精品解析：山东省淄博市淄博第四中学2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试题

九年级上学期数学阶段性测试 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 1. 若点在反比例函数 的图象上，那么下列各点在此函数图象上的是（　　） A. B. C. D. 2. 关于的图象，下列说法不正确的是（ ） A. 顶点相同 B. 对称轴相同 C. 开口方向相同 D. 图象形状相同 3. 下列表达式中，y是x的二次函数的个数（ ） ①；②；③；④ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4. 已知，那么锐角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，中，，，，若用科学计算器求的度牧，并用“度、分、秒”为单位表示出这个度数，则下列按键顺序正确的是（ ）． A. B. C. D. 6. 函数y＝（k为常数）的图象上有三个点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（，y3），函数值y1，y2，y3的大小为（ ） A. y1＞y2＞y3 B. y3＞y1＞y2 C. y2＞y3＞y1 D. y2＞y1＞y3 7. 如图，港口A在观测站O的正东方向，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行15 km到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东45°的方向，则观测站O距港口A的距离为（ ） A. km B. 15km C. km D. 15km 8. 如图，曲线是双曲线绕原点O逆时针旋转得到的图形，P是曲线上任意一点，点A在直线上，且，则的面积等于（ ） A. B. 6 C. 3 D. 12 9. 如图，在中，，点P为AC上一点，且，，则的值为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 10. 函数和在第一象限内的图象如图所示，点是的图象上一动点，作轴于点，交的图象于点，作轴于点，交的图象于点，给出如下结论：①与的面积相等；②与始终相等；③四边形的面积大小不会发生变化；④，其中正确的结论序号是（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②④ 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 如图、点P在反比例函数y=的图象上，PM⊥y轴于M，S△POM=4，则k=______． 12. 在反比例的图象的每一支上，y都随x的增大而减小，且整式是一个完全平方式，则该反比例函数的解析式为___________． 13. 在平面直角坐标系中，点M和点N的坐标分别为（－1，0）、（0，－2），点P是反比例函数图像上一点，且点P到y轴的距离为3，则△MPN的面积是___． 14. 下面网格中，小正方形的边长为1，的顶点都是格点，则的值为_______． 15. 如图，四边形中，，平分，交于点，，那么________． 三、解答题（共8题，16、17、18、19每题10分，20、21每题12分，22、23每题13分，共90分） 16. 计算：． 17. 已知是二次函数，且开口向上，求m的值． 18. 在中，，，，求，和，． 19. 已知二次函数的图象与直线交于． （1）试求a，b的值； （2）求的解析式，并写出顶点坐标和对称轴； （3）x取什么范围时，抛物线的y随x的增大而增大． 20. 已知A（﹣3，4），B（n，﹣2）是一次函数y＝kx+b的图象和反比例函数y＝的图象的两个交点，直线AB与x轴交于点C． （1）求反比例函数和一次函数的关系式； （2）连接OB，求△AOB的面积． 21. 如图，距小明家楼下D点20米的B处有一根废弃的电线杆，经测得此电线杆与水平线所成锐角为，在小明家楼顶C处测得电线杆顶端A的俯角为，底部点B的俯角为 （点A、B、D、C在同一平面内）．已知在以点B为圆心，10米长为半径的圆形区域外是一休闲广场，有关部门想把此电线杆水平放倒，且B点不动，为安全起见，他们想知道这根电线杆放倒后，顶端A能否落在休闲广场内？请通过计算回答． （结果精确到0.1米，参考数据：，） 22. 探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有经验，请画出函数的图象，并探究该函数性质． （1）绘制函数图象 ①列表：下列是x与y的几组对应值，其中_____； x …… 1 2 3 4 5 …… y …… 1 5 5 a …… ②描点：根据表中的数值描点，请在下图中描出点； ③连线：请用平滑的曲线顺次连接各点，画出函数图象： （2）探究函数性质 请写出函数的两条性质：___________________________________________；___________________________________________． （3）运用函数图象及性质 ①写出方程的解_________________； ②写出不等式的解集_________________； ③写出不等式与的解集_________________． 23. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，已知，点B的坐标为． （1）求点A、B坐标； （2）求反比例函数和一次函数的解析式； （3）在y轴上存在一点P，使与相似，求P点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级上学期数学阶段性测试 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 1. 若点在反比例函数 的图象上，那么下列各点在此函数图象上的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据点在反比例函数的图象上，求出k，再利用A，B，C，D，所给点判断即可． 【详解】解：点在反比例函数 的图象上， ， 只有满足才符合要求， 只有A符合要求，， 故选：A． 2. 关于的图象，下列说法不正确的是（ ） A. 顶点相同 B. 对称轴相同 C. 开口方向相同 D. 图象形状相同 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象性质：它的顶点坐标是；对称轴直线；当时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点．当时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点；相同，抛物线的形状相同．根据二次函数的图象性质解答即可． 【详解】解：关于，，的图象，它们的顶点相同，都是原点；对称轴相同，都是轴；最低点相同，都是原点； 由于二次项系数不相同，所以图象形状不同． 故选：D 3. 下列表达式中，y是x的二次函数的个数（ ） ①；②；③；④ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的定义，形如的函数叫二次函数．利用二次函数的定义逐一判断解题即可． 【详解】解：①，y不是x的二次函数； ②，整理后，不含x的二次项，y不是x二次函数； ③，y不是x的二次函数； ④，y是x的二次函数； 故选：A． 4. 已知，那么锐角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】考查了特殊角的三角函数值和锐角三角函数的增减性的应用，注意∶当角是锐角时，其正弦和正切随角度的增大而增大，余弦随角度的增大而减小；根据三角函数的增减性求解即可； 【详解】解：是锐角， ， ，，， ， 故选：A； 5. 如图，中，，，，若用科学计算器求的度牧，并用“度、分、秒”为单位表示出这个度数，则下列按键顺序正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正切函数的定义，可得，根据计算器的应用，可得答案． 【详解】解：由，得： ， ∴按键顺序正确的是：； 故选：D． 【点睛】本题考查了计算器，利用了锐角三角函数，计算器的应用，熟练应用计算器是解题关键． 6. 函数y＝（k为常数）的图象上有三个点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（，y3），函数值y1，y2，y3的大小为（ ） A. y1＞y2＞y3 B. y3＞y1＞y2 C. y2＞y3＞y1 D. y2＞y1＞y3 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意先判断出函数图象所在的象限，再根据其坐标特点进行分析解答即可． 【详解】解：∵﹣k2﹣4＜0， ∴函数图象位于二、四象限， ∵（﹣2，y1），（﹣1，y2）位于第二象限，﹣2＜﹣1， ∴y2＞y1＞0； 又∵（，y3）位于第四象限， ∴y3＜0， ∴y2＞y1＞y3． 故选：D． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解题时注意当k＜0时，在每个象限内，反比例函数值y随x的增大而增大． 7. 如图，港口A在观测站O的正东方向，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行15 km到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东45°的方向，则观测站O距港口A的距离为（ ） A. km B. 15km C. km D. 15km 【答案】A 【解析】 【分析】过点A作AM⊥OB于M，可得△ABD是等腰直角三角形，从而可得Rt△ABM是有30°角的直角三角形，从而得出AM的长，再根据等腰直角三角形的性质即可得OA的长. 【详解】过点A作AM⊥OB于M， 在Rt△ABD中，∠AMO=90°，∠MOA=45° ∴∠MAO=45°=∠MOA，∴MA=MA， ∵∠MAO=45° ∴∠MAB=45°+15°=60°， ∵∠MAB=90° ∴∠B=90°-∠MAB=30° ∴AM=AB=， ∴AO==， 故选A. 8. 如图，曲线是双曲线绕原点O逆时针旋转得到的图形，P是曲线上任意一点，点A在直线上，且，则的面积等于（ ） A. B. 6 C. 3 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】将双曲线逆时针旋转使得与轴重合，等腰三角形的底边在轴上，应用反比例函数比例系数的性质解答问题． 【详解】解：对于，当时，，令，作轴， 则，，， 取中点，则， ∴是等边三角形，则，即直线与轴的夹角为，与轴的夹角为， 如图，将及直线绕点O逆时针旋转，则得到双曲线，直线与轴重合． 双曲线，的解析式为， 过点作轴于点 ∵ ∴为中点． ∴， 由反比例函数比例系数的性质，， ∴的面积是6， 故选：B． 【点睛】本题为反比例函数综合题，等边三角形的判定及性质，旋转的性质，勾股定理等知识，理解并掌握反比例函数的性质以及反比例函数比例系数的几何意义． 9. 如图，在中，，点P为AC上一点，且，，则的值为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点P作PD∥AB交BC于点D，因为，且，则tan∠PBD=tan45°=1，得出PB=PD，再有，进而得出tan∠APB的值． 【详解】解：如图，过点作交于点， ∴， ∴, ∵，且， ∴PBD=45°， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故选A． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，解直角三角形，解题的关键在于能够正确作出辅助线进行求解． 10. 函数和在第一象限内的图象如图所示，点是的图象上一动点，作轴于点，交的图象于点，作轴于点，交的图象于点，给出如下结论：①与的面积相等；②与始终相等；③四边形的面积大小不会发生变化；④，其中正确的结论序号是（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②④ 【答案】C 【解析】 【分析】设点P的坐标为（m，）（m＞0），则A（m，），C（m，0），B（ ，）D（0，）．①根据反比例函数系数k的几何意义即可得出S△ODB=S△OCA，该结论正确；②由点的坐标可找出PA=，PB=，由此可得出只有m=2是PA=PB，该结论不成；③利用分割图形法求图形面积结合反比例系数k的几何意义即可得知该结论成立；④结合点的坐标即可找出PA=，AC= ，由此可得出该结论成立．综上即可得出正确的结论为①③④． 【详解】解：设点P的坐标为（m，）（m＞0），则A（m，），C（m，0），B（ ，），D（0，）． ①S△ODB=×1=，S△OCA=×1=， ∴△ODB与△OCA的面积相等，①成立； ②PA=-=，PB=m-=， 令PA=PB，即=， 解得：m=2． ∴当m=2时，PA=PB，②不正确； ③S四边形PAOB=S矩形OCPD-S△ODB-S△OCA=4--=3． ∴四边形PAOB的面积大小不会发生变化，③正确； ④∵PA=-=，AC=-0=， ∵=3×， ∴PA=3AC，④正确． 综上可知：正确的结论有①③④． 故选C． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数系数k的几何意义以及利用分割图形法求图形面积，解题关键是找出各点坐标再结合反比例函数系数k的几何意义逐项分析各结论是否正确．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据反比例函数图象上点的坐标特征表示出各点的坐标． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 如图、点P在反比例函数y=的图象上，PM⊥y轴于M，S△POM=4，则k=______． 【答案】-8 【解析】 【分析】此题可从反比例函数系数k的几何意义入手，△PMO的面积为点P向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积的一半即S＝|k|再结合反比例函数所在的象限确定出k的值即可． 【详解】由题意知：S△PMO＝|k|＝4， 所以|k|＝8，即k＝±8． 又反比例函数是第二象限的图象，k＜0， 所以k＝﹣8， 故答案为﹣8． 【点睛】本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得三角形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义． 12. 在反比例的图象的每一支上，y都随x的增大而减小，且整式是一个完全平方式，则该反比例函数的解析式为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用完全平方公式的结构特征判断可求出k的值，再根据反比例函数的性质即可确定k的值． 【详解】解：∵x2-kx+4是一个完全平方式， ∴-k=±4，即k=±4， ∵在反比例函数y=的图象的每一支上，y都随x的增大而减小， ∴k-1＞0， ∴k＞1． 解得：k=4， ∴反比例函数解析式为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，完全平方式，根据反比例函数的性质得出k-1＞0是解此题的关键． 13. 在平面直角坐标系中，点M和点N的坐标分别为（－1，0）、（0，－2），点P是反比例函数图像上一点，且点P到y轴的距离为3，则△MPN的面积是___． 【答案】或 【解析】 【分析】如图，过作轴于记与轴的交点为 先求解再分两种情况讨论，从而可得答案. 【详解】解：如图，点P是反比例函数图像上一点，且点P到y轴的距离为3，记与轴的交点为 过作轴于 而点M和点N的坐标分别为（－1，0）、（0，－2）， 设为 解得： 所以为 故答案为：或 【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，利用待定系数法求解一次函数的解析式，坐标与图形，掌握“利用点的坐标得到图形中线段的长度”是解本题的关键. 14. 下面网格中，小正方形的边长为1，的顶点都是格点，则的值为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查求解一个角的正弦值．作边上的高，根据算出，由即可求解． 【详解】解：由图可知：，， ， 作边上的高，如图： 则， ∴， ， 故答案为：． 15. 如图，四边形中，，平分，交于点，，那么________． 【答案】1 【解析】 【分析】延长交于点，根据平分，，得出，，设，根据，求得，进而求得，证明，得出，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点， ∵平分，， ∴，， 设 ∵，， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正弦，等腰三角形的性质与判定，平行线的性质，全等三角形的性质与判定，正确的添加辅助线是解题的关键． 三、解答题（共8题，16、17、18、19每题10分，20、21每题12分，22、23每题13分，共90分） 16. 计算：． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值及二次根式的乘法，将特殊角的三角函数值代入计算即可． 【详解】解： ． 17. 已知是二次函数，且开口向上，求m的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的定义、二次函数图象开口和系数之间的关系以及一元二次方程的解法，根据相关定义求解即可． 根据二次函数的最高指数是2，图象开口向上，二次项系数大于0，列出式子求解即可． 【详解】解：因为是二次函数，所以， 解得或， ∵抛物线开口向上， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：． 18. 在中，，，，求，和，． 【答案】，，， 【解析】 【分析】在中，只需根据三角函数的定义即可求出、，根据直角三角形的两个锐角互余可求出，然后根据特殊角的三角函数值就可得到，的值． 【详解】解：在中， ，，， 则有，， ，． 【点睛】本题主要考查了正弦、余弦的定义、特殊角的三角函数值等知识，在直角三角形中，除直角外，只需知道两个元素至少有一条边，就可求出其它元素． 19. 已知二次函数的图象与直线交于． （1）试求a，b的值； （2）求的解析式，并写出顶点坐标和对称轴； （3）x取什么范围时，抛物线的y随x的增大而增大． 【答案】（1），； （2），顶点坐标为，对称轴为y轴； （3）当时，y随x的增大而增大． 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，熟悉掌握二次函数的性质是关键． （1）先把点代入求出b，则确定交点坐标为，然后把代入求解即可； （2）时，二次函数解析式为，根据二次函数的性质确定顶点坐标和对称轴即可； （3）根据二次函数的性质得到对于二次函数，当时，y随x的增大而增大； 【小问1详解】 解：将代入，得， 二次函数的图象与直线交点为； 将代入，得； 【小问2详解】 由（1）可得二次函数解析式为，其顶点坐标为，对称轴为y轴； 【小问3详解】 ， 抛物线开口向下， 当时，y随x的增大而增大． 20. 已知A（﹣3，4），B（n，﹣2）是一次函数y＝kx+b的图象和反比例函数y＝的图象的两个交点，直线AB与x轴交于点C． （1）求反比例函数和一次函数的关系式； （2）连接OB，求△AOB的面积． 【答案】（1）反比例函数的关系式为y＝﹣，一次函数的关系式为y＝﹣x+2；（2）S△AOB＝9 【解析】 【分析】（1）把A点坐标代入反比例函数解析式可求得反比例函数解析式，则可求得B点坐标，再由A、B两点坐标可求得一次函数解析式； （2）根据一次函数解析式可求得C点的坐标，则可求得OC的长度，且根据S△AOB＝S△AOC+S△BOC可求得△AOB的面积． 【详解】解：（1）∵A（﹣3，4）在反比例函数y＝的图象上， ∴m＝﹣3×4＝﹣12， ∴反比例函数的关系式为y＝﹣， 又∵B（n，﹣2）在反比例函数y＝的图象上， ∴n＝6， 又∵B（6，﹣2），A（﹣3，4）是一次函数y＝kx+b的上的点， ∴， 解得， ∴一次函数的关系式为y＝﹣x+2； （2）在y＝﹣x+2中，令y＝0，则x＝3， ∴C（3，0）， ∴CO＝3， ∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×3×4+×3×2＝9． 【点睛】本题主要考查待定系数法求函数解析式，三角形的面积，掌握待定系数法求函数解析式的关键是求得点的坐标． 21. 如图，距小明家楼下D点20米的B处有一根废弃的电线杆，经测得此电线杆与水平线所成锐角为，在小明家楼顶C处测得电线杆顶端A的俯角为，底部点B的俯角为 （点A、B、D、C在同一平面内）．已知在以点B为圆心，10米长为半径的圆形区域外是一休闲广场，有关部门想把此电线杆水平放倒，且B点不动，为安全起见，他们想知道这根电线杆放倒后，顶端A能否落在休闲广场内？请通过计算回答． （结果精确到0.1米，参考数据：，） 【答案】顶端A不能落在休闲广场内， 设米，如图，过点A作水平线于点E，则： ， ， ∴． 过点A作于点， 则, 即四边形为矩形， ∴， ∵C处测得电线杆顶端A的俯角为， ∴， ∴ ∵， ∴ 解得：． ∵ ∴顶端A不能落在休闲广场内． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是从实际问题中构造出直角三角形并求解． 作辅助线、，分别构造和，解直角三角形列方程求出的长度，然后与10比较即可得出结论． 【详解】略 22. 探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有经验，请画出函数的图象，并探究该函数性质． （1）绘制函数图象 ①列表：下列是x与y的几组对应值，其中_____； x …… 1 2 3 4 5 …… y …… 1 5 5 a …… ②描点：根据表中的数值描点，请在下图中描出点； ③连线：请用平滑的曲线顺次连接各点，画出函数图象： （2）探究函数性质 请写出函数的两条性质：___________________________________________；___________________________________________． （3）运用函数图象及性质 ①写出方程的解_________________； ②写出不等式的解集_________________； ③写出不等式与的解集_________________． 【答案】（1） ①1；②③连线如下： （2）的图象关于y轴对称；当时，y随x的增大而增大（答案不唯一）； （3）①或；②或；③或． 【解析】 【分析】本题考查了列表描点画函数图象，根据函数图象获取信息，画出函数图象，从函数图象获取信息是解题的关键． （1）①把代入解析式即可得的值；②③按要求描点，连线即可； （2）观察函数图象，可得函数性质； （3）①由函数图象可得答案；②观察函数图象即得答案；③观察函数图象即得答案． 【小问1详解】 解：①列表：当时，， 故答案为：1； ②描点，③略． 【小问2详解】 观察函数图象可得：的图象关于轴对称，当时，y随x的增大而增大； 故答案为：的图象关于轴对称；当时，y随x的增大而增大； 【小问3详解】 ①观察函数图象可得：当时，或， ∴方程的解是或， 故答案为：或； ②观察函数图象可得，当或时，， ∴不等式的解集或， 故答案为：或； ③观察函数图象可得，当或时，， 不等式与的解集或， 故答案为：或． 23. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，已知，点B的坐标为． （1）求点A、B坐标； （2）求反比例函数和一次函数的解析式； （3）在y轴上存在一点P，使与相似，求P点的坐标． 【答案】（1），； （2），； （3）或． 【解析】 【分析】（1）先由，则设，，再运用勾股定理列式，得出，求出，再把点代入中，进行计算，即可作答． （2）易得反比例函数，再运用待定系数法解一次函数的解析式，即可作答． （3）先分别求出点，点，再结合相似三角形的判定与性质，进行分类讨论，即和，列式代入数值进行计算，即可作答． 【小问1详解】 解：过点A作轴于E． ∵， 设， ∴， 又∵， ∴在中， 即， ∴， ∴点代入反比例函数表达式中得， ∴反比例函数为， 把点代入中， 得， ∴点； 【小问2详解】 解：由（1）得出反比例函数为， 依题意，把点分别代入中， 得， 可得， ∴一次函数的解析式为； 【小问3详解】 解：∵ ﹐ 令，得； 令，得， ∴点，点， ∵， ∴， ∴， ∵轴， ∴ ∴， ∴， 若， 则 即， ∴， ∴点 ∵点，点，点， ∴； 若． 则， 即， ∵， ∴点， 综上，点P坐标为或． 【点睛】本题考查了三角函数的相关运算以及勾股定理，一次函数的解析式，反比例函数与几何综合，相似三角形的性质与判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $