2.6 应用一元二次方程 课后作业 2024-2025学年北师大版数学九年级上册

2.6应用一元二次方程第1课时课后作业 一．基础性作业（必做题） 1．如图，一艘船以40km/h的速度沿既定航线由西向东航行，途中接到台风警报，某台风中心正以20km/h的速度由南向北移动，距台风中心200km的圆形区域（包括边界）都属台风影响区，当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心的距离BC＝500km，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离BA＝300km，如果这艘轮船会受到台风影响，那么从接到警报开始，经过（　　）小时它就会进入台风影响区． A．10 B．7 C．6 D．12 第1题图 第2题图 第3题图 2．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动，若使△PBQ的面积为15cm2，则点P运动的时间是（　　） A．2s B．3s C．5s D．3s或5s 3．如图，在宽为13m，长为24m的矩形场地上修建同样宽的三条小路（横向与纵向垂直），其余部分种草坪，假设草坪面积为264m2，求道路宽为多少？设宽为xm，则列出的方程是　 　． 4．如图所示，A、B、C、D是矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以2cm/s的速度向点D移动，则P，Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离是10cm ？ 5．如图，利用一面墙（墙长25米），用总长度49米的栅栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏ABCD，且中间共留两个1米的小门，设栅栏BC长为x米． （1）AB＝　 　米（用含x的代数式表示）； （2）若矩形围栏ABCD面积为210平方米，求栅栏BC的长； （3）矩形围栏ABCD面积是否有可能达到240平方米？若有可能，求出相应x的值；若不可能，则说明理由． 6．如图，在Rt△ABC中，AC＝6cm，BC＝8cm．点M从点A出发，以每秒1cm的速度沿AC方向运动：同时点N从点C出发，以每秒2cm的速度沿CB方向运动，当点N到达点B时，点M同时停止运动． （1）运动几秒时，△CMN的面积为8cm2？ （2）△CMN的面积能否等于12cm2？若能，求出运动时间：若不能，请说明理由． 二、拓展性作业（选做题） 1．（一）阅读思考 通过解方程（组）使问题得到解决的思考方式就是方程思想，已学过的《勾股定理》及《一次函数》都与它有密切的联系，最近方程家族的《一元二次方程》我们也学习了它的求解方法和应用． （二）解决问题 如图1，矩形ABCD中，AB＝9，AD＝12，G在CD上，且DG＝5，点P从点B出发，以1个单位每秒的速度在BC边上向点C运动，设点P的运动时间为x秒 （1）△APG的面积为y，求y关于x的函数关系式，并求出y＝34时x的值． （2）在点P从点B向C运动的过程中，是否存在使AP⊥GP的时刻？若存在，求出x的值，若不存在，请说明理由． 2．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用． 例：已知x可取任何实数，试求二次三项式x2+6x﹣1最小值． 解：x2+6x﹣1＝x2+2×3•x+32﹣32﹣1 ＝（x+3）2﹣10 ∵无论x取何实数，总有（x+3）2≥0． ∵（x+3）2﹣10≥﹣10，即x2+6x﹣1的最小值是﹣10． 即无论x取何实数，x2+6x﹣1的值总是不小于﹣10的实数． 问题： （1）已知y＝x2﹣4x+7，求证y是正数． 知识迁移： （2）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝4cm，点P在边AC上，从点A向点C以2cm/s的速度移动，点Q在CB边上以cm/s的速度从点C向点B移动．若点P，Q均以同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设△PCQ的面积为S cm2，运动时间为t秒，求S的最大值． 3．子曰：“吾十有五而志于学，三十而立，四十而不惑，五十而知天命，六十而耳顺，七十而从心所欲，不逾矩．”﹣﹣《论语•第二章•为政篇》 列方程解决下面问题： 读诗词解题：大江东去浪淘尽，千古风流数人物； 而立之年督东吴，早逝英年两位数； 十位恰小个位三，个位平方与寿符； 哪位学子算得快，多少年华属周瑜？ 2.6一元二次方程的应用第2课时课后作业 1． 基础性作业（必做题） 1．两年前生产1组疫苗的成本是5000元，随着生产技术的进步，若疫苗成本的年平均下降率为x，则现在生产1组疫苗的成本比去年生产1组疫苗的成本减少（　　）（单位：元） A．5000x B．5000（1﹣x） C．5000（1﹣x）2 D．5000x﹣5000x2 2．某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件182万个．若该厂八、九月份平均每月生产零件的增长率均为x，则下面所列方程正确的是（　　） A．50（1+x）2＝182 B．50+50（1+x）2＝182 C．50+50（1+x）+50（1+2x）＝182 D．50+50（1+x）+50（1+x）2＝182 3．某种花卉每束的盈利与每束的株数有一定的关系，每束有3株时，平均每株盈利2元，若每束增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每束的盈利达到12元，每束应增加多少株？设每束增加x株，则可以列出的方程是（　　） A．（3+x）（2﹣0.5x）＝12 B．（3+x）（2+0.5x）＝12 C．（x+2）（3﹣0.5x）＝12 D．（x+1）（2﹣0.5x）＝12 4．某校九年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），赛程计划7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（　　） A． B． C．x（x﹣1）＝28 D．x（x+1）＝28 5．五个完全相同的小长方形拼成如图所示的大长方形，大长方形的面积是135cm2，则以小长方形的宽为边长的正方形面积是　 　cm2． 6．某商店销售一款工艺品，每件的成本是30元，为了合理定价，投放市场进行试销：据市场调查，销售单价是40元时，每天的销售量是80件，而销售单价每提高1元，每天就少售出2件，但要求销售单价不得超过55元． （1）若销售单价为每件45元，求每天的销售利润； （2）要使每天销售这种工艺品盈利1200元，那么每件工艺品售价应为多少元？ 2、 拓展性作业（选做题） 1．四川雅安地震牵动着全国人民的心，扬州市教育局开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动，第一天收到捐款10000元，第三天收到捐款14400元 （1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率； （2）按照（1）中收到捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款？ 2．某农科所研究出一种新型的花生摘果设备，一期研发成本为每台6万元，该摘果机的销售量y（台）与售价x（万元/台）之间存在函数关系：y＝﹣x+24． （1）设这种摘果机一期销售的利润为W1（万元），问一期销售时，在抢占市场份额（提示：销量尽可能大）的前提下利润达到32万元，此时售价为多少？ （2）由于环保局要求该机器必须增加除尘设备，科研所投入了7万元研究经费，使得环保达标且机器的研发成本每台降低了1万元，若科研所的销售战略保持不变，请问在二期销售中利润达到63万元时，该机器单台的售价为多少？ 3．将进货单价为40元的商品按50元售出时，就能卖出500个，已知这个商品每个涨0.1元，其销售量就减少1个．若设这种商品每个涨价x元， （1）用含x的代数式表示：①每个商品的实际利润是　 　元，②实际的销售量是　 　个； （2）为了赚得8000元的利润而又尽量兼顾顾客的利益，售价应定为多少元？ 第二章回顾与思考课后作业 一．基础性作业（必做题） 1．一元二次方程x2﹣1＝0的根为（　　） A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x1＝1，x2＝﹣1 D．x1＝0，x2＝1 2．如果关于x的一元二次方程k2x2﹣（2k+1）x+1＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（　　） A．k＞ B．k＞且k≠0 C．k＜ D．k≥且k≠0 3．某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（　　） A．50（1+x）2＝182 B．50+50（1+x）+50（1+x）2＝182 C．50（1+2x）＝182 D．50+50（1+x）+50（1+2x）＝182 4．师梅课外生物小组拟定在桃花岭上建立一个实验园地，其形状是长10米、宽6米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道（如图），要使种植面积为40平方米，求小道的宽．若设小道的宽为x米，则可列方程为 　 　．（结果化为一般式） 5．现定义运算“⊗”，对于任意实数a、b，都有a⊗b＝a2﹣3a+b；如：3⊗5＝32﹣3×3+5，若x⊗2＝6，则实数x的值是　 　． 6．解方程： （1）x2﹣8x﹣1＝0 （2）2x2+x＝3 （3）4（x+2）2＝（3x﹣1）2 7．已知关于x的方程x2﹣mx+（m﹣2）＝0． （1）求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有一个根是2，求m的值以及方程的另一个根． 二、拓展性作业（选做题） 1．如图所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P由点A出发，沿AB边以1cm/s的速度向点B移动；点Q由点B出发，沿BC边以2cm/s的速度向点C移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，问： （1）经过几秒后，△PBQ的面积等于8cm2？ （2）经过几秒后，P，Q两点间距离是cm？ 2. 龙华天虹商场以120元/件的价格购进一批上衣，以200元/件的价格出售，每周可售出100件．为了促销，该商场决定降价销售，尽快减少库存．经调查发现，这种上衣每降价5元/件，每周可多售出20件．另外，每周的房租等固定成本共3000元．该商场要想每周盈利8000元，应将每件上衣的售价降低多少元？ 3．阅读下面的例题， 范例：解方程x2﹣|x|﹣2＝0， 解：（1）当x≥0时，原方程化为x2﹣x﹣2＝0，解得：x1＝2，x2＝﹣1（不合题意，舍去）． （2）当x＜0时，原方程化为x2+x﹣2＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝1（不合题意，舍去）． ∴原方程的根是x1＝2，x2＝﹣2 请参照例题解方程x2﹣|x﹣1|﹣1＝0． 2.6应用一元二次方程第1课时参考答案 一．基础性作业（必做题） 1．B； 2．B； 3． （13﹣x）（24﹣2x）＝264； 4． 解：过点Q作QM⊥AB于点M，如图所示． ∵PM＝PB﹣CQ＝|16﹣5t|cm，QM＝6cm， ∴PQ2＝PM2+QM2，即102＝（16﹣5t）2+62， 解得：t1＝，t2＝（不合题意，舍去）． 答：P，Q两点从出发开始到或秒时，点P和点Q的距离是10cm． 5． 解：（1）设栅栏BC长为x米， ∵栅栏的全长为49米，且中间共留两个1米的小门， ∴AB＝49﹣3x+2＝51﹣3x（米）， 故答案为：（51﹣3x）； （2）依题意，得：（51﹣3x）x＝210， 整理，得：x2﹣17x+70＝0， 解得：x1＝7，x2＝10． 当x＝7时，AB＝51﹣3x＝30＞25，不合题意，舍去， 当x＝10时，AB＝51﹣3x＝21，符合题意， 答：栅栏BC的长为10米； （3）不可能，理由如下： 依题意，得：（51﹣3x）x＝240， 整理得：x2﹣17x+80＝0， ∵Δ＝（﹣17）2﹣4×1×80＝﹣31＜0， ∴方程没有实数根， ∴矩形围栏ABCD面积不可能达到240平方米． 6.解：设运动t秒后△CMN的面积等于8cm2，根据题意得： CM＝6﹣t，NC＝2t， 则△CMN的面积是： CQ•CP＝×（6﹣t）×2t＝8， 解得t1＝2，t2＝4， 故经过2秒或4秒后，△CMN的面积等于8cm2． （2）△CMN的面积能否等于12cm2， 理由如下： ×（6﹣t）×2t＝﹣t2+6t＝﹣（t﹣3）2+9， 则当t＝3时，△CMN的面积最大为9， ∴ △CMN的面积不能等于12cm2． 二、拓展性作业（选做题） 1. 解：（1）∵四边形ABCD为矩形， ∴ DC＝AB＝9，AD＝BC＝12． ∵ DG＝5， ∴ GC＝4． ∵ PB＝x，PC＝12﹣x， ∴y＝9×12﹣×9•x﹣×4×（12﹣x）﹣×5×12， 整理得：y＝﹣2.5x+54． 当y＝34时，﹣2.5x+54＝34， 解得：x＝8． （2）存在．理由如下： ∵PB＝x，PC＝12﹣x，AD＝12，DG＝5， ∴PA2＝AB2+BP2＝81+x2，PG2＝PC2+GC2＝（12﹣x）2+16，AG2＝AD2+DG2＝169． ∵当AG2＝AP2+PG2时，AP⊥PG， ∴81+x2+（12﹣x）2+16＝169， 整理得：x2﹣12x+36＝0， 配方得：（x﹣6）2＝0， 解得：x＝6． 2.证明：（1）y＝x2﹣4x+7＝x2﹣4x+4+3 ＝（x﹣2）2+3． ∵（x﹣2）2≥0． ∴y≥0+3＝3． ∴y＞0． ∴y是正数． （2）由题意：AP＝2t，CQ＝t，PC＝6﹣2t．（0≤t≤） ∴ S ＝PC•CQ． ＝（6﹣2t）•t ＝﹣t2+3t ＝﹣（t2﹣3t） ＝﹣（t﹣）2+． ∵（t﹣）2≥0． ∴ 当t＝时，S有最大值． 3.解：设周瑜逝世的年龄的个位数字为x，则十位数字为x﹣3， 根据题意得：10（x﹣3）+x＝x2， 解得：x1＝5，x2＝6， 当x1＝5时，周瑜的年龄是25岁， ∵25非而立之年， ∴不符合题意，舍去； 当x2＝6时，周瑜的年龄是36岁，符合题意． 答：周瑜的年龄是36岁． 2.6一元二次方程的应用第2课时参考答案 一．基础性作业（必做题） 1．D； 2．D； 6． A； 7． A； 8． 解：设小长方形的长为xcm，宽为xcm， 根据题意得：（x+2×x）•x＝135， 解得：x＝9或x＝﹣9（舍去）， 则x＝3． 所以3×3＝9（cm 2）． 故答案为：9． 9． 解：（1）（45﹣30）×[80﹣（45﹣40）×2]＝1050（元）． 答：每天的销售利润为1050元． （2）设每件工艺品售价为x元，则每天的销售量是[80﹣2（x﹣40）]件， 依题意，得：（x﹣30）[80﹣2（x﹣40）]＝1200， 整理，得：x2﹣110x+3000＝0， 解得：x1＝50，x2＝60（不合题意，舍去）． 答：每件工艺品售价应为50元． 二、拓展性作业（选做题） 1. 解：（1）设第二天、第三天的增长率为x，由题意，得 10000（1+x）2＝14400， 解得：x1＝0.2，x2＝﹣2.2（舍去）． 则x＝0.2＝20%． 答：捐款增长率为20%； （2）第四天收到的捐款为14400×（1+20%）＝17280（元）． 答：第四天该单位能收到17280元捐款． 2. 解：（1）根据题意列出函数关系式如下： 当W1＝32时， 解得x1＝8，x2＝22． ∵要抢占市场份额，故x＝8． 答：在抢占市场份额的前提下利润要达到32万元，此时售价为8万元/台． （2）降低成本之后，每台的成本为5万元，每台利润为（x﹣5）万元，销售量y＝﹣x+24． 依据题意得， 当W2＝63时，，解得x1＝10，x2＝19． ∵要继续保持扩大销售量的战略，故x＝10． 答：要使二期利润达到63万元，销售价应该为10万元/台． 3. 解：（1）①每个商品的实际利润是（10+x）元， ②实际的销售量是 （500﹣10x） 个； （2）依题意得：（10+x）（500﹣10x）＝8000， 整理得：x2﹣40x+300＝0， 解得：x1＝10，x2＝30， 又尽量兼顾顾客的利益， ∴x＝10 ∴50+10＝60（元）． 答：售价应定为60元． 第二章回顾与思考参考答案 一．基础性作业（必做题） 1．C； 2. B； 3. B； 4. x2﹣11x+10＝0； 5. 4或﹣1； 6. （1）， （2）x1＝，x2＝1； （3）x1＝，x2＝5 7.（1）证明：∵a＝1，b＝﹣m，c＝m﹣2， ∴b 2﹣4ac＝（﹣m ）2﹣4×1×8（m﹣2）＝m 2﹣4m+8＝（m﹣2）2+4， ∵（m﹣2）2≥0， ∴（m﹣2）2+4＞0，即Δ＞0， ∴不论m为何值，该方程都有两个不相等的实数根； （2）解：设方程的另一个为t， 根据题意得，2+t＝m，2t＝m﹣2， ∴2+t﹣2t＝2，解得t＝0， ∴m＝2， ∴m的值为2，另一个根为0． 二、拓展性作业（选做题） 1. 解：（1）设经过x秒后，△PBQ的面积等于8cm2，则BP＝（6﹣x）cm，BQ＝2xcm， 依题意，得：（6﹣x）×2x＝8， 化简，得：x2﹣6x+8＝0， 解得：x1＝2，x2＝4． 答：经过2秒或4秒后，△PBQ的面积等于8cm2． （2）设经过y秒后，P，Q两点间距离是cm，则BP＝（6﹣y）cm，BQ＝2ycm， 依题意，得：（6﹣y）2+（2y）2＝（）2， 化简，得：5y2﹣12y﹣17＝0， 解得：y1＝，y2＝﹣1（不合题意，舍去）． 答：经过秒后，P，Q两点间距离是cm． 2. 解：设每件上衣应降价x元，则每件利润为（80﹣x）元， 列方程得：（80﹣x）（100+x）﹣3000＝8000， 解得：x1＝30，x2＝25 因为为了促销，该商场决定降价销售，尽快减少库存， 所以x＝30． 答：应将每件上衣的售价降低30元． 3. 解：x2﹣|x﹣1|﹣1＝0， （1）当x≥1时，原方程化为x2﹣x＝0，解得：x1＝1，x2＝0（不合题意，舍去）． （2）当x＜1时，原方程化为x2+x﹣2＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝1（不合题意，舍去）． 故原方程的根是x1＝1，x2＝﹣2． 第2页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $$