新课预习衔接：第五单元圆 (讲义)-2024-2025学年六年级上册数学人教版

圆 【思维导图+知识精讲+典型例题+高频真题+答案解析】编者的话：同学们，恭喜你已经开启了本单元的求知之旅，相信你已经正确规划了自己的学习任务，本套资料为课前预习，课中巩固，课后提升而设计，对单元知识点进行全面精讲，易错点逐个分解，强化练习常考易错真题，答案解析非常通俗易懂，可助你轻松掌握、理解、运用单元知识点解决问题！ 2024年9月 目录导航 资料说明 第一部分：思维导图：单元知识简单且高效的发散性思维呈现，是一种实用性的知识小结。 第二部分：知识精讲：把握知识要点，掌握方法技巧，理解数学本质，提升数学思维。 第三部分：典型例题：选题典型、高频易错、考试母题，具有理解一题，掌握一类的优势。 第四部分：高频真题：精选近两年统考真题，助您学习有方向，做好题，达到事半功倍的效果。 第五部分：答案解析：重点、难点题精细化解析，犹如名师讲解，可以轻松理解。 第一部分 思维导图 第二部分 知识精讲 知识清单 方法技巧 【圆、圆环的周长知识点归纳】 圆的周长＝πd＝2πr， 半圆的周长等于圆周长一半加上直径，即； 半圆周长＝πr+2r． 圆环的周长等于两个圆的周长，即： 圆环的周长＝πd1+πd2＝2πr1+2πr2． 【解题思路点拨】 （1）常规题求圆的周长，先求出关键量半径，代入公式即可求得． 【圆、圆环的面积知识点归纳】 圆的面积公式： S＝πr2 圆环的面积等于大圆的面积减去小圆的面积即可得，公式： S＝πr22﹣πr12＝π（r22﹣r12） 第三部分 典型例题 例题1：城市广场准备修建一个周长是62.8米的圆形花坛，这个圆形花坛的占地面积是多少平方米？ 【考点】圆、圆环的面积． 【答案】314平方米。 【分析】先根据圆的周长，求出圆的半径，然后利用圆的面积公式：S＝πr2，即可求出花坛的占地面积。 【解答】解：3.14×（62.8÷3.14÷2）2 ＝3.14×100 ＝314（平方米） 答：这个花坛的占地面积是314平方米。 【点评】此题主要考查圆面积的计算方法在实际生活中的应用。 例题2：刘大爷用12.56米长的篱笆靠墙围一个半圆形的鸡圈。这个鸡圈的面积是多少平方米？ 【考点】圆、圆环的面积． 【答案】25.12平方米。 【分析】通过观察图形可知，一面靠墙，用12.56米的篱笆围成了一个半圆形的鸡圈，12.56米对应该圆周长的一半，根据圆的周长公式：C＝2πr，据此可以求出半圆的半径，再根据半圆的面积公式：S＝πr2÷2，把数据代入公式解答。 【解答】解：12.56÷3.14＝4（米） 3.14×42÷2 ＝3.14×16÷2 ＝50.24÷2 ＝25.12（平方米） 答：这个鸡圈的面积是25.12平方米。 故答案为：25.12。 【点评】此题主要考查半圆面积公式的灵活应用，关键是求出半圆的半径。 例题3：课本中探究圆的面积时，我们把圆面积转化为近似长方形面积，其实圆的面积还可以转化为三角形面积，如图，是一个由若干粗细一致的麻绳围成的圆形茶杯垫，沿半径剪开，展开后得到一个近似的三角形。 （1）这个三角形的底相当于圆的 　C　，高相当于圆的 　A　。 A.半径 B.直径 C.周长 D.周长的一半 （2）如果圆的半径是r，我们也可以推导出圆形的面积公式：圆形的面积＝三角形的面积＝a×h÷2＝　2πr　×　r　÷2＝　πr2　。 【考点】圆、圆环的面积；三角形的周长和面积． 【答案】C，A；2πr，r，πr2。 【分析】（1）根据转化过程选择； （2）利用（1）的关系补充公式。 【解答】解：（1）这个三角形的底相当于圆的周长，高相当于圆的半径。 （2）如果圆的半径是r，我们也可以推导出圆形的面积公式：圆形的面积＝三角形的面积＝a×h÷2＝2πr×r÷2＝πr2。 故答案为：C，A；2πr，r，πr2。 【点评】本题主要考查对圆的面积的推导过程的理解。 第四部分 高频真题 1．要画一个周长为25.12厘米的圆，圆规两脚之间的距离应取（　　） A．4厘米 B．6厘米 C．8厘米 2．一个大圆的半径正好是小圆的直径，那么小圆面积是大圆面积的（　　） A． B． C． D． 3．一个圆的半径扩大3倍，则它的面积（　　） A．扩大2倍 B．扩大3倍 C．扩大9倍 D．不变 4．下面各图形中，对称轴最多的是（　　） A．等腰三角形 B．正方形 C．圆 5．下面各圆中的涂色部分，（　　）是扇形。 A． B． C． 6．用同样长的篱笆围成下面不同形状的菜地，其中面积最大的是（　　） A．长方形 B．正方形 C．圆 7．把一个圆平均分成16份，然后剪拼成一个近似的长方形，转化后的长方形与圆相比，（　　） A．周长和面积都没变 B．周长和面积都变了 C．周长没变，面积变了 D．周长变了，面积不变 8．在直径是10m的圆形花坛外，铺一条2m宽的环形小路，环形小路的面积是（　　）m2。 A．24π B．44π C．64π D．96π 9．圆规两脚间的距离为2厘米，所画圆的面积为 　 　平方厘米，周长为 　 　厘米． 10．用一个正方形去盖住整个面积是50.24平方厘米的圆，这个正方形的边长至少是　 　厘米． 11．如图，将一个圆沿半径剪开，拼成一个近似的长方形，圆的半径是 　 　cm。 12．一个铁环滚动一周前进了1.57米，这个铁环的半径是　 　米． 13．广场的圆形花园的周长是314m，它的面积是 　 　m2。 14．把一个面积为28.26平方分米的圆平均分，拼成一个近似的长方形，这个长方形的宽是 　 　分米，长是 　 　分米，周长是 　 　分米。 15．在下面的长方形中画出一个最大的半圆，并求出半圆的周长。 16．会识图 （1）运用转化思想推导圆的面积的方法：如图，把半径为r的圆沿半径剪开，分成了16等份，拼成了一个近似的梯形，在这个转化过程中，两个图形的 　 　相等，梯形的上下底之和相当于圆的 　 　，梯形的高相当于圆的 　 　，梯形的面积＝，所以圆的面积：S＝＝　 　。 （2）下面运用了“转化”方法解决问题的有 　 　 ＝×3 ①分数除法 ②三角形的面积 ③三角形的内角和 ④圆的面积 A.只有②④B.只有①②④C.只有②③④D.①②③④ 17．量出相关的数据（取整厘米数），求下图的周长和面积。 18．画出下面圆的圆心，并用字母O标出． 19．把圆形茶杯垫片沿直径剪开，得到两个近似的三角形，再拼成平行四边形 观察平行四边形，底相当于圆的　 　，高相当于圆的　 　，平行四边形的面积＝底×高，所以圆的面积：S＝　 　×　 　＝　 　． 20．一个圆形花园的直径是6米，在它周围有一条宽1米的环形鹅卵石小路．这条小路的面积是多少平方米？ 参考答案与试题解析 1．要画一个周长为25.12厘米的圆，圆规两脚之间的距离应取（　　） A．4厘米 B．6厘米 C．8厘米 【考点】圆、圆环的周长． 【答案】A 【分析】用圆规画圆时两脚之间的距离就是所画圆的半径，可根据圆的周长公式C＝2πr计算出圆的半径即可，列式解答即可得到答案． 【解答】解：25.12÷3.14÷2， ＝8÷2， ＝4（厘米）， 答：圆规两脚之间的距离是4厘米． 故选：A． 【点评】此题主要考查的是圆的周长公式及其应用． 2．一个大圆的半径正好是小圆的直径，那么小圆面积是大圆面积的（　　） A． B． C． D． 【考点】圆、圆环的面积；分数除法． 【答案】B 【分析】根据题意，假设大圆的半径是2，那么小圆的半径就是2÷1＝1，再根据圆的面积公式进行计算即可． 【解答】解：根据题意，假设大圆的半径是2， 那么小圆的直径也是2，小圆的半径就是2÷2＝1，由圆的面积公式可知： 大圆的面积是：π×22＝4π，小圆的面积是：π×12＝π， 则小圆面积是大圆面积的：π÷（4π）＝． 故选：B． 【点评】根据题意，用赋值法求出大小圆的半径，再根据圆的面积公式求解即可． 3．一个圆的半径扩大3倍，则它的面积（　　） A．扩大2倍 B．扩大3倍 C．扩大9倍 D．不变 【考点】圆、圆环的面积． 【答案】C 【分析】根据圆的面积公式：S＝πr2，知道圆的面积和它的半径的平方成正比，运用这一规律解决问题。 【解答】解：因为S＝πr2，半径扩大3倍，面积就扩大32倍，即扩大9倍。 故选：C。 【点评】要牢记圆的面积公式S＝πr2，知道圆的面积和它的半径的平方成正比。 4．下面各图形中，对称轴最多的是（　　） A．等腰三角形 B．正方形 C．圆 【考点】确定轴对称图形的对称轴条数及位置． 【答案】C 【分析】依据轴对称图形的概念，即在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫作轴对称图形，这条直线就是其对称轴，据此即可解答． 【解答】解：A，等腰三角形有1条对称轴； B，正方形有4条对称轴； C，圆有无数条对称轴； 故选：C． 【点评】此题考查了轴对称图形的定义，要求学生能够正确找出轴对称图形的对称轴． 5．下面各圆中的涂色部分，（　　）是扇形。 A． B． C． 【考点】扇形的认识． 【答案】B 【分析】在一个圆中，一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形，据此解答即可。 【解答】解：符合扇形的定义，是一个扇形。 故选：B。 【点评】本题考查了扇形的定义及辨识，结合图示分析解答即可。 6．用同样长的篱笆围成下面不同形状的菜地，其中面积最大的是（　　） A．长方形 B．正方形 C．圆 【考点】圆、圆环的面积；长方形、正方形的面积． 【答案】C 【分析】此题要明确篱笆长即周长，然后用假设法进行分析，计算得出；假设篱笆长为6.28米；然后根据长方形和正方形和圆的知识进行分析，并以此算出其面积进行比较即可得出结论。 【解答】解：假设篱笆长为6.28米； 圆：6.28÷3.14÷2＝1（米），面积为：3.14×12＝3.14（平方米）； 正方形：6.28÷4＝1.57（米），面积为：1.57×1.57≈2.46（平方米）； 长方形：假设长是2，宽则为：1.14米，面积为：2×1.14＝2.28（平方米）； 通过计算可知，同周长的圆、正方形和长方形，所围成的面积圆最大，正方形次之，长方形面积最小。 故选：C。 【点评】此题可用假设法进行分析、推理、计算，得出结论。注意：周长相等的圆、长方形和正方形，圆的面积最大。 7．把一个圆平均分成16份，然后剪拼成一个近似的长方形，转化后的长方形与圆相比，（　　） A．周长和面积都没变 B．周长和面积都变了 C．周长没变，面积变了 D．周长变了，面积不变 【考点】圆、圆环的面积． 【答案】D 【分析】根据圆面积公式的推导过程可知，把把一个圆平均分成16份，然后剪拼成一个近似的长方形，只是形状变了但面积不变．拼成的长方形的长等于圆周长的一半，宽等于圆的半径，所以拼成的长方形的周长比圆的周长大．据此解答即可． 【解答】解：把一个圆平均分成16份，然后剪拼成一个近似的长方形，转化后的长方形与圆相比，周长变了，面积不变． 故选：D． 【点评】此题考查的目的是理解掌握圆面积公式的推导过程及应用． 8．在直径是10m的圆形花坛外，铺一条2m宽的环形小路，环形小路的面积是（　　）m2。 A．24π B．44π C．64π D．96π 【考点】圆、圆环的面积． 【答案】A 【分析】根据环形面积公式：S＝π（R2﹣r2），把数据代入公式解答即可。 【解答】解：10÷2＝5（米） 5+2＝7（米） π×（72﹣52） ＝π×（49﹣25） ＝24π（平方米） 答：环形小路的面积是24π平方米。 故选：A。 【点评】此题主要考查环形面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 9．圆规两脚间的距离为2厘米，所画圆的面积为 　12.56　平方厘米，周长为 　12.56　厘米． 【考点】圆、圆环的面积；圆、圆环的周长． 【答案】见试题解答内容 【分析】半径决定圆的大小，圆规两脚间的距离为2厘米，画出圆的半径是2厘米，根据圆的面积公式：S＝πr2，圆的周长公式：C＝2πr，把数据代入公式解答。 【解答】解：3.14×22 ＝3.14×4 ＝12.56（平方厘米） 3.14×2×2＝12.56（厘米） 答：所画圆的面积是12.56平方厘米，周长为12.56厘米。 故答案为：12.56，12.56。 【点评】此题主要考查圆的面积公式、周长公式的灵活运用，关键是熟记公式。 10．用一个正方形去盖住整个面积是50.24平方厘米的圆，这个正方形的边长至少是　8　厘米． 【考点】圆、圆环的面积；长方形、正方形的面积． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据圆的面积公式＝πr2确定圆的半径，正方形的边长应该为圆的直径才能完全盖住，据此解答即可． 【解答】解：半径的平方为：50.24÷3.14＝16， 因为4×4＝16，所以圆的半径为4厘米， 正方形的边长为：4×2＝8（厘米）， 答：这个正方形的边长至少是8厘米． 故答案为：8． 【点评】解答此题的关键是理解正方形的边长应该为圆的直径才能完全盖住，然后再应用圆的面积公式计算出圆的半径，进而计算出圆的直径即可． 11．如图，将一个圆沿半径剪开，拼成一个近似的长方形，圆的半径是 　2　cm。 【考点】圆、圆环的周长． 【答案】2。 【分析】长方形的长等于圆的周长一半，依此即可求解。 【解答】解：6.28÷3.14＝2（cm） 答：圆的半径是2cm。 故答案为：2。 【点评】本题考查了半圆的周长。解题的关键是理解和掌握它们的计算公式，同时不要错误的以为半圆的周长是圆的周长的一半。 12．一个铁环滚动一周前进了1.57米，这个铁环的半径是　0.25　米． 【考点】圆、圆环的周长． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据圆的周长公式：c＝2πr，那么r＝c÷2π，把数据代入公式解答即可． 【解答】解：1.57÷3.14÷2 ＝0.5÷2 ＝0.25（米）， 答：这个铁环的半径是0.25米． 故答案为：0.25． 【点评】此题主要考查圆的面积公式的灵活运用，关键是熟记公式． 13．广场的圆形花园的周长是314m，它的面积是 　7850　m2。 【考点】圆、圆环的面积． 【答案】7850。 【分析】根据题意，先根据圆的周长公式，求出圆的半径，再根据圆的面积公式S＝πr2，列式解答。 【解答】解：3.14×（314÷3.14÷2）2 ＝3.14×502 ＝3.14×2500 ＝7850（平方米） 答：它的面积是7850平方米。 故答案为：7850。 【点评】此题考查了圆的周长公式和面积公式的应用。 14．把一个面积为28.26平方分米的圆平均分，拼成一个近似的长方形，这个长方形的宽是 　4.5　分米，长是 　14.13　分米，周长是 　37.26　分米。 【考点】圆、圆环的面积． 【答案】4.5，14.13，37.26。 【分析】根据题干，这个长方形的宽就是这个圆的半径，长方形的长等于圆的周长的一半，据此计算。 【解答】解：28.26÷3.14÷2＝4.5（分米） 28.26÷2＝14.13（分米） （14.13+4.5）×2 ＝18.63×2 ＝37.26（分米） 答：这个长方形的宽是4.5分米，长是14.13分米，周长是37.26分米。 故答案为：4.5，14.13，37.26。 【点评】正确找出圆的半径即长方形的宽，是解决本题的关键。 15．在下面的长方形中画出一个最大的半圆，并求出半圆的周长。 【考点】圆、圆环的周长． 【答案】，20.56厘米。 【分析】根据题意知道，所画的半圆的半径是4厘米，根据圆的面积公式，即可求出半圆的面积，半圆的周长是圆周长的一半+直径，由此即可解答。 【解答】解：如图： 3.14×4+4×2 ＝12.56+8 ＝20.56（厘米） 答：这个半圆的周长是20.56厘米。 【点评】解答此题的关键是，知道如何剪一个最大的半圆，然后根据相应的公式，列式解答即可。 16．会识图 （1）运用转化思想推导圆的面积的方法：如图，把半径为r的圆沿半径剪开，分成了16等份，拼成了一个近似的梯形，在这个转化过程中，两个图形的 　面积　相等，梯形的上下底之和相当于圆的 　周长的一半　，梯形的高相当于圆的 　半径的2倍　，梯形的面积＝，所以圆的面积：S＝＝　πr2　。 （2）下面运用了“转化”方法解决问题的有 　D　 ＝×3 ①分数除法 ②三角形的面积 ③三角形的内角和 ④圆的面积 A.只有②④B.只有①②④C.只有②③④D.①②③④ 【考点】圆、圆环的面积；梯形的面积． 【答案】（1）面积，周长的一半，半径的2倍，πr，2r，πr2；（2）D。 【分析】（1）根据圆面积公式的推导过程可知，把圆沿着半径剪开，分成了16等份，拼成了一个近似的梯形，在这个转化过程中，两个图形的面积相等，梯形的上下底之和相当于圆的周长的一半，梯形的高相当于圆的半径的2倍，梯形的面积＝，所以圆的面积：S＝πr2。 （2）①根据分数除法的计算法则，甲数除以乙数（0除外），等于甲乘乙数的倒数。运用“转化”把分数除法转化为分数乘法计算。 ②根据三角形面积公式的推导方法可知，把三角形“转化”为平行四边形，根据平行四边形的面积公式推导出三角形的面积公式。 ③三角形内角和的推导也是运用了“转化”的方法，把三角形的3个角剪拼成一个平角，根据平角的定义推导出三角形的内角和是180°。 ④圆面积公式的特点也是运用了“转化”的方法进行推导的。据此解答。 【解答】解：（1）根据圆面积公式的推导过程可知，把圆沿着半径剪开，分成了16等份，拼成了一个近似的梯形，在这个转化过程中，两个图形的面积相等，梯形的上下底之和相当于圆的周长的一半，梯形的高相当于圆的半径的2倍，梯形的面积＝，所以圆的面积：S＝＝πr2。 （2）由分析得：上面4个问题都是运用了“转化”的方法解决问题。 故选：D。 故答案为：（1）面积，周长的一半，半径的2倍，πr，2r，πr2；（2）D。 【点评】此题考查的目的是理解掌握“转化”的方法在解决数学问题中的应用。 17．量出相关的数据（取整厘米数），求下图的周长和面积。 【考点】圆、圆环的面积；长度的测量方法；圆、圆环的周长． 【答案】半圆的周长是5.14厘米，面积是1.57平方厘米。 【分析】测量半圆的直径，然后利用圆的周长公式：C＝πd＝2πr和面积公式：S＝πr²计算即可。 【解答】解：经过测量，半圆的所在圆的直径是2厘米， 3.14×2÷2+2 ＝3.14+2 ＝5.14（厘米） 3.14×（2÷2）²÷2 ＝3.14×1÷2 ＝1.57（平方厘米） 答：半圆的周长是5.14厘米，面积是1.57平方厘米。 【点评】本题主要考查图形的周长和面积的求解，关键利用圆的周长和面积公式计算。 18．画出下面圆的圆心，并用字母O标出． 【考点】圆的认识与圆周率． 【答案】见试题解答内容 【分析】连接正方形两条对角线，两条对角线的交点即该圆的圆心，用字母O表示；由此解答即可． 【解答】解： 【点评】此题考查了利用圆的两大要素：圆心与半径画半圆的方法，以及半圆的周长与面积公式的计算应用；明确正方形中圆的圆心的找法及圆心的表示方法，是解答此题的关键． 19．把圆形茶杯垫片沿直径剪开，得到两个近似的三角形，再拼成平行四边形 观察平行四边形，底相当于圆的　周长的一半　，高相当于圆的　半径　，平行四边形的面积＝底×高，所以圆的面积：S＝　πr　×　r　＝　πr2　． 【考点】圆、圆环的面积． 【答案】见试题解答内容 【分析】把圆平均分成若干份，拼成一个近似的平行四边形，平行四边形的高即圆的半径，平行四边形的底即圆周长的一半，据此即可解答问题． 【解答】解：根据题干分析可得，设圆的半径是r，则拼成的平行四边形的底是2πr÷2＝πr 平行四边形的高是r， 所以圆的面积是：πr×r＝πr2 故答案为：圆的周长的一半；半径；πr；r；πr2． 【点评】解答此题的关键是应明确：把圆平均分成若干份，拼成一个近似的平行四边形，平行四边形的底等于圆的周长的一半，平行四边形的高等于圆的半径；据此解答即可． 20．一个圆形花园的直径是6米，在它周围有一条宽1米的环形鹅卵石小路．这条小路的面积是多少平方米？ 【考点】圆、圆环的面积． 【答案】见试题解答内容 【分析】如图所示，这条小路（红色区域）的面积就是这个外圆半径为6÷2+1＝4米，内圆半径为6÷2＝3米的圆环的面积，由此利用圆环的面积公式即可计算． 【解答】解：6÷2＝3（米），3+1＝4（米）， 所以小路的面积为： 3.14×（42﹣32）， ＝3.14×（16﹣9）， ＝3.14×7， ＝21.98（平方米）； 答：这条小路的面积是21.98平方米． 【点评】此题重点是明确小路的面积就是外圆半径4米，内圆半径3米的圆环的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $$