精品解析：人教版2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

八年级年级期中考试预测卷 考试时间：90分钟 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，共18分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列等式成立的是（ ） A. B. C D. 3. 下列变量间的关系不是函数关系的是（　　） A. 长方形的宽一定，其长与面积 B. 正方形的周长与面积 C. 等腰三角形底边长与面积 D. 圆的周长与半径 4. 下列命题：①若是整数，则正整数的最小值是12；②“”与“”均一定成立；③“如果，，（是正整数）是一组勾股数，那么正整数，，也是一组勾股数”的逆命题是真命题；④四条边相等的四边形是菱形，四个角相等的四边形是正方形，不正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 如图，在中，是对角线，E，F，G，H分别是的中点，连接，则下列说法中，不正确的是（ ） A. 四边形为平行四边形 B. 若四边形矩形，则为菱形 C. 若四边形为菱形，则为菱形 D. 若四边形正方形，则正方形 6. 如图，在一块四边形ABCD空地种植草皮，测得m，m，m，m，且．若每平方米草皮需要200元，则需要投资（ ） A. 16800元 B. 7200元 C. 5100元 D. 无法确定 7. 给出下列说法：①直线与直线的交点坐标是；②一次函数，若，，那么它的图象过第一、二、三象限；③函数是一次函数，且y随x增大而减小；④已知一次函数的图象与直线平行，且过点，那么此一次函数的解析式为；⑤直线必经过点．其中正确的有（ ）． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 8. 如图，平行四边形的对角线，相交于点O．点E为的中点，连接并延长交于点F，，．下列结论： ①；②；③；④．其中正确结论的个数是（　　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共8小题，共18分． 9. 若y=﹣6，则xy=_____． 10. 已知一次函数y=kx+2k+3的图象与y轴的交点在y轴的正半轴上，且函数值y随x的增大而减小，则k所能取到的整数值为________． 11. 我们把连接四边形对边中点的线段称为“中对线”． 凸四边形的对角线 ，且这两条对角线的夹角为，那么该四边形较长的“中对线”的长度为_________． 12. 如图所示，一棱长为的正方体，把所有的面均分成个小正方形．其边长都为假设一只蚂蚁每秒爬行，则它从上底面点沿表面爬行至侧面的点，最少要用_______秒（结果保留一位小数）． 13. 将长方形按如图方式放置于平面直角坐标系中，已知点，为轴上一点，将沿直线折叠，点恰好落在轴上的点处，则折痕所在直线所对应的函数表达式为________． 14. 某公司快递员甲匀速骑车前往某小区送物件，出发几分钟后，快递员乙发现甲的手机落在公司，无法联系，于是乙匀速骑车去追赶甲．乙刚出发2分钟时，甲也发现自己手机落在公司，立刻按原路原速骑车回公司，2分钟后甲遇到乙，乙把手机给甲后立即原路原速返回公司，甲继续原路原速赶往某小区送物件，甲乙两人相距的路程y（米）与甲出发的时间x（分钟）之间的关系如图所示（乙给甲手机的时间忽略不计）．则乙回到公司时，甲距公司的路程是______米． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点是函数图像上的一个动点，过点作轴交函数的图像于点，点在轴上（在的左侧），且，连接，．有如下四个结论：①四边形可能是菱形；②四边形可能是正方形；③四边形的周长是定值；④四边形的面积是定值．所有正确结论的序号是______． 16. 把，两个数中较小的数记为，直线与函数的图像只有一个公共点，则的取值范围是_________． 三、计算题：本大题共1小题，共6分． 17. 计算： （1）； （2） （3） （4） 四、解答题：本题共6小题，共58分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18. 已知正比例函数的图象经过点(3，－6)． (1)求这个函数的表达式； (2)在如图所示的直角坐标系中画出这个函数的图象； (3)判断点A(4，－2)、B(－1.5，3)是否在这个函数的图象上． 19. 如图，一艘船由A港沿北偏东60°方向航行10km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行10km至C港． （1）求A，C两港之间的距离（结果保留到0.1km，参考数据：≈1.414，≈1.732）； （2）确定C港在A港的什么方向． 20. 如图，平行四边形中，对角线交于点O，交延长线于点E，交延长线于点F． （1）求证：四边形是矩形． （2）若四边形为菱形，H为中点，连接，若，则长为 　　． 21. 如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F． （1）求证：四边形BEDF是平行四边形； （2）当四边形BEDF是菱形时，求EF的长． 22. 如图，中，，，，点从点出发，以每秒的速度，在延长线上向右运动，同时，点从点出发，以同样的速度在延长线上向左运动，运动时间为秒． （1）在运动过程中，四边形的形状是___________； （2）___________时，四边形是矩形； （3）求当等于多少时，四边形是菱形． 23. 为迎接暑假旅游高峰的到来，某旅游纪念品商店决定购进A、B两种纪念品．若购进A种纪念品7件，B种纪念品4件，需要760元；若购进A种纪念品5件．B种纪念品8件，需要800元． （1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？ （2）若该商店决定购进这两种纪念品共100件．考虑市场需求和资金周转，这100件纪念品的资金不少于7000元，但不超过7200元，那么该商店共有几种进货方案？ （3）若销售A种纪念品每件可获利润30元，B种纪念品每件可获利润20元，用（2）中的进货方案，哪一种方案可获利最大？最大利润是多少元？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级年级期中考试预测卷 考试时间：90分钟 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，共18分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别化简二次根式判断即可． 【详解】A、无解，故该项错误，不符合题意； B、，故该项错误，不符合题意； C、，故该项正确，符合题意； D、，故该项错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，正确利用二次根式运算法则是解题的关键． 2. 下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同类二次根式的定义、合并同类二次根式、二次根式的除法公式和二次根式的性质逐一判断即可． 【详解】解：A.和不是同类二次根式，不能合并，故本选项错误； B.，故本选项错误； C. ，故本选项正确； D. ，故本选项错误． 故选C． 【点睛】此题考查的是二次根式的运算，掌握同类二次根式的定义、合并同类二次根式、二次根式的除法公式和二次根式的性质是解决此题的关键． 3. 下列变量间的关系不是函数关系的是（　　） A. 长方形的宽一定，其长与面积 B. 正方形的周长与面积 C. 等腰三角形的底边长与面积 D. 圆的周长与半径 【答案】C 【解析】 【详解】试题解析：A.面积=长宽，因此当长方形的宽一定时，其长与面积满足函数关系； B.正方形的面积=边长2=(周长4)2，一个周长对应一个面积值，因此正方形的周长与面积满足函数关系； C.三角形的面积=底高，高不能确定，共有三个变量，因此，等腰三角形的底边长与面积不满足函数关系； D. 一个周长对应一个面积值，因此圆的面积和周长的关系满足函数关系． 故选C. 点睛:函数的定义:设在一个变化过程中有两个变量x与y,对于x的每一个确定的值,y都有唯一的值与其对应,那么就说y是x的函数,x是自变量． 4. 下列命题：①若是整数，则正整数的最小值是12；②“”与“”均一定成立；③“如果，，（是正整数）是一组勾股数，那么正整数，，也是一组勾股数”的逆命题是真命题；④四条边相等的四边形是菱形，四个角相等的四边形是正方形，不正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式性质、勾股定理和勾股数、菱形和正方形的判定定理判断即可． 【详解】解：①若是整数，而 则正整数n的最小值是3，故原说法不正确； ②当a≥0时，“ ”与“”一定成立，故原说法不正确； ③“如果na，nb，nc（n是正整数）是一组勾股数，那么正整数a，b，c也是一组勾股数”的逆命题是“如果正整数a，b，c是一组勾股数，那么正整数na，nb，nc（n是正整数）也是一组勾股数”， 所以逆命题是真命题，故原说法正确； ④四条边相等的四边形是菱形，四个角相等的四边形是矩形，故原说法不正确； 故选：C． 【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理，同时考查了勾股定理，二次根式的性质，菱形与正方形的判定． 5. 如图，在中，是对角线，E，F，G，H分别是的中点，连接，则下列说法中，不正确的是（ ） A. 四边形为平行四边形 B. 若四边形为矩形，则为菱形 C. 若四边形为菱形，则为菱形 D. 若四边形正方形，则为正方形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的判定与性质，正方形的判定，平行四边形的性质与判定，根据三角形中位线定理可得，则可证明四边形为平行四边形；由矩形一组邻边垂直得到，进而可得，则为菱形；由菱形一组邻边相等得到，进而可得，则为矩形；由正方形的对角线互相垂直且相等得到，，进而得到 ，且，则为正方形． 【详解】解：∵E，F，G，H分别是的中点， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，故A说法正确，不符合题意； 同理可得， 若四边形为矩形，则， ∴， ∴为菱形，故B说法正确，不符合题意； 若四边形为菱形，则， ∴， ∴为矩形，故C说法错误，符合题意； 若四边形正方形，则， ∴，且 ∴为正方形，故D说法正确，不符合题意； 故选：C． 6. 如图，在一块四边形ABCD空地种植草皮，测得m，m，m，m，且．若每平方米草皮需要200元，则需要投资（ ） A. 16800元 B. 7200元 C. 5100元 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用勾股定理的逆定理得出∠ACD=90°，再利用直角三角形的性质得出答案． 【详解】解：连接AC， ∵∠B=90°，AB=3m，BC=4m，CD=12m，AD=13m， ∴， ∴AC=5m， ∴， 又∵， ∴， ∴∠ACD=90°， ∴△ACD是直角三角形， ∴四边形ABCD的面积=（）， ∴要投入资金为：（元）； 故选：B． 【点睛】此题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，正确得出△ACD是直角三角形是解题关键． 7. 给出下列说法：①直线与直线的交点坐标是；②一次函数，若，，那么它的图象过第一、二、三象限；③函数是一次函数，且y随x增大而减小；④已知一次函数的图象与直线平行，且过点，那么此一次函数的解析式为；⑤直线必经过点．其中正确的有（ ）． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】联立，求出交点坐标即可判断①；根据一次函数图像与系数的关系即可判断②③；可设一次函数的解析式为，然后求出解析式即可判断④；根据一次函数解析式可化为，即可判断⑤． 【详解】解：联立， 解得， ∴直线与直线的交点坐标是，故①正确； ∵一次函数，若，， ∴它的图象过第一、三、四象限，故②错误； ∵函数是一次函数，且y随x增大而减小， ∴③正确； ∵一次函数的图象与直线平行， ∴可设一次函数的解析式为， ∵一次函数经过点， ∴， ∴， ∴一次函数解析式为，故④错误； ∵直线的解析式为，即 ∴直线必经过点，故⑤正确； 故选B． 【点睛】本题主要考查了一次函数图像的性质，求一次函数图像，求两直线的交点等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 8. 如图，平行四边形的对角线，相交于点O．点E为的中点，连接并延长交于点F，，．下列结论： ①；②；③；④．其中正确结论的个数是（　　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】通过判定为等边三角形求得，利用等腰三角形的性质求得，从而判断①；利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形判断③，然后结合菱形的性质和含30°直角三角形的性质判断②；根据三角形中线的性质判断④． 【详解】点为的中点， ， 又， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， 即， ，故①正确； 在平行四边形中，，，， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形， 又，点为的中点， ， 平行四边形是菱形； ，故③正确， 在中，， ，故②正确； 在平行四边形中，， 又点为的中点， ，故④正确； 综上所述：正确的结论有4个， 故选：A． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，含的直角三角形的性质，掌握菱形的判定是解题关键． 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共8小题，共18分． 9. 若y=﹣6，则xy=_____． 【答案】-3 【解析】 【详解】解：由题意可知：， 解得：x=， ∴y=0+0﹣6=﹣6， ∴xy=﹣3， 故答案为﹣3． 10. 已知一次函数y=kx+2k+3的图象与y轴的交点在y轴的正半轴上，且函数值y随x的增大而减小，则k所能取到的整数值为________． 【答案】-1 【解析】 【分析】由一次函数图象与系数的关系可得出关于的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论． 【详解】解：由已知得：， 解得：． 为整数， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系，解题的关键是得出关于的一元一次不等式组．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据一次函数图象与系数的关系找出关于系数的不等式（或不等式组）是关键． 11. 我们把连接四边形对边中点的线段称为“中对线”． 凸四边形的对角线 ，且这两条对角线的夹角为，那么该四边形较长的“中对线”的长度为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理可得菱形，取四边的中点并连接起来，设与交点M．与交于N，然后根据菱形的性质及等边三角形的性质可得答案． 【详解】解：如图，设两条对角线的夹角为，取四边的中点并连接起来，设与交点M．与交于N， ∴是的中位线， ， 同理, ，，，， ，， 四边形是菱形， ，， ， ， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴较长“中对线”长度为． 故答案为：． 【点睛】此题考查的是三角形的中位线定理，菱形的判定和性质，含30度角的直角三角形的特征，等边三角形的判定和性质，掌握其定理是解决此题关键． 12. 如图所示，一棱长为的正方体，把所有的面均分成个小正方形．其边长都为假设一只蚂蚁每秒爬行，则它从上底面点沿表面爬行至侧面的点，最少要用_______秒（结果保留一位小数）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的拓展应用．“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键．把此正方体的点所在的面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点和点间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离． 【详解】解：如下图所示，将正方体沿着它的棱长展开，由勾股定理得； 如下图所示，将正方体沿着它的棱长展开，由勾股定理得； 如下图所示，将正方体沿着它的棱长展开，由勾股定理得， ∵ ∴最短路径长为， ∴用时最少为秒． 故答案：． 13. 将长方形按如图方式放置于平面直角坐标系中，已知点，为轴上一点，将沿直线折叠，点恰好落在轴上的点处，则折痕所在直线所对应的函数表达式为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据长方形的性质和点的坐标求得长方形的各边长，根据翻折的性质求得，利用勾股定理求得，从而求得的长，设，则，在中利用勾股定理求得的长，得出点的坐标，则利用待定系数法即可求得的函数表达式． 【详解】解：长方形中，点的坐标为， ，， 根据翻折的性质可知，，， 在中，根据勾股定理，得， ， 设，则， 在中， ， ， 解得：， ， 设直线的函数表达式为，把和代入，得 ，解得： 直线所对应的函数表达式为． 故答案为： 【点睛】本题考查翻折的性质、长方形的性质、待定系数法求一次函数的解析式、勾股定理的应用等知识，求出点的坐标是解题的关键． 14. 某公司快递员甲匀速骑车前往某小区送物件，出发几分钟后，快递员乙发现甲的手机落在公司，无法联系，于是乙匀速骑车去追赶甲．乙刚出发2分钟时，甲也发现自己手机落在公司，立刻按原路原速骑车回公司，2分钟后甲遇到乙，乙把手机给甲后立即原路原速返回公司，甲继续原路原速赶往某小区送物件，甲乙两人相距的路程y（米）与甲出发的时间x（分钟）之间的关系如图所示（乙给甲手机的时间忽略不计）．则乙回到公司时，甲距公司的路程是______米． 【答案】6000 【解析】 【分析】根据函数图象和题意可以分别求得甲乙的速度和乙从与甲相遇到返回公司用的时间，从而可以求得当乙回到公司时，甲距公司的路程. 【详解】解：由题意可得，甲的速度为：4000÷（12-2-2）=500米/分， 乙的速度为： =1000米/分， 乙从与甲相遇到返回公司用的时间为4分钟， 则乙回到公司时，甲距公司的路程是：500×（12-2）-500×2+500×4=6000（米）， 故答案为6000. 【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答. 15. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点是函数图像上的一个动点，过点作轴交函数的图像于点，点在轴上（在的左侧），且，连接，．有如下四个结论：①四边形可能是菱形；②四边形可能是正方形；③四边形的周长是定值；④四边形的面积是定值．所有正确结论的序号是______． 【答案】①④ 【解析】 【分析】①由轴得到，结合，得到四边形是平行四边形，设点，则，得到的长，再表示的长，利用菱形的性质列出方程求得的值，即可判断结论； ②当时，求得点的坐标，然后判断四边形是否为正方形； ③任取两个点的坐标，求得和的长，然后判断四边形的周长是否为定值； ④过点作轴于点，过点作轴于点，将四边形的面积转化为四边形的面积，进而利用反比例系数的几何意义判断四边形的面积是否为定值． 【详解】①如图，过点作轴于点， ∴， ∵轴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵点在函数图像上，点在函数图像上， 设，则， ∴， 又∵点的坐标是， 在中，， 当时，，， 此时，， ∴四边形可能是菱形， ∴①符合题意； ②由①得，当时，，， ∴， 此时， ∵点的坐标是， ∴轴， ∴， 由①知，四边形是平行四边形， ∴当时，四边形是矩形，但， ∴四边形不为正方形， ∴②不符合题意； ③由①得，当点的横坐标为时，，， ∴四边形的周长为：， 当点的横坐标为时，，则， ∴，， ∴四边形的周长为：， ∴四边形的周长不为定值， ∴③不符合题意； ④如图，过点作轴于点， 又∵， ∴ ∵轴， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴四边形的面积为定值， ∴④符合题意． 故答案为：①④． 【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，反比例函数系数的几何意义，平行四边形的判定与性质，矩形的判定和性质，菱形的判定和性质，正方形的判定和性质，勾股定理等知识．解题的关键是熟知反比例函数图像_上点的坐标特征． 16. 把，两个数中较小的数记为，直线与函数的图像只有一个公共点，则的取值范围是_________． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题主要考查分段函数，一次函数的图像，一次函数图像与系数的关系，一次函数图像上点的坐标特征，两条直线相交或平行问题以及分类讨论的思想．首先，求出一次函数和的交点坐标为，画出函数的图象的图像，由经过定点，结合图像，分情况讨论即可求得的取值范围． 【详解】解：由题意得：， 解得：， ， 一次函数和的交点坐标为， 函数的图象的图像如图： ， 经过定点． 如图，当经过点时，直线与函数图象只有一个公共点， 此时，将点代入，得：， 解得：； 如图所示情况下，直线与函数的图象只有一个公共点， ， 当直线与直线平行时，， 此时，； 如图所示情况下，直线与函数的图象只有一个公共点， ， 当直线与直线平行时，， 此时，， 综上，的取值范围为或或， 故答案为或或． 三、计算题：本大题共1小题，共6分． 17. 计算： （1）； （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质与化简理解二次根式的性质、以及二次根式的加减乘除运算法则是解答本题的关键． （1）根据二次根式的除法法则进行解答，即可求解； （2）先对括号里面的二次根式化简，然后再行进减法运算，最后再算乘方． （3）先对二次根式进行化简，然后再合并同类二次根式即可． （4）首先将括号内的每个二次根式化成最简二次根式，然后合并同类二次根式，再利用乘法的分配律、二次根式的乘法法则进行解答，即可求解． 小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 原式 【小问3详解】 原式 【小问4详解】 原式 ． 四、解答题：本题共6小题，共58分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18. 已知正比例函数的图象经过点(3，－6)． (1)求这个函数的表达式； (2)在如图所示的直角坐标系中画出这个函数的图象； (3)判断点A(4，－2)、B(－1.5，3)是否在这个函数的图象上． 【答案】（1）；（2）画出图象如答图所示. 见解析；（3）点A（4，）不在这个函数的图象上，点B（，3）在这个函数的图象上． 【解析】 【分析】(1)设出函数解析式y=kx,将点(3,-6)代入解析式即可得到k的值,从而求出函数解析式; (2)根据解析式求出函数图象上的两个点即可画出函数图象; (3)将点A(4,-2)、点B(-1.5,3)分别代入解析式,若等式成立,则点在函数图象上,否则,不在函数图象上 【详解】（1）把点（3，－6）代入正比例函数y＝kx，得，解得，则函数的表达式为. （2）函数经过点（0，0），（1，），画出图象如答图所示. （3）∵正比例函数的表达式为， ∴当时，；当时，， ∴点A（4，）不在这个函数的图象上，点B（，3）在这个函数的图象上． 【点睛】此题考查一次函数图象上点的坐标特征和正比例函数的图象，解题关键在于把已知点代入解析式 19. 如图，一艘船由A港沿北偏东60°方向航行10km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行10km至C港． （1）求A，C两港之间的距离（结果保留到0.1km，参考数据：≈1.414，≈1.732）； （2）确定C港在A港的什么方向． 【答案】（1）A、C两地之间的距离为14.1km;（2）C港在A港北偏东15°的方向上． 【解析】 【分析】（1）根据方位角的定义可得出∠ABC=90°，再根据勾股定理可求得AC的长为14.1. （2）由（1）可知△ABC为等腰直角三角形，从而得出∠BAC=45°，求出∠CAM=15°，所而确定C港在A港的什么方向. 【详解】（1）由题意可得，∠PBC=30°，∠MAB=60°，∴∠CBQ=60°，∠BAN=30°，∴∠ABQ=30°，∴∠ABC=90°． ∵AB=BC=10，∴AC==≈14.1． 答：A、C两地之间的距离为14.1km． （2）由（1）知，△ABC为等腰直角三角形， ∴∠BAC=45°，∴∠CAM=15°， ∴C港在A港北偏东15°的方向上． 【点睛】本题考查了方位角的概念及勾股定理及其逆定理，正确理解方位角是解题的关键. 20. 如图，在平行四边形中，对角线交于点O，交延长线于点E，交延长线于点F． （1）求证：四边形是矩形． （2）若四边形为菱形，H为中点，连接，若，则长为 　　． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证四边形是平行四边形，再证，即可得出结论； （2）由菱形的性质得，由勾股定理和三角形的中位线定理即可解答． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形． 【小问2详解】 解：如图，∵四边形是菱形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵H为中点， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理以及三角形中位线定理等知识，熟练掌握菱形的性质和矩形的判定是解题的关键． 21. 如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F． （1）求证：四边形BEDF是平行四边形； （2）当四边形BEDF是菱形时，求EF的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【解析】 【分析】（1）根据矩形ABCD的性质，判定△BOE≌△DOF（ASA），进而得出结论； （2）在Rt△ADE中，由勾股定理得出方程，解方程求出BE，由勾股定理求出BD，得出OB，再由勾股定理求出EO，即可得出EF的长. 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，O是BD的中点， ∴∠A=90°，AD=BC=4，AB∥DC，OB=OD， ∴∠OBE=∠ODF， 在△BOE和△DOF中， ∴△BOE≌△DOF（ASA）， ∴EO=FO， ∴四边形BEDF是平行四边形； （2）当四边形BEDF是菱形时，BD⊥EF， 设BE=x，则 DE=x，AE=6-x， 在Rt△ADE中，DE2=AD2+AE2， ∴x2=42+（6-x）2， 解得：x= ， ∵BD= =2， ∴OB=BD=， ∵BD⊥EF， ∴EO==， ∴EF=2EO=． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解决问的关键 22. 如图，中，，，，点从点出发，以每秒的速度，在延长线上向右运动，同时，点从点出发，以同样的速度在延长线上向左运动，运动时间为秒． （1）在运动过程中，四边形的形状是___________； （2）___________时，四边形是矩形； （3）求当等于多少时，四边形是菱形． 【答案】（1）平行四边形 （2）1 （3） 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质得出，，由已知条件得出，即可得出四边形是平行四边形； （2）若四边形是矩形，则，得出，由平行四边形的面积得出，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可； （3）当时，四边形是菱形．过作于，则，由勾股定理求出，得出，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【小问1详解】 四边形是平行四边形；理由如下： 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形； 故答案为：平行四边形； 【小问2详解】 时，四边形是矩形；理由如下： 若四边形是矩形， ， ， ， ， 在中，， 即， 解得：，或（舍去）， ． 故答案为：1； 【小问3详解】 依题意得：平行且等于， 四边形是平行四边形， 故时，四边形是菱形． 又， ， 过作于，如图所示： 则， ， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即时，四边形是菱形． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，菱形的判定，矩形的性质，勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质，由勾股定理得出方程是解决问题的关键． 23. 为迎接暑假旅游高峰的到来，某旅游纪念品商店决定购进A、B两种纪念品．若购进A种纪念品7件，B种纪念品4件，需要760元；若购进A种纪念品5件．B种纪念品8件，需要800元． （1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？ （2）若该商店决定购进这两种纪念品共100件．考虑市场需求和资金周转，这100件纪念品的资金不少于7000元，但不超过7200元，那么该商店共有几种进货方案？ （3）若销售A种纪念品每件可获利润30元，B种纪念品每件可获利润20元，用（2）中的进货方案，哪一种方案可获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）进A种纪念品每件需要80元，购进B种纪念品每件需要50元 （2）该商店共有7种进货方案 （3）该商店购进A种纪念品73件，购进B种纪念品27套，元 【解析】 【分析】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，列一元一次不等式组解实际问题的运用，一次函数的解析式的运用，解答时由销售问题的数量关系建立方程或不等式是解题的关键． （1）设购进种纪念品每件需要元，购进种纪念品每件需要元，根据购买商品的数量及价格之间的关系建立方程组求出其解即可； （2）设该商店购进种纪念品件，则购进种纪念品套，根据条件中的不相等关系建立不等式组求出其解即可； （3）设总利润为元，根据总利润种纪念品的利润种纪念品的利润就可以表示出与的关系式，由一次函数的性质求出其解即可． 【小问1详解】 解：设购进种纪念品每件需要元，购进种纪念品每件需要元， 则：， 解得：． 答：进种纪念品每件需要80元，购进种纪念品每件需要50元； 【小问2详解】 解：设该商店购进种纪念品件，则购进种纪念品套， 由题意得， 解得：． 为整数， ，68，69，70，71，72，73． 该商店共有7种进货方案； 【小问3详解】 解：设总利润为元，由题意，得， ， 随的增大而增大， 该商店购进种纪念品73件，购进种纪念品27套，（元）， 答：该商店购进种纪念品73件，购进种纪念品27套，最大利润是2730元． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$