精品解析：北师大版2023-2024学年七年级数学下册期末练习题3

北师大版2023-2024七年级下数学期末练习题3 一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分） （2023辽宁） 1. 下列运算正确是（　　） A. B. C. D. 2. 下列事件中，随机事件是（ ） A. 一个数的绝对值为非负数 B. 两数相乘，同号得正 C. 两个有理数之和为正数 D. 对顶角不相等 3. 贴窗花是过春节时的一项重要活动，这项活动历史悠久，风格独特，深受国内外人士的喜爱．下列窗花作品为轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，计划把河水引到水池中，先作，垂足为，然后沿开渠，能使所开渠道最短，这样设计的数学根据是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 两条平行线之间的距离处处相等 C. 经过直线上或直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直 D. 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 5. 如图所示，某工程队欲测量山脚两端A、B间的距离，在山旁的开阔地取一点C，连接AC、BC并分别延长至点D，点E，使得CD＝AC，CE＝BC，测得DE的长，就是AB的长，那么判定△ABC≌△DEC的理由是（　　） A. SSS B. SAS C. ASA D. AAS 6. 从一个袋子中摸出红球的概率为，且袋子中红球有个，则袋子中共有球的个数为（ ） A. B. C. D. 7. 如果一个等腰三角形的两边长分别为2cm和5cm，那么它的周长是（ ） A. 9cm B. 12cm C. 9cm或12cm D. 以上答案都不对 8. 如图，将△ABC沿直线DE折叠后，使得点B与点A重合．已知AC=5cm，△ADC的周长为17cm，则BC的长为（ ） A. 7cm B. 10cm C. 12cm D. 22cm 9. 一蓄水池中有水，打开排水阀门开始放水后水池的水量与放水时间有如下关系： 放水时间/分 1 2 3 4 … 水池中水量/ 48 46 44 42 … 下列说法不正确的是（ ） A. 蓄水池每分钟放水 B. 放水18分钟后，水池中水量为 C. 蓄水池一共可以放水25分钟 D. 放水12分钟后，水池中水量为 （2023宁夏） 10. 劳动委员统计了某周全班同学的家庭劳动次数（单位：次），按劳动次数分为4组：，，，，绘制成如图所示的频数分布直方图．从中任选一名同学，则该同学这周家庭劳动次数不足6次的概率是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，中，，平分交于点D，点E为的中点，连接，若，，则的面积为（ ） A. 18 B. 24 C. 36 D. 72 12. 如图，点D是中边上靠近A点的四等分点，即，连接，F是上一点，连接与交于点E，点E恰好是的中点，若，则的面积是（ ） A. 4 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分） 13. 一种病毒的长度约为0.000043mm，用科学记数法表示这个数为_____________mm． （2023扬州） 14. 某种绿豆在相同条件下发芽试验的结果如下： 每批粒数n 2 5 10 50 100 500 1000 1500 2000 3000 发芽的频数m 2 4 9 44 92 463 928 1396 1866 2794 发芽频率（精确到0.001） 1.000 0.800 0.900 0.880 0.920 0.926 0.928 0.931 0.933 0.931 这种绿豆发芽的概率的估计值为________（精确到0.01）． 15. 某商店进了一批货，每件进价为4元，售价为每件6元，如果售出x件，售出x件的总利润为y元，则y与x的函数关系式为__． 16. 如图，D是延长线上一点，交于点E，，，若，，则的长是_____． 17. 若多项式是一个完全平方式，则____________ ． 18. 已知则的值为____． 19. 已知的三边是，，，化简________． 20. 如果一个三位数的十位数字等于它的百位和个位数字的差的绝对值，那么称这个三位数为“三决数”，如：三位数312，∵，∴312是“三决数”，把一个三决数的任意一个数位上的数字去掉，得到三个两位数，这三个两位数之和记为，把的百位数字与个位数字之差的2倍记为．则的值为________；若三位数A是“三决数”，且是完全平方数，且百位数字小于个位数字，请求出所有符合条件的A的最大值为________． 三、解答题： 21. 计算： （1）； （2）． 22. 运用乘法公式计算： （1）； （2）． 23. 尺规作图并完成证明．如图，点D、点F在外，连接、、，且，，． （1）用尺规完成以下基本作图：作的平分线交于点E，连接（保留作图痕迹，不写作法）； （2）根据（1）中作图，求证：；请完善下面的证明过程． 证明：∵平分， ∴_____． ∵． ∴______．（ ） ∴．（ ） ∴_______． 在和中， ， ∴． ∴______． 24. 北方有个习俗，吃年夜饭时，谁吃到包有钱币饺子，谁就在新的一年里吉祥如意，鸿运当头．不过，有钱币的饺子只有一个，否则就不灵了．今年外婆来我家过年，她在60个饺子中的一个放了钱币，吃饺子时外婆给每人盛了15个，结果爸爸、妈妈和外婆都没有吃到钱币，被外婆称之为“宝贝”的杨晨却吃到了． 请根据上述信息，简要回答下列问题： （1）若此游戏具有公平性，吃一个饺子能吃到钱币的概率是_____；杨晨能吃到钱币的概率是_____； （2）事后杨晨了解到：之所以杨晨能吃到钱币，是因为外婆做了手脚，在此前提下，杨晨吃第一个饺子就有钱币的概率是_____，外婆做手脚的方法我猜想是______； （3）还是4个人共吃60个饺子，且只有一个有钱币，请你设计一个办法能使妈妈、外婆吃到的概率都为，方法是：________． 25. 先化简，再求值：，其中，，． 26. 李大爷按每千克2.1元批发了一批黄瓜到镇上出售，为了方便，他带了一些零钱备用．他先按市场售出一些后，又降低出售．售出黄瓜千克数x与他手中持有的钱数y元（含备用零钱）的关系如图所示，结合图象回答下列问题： （1）李大爷自带的零钱是多少？ （2）降价前他每千克黄瓜出售的价格是多少？ （3）卖了几天，黄瓜卖相不好了，随后他按每千克下降1.6元将剩余的黄瓜售完，这时他手中的钱（含备用的钱）是530元，问他一共批发了多少千克的黄瓜？ （4）请问李大爷亏了还是赚了？若亏（赚）了，亏（赚）多少钱？ 27. 已知图形相邻两边垂直，．当动点M以的速度沿图①的边框按的路径运动时，的面积S随时间t的变化如图②所示．回答下列问题： （1）图②中的自变量是 ，因变量是 ； （2）题目中的a是 ，的长度是 ； （3）当t为何值时，的面积． 28. 在学习全等三角形知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成在相对位置变化的同时始终存在一对全等三角形通过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型”兴趣小组进行了如下探究： （1）如图1，两个等腰三角形和中，，，，连接、，如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，这个就是“手拉手模型”，在这个模型中，和全等的三角形是______，此线和的数量关系是______． （2）如图2，两个等腰直角三角形和中，，，，连接、，两线交于点，请判断线段和的关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北师大版2023-2024七年级下数学期末练习题3 一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分） （2023辽宁） 1. 下列运算正确是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】按照整式的加减，同底数幂的除法，完全平方公式和积的乘方运算法则进行求解即可． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】此题考查了整式的加减，同底数幂的除法，完全平方公式和积的乘方运算，解答本题的关键是熟练掌握各运算法则． 2. 下列事件中，随机事件是（ ） A. 一个数的绝对值为非负数 B. 两数相乘，同号得正 C. 两个有理数之和为正数 D. 对顶角不相等 【答案】C 【解析】 【分析】根据在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件． 【详解】解：A．一个数的绝对值为非负数，是必然事件； B. 两数相乘，同号得正，是必然事件； C. 两个有理数之和为正数，是随机事件； D. 对顶角不相等，是不可能事件． 故选：C． 【点睛】本题考查了随机事件，事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件． 3. 贴窗花是过春节时的一项重要活动，这项活动历史悠久，风格独特，深受国内外人士的喜爱．下列窗花作品为轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的定义与判断，熟练掌握轴对称图形的定义“平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形”是解决问题的关键． 【详解】解：A、该图形是轴对称图形，符合题意； B、该图形不是轴对称图形，不符合题意； C、该图形不是轴对称图形，不符合题意； D、该图形不是轴对称图形，不符合题意； 故选：A． 4. 如图，计划把河水引到水池中，先作，垂足为，然后沿开渠，能使所开的渠道最短，这样设计的数学根据是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 两条平行线之间的距离处处相等 C. 经过直线上或直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直 D. 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 【答案】D 【解析】 【分析】由题意根据过直线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段就是垂线段，且垂线段最短这一定理进行分析即可． 【详解】解：根据垂线段定理，连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短， ∴沿AB开渠，能使所开的渠道最短． 故选：D． 【点睛】本题考查的是垂线段，熟练掌握垂线段最短即从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短是解答此题的关键． 5. 如图所示，某工程队欲测量山脚两端A、B间的距离，在山旁的开阔地取一点C，连接AC、BC并分别延长至点D，点E，使得CD＝AC，CE＝BC，测得DE的长，就是AB的长，那么判定△ABC≌△DEC的理由是（　　） A. SSS B. SAS C. ASA D. AAS 【答案】B 【解析】 【分析】根据CD＝AC，∠ACB=∠DCE，CE＝BC，用SAS证明△ABC≌△DEC即得． 【详解】证明：在△ABC和△DEC中， ， ∴△ABC≌△DCE（SAS）， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了三角形全等，解决问题的关键是熟练掌握SAS判定三角形全等的方法和全等三角形的性质． 6. 从一个袋子中摸出红球的概率为，且袋子中红球有个，则袋子中共有球的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了概率，先设袋子中共有球的个数为个，根据概率公式即可求解，解题的关键是熟练掌握概率公式的应用． 【详解】设袋子中共有球的个数为个，根据概率公式得， ，解得，， 经检验：是原方程的解， 故选：． 7. 如果一个等腰三角形的两边长分别为2cm和5cm，那么它的周长是（ ） A. 9cm B. 12cm C. 9cm或12cm D. 以上答案都不对 【答案】B 【解析】 【分析】分类讨论2cm的边长和5cm的边长分别为腰的情况，再根据三角形的三边关系进行判断即可． 【详解】解：若三角形的三边长为： 故不成立； 若三角形的三边长为： 此时可以构成三角形 故周长为： 故选：B 【点睛】本题考查等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形是等腰三角形．分类讨论后利用三角形的三边关系进行验证是解题关键． 8. 如图，将△ABC沿直线DE折叠后，使得点B与点A重合．已知AC=5cm，△ADC的周长为17cm，则BC的长为（ ） A. 7cm B. 10cm C. 12cm D. 22cm 【答案】C 【解析】 【详解】根据折叠可得：AD=BD， ∵△ADC的周长为17cm，AC=5cm， ∴AD+DC=17﹣5=12（cm）. ∵AD=BD， ∴BD+CD=12cm. 故选C. 9. 一蓄水池中有水，打开排水阀门开始放水后水池的水量与放水时间有如下关系： 放水时间/分 1 2 3 4 … 水池中水量/ 48 46 44 42 … 下列说法不正确的是（ ） A. 蓄水池每分钟放水 B. 放水18分钟后，水池中水量为 C. 蓄水池一共可以放水25分钟 D. 放水12分钟后，水池中水量为 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可得蓄水量为，从而进行判断即可； 【详解】设蓄水量为y立方米，时间为t分， 则可得， 蓄水池每分钟放水，故A不符合题意； 放水18分钟后，水池中水量为，故B不符合题意； 蓄水池一共可以放水25分钟，故C不符合题意； 放水12分钟后，水池中水量为，故D符合题意； 故答案选D． 【点睛】本题主要考查了函数的表示方法，准确分析判断是解题的关键． （2023宁夏） 10. 劳动委员统计了某周全班同学的家庭劳动次数（单位：次），按劳动次数分为4组：，，，，绘制成如图所示的频数分布直方图．从中任选一名同学，则该同学这周家庭劳动次数不足6次的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用概率公式进行计算即可． 【详解】解：由题意，得：； 故选A． 【点睛】本题考查直方图，求概率．解题的关键是从直方图中有效的获取信息． 11. 如图，中，，平分交于点D，点E为的中点，连接，若，，则的面积为（ ） A. 18 B. 24 C. 36 D. 72 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理、与中线有关的三角形面积计算，作于，由角平分线的性质定理得出，由三角形面积公式得出，再由点E为的中点即可得出答案． 【详解】解：如图，作于， ∵平分，， ∴， ∴， ∵点E为的中点， ∴， 故选：C． 12. 如图，点D是中边上靠近A点的四等分点，即，连接，F是上一点，连接与交于点E，点E恰好是的中点，若，则的面积是（ ） A. 4 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了与三角形中线有关的面积计算，由得出，再由点E恰好是的中点即可得出，从而得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵点E恰好是的中点， ∴， 故选：D． 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分） 13. 一种病毒的长度约为0.000043mm，用科学记数法表示这个数为_____________mm． 【答案】4.3×10-5 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：0.000043=4.3×10-5， 故答案为：4.3×10-5． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． （2023扬州） 14. 某种绿豆在相同条件下发芽试验的结果如下： 每批粒数n 2 5 10 50 100 500 1000 1500 2000 3000 发芽的频数m 2 4 9 44 92 463 928 1396 1866 2794 发芽的频率（精确到0.001） 1.000 0.800 0.900 0.880 0.920 0.926 0.928 0.931 0.933 0.931 这种绿豆发芽的概率的估计值为________（精确到0.01）． 【答案】0.93 【解析】 【分析】根据题意，用频率估计概率即可． 【详解】解：由图表可知，绿豆发芽的概率的估计值0.93， 故答案：0.93． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率．解题的关键在于明确：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 15. 某商店进了一批货，每件进价为4元，售价为每件6元，如果售出x件，售出x件的总利润为y元，则y与x的函数关系式为__． 【答案】 【解析】 【分析】由总利润等于每件的利润乘以销售数量可得答案． 【详解】解：根据题意可得： ∵每件进价为4元，售价为每件6元， ∴每件商品的利润为：2元， ∴y与x的函数关系式为：． 故答案为． 【点睛】本题考查的是列函数关系式，理解题意列出正确的函数式是解本题的关键． 16. 如图，D是延长线上一点，交于点E，，，若，，则的长是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定与性质，由平行线的性质可得，证明，得出，即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 17. 若多项式是一个完全平方式，则____________ ． 【答案】 【解析】 【分析】先根据两平方项确定出这两个数是x和5，再根据完全平方公式求解即可． 【详解】解：， ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式，此题解题的关键是利用平方项来确定这两个数积的2倍． 18. 已知则值为____． 【答案】 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则计算． 【详解】当时， ＝a2m•an＝（am）2•an＝9×2＝18． 故答案为：18． 【点睛】本题考查的是幂的乘方与积的乘方，幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 19. 已知的三边是，，，化简________． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形三边关系，结合绝对值的进行进行化简． 【详解】解：∵的三边是，，， ∴， 原式= = =， 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形的三边关系，理解三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题关键． 20. 如果一个三位数的十位数字等于它的百位和个位数字的差的绝对值，那么称这个三位数为“三决数”，如：三位数312，∵，∴312是“三决数”，把一个三决数的任意一个数位上的数字去掉，得到三个两位数，这三个两位数之和记为，把的百位数字与个位数字之差的2倍记为．则的值为________；若三位数A是“三决数”，且是完全平方数，且百位数字小于个位数字，请求出所有符合条件的A的最大值为________． 【答案】 ①. 110 ②. 516 【解析】 【分析】根据题意求出和，然后相加即可；设A的百位数字是a，十位数字是b，个位数字是c，表示出和，求出，根据是完全平方数，得出，再根据题意求出a，b可能的取值，即可确定所有符合条件的A的值，问题得解． 【详解】解：由题意得：， ， ∴； 设A的百位数字是a，十位数字是b，个位数字是c， 由题意可得：， ， ∴， ∵，a、b为正整数， ∴， ∵是完全平方数， ∴， ∴，，，，， 又∵，， ∴符合条件的A为279或358或437或516， ∴所有符合条件的A的最大值为516， 故答案为：110；516． 【点睛】本题考查了新定义，整式的加减运算，判断出是解题的关键． 三、解答题： 21 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算、整式的混合运算，涉及零指数幂、负整数指数幂、乘法公式，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先计算零指数幂、负整数指数幂、乘方，再计算乘法，最后计算加减即可； （2）根据平方差公式和完全平方公式计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 22. 运用乘法公式计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了利用平方差公式和完全平方公式进行计算，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解此题的关键． （1）原式变形为，再利用平方差公式计算即可得出答案； （2）利用完全平方公式计算即可得出答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 23. 尺规作图并完成证明．如图，点D、点F在外，连接、、，且，，． （1）用尺规完成以下基本作图：作的平分线交于点E，连接（保留作图痕迹，不写作法）； （2）根据（1）中作图，求证：；请完善下面的证明过程． 证明：∵平分， ∴_____． ∵． ∴______．（ ） ∴．（ ） ∴_______． 在和中， ， ∴． ∴______． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据要求作出图形即可； （2）利用证明即可． 【小问1详解】 解：图形如图所示： 【小问2详解】 证明：∵平分， ∴． ∵． ∴．（两直线平行，内错角相等） ∴．（等量代换） ∴． 在和中， ， ∴． ∴． 【点睛】本题考查了作图—基本作图、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 24. 北方有个习俗，吃年夜饭时，谁吃到包有钱币的饺子，谁就在新的一年里吉祥如意，鸿运当头．不过，有钱币的饺子只有一个，否则就不灵了．今年外婆来我家过年，她在60个饺子中的一个放了钱币，吃饺子时外婆给每人盛了15个，结果爸爸、妈妈和外婆都没有吃到钱币，被外婆称之为“宝贝”的杨晨却吃到了． 请根据上述信息，简要回答下列问题： （1）若此游戏具有公平性，吃一个饺子能吃到钱币的概率是_____；杨晨能吃到钱币的概率是_____； （2）事后杨晨了解到：之所以杨晨能吃到钱币，是因为外婆做了手脚，在此前提下，杨晨吃第一个饺子就有钱币的概率是_____，外婆做手脚的方法我猜想是______； （3）还是4个人共吃60个饺子，且只有一个有钱币，请你设计一个办法能使妈妈、外婆吃到的概率都为，方法是：________． 【答案】（1）， （2），作记号或分开煮后再盛 （3）给妈妈和外婆每人盛个饺子 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． （1）根据概率公式计算即可得出答案； （2）根据概率公式计算即可得出答案； （3）根据概率公式结合题意即可得出答案． 【小问1详解】 解：若此游戏具有公平性，吃一个饺子能吃到钱币的概率是；杨晨能吃到钱币的概率是； 【小问2详解】 解：事后杨晨了解到：之所以杨晨能吃到钱币，是因为外婆做了手脚，在此前提下，杨晨吃第一个饺子就有钱币的概率是，外婆做手脚的方法我猜想是作记号或分开煮后再盛； 【小问3详解】 解：还是4个人共吃60个饺子，且只有一个有钱币，使妈妈、外婆吃到的概率都为，方法是：给妈妈和外婆每人盛个饺子． 25. 先化简，再求值：，其中，，． 【答案】，5 【解析】 【分析】本题考查的是乘法公式的应用，整式的混合运算，化简求值，先计算括号内整式的乘法运算，再合并同类项，最后计算多项式除以单项式，再把，代入计算即可． 【详解】解： ； 当，时， 原式； 26. 李大爷按每千克2.1元批发了一批黄瓜到镇上出售，为了方便，他带了一些零钱备用．他先按市场售出一些后，又降低出售．售出黄瓜千克数x与他手中持有的钱数y元（含备用零钱）的关系如图所示，结合图象回答下列问题： （1）李大爷自带的零钱是多少？ （2）降价前他每千克黄瓜出售的价格是多少？ （3）卖了几天，黄瓜卖相不好了，随后他按每千克下降1.6元将剩余的黄瓜售完，这时他手中的钱（含备用的钱）是530元，问他一共批发了多少千克的黄瓜？ （4）请问李大爷亏了还是赚了？若亏（赚）了，亏（赚）多少钱？ 【答案】（1）自带的零钱为50元；（2）降价前他每千克黄瓜出售的价格是3.6元；（3）他一共批发了160千克的黄瓜；（4）一共赚了144元钱． 【解析】 【分析】（1）图象与y轴的交点就是李大爷自带的零钱． （2）0到100时线段的斜率就是他每千克黄瓜出售的价格． （3）计算出降价后卖出的量+未降价卖出的量=总共的黄瓜． （4）赚的钱=总收入-批发黄瓜用的钱． 【详解】解：(1)由图可得农民自带的零钱为50元． (2)(410−50)÷100=360÷100=3.6(元). 答：降价前他每千克黄瓜出售的价格是3.6元； (3)(530−410)÷(3.6−1.6)=120÷2=60(千克)， 100+60=160(千克). 答：他一共批发了160千克的黄瓜； (4)530−160×2.1−50=144(元). 答：李大爷一共赚了144元钱． 27. 已知图形的相邻两边垂直，．当动点M以的速度沿图①的边框按的路径运动时，的面积S随时间t的变化如图②所示．回答下列问题： （1）图②中的自变量是 ，因变量是 ； （2）题目中的a是 ，的长度是 ； （3）当t为何值时，的面积． 【答案】（1）时间t；的面积S； （2）；； （3）2或． 【解析】 【分析】（1）根据自变量和因变量的定义即可得到答案； （2）由函数图像得当时，点M和点C重合，即可求得a，由图像可知时，点M在上运动，进而即可求解； （3）延长交于点G，根据图形得到各边的长以及的值，分段讨论与的关系，求出的值即可得到答案． 小问1详解】 解：由图②可知，自变量是时间t，因变量是的面积S， 故答案为：时间t；的面积S； 【小问2详解】 解：由函数图像得：当时，点M和点C重合，即， ， 由图像可知时，点M在上运动， ， 故答案为：；； 【小问3详解】 解：延长交于点G，则， 图形的相邻两边垂直， ，，， ，，， 由（2）得：，， ， 点M在上运动的时间为：， ， ， ， ①当点M在上运动时，， ，解得：； ②当点M在上运动时，，不符合题意； ③当点M在上运动时，， ， ， ，解得：； ④当点M在上运动时，，符合题意， ⑤当点M在上运动时，，不符合题意， 综上所述，当的面积时，t的值为2或． 【点睛】本题考查了函数的基本定义，函数图象获取信息，利用数形结合和分类讨论的思想，通过图象找出对应图形的线段长以及运动时间是解题关键． 28. 在学习全等三角形知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成在相对位置变化的同时始终存在一对全等三角形通过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型”兴趣小组进行了如下探究： （1）如图1，两个等腰三角形和中，，，，连接、，如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，这个就是“手拉手模型”，在这个模型中，和全等的三角形是______，此线和的数量关系是______． （2）如图2，两个等腰直角三角形和中，，，，连接、，两线交于点，请判断线段和的关系，并说明理由． 【答案】（1）△AEC，BD=CE；（2）BD=CE且BD⊥CE，理由见解析 【解析】 【分析】（1）先判断出∠DAB=∠EAC，进而判断出△DAB≌△EAC，即可得出结论； （2）先判断出△DAB≌△EAC，得出BD=CE，∠DBA=∠ECA，进而判断出∠DBC+∠ECB，即可得出结论． 【详解】解：（1）∵∠DAE=∠BAC， ∴∠DAE+∠BAE=∠BAC+∠BAE． ∴∠DAB=∠EAC， 在△DAB和△EAC中， ， ∴△DAB≌△EAC（SAS）， ∴BD=CE， 故答案为：△AEC，BD=CE； （2）BD=CE且BD⊥CE； 理由如下：∵∠DAE=∠BAC=90°， ∴∠DAE+∠BAE=∠BAC+∠BAE． ∴∠DAB=∠EAC． 在△DAB和△EAC中， ， ∴△DAB≌△EAC（SAS）， ∴BD=CE，∠DBA=∠ECA， ∵∠ECA+∠ECB+∠ABC=90°， ∴∠DBA+∠ECB+∠ABC=90°， 即∠DBC+∠ECB=90°， ∴∠BPC=180°-（∠DBC+∠ECB）=90°， ∴BD⊥CE， 综上所述：BD=CE且BD⊥CE． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$