新课预习衔接：第四单元比 (讲义)-2024-2025学年六年级上册数学人教版

比 【思维导图+知识精讲+典型例题+高频真题+答案解析】编者的话：同学们，恭喜你已经开启了本单元的求知之旅，相信你已经正确规划了自己的学习任务，本套资料为课前预习，课中巩固，课后提升而设计，对单元知识点进行全面精讲，易错点逐个分解，强化练习常考易错真题，答案解析非常通俗易懂，可助你轻松掌握、理解、运用单元知识点解决问题！ 2024年9月 目录导航 资料说明 第一部分：思维导图：单元知识简单且高效的发散性思维呈现，是一种实用性的知识小结。 第二部分：知识精讲：把握知识要点，掌握方法技巧，理解数学本质，提升数学思维。 第三部分：典型例题：选题典型、高频易错、考试母题，具有理解一题，掌握一类的优势。 第四部分：高频真题：精选近两年统考真题，助您学习有方向，做好题，达到事半功倍的效果。 第五部分：答案解析：重点、难点题精细化解析，犹如名师讲解，可以轻松理解。 第一部分 思维导图 第二部分 知识精讲 知识清单+方法技巧 【比的意义知识点归纳】 两个数相除，也叫两个数的比． 【比的应用知识点归纳】 1．按比例分配问题的解题方法： （1）把比看作分得的份数，用先求出每一份的方法来解答．解题步骤： a．求出总份数； b．求出每一份是多少； c．求出各部分相应的具体数量． （2）转化成份数乘法来解答．解题步骤： a．先根据比求出总份数； b．再求出各部分量占总量的几分之几； c．求出各部分的数量． 2．按比例分配问题常用解题方法的应用： （1）已知一个数量的各部分的比和其中某一部分的量，求另外几个部分量； （2）已知两个量或几个量的比和其中两个量的差，求总量． 第三部分 典型例题 例题1：我国民间常用水、生姜和红糖煎服以防感冒（俗称“姜汤”）。水、生姜、红糖一般按75：2：5的比例配好后煎熬。爸爸准备熬成410g的“姜汤”，需准备生姜多少克？（熬的过程中损耗不计） 【考点】比的应用． 【答案】10克。 【分析】把爸爸准备熬成的“姜汤”的质量看作单位“1”，则生姜占。根据分数乘法的意义，用准备熬成的“姜汤”的质量（410克）乘就是需准备生姜的质量。 【解答】解：410× ＝410× ＝10（克） 答：需准备生姜10克。 【点评】此题是考查按比例分配应用题的特点以及解答规律，先求出总份数，用它作公分母，再分别求出各部分占总数的几分之几，然后根据分数乘法的意义解答。 例题2：一块底是54米，对应的高是15米的平行四边形菜地，种白菜的面积占这块菜地的，剩下的菜地按3：4的面积比种菠菜和黄瓜，种黄瓜的面积是多少平方米？ 【考点】比的应用． 【答案】360平方米。 【分析】已知平行四边形菜地的底和高，根据平行四边形面积计算公式“S＝ah”即可求出这块菜地的面积。把这块菜地的面积看作单位“1”，种白菜的面积占这块菜地的，则剩下的面积占这块菜地的（1﹣），单位“1”已知，用这块菜地的面积乘（1﹣），即可求出剩下的面积；已知剩下的菜地按3：4的面积比种菠菜和黄瓜，即种黄瓜的面积占剩下面积的，根据求一个数的几分之几是多少，用剩下的面积乘，即可求出种黄瓜的面积。 【解答】解：54×15＝810（平方米） 810×（1﹣） ＝810× ＝630（平方米） 630× ＝630× ＝360（平方米） 答：种黄瓜的面积是360平方米。 【点评】关键是求出这块平行四边形菜地的面积，再根据分数乘法的意义求出种菠菜和黄瓜的面积，再把比转化成分数，根据分数乘法的意义解答。 例题3：客、货两车分别从甲、乙两地同时相向而行，相遇时客车与货车所行路程的比是7：4．已知，客车从甲地行驶到乙地需要8小时，货车每小时行驶48km．甲、乙两地相距多少千米？ 【考点】比的应用． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意可知：在相同时间内，客车与货车所行路程的比等于两车速度的比，已知货车每小时行驶48千米，那么客车每小时行驶的速度是货车速度的，根据一个数乘分数的意义，用乘法求出客车的速度，然后根据路程＝速度×时间，据此列式解答． 【解答】解：客车的速度：48×＝84（千米/时） 84×8＝672（千米） 答：甲、乙两地相距672千米． 【点评】此题考查的目的是理解比的意义，掌握比与分数之间的联系及应用，关键是明确：在相同时间内，客车与货车所行路程的比等于两车速度的比． 第四部分 高频真题 1．比的前项乘4，后项除以，比值（　　） A．变大了 B．变小了 C．不变 2．1g盐完全溶入100g水中，盐与水质量的比是（　　） A．1：100 B．1：99 C．1：101 3．一个直角三角形，三个内角的度数比可能是（　　） A．3：2：1 B．1：1：1 C．1：3：5 4．如果女生人数占全班人数的60%，那么男、女生人数的比是（　　） A．2：5 B．2：3 C．3：2 D．5：2 5．如果减数与被减数的比是5：11，那么差是减数的（　　） A． B． C． 6．在2：7中，比的前项加上6，要使比的大小不变，比的后项应（　　） A．乘3 B．加上6 C．加上14 D．加上21 7．小红读一本故事书，已读与未读的页数比是3：4；现在她又读了66页，已读与未读的页数比变成5：3。这本故事书有（　　）页。 A．72 B．168 C．240 D．336 8．8：5的前项增加16，要使比值不变，后项应 　 　。 9．　 　÷20＝＝14：　 　＝　 　（小数）。 10．写出最简单的整数比：如图，阴影部分与空白部分的面积之比为 　 　。 11．如果把3：7的前项加9，要使它的比值不变，后项应加 　 　。 12．一个三角形的一个内角的度数是60°，另两个内角的度数的比是1：2，这个三角形是 　 　三角形． 13．化简下列各比． 1.5：0.3 1：0.35 45分：1小时 14．用分数表示下面各式的商． 3÷5＝ 11÷12＝ 1÷3＝ 9÷8＝ 2÷11＝ 15．甲乙丙三个小组共植树144棵，甲组植了总数的，乙组和丙组植树的棵数之比是5：3，丙组植了多少棵树？ 16．学校新购买了6000本图书，把其中的借给高年级，剩下的图书按5：3分别借给中年级和低年级，高、中、低年级各借了多少本图书？ 17．如图是一块长方形菜园，已经种了西红柿，剩下的地按2：1的比种豆角和黄瓜，豆角和黄瓜分别要种多大面积？ 参考答案与试题解析 1．比的前项乘4，后项除以，比值（　　） A．变大了 B．变小了 C．不变 【考点】比的性质． 【答案】C 【分析】根据比的基本性质和分数除法法则直接判断。 【解答】解：比的后项除以，也就是将后项乘4；比的前项乘4，后项也乘4，所以比值不变。 故选：C。 【点评】解答本题需熟练掌握比的基本性质和分数除法法则，灵活判断。 2．1g盐完全溶入100g水中，盐与水质量的比是（　　） A．1：100 B．1：99 C．1：101 【考点】比的意义；比的应用． 【答案】A 【分析】根据比的意义即可写出盐与水的质量比。 【解答】解：1g：100g＝1：100 答：盐与水的质量比是1：100。 故选：A。 【点评】此题考查了比的意义。盐的质量、水的质量已知，据此即可写出盐与水的质量比。 3．一个直角三角形，三个内角的度数比可能是（　　） A．3：2：1 B．1：1：1 C．1：3：5 【考点】比的意义． 【答案】A 【分析】根据三角形内角和定理，三角形三个内角之和是180°，再根据直角三角形的意义，直角三角形两个锐角度数之和是90°，即直角所占的份数等于两个锐角所占的份数之和。 【解答】解：3＝1+2，一个直角三角形的三个内角的度数比可能是3：2：1。 故选：A。 【点评】解答此题的关键是根据三角形内角和定理及直角三角形的意义，明白直角所占的份数等于两个锐角所占的份数之和。 4．如果女生人数占全班人数的60%，那么男、女生人数的比是（　　） A．2：5 B．2：3 C．3：2 D．5：2 【考点】比的应用． 【答案】B 【分析】把全班人数看作单位“1”，则男生人数占全班人数的（1﹣60%），根据比的意义，即可写出男、女生人数的比，并化成最简整数比。 【解答】解：（1﹣60%）：60% ＝40%：60% ＝2：3 答：男、女生人数的比是2：3。 故选：B。 【点评】此题主要考查了比的意义及化简。 5．如果减数与被减数的比是5：11，那么差是减数的（　　） A． B． C． 【考点】比的应用． 【答案】C 【分析】将减数看作5份，则被减数为11份，据此求出差，然后求出差是减数的几分之几即可。 【解答】解：11﹣5＝6 6÷5＝ 答：差是减数的。 故选：C。 【点评】解答本题需熟练掌握比的意义及被减数、减数和差之间的关系，明确求一个数是另一个数的几分之几的方法。 6．在2：7中，比的前项加上6，要使比的大小不变，比的后项应（　　） A．乘3 B．加上6 C．加上14 D．加上21 【考点】比的性质． 【答案】D 【分析】比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。据此解答。 【解答】解：在2：7中，比的前项加上6，即2+6＝8，8÷2＝4，相当于前项乘4，要使比的大小不变，比的后项应乘4，即7×4＝28，28﹣7＝21，相当于比的后项加上21。 故选：D。 【点评】熟练掌握比的基本性质是解题的关键。 7．小红读一本故事书，已读与未读的页数比是3：4；现在她又读了66页，已读与未读的页数比变成5：3。这本故事书有（　　）页。 A．72 B．168 C．240 D．336 【考点】比的应用． 【答案】D 【分析】依据题意可知，把这本故事书的总页数看作单位“1”，已读页数占总页数的，读了66页后，已读页数占总页数的，所以读的66页占总页数的（﹣），由此计算总页数。 【解答】解：66÷（﹣） ＝66÷ ＝336（页） 答：这本故事书有336页。 故选：D。 【点评】解决本题的关键是找出题中单位“1”以及数量关系。 8．8：5的前项增加16，要使比值不变，后项应 　加10或扩大到原来的3倍。　。 【考点】比的性质． 【答案】加10或扩大到原来的3倍。 【分析】8：5的前项增加16，则比的前项为（8+16），比的后项为：（8+16）×5÷8，据此求出比的后项。 【解答】解：（8+16）×5÷8 ＝24×5÷8 ＝120÷8 ＝15 15﹣5＝10 15÷5＝3 即比的后项应加10或扩大到原来的3倍。 故答案为：加10或扩大到原来的3倍。 【点评】此题考查比的性质及应用。 9．　8　÷20＝＝14：　35　＝　0.4　（小数）。 【考点】比与分数、除法的关系． 【答案】8；35；0.4。 【分析】根据分数与除法的关系＝2÷5，再根据商不变的性质，被除数、除数都乘4就是8÷20；根据比与分数的关系＝2：5，再根据比的性质，比的前、后项都乘7就是14：35；2÷5＝0.4。 【解答】解：8÷20＝＝14：35＝0.4 故答案为：8；35；0.4。 【点评】此题主要是考查小数、分数、除法、比之间的关系及转化。利用它们之间的关系和性质进行转化即可。 10．写出最简单的整数比：如图，阴影部分与空白部分的面积之比为 　3：7　。 【考点】比的意义． 【答案】3：7。 【分析】阴影部分占其中3个方形的，空白部分的面积是2个方形+3个方形的，由此即可求出阴影部分与空白部分的面积之比。 【解答】解：3×：（2+3×） ＝： ＝3：7 阴影部分与空白部分的面积之比为3：7。 故答案为：3：7。 【点评】本题考查了比的意义。 11．如果把3：7的前项加9，要使它的比值不变，后项应加 　21　。 【考点】比的性质． 【答案】见试题解答内容 【分析】在3：7中，如果前项加上9，由3变成12，相当于前项乘4；要使比值不变，根据比的性质，后项也应该乘4，由7变成28，即加上28﹣7＝21；据此解答即可。 【解答】解：（3+9）÷3×7﹣7 ＝12÷3×7﹣7 ＝4×7﹣7 ＝28﹣7 ＝21 答：后项应加21。 故答案为：21。 【点评】此题考查比的性质的运用：比的前项和后项同时乘上或除以相同的数（0除外），比值不变。 12．一个三角形的一个内角的度数是60°，另两个内角的度数的比是1：2，这个三角形是 　锐角　三角形． 【考点】比的意义；三角形的分类；三角形的内角和． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据三角形内角和定理，三角形三个内角之和是180°，把180°与60°的差平均分成（1+2）份，先根据除法求出1份的度数，再根据乘法求出2份的度数，然后根据这个三角形中最大角的度数即可把这个三角形按角分类． 【解答】解：（180°﹣60°）÷（1+2） ＝120°÷3 ＝40° 40°×2＝80° 这个三角形的三个角都是锐角，这个三角形是锐角三角形． 答：这个三角形是锐角三角形． 故答案为：锐角． 【点评】此题主要考查的知识点有三：三角形内角和定理、按比例分配、三角形的（按角）的分类． 13．化简下列各比． 1.5：0.3 1：0.35 45分：1小时 【考点】比与分数、除法的关系． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据比的基本性质，比的前、后项都除以0.3即把此比化简． （2）根据比的基本性质，比的前、后项都乘100，再都除以5即可把此比化简． （3）把1小时化成60分，再根据比的基本性质，比的前、后项都15即可把此比化简． 【解答】解：（1）1.5：0.3 ＝（1.5÷0.3）：（0.3÷0.3） ＝5：1； （2）1：0.35 ＝（1×100）：（0.35×100） ＝100：35 ＝（100÷5）：（35÷5） ＝20：7； （3）45分：1小时 ＝45分：60分 ＝45：60 ＝（45÷15）：（60÷15） ＝3：4． 【点评】此题是考查比的化简，化简比的依据就是比的基本性质．不同单位的名数化简，先化成相同单位的名数再化简． 14．用分数表示下面各式的商． 3÷5＝ 11÷12＝ 1÷3＝ 9÷8＝ 2÷11＝ 【考点】比与分数、除法的关系． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据分数与除法的关系，被除数相当于分数的分子，除数相当于分数的分母，除号相当于分数的分数线，据此解答． 【解答】解：3÷5＝ 11÷12＝ 1÷3＝ 9÷8＝ 2÷11＝ 【点评】本题考查了分数与除法的关系，解答的关键是掌握它们之间的关系． 15．甲乙丙三个小组共植树144棵，甲组植了总数的，乙组和丙组植树的棵数之比是5：3，丙组植了多少棵树？ 【考点】比的应用． 【答案】30棵。 【分析】把三个小组的植树总数看作单位“1”，甲组植了总数的，则乙组和丙组一共植了总数的（1﹣），用植树总数乘（1﹣）可以求出乙组和丙组一共植了多少棵树。已知乙组和丙组植树的棵数之比是5：3，则丙组植了两个小组植树总数的，再用两个小组植树总数乘即可求出丙组植了多少棵树。 【解答】解： ＝144×× ＝80× ＝30（棵） 答：丙组植了30棵树。 【点评】本题考查了分数四则运算和比的应用。根据甲组植树占总数的分率求出乙组和丙组一共植树所占的分率，根据乙组和丙组植树的棵数之比求出丙组占两个小组植树总数的分率，是解题的关键。 16．学校新购买了6000本图书，把其中的借给高年级，剩下的图书按5：3分别借给中年级和低年级，高、中、低年级各借了多少本图书？ 【考点】比的应用． 【答案】高年级2000本，中年级2500本，低年级1500本。 【分析】把购买的图书本数看作单位“1”，根据分数乘法的意义，用总本数乘就是借给高年级的本数；总本数减借给高年级的本数就是借给中、底年级的本数，把借给中、低年级的本数平均分成（5+3）份，先用除法求出1份的本数，再用乘法分别求出5份（借给中年级）、3份（借给低年级）的本数。 【解答】解：6000×＝2000（本） （6000﹣2000）÷（5+3） ＝4000÷8 ＝500（本） 500×5＝2500（本） 500×3＝1500（本） 答：高年级借了2000本，中年级借了2500本，低年级借了1500本。 【点评】此题考查了比的应用。求出借给高年级的本数之后，也可根据借给中、低年级本数的比转化成分数，再根据分数乘法的意义解答。 17．如图是一块长方形菜园，已经种了西红柿，剩下的地按2：1的比种豆角和黄瓜，豆角和黄瓜分别要种多大面积？ 【考点】比的应用． 【答案】18m2，18m2。 【分析】根据长方形的面积计算公式“S＝ab”即可求出这块长方形菜园的面积，把这块长方形菜园的面积看作单位“1”，种西红柿的面积占，则种豆角和黄瓜的面积占（1﹣），根据分数乘法的意义，用这块菜园的面积乘（1﹣）就是种豆角和黄瓜的面积。把种豆角和黄瓜的面积的面积平均分成（2+1）份，先用除法求出1份的面积，即种黄瓜的面积，再用1份的面积乘2就是种豆角的面积。 【解答】解：15×6×（1﹣）÷（2+1） ＝90×÷3 ＝54÷3 ＝18（m2） 18×2＝36（m2） 答：豆角要种18m2，黄瓜要种18m2。 【点评】此题考查了比的应用。关键是根据长方形的面积计算公式及分数乘法的意义求出种豆角和黄瓜的面积，然后再根据按比例分配问题解答。 学科网（北京）股份有限公司 $$