x，AH＝3x， ∴x＝2，∴AH＝6，BH＝8. 如图，过B作BF⊥CE于点F，则 EF＝BH＝8，BF＝EH，设DF＝a. ∵α＝26°35′， 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（沪科版） ∴AE＝6＋2a. ∵坡度i为1∶0.75， ∴CE∶AE＝(20＋a＋8)∶(6＋2a)＝1∶0.75， ∴a＝12，∴DF＝12(m)， ∴DE＝DF＋EF＝12＋8＝20(m)． 答：堤坝高为8 m，山高DE为20 m. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 7．一个长方体木箱沿斜面下滑，当木箱滑至如图所示位置时，AB＝2 m．已知木箱高1 m，斜面坡角为α，则木箱端点E距地面的高度为___________________m. (2sin α＋cos α) 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 解：如图，延长BC，DE交于点G， 过点B作BF⊥AD于点F， 则∠AFB＝∠BFD＝90°. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（沪科版） ∵∠BFD＝∠FDG＝∠BGD＝90°， ∴四边形BFDG为矩形， ∴DG＝BF＝40 m. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 9．如图，小山的顶部是一块平地，在这块平地上有一座古塔CD.小山斜坡AB的坡度为i＝1∶2.4，坡长AB为39 m，在小山的坡底A处测得该塔的塔顶C的仰角为45°，在坡顶B处测得该塔的塔顶C的仰角为74°. (1)求坡顶B到地面AH的距离BH的长． (2)求古塔CD的高度(结果精确到1 m)． (参考数据：sin 74°≈0.96，cos 74° ≈0.28，tan 74°≈3.49) 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 设BH＝5x，则AH＝12x， ∴AH2＋BH2＝AB2，∴AB＝13x. ∵AB＝39，∴x＝3. ∴BH＝5x＝15(m)． 答：坡顶B到地面AH的距离BH的长为15 m. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（沪科版） (2)如图，延长CD交AN于点G，则CG⊥AN，四边形BHGD为矩形， ∴BD＝HG，BH＝DG＝15. ∵∠CAG＝45°，∴∠ACG＝45°， ∴∠CAG＝∠ACG， ∴CG＝AG， ∴AH＋HG＝CD＋DG. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 答：古塔CD的高度约为30 m. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 1．如图，河坝横断面迎水坡AB的坡度i＝1∶，坝高BC为5 m，则AB的长为(　 　) A．10 m B．5 m C．5 m D．10 m A．3sin 27° B．3cos 27° C． D．3tan 27° 3．如图，某拦水坝的横断面为四边形ABCD，AD∥BC，AE，DF为四边形的高，其中迎水坡AB的坡角α＝45°，坡长AB＝10 m，背水坡CD的坡度i＝1∶，则背水坡CD的坡长是(　 　) A．20 m B．20 m C．10 m D．20 m 5．如图是某水库大坝的横截面，背水坡BC＝20 m，且坡度为1∶1.为了对水库大坝进行升级加固，降低背水坡的倾斜程度，设计人员准备把背水坡的坡度改为1∶. (1)求背水坡AC的坡角及坝高CD的长． (2)求背水坡新起点A与原起点B之间的距离． 解：(1)∵背水坡的坡度为1∶， ∴i＝tan ∠CAD＝＝＝，∴∠CAD＝30°， ∵背水坡BC＝20 m，且坡度为1∶1. ∴CD＝BD＝BC＝×20＝20(m)． (2)∵CD＝BD＝20 m，i＝tan ∠CAD＝＝＝， ∴AD＝＝20(m)， ∴AB＝AD－BD＝(20－20)m. ∴AB＝＝5x＝10， ∴BF＝＝＝2a， 8．如图，某数学兴趣小组为了测量古树DE的高度，采用了如下的方法：先从与古树底端D在同一水平线上的点A出发，沿斜面坡度为i＝2∶的斜坡AB前进20 m到达点B，再沿水平方向继续前进一段距离后到达点C.在点C处测得古树DE的顶端E的俯角为37°，底部D的俯角为60°，求古树DE的高度(参考数据：sin 37°≈，cos 37°≈，tan 37°≈，结果保留根号)． ∵斜面AB的坡度为i＝2∶， ∴设BF＝2x，则AF＝x. 在Rt△ABF中，根据勾股定理得BF2＋AF2＝AB2， 即(2x)2＋(x)2＝(20)2，解得x＝20，负值舍去，即BF＝2×20＝40(m)． ∵BC为水平方向，DE为竖直方向， ∴∠BGD＝90°. ∵∠DCG＝60°，∴在Rt△DCG中，CG＝＝＝＝(m)． ∵∠ECG＝37°，∴在Rt△ECG中，EG＝CG×tan ∠ECG＝×tan 37°＝×＝10(m)， ∴DE＝DG－EG＝(40－10)m. 答：古树DE的高度为(40－10)m. 解：(1)由题意，得∠AHB＝90°，i＝BH∶AH＝1∶2.4，∴＝. 在Rt△BDC中，tan ∠CBD＝， ∴BD＝＝HG. ∵∠CBD＝74°，AH＝36， ∴36＋＝CD＋15. ∵tan 74°≈3.49， ∴CD≈30 m. $$第23章　解直角三角形 23.2　解直角三角形及其应用 第5课时　平面直角坐标系中的直线与x轴的夹角 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 1 1．直线y＝x向上方向与x轴正方向所夹的锐角为(　 　) A．30° B．45° C．60° D．90° 平面直角坐标系中的直线与x轴的夹角 B 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（沪科版） D 30° 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 4．如图是直线y＝－2x＋5的图象，求锐角α的三角函数值． 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 5．已知直线y＝kx＋b经过点(－1,2)，且向上方向与x轴正方向所夹的锐角为60°，求直线对应的函数表达式． 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 6．下列直线中，向上方向与x轴正方向所夹锐角最大的是 (　 　) A．y＝5x－10 B．y＝3x＋5 A 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（沪科版） A 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（沪科版） (1)求点B的坐标． (2)求sin ∠BAO的值． 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 3．已知直线y＝kx经过点(3，)，则该直线向上方向与x轴正方向所夹的锐角α＝__________. 2．若直线y＝x向上方向与x轴正方向所夹的锐角为α，则tan α的值是(　 　) A． B． C． D． 解：如图，直线y＝－2x＋5的图象与x轴 的交点A为，即OA＝， 与y轴的交点B为(0,5)，即OB＝5，则 AB＝＝＝， ∴sin α＝＝，cos α＝＝， tan α＝＝2. 解：∵k＝tan 60°＝，－＋b＝2， ∴b＝2＋， ∴直线对应的函数表达式为y＝x＋2＋. C．y＝x D．y＝x－1 7．(2024·经开一模)如图，直线y＝x－3与坐标轴交于点A，B，过点B作AB的垂线交x轴于点C，则点C的坐标为(　 　) A．(－3，0) B．(－6,0) C．(－2，0) D．(－，0) 8．如图，点A的坐标为(5,0)，直线y＝x＋b与y轴交于点 B，连接AB.若α＝75°，则b的值是________. 9．如图，直线y＝x＋与x轴交于点A，与直线y＝2x交于点B. 解：(1)联立 解得 ∴点B的坐标为(1,2)． (2)如图，过点B作BG⊥x轴于点G，则OG＝1，BG＝2， ∵点A的坐标为(－3,0)， ∴AB＝＝2， ∴sin ∠BAO＝＝＝. $$第23章　解直角三角形 单元核心考点归纳 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 1 1 锐角三角函数 1．计算2sin 30°的值是(　 　) A 创新作业本·数学九年级上（沪科版） D 创新作业本·数学九年级上（沪科版） D 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 4．如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则sin A＝ ________. 5．计算：tan 30°sin 60°＋cos230°－sin245°tan 45°. 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 2 解直角三角形 D 创新作业本·数学九年级上（沪科版） A 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 9．将四根长度相等的细木条首尾相接钉成四边形ABCD，如图1，当∠B＝90°时，测得AC＝4，改变它的形状使∠B＝60°(如图2)，此时AC的长度为________. 创新作业本·数学九年级上（沪科版） (1)求tan ∠ACB. (2)求AC的长． 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 3 解直角三角形的实际应用 11．一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，已知BC＝6 m，∠ABC＝α，则房顶A离地面EF的高度为(　 　) B 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 12．如图，一巡逻艇在A处，发现一走私船在A处的南偏东60°方向上距离A处12 n mile的B处，并以每小时20 n mile的速度沿南偏西30°方向行驶，若巡逻艇以每小时25 n mile的速度追赶走私船，则追上走私船所需时间是(　 　) A．0.5 h B．0.75 h C．0.8 h D．1.25 h C 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 解：根据题意，有AC＝30 m，AB＝10 m，∠C＝90°， 则BC＝AC－AB＝30－10＝20(m)． 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 14．如图是某学校食堂的楼梯部分的示意图，上楼楼梯是由两段互相平行并且与地面成37°角的楼梯AD，BE和一段水平天台DE构成，已知楼梯顶部B到地面的垂直高度BC为9.6 m，与地面垂直的平台立柱MN的高度为6 m，整个楼梯的水平跨度AC为16 m. (1)求楼梯AD的长度． (2)求水平天台DE的长度．(结果保 留整数，参考数据： sin 37°≈ 0.60，cos 37°≈0.80，tan 37° ≈0.75) 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 答：楼梯AD的长度约为10 m. 创新作业本·数学九年级上（沪科版） (2)如图，延长DE交BC于点G， 则CG＝6 m，∴BG＝BC－CG＝9.6－6＝3.6(m)． 在Rt△BEG中，∠BEG＝37°， 创新作业本·数学九年级上（沪科版） A．1 B． C． D． 2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，则∠A的正切值是(　 　) A． B． C． D． 3．已知在△ABC中，∠C＝90°，＝，则下列结论中正确的是(　 　) A．cos A＝ B．sin B＝ C．tan A＝ D．tan B＝ 解：原式＝×＋2－2×1 ＝＋－ ＝. 6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，sin B＝，则BC的长为(　 　) A．3 B．2 C． D．2 7．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝6，点D是边AC上的一点．若tan ∠DBA＝，则AD的长是(　 　) A．2 B． C． D．1 8．(2023·常州)如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D在边AB上，连接CD.若BD＝CD，＝，则tan B＝________. 2 10．如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝7，sin B＝. 解：(1)如图，过点A作AD⊥BC于点D，则sin B＝＝. ∵AB＝5，∴AD＝4， ∴BD＝＝3， ∴CD＝BC－BD＝7－3＝4， ∴tan ∠ACB＝＝＝1. (2)由(1)知，在Rt△ADC中， AC＝＝＝4. A．(4＋3sin α)m B．(4＋3tan α)m C．m D．m 13．如图，为了测量百货大楼CD顶部广告牌ED的高度，在距离百货大楼30 m的A处用仪器测得∠DAC＝30°；向百货大楼的方向走10 m，到达B处时，测得∠EBC＝48°，仪器高度忽略不计，求广告牌DE的高度(结果保留小数点后一位，参考数据：≈1.732，sin 48°≈0.743，cos 48°≈0.669，tan 48°≈ 1.111) 在Rt△ADC中，DC＝AC·tan A＝30×tan 30°＝10 m， 在Rt△BEC中，EC＝BC·tan ∠EBC＝20tan 48° m， ∴DE＝EC－DC＝20tan 48°－10≈20×1.111－10×1.732＝4.9(m)． 故广告牌DE的高度为4.9 m. 解：(1)如图，过点D作DF⊥AC于点F，则DF＝MN＝6 m. 在Rt△ADF中，∠A＝37°，DF＝6 m. ∵sin A＝， ∴AD＝≈＝10(m)． 则EG＝≈＝4.8(m)． 在Rt△ADF中，∠A＝37°，DF＝6 m， 则AF＝≈＝8(m)， ∴DE＝16－8－4.8＝3.2≈3(m)， 则水平天台DE的长度约为3 m. $$第23章　解直角三角形 单元阶段练习5 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 1 (时间：40分钟　满分：100分　范围：23.1) 一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，满分40分) A．30° B．45° C．60° D．90° 2．(2023·攀枝花)在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.已知a＝6，b＝8，c＝10，则cos A的值为(　 　) C C 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 3．如图，在正方形网格中，△ABC的顶点均在网格格点上，则cos ∠ABC的值是(　 　) B 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 4．如图，两条宽为1的长方形纸片以α角交叉重叠，则重叠部分(阴影部分)的面积是(　 　) B 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 5．如图，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD与CE交于点O，则图中线段的比不能表示sin A的式子是(　 　) D 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，延长CA到点D，使AD＝AB，连接BD.根据此图形可求得tan 15°的值是(　 　) A 创新作业本·数学九年级上（沪科版） C 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 8．(2023·南通)如图，四边形ABCD是矩形，分别以点B，D为圆心，线段BC，DC长为半径画弧，两弧相交于点E，连接BE，DE，BD.若AB＝4，BC＝8，则∠ABE的正切值为 (　 　) C 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分) 9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，则cos A 的 值为________. 11．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D 是边AB的中点，连接CD.若BC＝4，CD＝3， 则cos ∠DCB的值是________. 120° 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 三、解答题(本大题共3小题，满分40分) 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 14．(本题13分)如图，已知点E，F是▱ABCD对角线AC上两点，AE＝CF. (1)求证：△ABE≌△CDF. 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴∠BAE＝∠DCA. 又∵AE＝CF， ∴△ABE≌△CDF(SAS)． 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 解得BH＝1(负值已舍去)， ∴CH＝3. ∴AH＝4， ∴AB＝AH－BH＝4－1＝3， ∴▱ABCD的面积＝AB·CH＝3×3＝9. 创新作业本·数学九年级上（沪科版） (1)求边BC上的高线长． (2)点E是线段AB的中点，点F在边AC上，连接EF，沿EF将△AEF折叠得到△PEF. ①如图2，当点P落在边BC上时，求∠AEP的度数； ②如图3，连接AP，当PF⊥AC时，求AP的长． 创新作业本·数学九年级上（沪科版） (2)①∵△AEF≌△PEF(SSS)， ∴AE＝PE. ∵AE＝BE，∴BE＝PE， ∴∠EPB＝∠B＝45°， ∴∠PEB＝90°， ∴∠AEP＝180°－∠PEB＝180°－90°＝90°； 创新作业本·数学九年级上（沪科版） ∵PF⊥AC，∴∠PFA＝90°. ∵△AEF≌△PEF(SSS)， ∴∠AFE＝∠PFE＝45°， ∴∠AFE＝∠B. ∵∠EAF＝∠CAB，∴△AEF∽△ACB， 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 1．若cos α＝，则锐角α的度数是(　 　) A． B． C． D． A． B． C． D． A．sin α B． C． D． A． B． C． D． A．2－ B．2＋ C． D． 7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，cos A＝，∠ABC的平分线BD交AC于点D.若AD＝16，则BC的长是(　 　) A．6 B．8 C．8 D．12 A． B． C． D． 10．在△ABC中，若2＋＝0，则∠C＝____________. 12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在线段BC上，且∠B＝30°，∠ADC＝60°，BC＝3，则BD＝________. 2 13．(本题12分)计算：(2cos 45°－2sin 30°)＋(4－4π)0＋(－1)－1. 解：原式＝＋1＋ ＝2－＋1＋＋1 ＝4. (2)若CH⊥AB交AB的延长线于点H，＝3，BC＝，tan ∠CAB＝，求▱ABCD的面积． (2)∵＝3， ∴CH＝3BH. 又∵CH⊥AB，BC＝， ∴BH2＋CH2＝BC2，即BH2＋(3BH)2＝()2， 又∵tan ∠CAB＝＝， 15．(本题15分)如图1，在△ABC中，AB＝4，∠B＝45°，∠C＝60°. 解：(1)如图1，过点A作AD⊥BC于点D. 在Rt△ABD中，AD＝AB·sin 45°＝4×＝4. ②由(1)可知，AC＝＝＝. ∴＝，即＝，∴AF＝2. 在Rt△AFP中，AF＝PF，∴AP＝AF＝2. $$第23章　解直角三角形 单元阶段练习6 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 1 (时间：40分钟　满分：100分　范围：23.2) 一、选择题(本大题共8小题，每小题6分，满分48分) 1．如图，小明在一条东西走向公路的O处，测得图书馆A在他的北偏东60°方向，且与他相距200 m，则图书馆A到公路的距离AB的值是(　 　) A 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 2．在平面直角坐标系内有一点P(2,3)，OP与x轴正半轴的夹角α的正弦值是(　 　) A．30° B．40° C．45° D．60° D D 创新作业本·数学九年级上（沪科版） B 创新作业本·数学九年级上（沪科版） A．58 J B．159 J C．318 J D．1 025 J C 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 6．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AC＝6，AB＝4，则BC的长是(　 　) B 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 7．如图，已知点C与某建筑物底端点B相距306 m(点C与点B在同一水平面上)，某同学从点C出发，沿同一剖面的斜坡CD行走195 m至坡顶D处，斜坡CD的坡度(或坡比)i＝1∶2.4，在D处测得该建筑物顶端A处的俯角为20°，则建筑物AB的高度约为(结果精确到0.1 m，参考数据：sin 20°≈0.342， cos 20°≈0.940，tan 20°≈0.364)(　 　) A．29.1 m B．31.9 m C．45.9 m D．95.9 m A 创新作业本·数学九年级上（沪科版） B 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，满分24分) 9．小明从山脚A出发，沿坡度为1∶2.4的斜坡前进了130 m到达B点，则他所在的位置比原来的位置升高了________m. 10．如图，在矩形ABCD中，AB＝3BC，以点A为圆心，AD长为半径画弧交AB于点E，连接CE，作线段CE的垂直平分线交 AB于点F，连接CF，则sin ∠CFB＝______. 50 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 12．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，点D是边BC的中点．将△ABC折叠，使点A与点D重合．若EF为折痕，则 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 三、解答题(本大题共2小题，满分28分) 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 答：AB的长度约为32 m. ∴BC＝AB－AC＝32－6＝26(m)． ∴轿车行驶的速度为26 m÷2 s＝13(m/s)＝46.8(km/h)． ∵46.8<50， ∴此轿车没有超速． 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 14．(本题16分)如图，在边长为2的正方形ABCD中，点P在边AB上，点Q在DC的延长线上，连接DP，PQ，且∠APD＝∠QPD，PQ交BC于点G. (1)求证：DQ＝PQ. 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB∥CD， ∴∠APD＝∠QDP. ∵∠APD＝∠QPD， ∴∠QPD＝∠QDP，∴DQ＝PQ. 创新作业本·数学九年级上（沪科版） 创新作业本·数学九年级上（沪科版） A．100 m B．100 m C．100 m D． m A． B． C． D． 3．在Rt△ABC中，BC＝3，AC＝，∠C＝90°，则∠A的度数是(　 　) 4．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠AOB＝60°，BC＝2，则AO的长是(　 　) A．4 B．2 C．2 D． 5．爬坡时坡面与水平面夹角为α，则每爬1 m耗能(1.025－ cos α) J.如图，若某人爬了2 000 m，该坡角为30°，则他耗能(参考数据：≈1.732，≈1.414)(　 　) A．6 B．2 C．2 D．9 8．如图，∠EFG＝90°，EF＝10，OG＝17，cos ∠FGO＝，则点F的坐标是(　 　) A． B．(8,12) C． D．(6,10) 11．在平面直角坐标系中，点A，B均在抛物线y＝ax2上，AB＝2，且AB⊥y轴，已知tan ∠OAB＝，则a＝________. ± (1)sin ∠BED的值是_______. (2)的值是________. 13．(本题12分)交通安全一直是安全教育的重要组成部分，其中超速是引发交通事故的主要原因之一．规定以下问题情境中的速度不得超过50 km/h.如图，在一条笔直公路AB的上方P处有一台交通探测仪，PA⊥AB于点A，AP＝8 m，第一次探测到一辆轿车从点B匀速向点A行驶，测得∠PBA＝14°，2 s后到达点C，测得∠PCA＝53°.(参考数据：sin 14°≈0.24， cos 14°≈0.97，tan 14°≈0.25，sin 53°≈0.80，cos 53°≈0.60， tan 53°≈1.33，≈4.12) 解：(1)在Rt△ABP中，∠PBA＝14°，AP＝8 m， ∴AB＝≈＝32(m)． (2)在Rt△ACP中，∠PCA＝53°，AP＝8 m， ∴AC＝≈≈6(m)． (2)当tan ∠APD＝时，求CQ的长． (2)如图，过点Q作QE⊥PD于点E. ∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝90°. ∵tan ∠APD＝＝，AD＝2，∴AP＝1.5， ∴PD＝＝＝. ∵DQ＝PQ，∴DE＝PE＝. ∵∠APD＝∠QPD，∴tan ∠APD＝＝tan ∠QPD＝， ∴QE＝PE＝×＝， ∴DQ＝＝＝， ∴CQ＝DQ－CD＝－2＝. $$