专题01 有理数（6个考点清单+16种题型解读）-2024-2025学年七年级数学上学期期中考点大串讲（苏科版2024）

专题01 有理数（6个考点清单+16种题型解读） 【清单01 有理数】 有理数： (1)凡能写成形式的数，都是有理数，整数和分数统称有理数. (2)有理数的分类: ① ② 【清单02 数轴】 数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度（数轴的三要素）的一条直线. 【清单03 相反数与绝对值】 相反数：(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0； 相反数的商为-1. 相反数的绝对值相等 绝对值： (1)正数的绝对值等于它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值等于它的相反数； (2) 绝对值可表示为： 或 ； 【清单04 比较有理数大小】 有理数比大小： （1）正数永远比0大，负数永远比0小； （2）正数大于一切负数； （3）两个负数比较，绝对值大的反而小； （4）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大； 【清单05 有理数的混合运算】 倒数：乘积为1的两个数互为倒数； 有理数加法法则： （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； （2）异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； （3）一个数与0相加，仍得这个数. 有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b）. 有理数乘法法则：（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； （2）任何数与零相乘都得零； （3）几个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定.奇数个负数为负，偶数个负数为正。 有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数，. 有理数乘方的法则：（1）正数的任何次幂都是正数； （2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数； 乘方的定义：（1）求相同因式积的运算，叫做乘方； （2）乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂； 【清单06 科学记数法】 科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数即1≤a<10，这种记数法叫科学记数法.10的指数=整数位数-1, 整数位数=10的指数+1 近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到那一位. 混合运算法则：先乘方，后乘除，最后加减； 注意：不省过程，不跳步骤。 【考点题型一 正数与负数】 【例1】下列语句中错误的有（    ）个． ①不带“”号的数都是正数；②如果是正数，那么一定是负数；③不存在既不是正数，也不是负数的数；④表示没有温度． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-1】在下列各数中：，，，，0 其中是负数的有（    ）个． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1-2】在数轴上点表示数，点与点相距个单位长度，点表示的数是 ，如果把分的成绩记作分，那么分的成绩记作 分． 【变式1-3】已知下列各数：，，，0，，，6，，其中正数有 ；负数有 ． 【变式1-4】将下列各数填入表示它所在集合的圈里． 5，，，，，，，．    【考点题型二 有理数的分类】 【例2】下列各数：，1，8.6，，0，， ，，，中，（   ） A．只有1，，，是整数 B．其中有三个数是正整数 C．非负数有1，8.6，，0 D．只有，，是负分数 【变式2-1】在数0，，，，，0.3，0.141041004…（相邻两个1，4之间的0的个数逐次加1），中，有理数的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2-2】把下列各数填在相应的集合中．（注意：只填序号） ①，②，③，④，⑤0，⑥，⑦，⑧，⑨ 正数集合{ …}； 负数集合{ …}； 整数集合{ …}； 分数集合{ …}； 非负整数集{ …}． 【变式2-3】把下面个各数填入相应的大括号内 ，5，0，，3.14，+27，，，． 整数集合：{____________．．．} 非负整数集合：{____________．．．} 负分数集合：{____________．．．} 正有理数集合：{____________．．．}． 【变式2-4】把下列各数填入相应的集合中：，，，，，0，，1.010010001…，，0.3，． 整数集合{ …} 负有理数集合{ …} 非正分数集合{ …} 【考点题型三 数轴】 【例3】如图，数轴上的点A、B分别对应实数a、b，下列结论中正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式3-1】如图，圆的周长为4个单位长度，在该圆的4等分点处分别标上0，1，2，3．先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向左滚动，则数轴上表示的点与圆周上表示哪个数字的点重合？（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式3-2】如图，在数轴有A、B两点，点A表示的数是，若，则点B表示的数是 ． 【变式3-3】如图，点和在数轴上表示的数分别是和40，点在线段上移动，图中的三条线段和，当其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍时，则点在数轴上表示的数为 ． 【变式3-4】如图，在数轴上，点向右移动1个单位得到点，点向右移动个单位得到点（为正整数），点分别表示有理数． (1)若这三个数的和与其中最大的数相等，则______； (2)若这三个数中只有一个数为正数，且这三个数的和等于6，则正整数的最小取值为多少？ 【考点题型四 化简绝对值】 【例4】，则化简的结果为（　　） A． B． C．0 D．2 【变式4-1】已知有理数、、在数轴上对应点的位置如图所示，则化简后的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】有理数在数轴上的表示如图所示，则下列结论中：①；②；③；④；⑤ ，正确的有 （只要填写序号）． 【变式4-3】若， ；若， ； ①若，则 ； ②若，则 ． 【变式4-4】如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m    (1)求m的值； (2)求的值． 【考点题型五 绝对值非负性】 【例5】已知和互为相反数，则的值为（　　） A． B． C． D．0 【变式5-1】若，则的值为（　　） A．2 B． C．4 D． 【变式5-2】式子的最小值为 ． 【变式5-3】如图所示，已知线段上有两点C、D，且，M、N分别是线段和的中点，若线段，，且a、b满足．线段的长度是 ． 【变式5-4】如图，线段在射线上运动，，且． (1)求线段、的长； (2)点M、N分别为线段、的中点，若，求的长； (3)当运动到某一时刻时，点D与点B重合，点P是线段延长线上任意一点求证：． 【考点题型六 有理数的大小比较】 【例6】当时，的大小顺序是（     ） A． B． C． D． 【变式6-1】四个数按由大到小的顺序排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】比较大小：（1）0 ；（2） ；（3） ． 【变式6-3】（1）设，，且，用“”号把、、、连接起来为 ； （2）设，，且，用“”号把、、、连接起来为 ； （3）设，，且，用“”号把、、、连接起来为 ． 【变式6-4】在数轴上表示下列各数，并用<将他们连接起来． ，，0，，．    【考点题型七 数轴上的动点问题】 【例7】如图，圆的周长为4个单位长，数轴每个数字之间的距离为1个单位，在圆的4等分点处分别标上0、1、2、3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上（如圆周上表示数字3的点与数轴上表示的点重合…），则数轴上表示的点与圆周上表示数字重合的点是（    ）． A．0 B．1 C．2 D．3 【变式7-1】把长为个单位长度的线段放在单位长度为的数轴上，则线段能盖住的整点有（   ） A．个 B．个 C．或个 D．或个 【变式7-2】已知数轴上、两点对应的数分别为、，为数轴上一动点，对应的数为，若点到、距离的比为，则点表示的数为 ． 【变式7-3】阅读与思考 如图，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，可以看出，终点表示的数是．参照图中所给的信息，完成填空： 已知A，B都是数轴上的点．    （1）若点A表示数．将点A向右移动5个单位长度至点．则点表示的数是 ； （2）若点A表示数2，将点A先向左移动7个单位长度，再向右移动个单位长度至点，则点表示的数是 ； （3）若将点B先向左移动3个单位长度，再向右移动6个单位长度，终点表示的数恰好是0，则点B所表示的数是 ． 【变式7-4】已知数轴上两点A，B对应的数分别为，3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x． (1)若点P为的中点，则点P对应的数是 ． (2)数轴的原点右侧有点P，使点P到点A，点B的距离之和为8．请你求出x的值． (3)现在点A，点B分别以每秒2个单位长度和每秒0.5个单位长度的速度同时向右运动，同时点P以每秒6个单位长度的速度从表示数1的点向左运动．当点A与点B之间的距离为3个单位长度时，直接写出点P对应的数． 【考点题型八 有理数的四则混合运算】 【例8】计算 (1) (2) (3) (4) 【变式8-1】计算： (1)； (2)． 【变式8-2】计算： (1)； (2)； (3) (4) 【变式8-3】计算： (1)； (2)． 【变式8-4】计算： (1) (2) (3) (4) 【考点题型九 有理数的简便运算】 【例9】用简便方法计算： (1) (2) 【变式9-1】用简便方法计算： (1) (2)． 【变式9-2】用简便方法计算： (1) (2) (3) 【变式9-3】简便计算： (1) (2) (3) (4) 【变式9-4】用简便方法计算： (1)； (2)． 【考点题型十 有理数混合运算的应用】 【例10】“滴滴”司机沈师傅从上午在东西方向的江平大道上营运，共连续运载十批乘客．若规定向东为正，向西为负，沈师傅营运十批乘客里程如下：（单位：千米）． (1)将最后一批乘客送到目的地时，沈师傅距离第一批乘客出发地的东面还是西面？距离出发地多少千米？ (2)若汽车每千米耗油0.4升，则汽车共耗油多少升？ (3)若“滴滴”的收费标准为：起步价11元（不超过3千米），超过3千米，超过部分每千米2元．则沈师傅在上午一共收入多少元？ 【变式10-1】一出租车一天下午2小时内 以鼓楼为出发地在东西方向营运，向东走为正，向西走为负，行车里程（单位：公里）依先后次序记录如下：，，，，，． (1)该车2小时内最远时在鼓楼什么方向?离鼓楼多远?将最后一名乘客送到目的地，该车在出发地什么方向?离出发地多远? (2)若每公里收费为3元，且每百公里耗油10升，汽油价格每升6元，那么该司机这2小时除去汽油费后收入是多少? (3)司机每天还要向出租车公司上交180元的管理费，若一天按照工作8小时计算，一月安28天算，问该司机辛苦一个月后的收入约为多少元? 【变式10-2】金秋十月，秋高气爽，正是赏菊好时节！白马湖景区举办了第六届《百年荣光·菊世无双主题菊花展》．景区预计每天接待游客约10000人，实际接待人数情况如下：（超出预计的人数记为正数，不足的人数记为负数） 星期 一 二 三 四 五 六 日 超出或不足 (1)周六接待游客人数为_____________人； (2)游客人数最多的一天比最少的一天多_____________人； (3)本周共接待游客多少人？ 【变式10-3】为鼓励人们节约用水，某市居民生活用水实行“阶梯水价”收费，具体收费标准是：用户每月用水量在20吨及以内的为第一级水量基数，按一级用水价格收取；超过20吨且不超过30吨的部分为第二级水量基数，按一级用水价格的1.5倍收取；超过30吨的部分为第三级水量基数，按一级用水价格的1.8倍收取．为节约用水量，小高记录了1~7月份他家每月1号的水表读数． 1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 水表读数（吨） 433 450 468 485 500 514 535 (1)直接写出小高家1月份的用水量__________吨及1~6月平均每月用水量为____________吨． (2)已知小高家2月份的水费为36元，试求他家6月份需缴纳水费多少元？ (3)7月份放暑假后，小高的爷爷、奶奶来到家里和小高一起生活，用水量明显增加，比6月份多用水14吨，试求小高家7月份需缴纳水费多少元？ (4)为节约水资源，请你提出一条生活中节约用水的合理建议． 【变式10-4】下表是中国移动两种套餐计费方式（月租费固定收，主叫不超过主叫时间，流量不超上网流量不再收费，主叫超时和上网超流量部分加收超时费和超流量费） 月租费（元） 主叫通活（分钟） 上网流量（G） 接听 主叫超时部分（元/分钟） 超出流量部分（元/G） 套餐一 38 200 3 免费 0.20 10 套餐二 60 300 6 免费 0.10 8 (1)若某月小张主叫通话时间为240分钟，上网流量为，则他按套餐一计费需 元，按套餐二计费需 元； (2)若某月小张接套餐二计费需82元，主叫通话时间为360分钟，则小张该月上网流量为多少G？ (3)若某月小张上网流量为，是否存在某主叫通话时间t（分钟），按套餐一和套餐二的计费相等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【考点题型十一 有理数的乘方运算】 【例11】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8) (9)． 【变式11-1】计算： (1)． (2)． (3)． (4)． (5)． (6)． (7)． (8)． (9)． 【变式11-2】观察下列两组算式： ①与； ②与． (1)每组两个算式的结果是否相等？ (2)根据（1）的结果猜想等于什么？ (3)用（2）的结论计算． 【变式11-3】阅读下面的材料，然后按照材料中提供的方法计算． 计算：． 解：设， 则， 所以 ， 即． 按照上面的方法，计算：． 【变式11-4】我们把“n个相同的数a相乘”记为“”，例如． (1)计算： ， ． (2)观察以下等式： …     由以上规律，我们可以猜测 ． (3)计算：． 【考点题型十二 科学记数法】 【例12】特色产业激发乡村发展新活力．据报道，截至2023年10月9日，全国已建设180个优势特色乡村产业集群，全产业链产值超过元，辐射带动1000多万户农民．数字用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【变式12-1】2022年3月5日，国务院总理李克强代表国务院，向十三届全国人大五次会议作政府工作报告．报告中指出过去一年是党和国家历史上具有里程碑意义的一年，“十四五”实现良好开局，我国发展又取得新的重大成就．2021年国内生产总值达114万亿元，增长．将1140000用科学记数法表示应为（    ） A． B． C． D． 【变式12-2】2024年4月25日，搭载神州十八号载人飞船的长征二号F摇十八运载火箭在酒泉卫星发射中心成功发射．神舟十八号载人飞船与长征二号F遥十八运载火箭组合体的总重量达4000多千克．将40000用科学记数法表示为 ． 【变式12-3】今年春节，无锡首条市域轨交S1线也实行为期9天的免费乘坐，引发了往来锡澄两地的万千市民的搭乘热情.免费期间S1线总客流量达到约人次，数据用科学记数法表示为 . 【变式12-4】电动车厂本周计划每天生产100辆电动车，由于工人实行轮休，每天上班的人数不一定相等，实际每天生产量（与计划量相比）的增长值如表：根据上面的记录，问： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减（辆） (1)生产最多的一天比生产最少的一天多多少辆？ (2)本周实际生产的电动车总量与计划量相比较是增加还是减少，总计增加或减少多少辆？ (3)若每台电动车的售价是1000元，则本周的生产总额是多少元？（结果用科学计数法表示） 【考点题型十三 算“24”点】 【例13】“算24点”的游戏规则是：用“，，，”…四种运算符号把给出的4个数字连接起来进行计算，要求最终算出的结果是24，例如，给出2，2，2，8这四个数， 可以列式．以下的4个数用“，，，”四种运算符号不能算出结果为24的是（  ） A．1，6，8，7 B．1，2，3，4 C．4，4，10，10 D．6，3，3，8 【变式13-1】“24点”游戏规则是：从一副牌中（去掉大、小王）任意抽取4张牌，用上面的数字进行混合运算，使结果为24或—24.其中红色代表负数，黑色代表正数，A，J，Q，K分别代表1，11，12，13，例如张毅同学抽取的4张牌分别为红桃4、红桃3、梅花6、黑桃2，于是张毅同学列出的算式为（－4）×（－3－6÷2）＝24，现在张毅同学想挑战“36点”，将这四张牌中的任意一张换成其它牌，使结果为36或—36，下列方法可行的有几种：①将红桃4换成黑桃6；②将红桃3换成红桃6；③将梅花6换成黑桃Q；④将黑桃2换成黑桃A（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【变式13-2】你会玩“24点”游戏吗？从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽取4张，根据牌面上的数字，添加“”和括号等符号进行运算，每张牌只能用一次，使得运算结果为24，其中A，J，Q，K分别代表1，11，12，13，小明抽到的是如下4张牌，你凑成24的算式是 （写出一个即可） 【变式13-3】算“24”是一种常见的数学游戏．一座有三道环路的数字迷宫，每一个入口处都设置一个数，要求每一个进入者都把自己当作数“1”，进入时必须形状一种运算（加、减、乘、除或乘方），与入口处的数进行计算，并将结果带到下一个入口，依次累计下去．在通过最后一个入口时，如果计算结果是24才能到达迷宫中心．请选择一条可以到达迷宫中心的道路，列出其对应的算式为 ． 【变式13-4】如图，小聪有4张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列问题： (1)从中取出两张卡片，使这两张卡片上数字的乘积最大，如何抽取？最大值是多少？ (2)从中取出两张卡片，使这两张卡片上的数字组成一个最大的数，如何抽取？最大的数是多少？ (3)将这4张卡片上的数字用学过的方法计算，使结果为24，写出运算式子．（写出一种即可） 【考点题型十四 程序流程图与有理数计算】 【例14】按照如图所示的计算机程序计算，若开始输入的值为2，第一次得到的结果为1，第二次得到的结果为4，…第2024次得到的结果为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式14-1】按照如图所示的程序计算，若开始输入的值为，则最后输出的结果可能是（　　） A． B． C． D．12 【变式14-2】按照如图所示的操作步骤，若输入的值为，则输出的值为 ． 【变式14-3】按如图所示程序进行计算，输出的结果等于 ． 【变式14-4】根据下图所示的程序回答问题：    (1)你认为输入的两个数a和b是什么关系时，其输出结果为0？________； (2)当小明输入和这两个数时，输出的结果是：________； (3)当小明输入和这两个数时，输出的结果是4，被墨水污染的那个数为：________． 【考点题型十五 有理数的定义运算】 【例15】定义一种关于整数的“”运算：（1）当是奇数时，结果为，（2）当为偶数时，结果为（其中是正整数，且使得为奇数）；并且运算重复进行．例如：时，第一次经“”运算的结果是3，第二次经“”运算的结果是14，第三次经“”运算的结果是7，第四次经“”运算的结果是26……．若，则第2024次经“”运算的结果是（    ） A．29 B．92 C．23 D．74 【变式15-1】定义：是不为1的有理数，我们把称为的差倒数，如：2的差倒数是，的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，，（   ） A． B． C． D．3 【变式15-2】对有理数a，b，定义运算★如下：，则 ． 【变式15-3】定义运算：．下列结论：①；②；③若，则或；④若，则．其中正确的是 ．（填序号即可）． 【变式15-4】小明同学在学习完有理数的运算后，对运算产生了浓厚的兴趣，她借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，运算规则为：． (1)计算的值； (2)填空： （填“＞”或“＝”或“＜”）； (3)求的值． 【考点题型十六 绝对值计算中的最值】 【例16】结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：    (1)数轴上表示和的两点之间的距离是______；表示和的两点之间的距离是______；表示和的两点之间的距离是______；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于______． (2)如果表示数和的两点之间的距离是，那么______． (3)若数轴上表示数的点位于与之间，求的值； (4)当______时，的值最小，最小值是______． 【变式16-1】如图所示，在数轴上有三点，点从数轴上表示4的点开始往左运动，速度为1个单位/，运动时间为．    （1）当时，线段_________；线段___________； （2）当时，_________； （3）当为何值时，的值最小？ （4）当点运动到何处时，最小？ 【变式16-2】探索材料1（填空）：数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．例如数轴上表示数3和的两点距离为________； 则的意义可理解为数轴上表示数________和________这两点的距离； 的意义可理解为数轴上表示数________和________这两点的距离； 探索材料2（填空）： ①如图1，在工厂的一条流水线上有两个加工点A和B，要在流水线上设一个材料供应点P往两个加工点输送材料，材料供应点P应设在________才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小？ ②如图2，在工厂的一条流水线上有三个加工点A，B，C，要在流水线上设一个材料供应点P往三个加工点输送材料，材料供应点P应设在________才能使P到A，B，C三点的距离之和最小？ ③如图3，在工厂的一条流水线上有四个加工点A，B，C，D，要在流水线上设一个材料供应点P往四个加工点输送材料，材料供应点P应设在________才能使P到A，B，C，D四点的距离之和最小？ 结论应用（填空）： ①代数式的最小值是________； ②代数式的最小值是________； ③代数式的最小值是________． 【变式16-3】结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)数轴上表示4和1的两点之间的距离是_______；表示和2两点之间的距离是_______．一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于如果表示数a和的两点之间的距离是3，那么_______． (2)若数轴上表示数的点位于与2之间，求的值． (3)当取何值时，的值最小，最小值是多少？请说明理由． 【变式16-4】如图，小亮把东、西大街表示成一条数轴，把公交站的位置用数轴上的点表示出来，其中鼓楼站的位置记为原点，正东方向为正方向，公交车的一站地为一个单位长度（假设每站距离相同）．请你根据图形回答下列问题：    (1)到广济街的距离等于两站的地方是________． (2)如果用表示数轴上的点表示的数，那么表示这个点与1对应点的距离为2，请你根据以上信息回答下面问题： ①当满足________时，则的值最小，最小值是________； ②当满足________时，则的值最大，最大值是________． ③若，则满足条件的所有站地表示的数为________． (3)到这8个站距离之和最小的站地是否存在？若存在，是哪个站地？最小值是多少？若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 有理数（6个考点清单+16种题型解读） 【清单01 有理数】 有理数： (1)凡能写成形式的数，都是有理数，整数和分数统称有理数. (2)有理数的分类: ① ② 【清单02 数轴】 数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度（数轴的三要素）的一条直线. 【清单03 相反数与绝对值】 相反数：(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0； 相反数的商为-1. 相反数的绝对值相等 绝对值： (1)正数的绝对值等于它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值等于它的相反数； (2) 绝对值可表示为： 或 ； 【清单04 比较有理数大小】 有理数比大小： （1）正数永远比0大，负数永远比0小； （2）正数大于一切负数； （3）两个负数比较，绝对值大的反而小； （4）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大； 【清单05 有理数的混合运算】 倒数：乘积为1的两个数互为倒数； 有理数加法法则： （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； （2）异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； （3）一个数与0相加，仍得这个数. 有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b）. 有理数乘法法则：（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； （2）任何数与零相乘都得零； （3）几个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定.奇数个负数为负，偶数个负数为正。 有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数，. 有理数乘方的法则：（1）正数的任何次幂都是正数； （2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数； 乘方的定义：（1）求相同因式积的运算，叫做乘方； （2）乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂； 【清单06 科学记数法】 科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数即1≤a<10，这种记数法叫科学记数法.10的指数=整数位数-1, 整数位数=10的指数+1 近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到那一位. 混合运算法则：先乘方，后乘除，最后加减； 注意：不省过程，不跳步骤。 【考点题型一 正数与负数】 【例1】下列语句中错误的有（    ）个． ①不带“”号的数都是正数；②如果是正数，那么一定是负数；③不存在既不是正数，也不是负数的数；④表示没有温度． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据大于0的数是正数，小于0的数是负数，对各选项分析判断即可解答． 本题主要考查正数与负数的定义，熟练掌握大于0的数是正数、小于0的数是负数是解答本题的关键． 【详解】解：①0不带“”号但不是正数，故原说法错误； ②如果是正数，那么一定是负数，故正确； ③0既不是正数，也不是负数，故原说法错误； ④表示温度为0度，故原说法错误； 综上，错误的有3个． 故本题选：C． 【变式1-1】在下列各数中：，，，，0 其中是负数的有（    ）个． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】先化简，后根据负数的意义判断即可． 【详解】解：∵，，， ∴负数有，，，共3个， 故选B． 【点睛】本题考查了有理数的化简，负数的定义即正数前面有负号的数，熟练掌握定义是解题的关键． 【变式1-2】在数轴上点表示数，点与点相距个单位长度，点表示的数是 ，如果把分的成绩记作分，那么分的成绩记作 分． 【答案】 或 【分析】本题考查数轴、正数和负数，理解它们的含义和用法是正确解答本题的关键．点可能位于点的左边，也可能位于点的右边，根据它们之间的距离解答即可；先确定多少分记作分，再根据分与分的差即可解答． 【详解】解：点可能位于点的左边，也可能位于点的右边． 当点位于点的左边时，点表示的数为； 当点位于点的右边时，点表示的数为． ∴点表示的数是或． 如果把分的成绩记作分，那么分记作分， ∴分的成绩记作分． 故答案为：或，． 【变式1-3】已知下列各数：，，，0，，，6，，其中正数有 ；负数有 ． 【答案】 ，，6， ，， 【分析】本题主要考查正数与负数，属于基础题． 根据正数与负数的特征可判定求解． 【详解】解：在，，，0，，，6，中， 正数，，6，；负数有，，． 故答案为：，，6，，，， 【变式1-4】将下列各数填入表示它所在集合的圈里． 5，，，，，，，．    【答案】见解析 【分析】根据整数、正数、负数、分数的定义进行分析，即可作答． 【详解】解：整数集合：，，， 正数集合：，，， 既是整数集合也是正数集合：，， 负数集合：，，， 分数集合：，，，， 既是负数集合也是分数集合：，，，    【点睛】本题考查了整数、正数、负数、分数的定义；大于0的数为正数，小于0的数为负数；正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【考点题型二 有理数的分类】 【例2】下列各数：，1，8.6，，0，， ，，，中，（   ） A．只有1，，，是整数 B．其中有三个数是正整数 C．非负数有1，8.6，，0 D．只有，，是负分数 【答案】D 【分析】本题考查了有理数，熟练掌握有理数的分类方法是解本题的关键．利用有理数的分类方法判断即可． 【详解】A． 整数包括1，，0，，，故选项A错误； B． 正整数只有两个，即1和，故选项B错误； C． 非负数包括有1，8.6，，0，，故选项C错误； D． 分数包括，，，故选项D正确． 故选：D． 【变式2-1】在数0，，，，，0.3，0.141041004…（相邻两个1，4之间的0的个数逐次加1），中，有理数的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的定义，有理数分为整数和分数，据此逐个分析，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴有理数：0，，，，0.3，， 则有理数的个数为6， 故选：D． 【变式2-2】把下列各数填在相应的集合中．（注意：只填序号） ①，②，③，④，⑤0，⑥，⑦，⑧，⑨ 正数集合{ …}； 负数集合{ …}； 整数集合{ …}； 分数集合{ …}； 非负整数集{ …}． 【答案】见解析 【分析】本题考查了有理数的分类，相反数，绝对值，掌握实数分类的方法是解决问题的关键． 【详解】解： 正数集合{①，④ ，⑦，⑨…}；   负数集合{②，③，⑥，⑧…}；    整数集合{①，②，⑤，⑦，⑧…}；    分数集合{③，④，⑥…} 非负整数集{①，⑤，⑦ …} 【变式2-3】把下面个各数填入相应的大括号内 ，5，0，，3.14，+27，，，． 整数集合：{____________．．．} 非负整数集合：{____________．．．} 负分数集合：{____________．．．} 正有理数集合：{____________．．．}． 【答案】5，0，，+27， 5，0，+27， ，， 5，3.14，+27， 【分析】整数包括正整数、零、负整数，非负数有正整数和零，负分数有小于零的分数，正有理数包括正整数和正分数． 【详解】可以化成分数，即为负分数；5为正整数；0是零，负整数；3.14正分数；+27为正整数；为负分数；为负分数；可以化为正整数7，即为正整数． 整数集合：5，0，，+27，； 非负整数集合：5，0，+27，； 负分数集合：，，； 正有理数集合：5，3.14，+27，； 【点睛】本题主要考查有理数、整数、非负数、负数的概念，准确理解各自概念是解题的关键． 【变式2-4】把下列各数填入相应的集合中：，，，，，0，，1.010010001…，，0.3，． 整数集合{ …} 负有理数集合{ …} 非正分数集合{ …} 【答案】见解析 【分析】本题考查了有理数的分类，首先对数字进行化简整理，再根据有理数的分类，逐一判断即可得到结果．关键在于对每个数进行正确的判断，不能遗漏． 【详解】解：，，，，，，， 整数集合{0，，，…}， 负有理数集合{，，，，…}， 非正分数集合{，，…}． 【考点题型三 数轴】 【例3】如图，数轴上的点A、B分别对应实数a、b，下列结论中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数轴的定义，绝对值运算，掌握数轴的应以是解题的关键． 先根据a、b两点在数轴上的位置确定出其符号及大小，再进行解答即可． 【详解】解：由题可知：，且， ∴，，，． 故选C． 【变式3-1】如图，圆的周长为4个单位长度，在该圆的4等分点处分别标上0，1，2，3．先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向左滚动，则数轴上表示的点与圆周上表示哪个数字的点重合？（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，找出圆运动的规律与数轴上的数字的对应关系是解决此类题目的关键． 根据题意得出每4个数为一循环，分别为0、3、2、1，得出数轴上表示的点与第506组第3个数重合，即可解答． 【详解】解：根据题意可得：每4个数为一循环，分别为0、3、2、1， ， ∴数轴上表示的点与第506组第3个数重合，即为2， 故选：C． 【变式3-2】如图，在数轴有A、B两点，点A表示的数是，若，则点B表示的数是 ． 【答案】2024 【分析】本题考查的是数轴，解题的关键是根据题中提取的数量关系来求解．根据，求出，继而可以求出点B表示的数． 【详解】解：∵，点A表示的数是， ∴， ∵点B在O点右侧， ∴点B表示的数为：， 故答案为：2024． 【变式3-3】如图，点和在数轴上表示的数分别是和40，点在线段上移动，图中的三条线段和，当其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍时，则点在数轴上表示的数为 ． 【答案】0或10或20 【分析】本题考查了两点间的距离，解题的关键是要读懂题目的意思，利用分论讨论的思想求解．分，，，进行讨论求解即可． 【详解】解：， ①当，则，则点C所表示的数为； ②当，则，则点C所表示的数为； ③当，则，则点C所表示的数为； 综上，点在数轴上表示的数为：0或10或20， 故答案为：0或10或20． 【变式3-4】如图，在数轴上，点向右移动1个单位得到点，点向右移动个单位得到点（为正整数），点分别表示有理数． (1)若这三个数的和与其中最大的数相等，则______； (2)若这三个数中只有一个数为正数，且这三个数的和等于6，则正整数的最小取值为多少？ 【答案】(1) (2)正整数的最小取值为6． 【分析】本题考查了有理数的加法，数轴，关键是根据题目的等量关系和不等关系列出方程和不等式求解． （1）根据、、这三个数的和与其中最大的数相等，列出方程求解即可； （2）根据三个数的和等于6，列出方程得到，再根据、、这三个数中只有一个数为正数得到且，依此即可求解． 【详解】（1）解：依题意有 ， 解得； 故答案为：； （2）解：依题意有 ， ， 、、这三个数中只有一个数为正数， 且， 则且，即， 解得， ， 是正整数， 正整数的最小取值为6． 【考点题型四 化简绝对值】 【例4】，则化简的结果为（　　） A． B． C．0 D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，掌握负数的绝对值等于这个数的相反数是解题的关键． 先根据已知条件化简绝对值，然后进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：B． 【变式4-1】已知有理数、、在数轴上对应点的位置如图所示，则化简后的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式的加减和去绝对值，根据数轴分别判断出，，，然后去掉绝对值即可，解题的关键是结合数轴判断绝对值符号里面代数式的正负． 【详解】由数轴可得，，，， ∴ ， ， 故选：． 【变式4-2】有理数在数轴上的表示如图所示，则下列结论中：①；②；③；④；⑤ ，正确的有 （只要填写序号）． 【答案】①②④⑤ 【分析】本题考查了数轴的特点，有理数正负性的判定，绝对值的性质，根据图示可得，再根据有理数大小判定正负性，根据绝对值的性质化简求值即可，掌握数轴上符号的判定，有理数正负性的判定，绝对值性质的化简是解题的关键． 【详解】解：根据题意，， ∴①，正确，符合题意； ②，正确，符合题意； ③∵， ∴，且， ∴，故不正确，不符合题意； ④∵， ∴， ∴，正确，符合题意； ⑤∵， ∴， ∴，正确，符合题意； 综上所述，正确的有①②④⑤， 故答案为：①②④⑤ ． 【变式4-3】若， ；若， ； ①若，则 ； ②若，则 ． 【答案】 1 1 1 【分析】此题考查了分类讨论解决含字母参数绝对值的问题，关键是能确定含字母参数绝对值是它本身还是它的相反数． 根据实数绝对值的性质，根据的符号确定它的绝对值是它本身还是相反数即可． 【详解】解：， ， ； ， ， ， 故答案为：1，； ①， ， ， ， 故答案为：1； ②， 、、中有一个负数、两个正数和三个负数两种情况， 当、、中有一个负数、两个正数时， ， 当、、中有三个负数时， ， 故答案为：1或． 【变式4-4】如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m    (1)求m的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了整式的加减，数轴，以及绝对值，熟练掌握去括号法则与合并同类项法则是解本题的关键． （1）根据题意得出表示的数，确定出的值即可； （2）根据的范围确定出的正负，原式利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果． 【详解】（1）根据题意得：， 则的值为； （2）当时，原式． 【考点题型五 绝对值非负性】 【例5】已知和互为相反数，则的值为（　　） A． B． C． D．0 【答案】D 【分析】本题主要考查了绝对值的非负性、相反数的定义、代数式求值等知识点，根据绝对值的非负性和相反数的定义求出m与n的值成为解题的关键． 根据绝对值的非负性和相反数的定义求出m与n的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵和互为相反数， ∴， 又∵，， ∴，， ∴， ∴， 故选：D． 【变式5-1】若，则的值为（　　） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查非负数的性质，绝对值的非负性，偶次方的非负性． 根据非负数性质求得a、b值，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， 故选：C． 【变式5-2】式子的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质—绝对值，根据非负数的性质即可求出的最小值，从而求出式子的最小值，求的最小值是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴的最小值是， ∴的最小值为， 故答案为：． 【变式5-3】如图所示，已知线段上有两点C、D，且，M、N分别是线段和的中点，若线段，，且a、b满足．线段的长度是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查“几个非负数之和为零”这一知识点，还考查了线段长度的计算，包括中点的含义．由非负数的性质，先求解，，由线段的中点，线段的和差关系进行计算，即可得到答案． 【详解】解：∵ ∴，， ∴，， ∴， 即； ∵， ∴， ∵M，N分别是线段，的中点， ∴， ∴； 故答案为： 【变式5-4】如图，线段在射线上运动，，且． (1)求线段、的长； (2)点M、N分别为线段、的中点，若，求的长； (3)当运动到某一时刻时，点D与点B重合，点P是线段延长线上任意一点求证：． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题主要考查非负数的性质，线段和差倍分的计算，分类讨论是解题的关键． （1）依据非负数的性质可知，，从而可求得m、n的值； （2）需要分类讨论：①如图1，当点C在点B的右侧时，根据“M、N分别为线段、的中点”，先计算出、的长度，然后计算；②如图2，当点C位于点B的左侧时，利用线段间的和差关系求得的长度； （3）先求得，然后求得，从而可求得答案． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：①点C在点B右边时，如图： M、N分别为线段的中点， ， ， ； ②点C在点B左边时，如图： M、N分别为线段的中点， ， ， ； 综上，． （3）证明：当点B与点D重合时，如图： ， ， ． ， 即． 【考点题型六 有理数的大小比较】 【例6】当时，的大小顺序是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是有理数的大小比较， 熟知正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，根据可令求出的值，再比较大小即可，绝对值大的反而小是解题的关键． 【详解】解： ∴令则 ， 故选：A． 【变式6-1】四个数按由大到小的顺序排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查有理数大小比较，先比较各数绝对值的大小，再比较各数即可． 【详解】解：， 又， ∵， ∴， ∴， ． 故选：A． 【变式6-2】比较大小：（1）0 ；（2） ；（3） ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，“有理数的大小比较，正数大于0,0大于负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小”，据此逐题比较即可求解． 【详解】解：（1）； （2）因为， 所以， 所以； （3）因为， 所以， 所以． 故答案为：；； 【变式6-3】（1）设，，且，用“”号把、、、连接起来为 ； （2）设，，且，用“”号把、、、连接起来为 ； （3）设，，且，用“”号把、、、连接起来为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数比较大小的方法，熟练掌握该方法是解题的关键．必须明确：正数都大于；负数都小于；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小． （1）首先根据，，且，可得，然后判断出，即可推得，据此求解即可； （2）首先根据，，且，可得，，然后判断出，即可推得，据此求解即可； （3）根据已知得出为负数，为正数，，求出，，即可得出答案． 【详解】解：（1），，且， ， ， ， 用“”号把、、、连接起来为； （2），，且， ，， ， ， 用“”号把、、、连接起来为； （3），，且， 为负数，为正数，， ，， 用“”号把、、、连接起来为； 故答案为：；；． 【变式6-4】在数轴上表示下列各数，并用<将他们连接起来． ，，0，，．    【答案】，图见详解 【分析】先把各数表示在数轴上，然后按数轴上比较大小的方法，把各数用“”连接起来． 【详解】解： 把各数表示在数轴上，如图所示：    用“”连接如下： 【点睛】本题考查了用数轴上的点表示有理数以及有理数大小的比较．在数轴上表示的数，右边的数总大于左边的数． 【考点题型七 数轴上的动点问题】 【例7】如图，圆的周长为4个单位长，数轴每个数字之间的距离为1个单位，在圆的4等分点处分别标上0、1、2、3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上（如圆周上表示数字3的点与数轴上表示的点重合…），则数轴上表示的点与圆周上表示数字重合的点是（    ）． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了数轴上的数字在圆上的循环规律，由图可知，每个数为一个循环组，依次循环，由此即可得出答案，发现循环规律，并正确计算循环后处于第几组的第几个数，是解此题的关键． 【详解】解：由图可知，每个数为一个循环组，依次循环， ， 数轴上表示的点与圆周上第个循环组的第二个点重合，该点表示的数字为， 故数轴上表示的点与圆周上表示数字重合的点是， 故选：D． 【变式7-1】把长为个单位长度的线段放在单位长度为的数轴上，则线段能盖住的整点有（   ） A．个 B．个 C．或个 D．或个 【答案】D 【分析】根据题意把长为1个单位长度的线段放在单位长度为1的数轴上，可能盖住2个或1个点，以此类推，找出规律即可解答． 【详解】解：个单位长度的线段放在数轴上，两端的放在整数点上，盖住个点，两端不在整数点上，盖住个点； 个单位长度的线段放在数轴上，两端的放在整数点上，盖住个点，两端不在整数点上，盖住个点； 个单位长度的线段放在数轴上，两端的放在整数点上，盖住个点，两端不在整数点上，盖住个点； 个单位长度的线段放在数轴上，两端的放在整数点上，盖住个点，两端不在整数点上，盖住个点； 个单位长度的线段放在数轴上，两端的放在整数点上，盖住个点，两端不在整数点上，盖住个点； 故答案为：D． 【点睛】此题考查了数轴规律题，解题的关键是根据题意分情况找出规律． 【变式7-2】已知数轴上、两点对应的数分别为、，为数轴上一动点，对应的数为，若点到、距离的比为，则点表示的数为 ． 【答案】8或80 【分析】本题考查了数轴上动点的移动规律，分类讨论是解题的关键． 【详解】解：考虑到点P是动点，分三种情况讨论： ①当点P在A点左侧时，因，则不符合题意，故舍去； ②当P点在A、B中间时，有，解得； ③当P点在B点右侧时，有，解得． 因此P点表示的数为8或80， 故答案为：8或80． 【变式7-3】阅读与思考 如图，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，可以看出，终点表示的数是．参照图中所给的信息，完成填空： 已知A，B都是数轴上的点．    （1）若点A表示数．将点A向右移动5个单位长度至点．则点表示的数是 ； （2）若点A表示数2，将点A先向左移动7个单位长度，再向右移动个单位长度至点，则点表示的数是 ； （3）若将点B先向左移动3个单位长度，再向右移动6个单位长度，终点表示的数恰好是0，则点B所表示的数是 ． 【答案】 2 / 【分析】本题主要考查了数轴上动点平移问题，解题关键是掌握数轴上点往右移几就加几，往左移几就减几，概括为“右加左减”． （1）根据数轴上的点向右平移加，向左平移减，可得点表示的数； （2）根据数轴上的点向右平移加，向左平移减，可得点表示的数； （3）根据数轴上的点向右平移加，向左平移减，可得B点表示的数． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴点表示的数是2； （2）解：由题意得：， ∴点表示的数是； （3）解：由题意得：0先向右移动3个单位长度，再向左移动6个单位长度得到点B ∴， ∴点B所表示的数是． 故答案为：2，；． 【变式7-4】已知数轴上两点A，B对应的数分别为，3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x． (1)若点P为的中点，则点P对应的数是 ． (2)数轴的原点右侧有点P，使点P到点A，点B的距离之和为8．请你求出x的值． (3)现在点A，点B分别以每秒2个单位长度和每秒0.5个单位长度的速度同时向右运动，同时点P以每秒6个单位长度的速度从表示数1的点向左运动．当点A与点B之间的距离为3个单位长度时，直接写出点P对应的数． 【答案】(1)1 (2)x的值是5 (3)点P对应的数是或 【分析】本题考查数轴上点表示的数及两点间距离，解题的关键是掌握点运动后表示的数与运动前表示的数的关系． （1）根据点P为的中点列方程即可解得答案； （2）分两种情况，当P在线段上时，由，知这种情况不存在；当P在B右侧时，，求解即可； （3）设运动的时间是t秒，表示出运动后A表示的数是，B表示的数是，P表示的数是，根据点A与点B之间的距离为3个单位长度得：，解出t的值，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵A，B对应的数分别为，3，点P为的中点， ∴， 解得， ∴点P对应的数是1； （2）解：当P在线段上时，， ∴这种情况不存在； 当P在B右侧时，， 解得， 答：x的值是5； （3）解：设运动的时间是t秒，则运动后A表示的数是，B表示的数是，P表示的数是， 根据题意得：， 解得或， 当时，P表示的数是， 当时，P表示的数是， 答：点P对应的数是或． 【考点题型八 有理数的四则混合运算】 【例8】计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查的知识点是有理数四则混合运算、含乘方的有理数混合运算、有理数的加减混合运算、有理数乘法运算律，解题关键是熟练掌握相关运算法则． （1）根据有理数四则混合运算法则运算求解即可； （2）根据含乘方的有理数混合运算法则进行运算即可； （3）根据有理数的加减混合运算、有理数乘法运算律进行运算即可； （4）根据有理数的加减混合运算、有理数乘法运算律进行运算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 【变式8-1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1)9； (2) 【分析】本题主要考查了有理数乘法运算、有理数乘法运算律、含乘方的有理数混合运算等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． （1）运用有理数的乘法分配律进行简便运算即可； （2）直接利用含乘方的有理数混合运算法则求解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【变式8-2】计算： (1)； (2)； (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的混合计算： （1）先计算乘除法，再计算加减法即可； （2）根据有理数乘除法计算法则求解即可； （3）根据乘法分配律求解即可； （4）按照先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加减法，有括号先计算括号的运算顺序求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解： ． 【变式8-3】计算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，含乘方的有理数的混合运算，掌握混合运算的运算顺序是解题的关键． （1）先通分计算括号内的运算，再按照运算顺序计算即可； （2）先计算乘方运算，括号内的运算，再计算乘除运算，最后计算加减运算即可． 【详解】（1）解： = ； （2）解： ． 【变式8-4】计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟记有理数混合运算的顺序，运算法则，运算定律是解题的关键． （1）根据有理数加减法则进行计算即可； （2）根据有理数加减法则进行计算即可； （3）先根据有理数加减法计算出括号里的结果，再计算括号外的除法； （4）先计算乘方和括号内的运算，再计算乘法，最后计算减法． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ； （3）解：， ， ； （4）解：， ， ， ， ． 【考点题型九 有理数的简便运算】 【例9】用简便方法计算： (1) (2) 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题主要考查了有理数的简便计算．熟练掌握运用运算律简便计算，运算顺序和法则，是解题的关键． （1）根据乘法分配律进行计算，再加减即可； （2）根据乘法分配律进行计算，再运用加法交换律计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式9-1】用简便方法计算： (1) (2)． 【答案】(1)； (2) 【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． （1）直接逆用乘法的分配律进行简便运算即可； （2）把原式化为，再利用分配律进行简便运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式9-2】用简便方法计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数混合运算的计算方法是解答本题的关键． （1）利用乘法分配律进行计算，得到答案． （2）分析式子中的每一项，得到，由此得到答案． （3）先把除法转化成乘法，再利用乘法的分配律进行计算，得到答案． 【详解】（1）解： ． （2） ． （3） ． 【变式9-3】简便计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4)0 【分析】考查了有理数的混合运算，进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化，掌握有理数的混合运算法则，乘法运算律是解题的关键． （1）根据有理数乘法运算法则，乘法运算律的结合进行计算即可求解； （2）根据有理数乘法运算法则，乘法运算律的结合进行计算即可求解； （3）根据有理数乘法运算法则，乘法运算律的结合进行计算即可求解； （4）根据有理数乘法运算法则，乘法运算律的结合进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式9-4】用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将原式整理为，再利用乘法分配律计算即可； （2）利用乘法分配律将原式整理为，再计算括号里面的部分，然后进行乘法运算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【点睛】本题主要考查了有理数混合运算，熟练掌握相关运算法则和运算律是解题关键． 【考点题型十 有理数混合运算的应用】 【例10】“滴滴”司机沈师傅从上午在东西方向的江平大道上营运，共连续运载十批乘客．若规定向东为正，向西为负，沈师傅营运十批乘客里程如下：（单位：千米）． (1)将最后一批乘客送到目的地时，沈师傅距离第一批乘客出发地的东面还是西面？距离出发地多少千米？ (2)若汽车每千米耗油0.4升，则汽车共耗油多少升？ (3)若“滴滴”的收费标准为：起步价11元（不超过3千米），超过3千米，超过部分每千米2元．则沈师傅在上午一共收入多少元？ 【答案】(1)将最后一批乘客送到目的地时，沈师傅在第一批乘客出发地的东面，距离是5千米 (2)汽车共耗油21.2升 (3)沈师傅在上午一共收入156元 【分析】本题考查了正数和负数在实际问题中的应用，明确正负数的含义及题中的数量关系，是解题的关键． （1）把记录的数字相加即可得到结果，结果为正则在东面，结果为负则在西面； （2）把记录的数字的绝对值相加，再乘以0.4，即可得答案； （3）先计算起步费总额，再将超过3千米的路程相加，所得的和乘以2，将起步费加上超过3千米的费用总额，即可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴将最后一批乘客送到目的地时，沈师傅在第一批乘客出发地的东面，距离是5千米； （2）解： ， ∴（升）， ∴汽车共耗油21.2升． （3）解：∵共营运十批乘客， ∴起步费为：（元）， 超过3千米的收费总额为：（元）， ∴（元）， ∴沈师傅在上午一共收入156元 【变式10-1】一出租车一天下午2小时内 以鼓楼为出发地在东西方向营运，向东走为正，向西走为负，行车里程（单位：公里）依先后次序记录如下：，，，，，． (1)该车2小时内最远时在鼓楼什么方向?离鼓楼多远?将最后一名乘客送到目的地，该车在出发地什么方向?离出发地多远? (2)若每公里收费为3元，且每百公里耗油10升，汽油价格每升6元，那么该司机这2小时除去汽油费后收入是多少? (3)司机每天还要向出租车公司上交180元的管理费，若一天按照工作8小时计算，一月安28天算，问该司机辛苦一个月后的收入约为多少元? 【答案】(1)该车2小时内最远在鼓楼的东方，离鼓楼有9公里，将最后一名乘客送到目的地，该车在鼓楼的东方，离出发点3公里 (2)84元 (3)4368元 【分析】此题考查了有理数加减混合运算的应用，正数与负数，以及绝对值，弄清题意是解本题的关键． （1）将记录的数字相加得到结果，即可做出判断； （2）将记录的数字绝对值相加得到总路程数，算出总收入-汽油费，即可解答； （3）计算出司机的总收入-所交的管理费，即可解答． 【详解】（1）解：送完第1名乘客，离出发地（鼓楼）的距离为9公里， 第2名：（公里）， 第3名：（公里）， 第4名：（公里）， 第5名：（公里）， 第6名：（公里）， 则，该车2小时内最远在鼓楼的东方，离鼓楼有9公里，将最后一名乘客送到目的地，该车在鼓楼的东方，离出发点3公里； （2）（公里）， （元），（元）， （元）， 答：该司机这2小时除去汽油费后收入是84元． （3）（元） 答：该司机辛苦一个月后得收入约为4368元． 【变式10-2】金秋十月，秋高气爽，正是赏菊好时节！白马湖景区举办了第六届《百年荣光·菊世无双主题菊花展》．景区预计每天接待游客约10000人，实际接待人数情况如下：（超出预计的人数记为正数，不足的人数记为负数） 星期 一 二 三 四 五 六 日 超出或不足 (1)周六接待游客人数为_____________人； (2)游客人数最多的一天比最少的一天多_____________人； (3)本周共接待游客多少人？ 【答案】(1) (2)1800 (3)本周共接待游客人 【分析】本题主要考查了有理数四则运算的实际应用及加减运算的实际应用． （1）用10000加上周六超出的量即可求解； （2）用游客人数最多的一天超出量减去游客人数最少的一天的不足量即可求解； （3）将七天的接待游客人数情况相加，再加上七天的总预计接待游客的人数即可求解． 【详解】（1）解：根据题意：（人）， 故周六接待游客人； （2）解： 游客人数最多的一天是周四，最少的一天是周日， （人） 故游客人数最多的一天比最少的一天多1800人； （3）解：根据题意得： （人） 答：本周共接待游客人． 【变式10-3】为鼓励人们节约用水，某市居民生活用水实行“阶梯水价”收费，具体收费标准是：用户每月用水量在20吨及以内的为第一级水量基数，按一级用水价格收取；超过20吨且不超过30吨的部分为第二级水量基数，按一级用水价格的1.5倍收取；超过30吨的部分为第三级水量基数，按一级用水价格的1.8倍收取．为节约用水量，小高记录了1~7月份他家每月1号的水表读数． 1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 水表读数（吨） 433 450 468 485 500 514 535 (1)直接写出小高家1月份的用水量__________吨及1~6月平均每月用水量为____________吨． (2)已知小高家2月份的水费为36元，试求他家6月份需缴纳水费多少元？ (3)7月份放暑假后，小高的爷爷、奶奶来到家里和小高一起生活，用水量明显增加，比6月份多用水14吨，试求小高家7月份需缴纳水费多少元？ (4)为节约水资源，请你提出一条生活中节约用水的合理建议． 【答案】(1)17，17 (2)43元 (3)88元 (4)见解析 【分析】本题考查有理数运算的实际应用： （1）用2月的数据减去1月的数据，求出1月份的用水量，用表格中最后一个数据减去第一个数据，再除以6求出平均用水量； （2）根据小高家2月份的水费为36元，求出一级用水价格，进而求出6月份需缴纳水费即可； （3）根据收费标准，列式计算即可； （4）提出一条节约用水的建议即可． 【详解】（1）解：（吨），（吨）； 故答案为：17，17； （2）解：小高家二月用水量为：（吨）， 由题意，得：一级用水价格为：（元）， 小高家6月用水量为：吨， ∴他家6月份需缴纳水费为（元）； （3）解：七月份用水量为：（吨）， （元）； （4）解：淘米水浇花（合理即可）． 【变式10-4】下表是中国移动两种套餐计费方式（月租费固定收，主叫不超过主叫时间，流量不超上网流量不再收费，主叫超时和上网超流量部分加收超时费和超流量费） 月租费（元） 主叫通活（分钟） 上网流量（G） 接听 主叫超时部分（元/分钟） 超出流量部分（元/G） 套餐一 38 200 3 免费 0.20 10 套餐二 60 300 6 免费 0.10 8 (1)若某月小张主叫通话时间为240分钟，上网流量为，则他按套餐一计费需 元，按套餐二计费需 元； (2)若某月小张接套餐二计费需82元，主叫通话时间为360分钟，则小张该月上网流量为多少G？ (3)若某月小张上网流量为，是否存在某主叫通话时间t（分钟），按套餐一和套餐二的计费相等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)56，60； (2)小张该月上网流量为； (3)存在，t的值为210 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，一元一次方程的应用，正确理解两种计费方式是解题关键． （1）根据套餐一和套餐二的计费方式分别列式计算即可； （2）设小张该月上网流量为，根据套餐二的计费方式列一元一次方程求解即可； （3）分两种情况讨论：和，根据两种计费方式分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：若主叫通话时间为240分钟，上网流量为4G， 则按套餐一计费需（元）， 按套餐二计费需元， 故答案为：56，60； （2）解：设小张该月上网流量为， 由题意得：， 解得：， 即小张该月上网流量为； （3）解：存在，理由如下： 当时，， 解得： 当时，， 解得：（舍） 综上所述，t的值为210． 【考点题型十一 有理数的乘方运算】 【例11】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8) (9)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)． 【分析】（）直接利用乘方的运算即可； （）先算乘方运算，然后计算乘法即可； （）先算乘方运算，然后计算乘法即可； （）先算乘方运算，然后计算乘法即可； （）先算乘法运算，然后计算乘方即可； （）利用乘方逆运算即可； （）直接利用乘方的运算即可； （）直接利用乘方的运算即可； （）先算乘方运算，然后计算加法即可； 本题考查了乘方的运算，有理数的乘法，有理数的加法，解题的关键是熟记负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，的任何正整数次幂都是，熟练掌握运算法则． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 ； （5）原式 ； （6）原式 ； （7）原式； （8）原式； （9）原式 ． 【变式11-1】计算： (1)． (2)． (3)． (4)． (5)． (6)． (7)． (8)． (9)． 【答案】(1)64 (2) (3) (4) (5)32 (6) (7) (8) (9) 【分析】此题考查的是有理数的乘方运算，掌握有理数乘方的意义是解决此题的关键． （1）根据乘方的意义计算即可； （2）根据乘方的意义计算即可； （3）根据乘方的意义计算即可； （4）根据乘方的意义计算即可； （5）根据乘方的意义计算即可； （6）根据乘方的意义计算即可； （7）根据乘方的意义计算即可； （8）根据乘方的意义计算即可； （9）根据乘方的意义计算即可； 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ； （7） ； （8） ； （9） ． 【变式11-2】观察下列两组算式： ①与； ②与． (1)每组两个算式的结果是否相等？ (2)根据（1）的结果猜想等于什么？ (3)用（2）的结论计算． 【答案】(1)相等 (2) (3)1 【分析】本题考查有理数的乘方， （1 ）根据乘方的定义分别计算可得； （2 ）根据（1 ）中计算结果可得； （3 ）根据所得结论得出，再进一步计算可得． 【详解】（1）解：①∵，， ∴； ②∵，， ∴； ∴每组两个算式的计算结果相等． （2）解：； （3）解： ． 【变式11-3】阅读下面的材料，然后按照材料中提供的方法计算． 计算：． 解：设， 则， 所以 ， 即． 按照上面的方法，计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的乘方运算，解题的关键是理解题中所给运算方法．设，然后两边同乘以3，进而按照题中所给方法进行求解即可． 【详解】解：设 则 所以， 即． 【变式11-4】我们把“n个相同的数a相乘”记为“”，例如． (1)计算： ， ． (2)观察以下等式： …     由以上规律，我们可以猜测 ． (3)计算：． 【答案】(1)64，625 (2) (3) 【分析】本题主要考查了数学归纳整理的能力，解题的关键要分析材料找到题目中规律从而由特殊例子总结出一般规律． （1）根据乘方的运算法则计算即可； （2）根据给出的材料可看出，等号右边x的指数规律是，所以． （3）运用（2）的规律计算即可求解． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：64，625； （2）解：根据观察可得：， 故答案为：． （3）解：， ， ， ． 【考点题型十二 科学记数法】 【例12】特色产业激发乡村发展新活力．据报道，截至2023年10月9日，全国已建设180个优势特色乡村产业集群，全产业链产值超过元，辐射带动1000多万户农民．数字用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查科学记数法表示较大的数，将一个数表示成的形式，其中，n为整数，当小数点向左移动时，的值等于小数点移动的位数；当小数点向右移动时，小数点移动位数的相反数就是的值，据此即可求得答案． 【详解】解：， 故选：B． 【变式12-1】2022年3月5日，国务院总理李克强代表国务院，向十三届全国人大五次会议作政府工作报告．报告中指出过去一年是党和国家历史上具有里程碑意义的一年，“十四五”实现良好开局，我国发展又取得新的重大成就．2021年国内生产总值达114万亿元，增长．将1140000用科学记数法表示应为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先确定a=1.14，再确定n=6，用科学记数法形式表示出来即可． 【详解】解：∵1140000=， 故选C． 【点睛】本题考查了大数的科学记数法，熟练掌握如何确定a值，n值是解题的关键． 【变式12-2】2024年4月25日，搭载神州十八号载人飞船的长征二号F摇十八运载火箭在酒泉卫星发射中心成功发射．神舟十八号载人飞船与长征二号F遥十八运载火箭组合体的总重量达4000多千克．将40000用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键． 将40000写成其中，n为整数的形式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式12-3】今年春节，无锡首条市域轨交S1线也实行为期9天的免费乘坐，引发了往来锡澄两地的万千市民的搭乘热情.免费期间S1线总客流量达到约人次，数据用科学记数法表示为 . 【答案】 【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键． 将2287000写成其中，n为整数的形式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式12-4】电动车厂本周计划每天生产100辆电动车，由于工人实行轮休，每天上班的人数不一定相等，实际每天生产量（与计划量相比）的增长值如表：根据上面的记录，问： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减（辆） (1)生产最多的一天比生产最少的一天多多少辆？ (2)本周实际生产的电动车总量与计划量相比较是增加还是减少，总计增加或减少多少辆？ (3)若每台电动车的售价是1000元，则本周的生产总额是多少元？（结果用科学计数法表示） 【答案】(1)34辆 (2)减少；20辆 (3) 【分析】本题考查了有理数加减的应用，正负数的应用，科学计数法，熟练掌握运算是解题的关键． （1）找出产量最多与最少的，相减即可得到结果； （2）根据表格求出所有数据之和，即可做出判断； （3）根据表格中的数据先求出本周每天的产量，乘以售价可得结论,注意用科学计数法表示． 【详解】（1）生产最多的一天比生产最少的一天多（辆）． （2）∵，是负数， ∴本周实际生产的电动车总量与计划量相比较减少了，且减少了20辆． （3）根据题意，本周实际生产（辆）， 故本周的生产总额是元． 【考点题型十三 算“24”点】 【例13】“算24点”的游戏规则是：用“，，，”…四种运算符号把给出的4个数字连接起来进行计算，要求最终算出的结果是24，例如，给出2，2，2，8这四个数， 可以列式．以下的4个数用“，，，”四种运算符号不能算出结果为24的是（  ） A．1，6，8，7 B．1，2，3，4 C．4，4，10，10 D．6，3，3，8 【答案】A 【分析】根据题意，逐项组合计算，即可作答． 【详解】A项，1，6，8，7，不能算出结果为24，故符合题意； B项，，能算出结果为24，故不符合题意； C项，，能算出结果为24，故不符合题意； D项，，能算出结果为24，故不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了数之间的混合运算，根据已有的数据灵活组合举例，是解答本题的关键． 【变式13-1】“24点”游戏规则是：从一副牌中（去掉大、小王）任意抽取4张牌，用上面的数字进行混合运算，使结果为24或—24.其中红色代表负数，黑色代表正数，A，J，Q，K分别代表1，11，12，13，例如张毅同学抽取的4张牌分别为红桃4、红桃3、梅花6、黑桃2，于是张毅同学列出的算式为（－4）×（－3－6÷2）＝24，现在张毅同学想挑战“36点”，将这四张牌中的任意一张换成其它牌，使结果为36或—36，下列方法可行的有几种：①将红桃4换成黑桃6；②将红桃3换成红桃6；③将梅花6换成黑桃Q；④将黑桃2换成黑桃A（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】D 【分析】根据有理数的四则混合计算法则求解即可． 【详解】解：①这四个数分别为6、-3、6、2， ∵， ∴①符合题意； ②这四个数分别为-4、-6、6、2， ∵， ∴②符合题意； ③这四个数分别为-4、-3、12、2， ∵， ∴③符合题意； ④这四个数分别为-4、-3、6、1， ∵， ∴④符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查了有理数的四则混合运算，熟知相关计算法则是解题的关键． 【变式13-2】你会玩“24点”游戏吗？从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽取4张，根据牌面上的数字，添加“”和括号等符号进行运算，每张牌只能用一次，使得运算结果为24，其中A，J，Q，K分别代表1，11，12，13，小明抽到的是如下4张牌，你凑成24的算式是 （写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查有理数运算在实际生活中的应用，“二十四”点的游戏要注意运算顺序与运算符号，以及题目的要求． 【详解】解：根据题意可知答案不唯一： 如：； 或； 或； 或等； ∴凑成24的算式是， 故答案为：． 【变式13-3】算“24”是一种常见的数学游戏．一座有三道环路的数字迷宫，每一个入口处都设置一个数，要求每一个进入者都把自己当作数“1”，进入时必须形状一种运算（加、减、乘、除或乘方），与入口处的数进行计算，并将结果带到下一个入口，依次累计下去．在通过最后一个入口时，如果计算结果是24才能到达迷宫中心．请选择一条可以到达迷宫中心的道路，列出其对应的算式为 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了有理数的混合运算，从外向内的三层中的每一层各取一个数字进行计算，若结果为24，则能进入迷宫中心；根据进入迷宫的方式进行判断，看是否能进入迷宫． 【详解】解：如等. 故答案为：（答案不唯一） 【变式13-4】如图，小聪有4张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列问题： (1)从中取出两张卡片，使这两张卡片上数字的乘积最大，如何抽取？最大值是多少？ (2)从中取出两张卡片，使这两张卡片上的数字组成一个最大的数，如何抽取？最大的数是多少？ (3)将这4张卡片上的数字用学过的方法计算，使结果为24，写出运算式子．（写出一种即可） 【答案】(1)一个数抽，另一个数是时，乘积最大，最大是 (2)其中的一个数抽，另一个数是时，得到最大，最大是625 (3)（答案不唯一） 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数混合运算法则，是解题的关键． （1）从中抽张卡片，要使这张卡片上数字的乘积最大，则两个数必须同号，据此求解即可； （2）这2张卡片上数字组成一个最大的数，除了有个位十位相组成之外，还有乘方； （3）用学过的运算方法，构造出算式，使结果为即可． 【详解】（1）解：， ， 因为， 所以其中的一个数抽，另一个数是时，最大值是； （2）解：抽取两个数直接组成一个两位数，最大的为； 抽取两个数组成一个幂，最大为， 因为， 所以其中的一个数抽，另一个数是时，得到最大，最大为625； （3）解：从中取出张卡片，用学过的运算方法，使结果为，运算式子为： ． 【考点题型十四 程序流程图与有理数计算】 【例14】按照如图所示的计算机程序计算，若开始输入的值为2，第一次得到的结果为1，第二次得到的结果为4，…第2024次得到的结果为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查找数字规律，涉及程序计算，理解题中的计算机程序，按要求计算，找到结果呈现的规律即可得到答案，理解程序图是解决问题的关键． 【详解】解：当时，为偶数，则； 当时，为奇数，则； 当时，为偶数，则； 当时，为偶数，则； 当时，为奇数，则； 当时，为偶数，则； 当时，为偶数，则； 每3次一循环， ， 第2024次得到的结果为， 故选：D． 【变式14-1】按照如图所示的程序计算，若开始输入的值为，则最后输出的结果可能是（　　） A． B． C． D．12 【答案】B 【分析】本题考查有理数的运算及代数式求值．根据题意列式计算，直至结果小于输出结果即可． 【详解】解：若开始输入的值为， 则，返回继续运算； ，输出结果； 故选：B． 【变式14-2】按照如图所示的操作步骤，若输入的值为，则输出的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据操作步骤列出式子进行计算即可求解． 【详解】解：依题意， 故答案为：． 【变式14-3】按如图所示程序进行计算，输出的结果等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了程序图的计算，有理数的乘除运算，根据计算程序列出算式计算，直到计算结果大于即可，解题的关键是根据图中提供的运算列出算式． 【详解】解：由程序图可知，第一次：， 第二次：， 第三次：， 则输出的结果为：， 故答案为：． 【变式14-4】根据下图所示的程序回答问题：    (1)你认为输入的两个数a和b是什么关系时，其输出结果为0？________； (2)当小明输入和这两个数时，输出的结果是：________； (3)当小明输入和这两个数时，输出的结果是4，被墨水污染的那个数为：________． 【答案】(1)互为倒数 (2) (3)或11 【分析】此题考查了一元一次方程和有理数的混合运算，根据题意正确列式和列方程是解题的关键． （1）根据题意得到，求出，即可得到答案； （2）按照题意代入数值计算即可； （3）设，由题意可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可得，， 则， 即输入的两个数a和b是互为倒数时，其输出结果为0； 故答案为：互为倒数 （2）当小明输入和这两个数时，， 故答案为： （3）设，由题意可得，， 解得或， 即被墨水污染的那个数为或11； 故答案为：或11． 【考点题型十五 有理数的定义运算】 【例15】定义一种关于整数的“”运算：（1）当是奇数时，结果为，（2）当为偶数时，结果为（其中是正整数，且使得为奇数）；并且运算重复进行．例如：时，第一次经“”运算的结果是3，第二次经“”运算的结果是14，第三次经“”运算的结果是7，第四次经“”运算的结果是26……．若，则第2024次经“”运算的结果是（    ） A．29 B．92 C．23 D．74 【答案】B 【分析】本题主要考查数字规律问题，解题的关键是根据新定义运算得到数字的基本规律．根据题中所给新定义运算进行求解，即当时，则第一次“”运算的结果为29，第二次“”运算的结果为92，第三次“”运算的结果为23，第四次“”运算的结果为74，第五次“”运算的结果为37，第六次“”运算的结果为116，第七次“”运算的结果为29，….；由此可发现规律为 “”运算的结果按照29、92、23、74、37、116循环，据此问题可求解． 【详解】解：由题意得： 当时，则第一次“”运算的结果为29，第二次“”运算的结果为92，第三次“”运算的结果为23，第四次“”运算的结果为74，第五次“”运算的结果为37，第六次“”运算的结果为116，第七次“”运算的结果为29，….；由此可发现规律为 “”运算的结果按照29、92、23、74、37、116循环下去， ∵； ∴第2024次“”运算的结果为92； 故选：B． 【变式15-1】定义：是不为1的有理数，我们把称为的差倒数，如：2的差倒数是，的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，，（   ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查了数字类规律探索，有理数的混合运算，根据差倒数的概念，分别求出、、，发现每三个数按、、循环，据此即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， …… 观察可知，每三个数按、、循环， ， ， 故选：C． 【变式15-2】对有理数a，b，定义运算★如下：，则 ． 【答案】9 【分析】本题考查了新定义运算，解题的关键是正确理解题目所给的新定义的运算顺序和运算法则． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：9． 【变式15-3】定义运算：．下列结论：①；②；③若，则或；④若，则．其中正确的是 ．（填序号即可）． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了有理数的混合运算，掌握新定义是解本题的关键． 原式各项利用题中的新定义计算得到结果，即可判断． 【详解】①原式，正确； ②原式，错误； ③因为，即， 可得或，正确； ④根据题意得∶ ，即， 则原式，正确， 故答案为∶①③④． 【变式15-4】小明同学在学习完有理数的运算后，对运算产生了浓厚的兴趣，她借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，运算规则为：． (1)计算的值； (2)填空： （填“＞”或“＝”或“＜”）； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3)13 【分析】本题主要考查了新定义运算、有理数四则混合运算等知识点，将新定义运算转化成有理数四则混合运算成为解题的关键； （1）先运用新运算法则将原式转化成有理数的混合运算，然后再计算即可； （2）先分别根据新运算法则计算两个代数式，然后比较即可； （3）先运用新运算法则将原式转化成有理数的混合运算，然后再计算即可． 【详解】（1）解：． 故答案为：． （2）解：∵，， ∴． 故答案为：． （3）解： ． 【考点题型十六 绝对值计算中的最值】 【例16】结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：    (1)数轴上表示和的两点之间的距离是______；表示和的两点之间的距离是______；表示和的两点之间的距离是______；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于______． (2)如果表示数和的两点之间的距离是，那么______． (3)若数轴上表示数的点位于与之间，求的值； (4)当______时，的值最小，最小值是______． 【答案】(1)；；； (2)和 (3)6 (4)； 【分析】（1）数轴上两点之间的距离等于这两个点所表示的数的差的绝对值； （2）由即可求解； （3）根据的范围，结合绝对值的化简规则即可求解； （4）表示数的点到数的点的距离之和。据此即可求解． 【详解】（1）解：数轴上表示和的两点之间的距离是：； 表示和的两点之间的距离是：； 表示和的两点之间的距离是：； 数轴上表示数和数的两点之间的距离等于： 故答案为：；；；； （2）解：由题意得： 即 故或1 故答案为：或； （3）解：因为表示数的点位于与之间， ∴ ∴，， ∴； （4）解：表示数的点到表示数的点的距离之和 故：当表示数的点与表示数的点重合时，距离之和最小 即：当时，有最小值 最小值为： 故答案为：1；9． 【点睛】本题考查了数轴上两点之间的距离．熟记距离公式是解题关键． 【变式16-1】如图所示，在数轴上有三点，点从数轴上表示4的点开始往左运动，速度为1个单位/，运动时间为．    （1）当时，线段_________；线段___________； （2）当时，_________； （3）当为何值时，的值最小？ （4）当点运动到何处时，最小？ 【答案】（1）1，2；（2）5；（3）2≤t≤5；（4）运动到点B处 【分析】（1）求出t=3s时点P表示的数，再求出PC和PB； （2）求出t=6s时点P表示的数，再求出PC和PB，再相加； （3）可知PB+PC的值最小时，点P在线段BC上，求出t的最值即可； （4）由题意可得PA+PB+PC的值最小时，点P与点B重合． 【详解】解：（1）当t=3s时， 点P表示的数为4-3=1， 则PC=1，PB=2， 故答案为：1，2； （2）当t=6s时， 点P表示的数为4-6=-2， 则PC=4，PB=1， ∴PB+PC=5， 故答案为：5； （3）当PB+PC的值最小时， 点P在线段BC上， 则t的最大值为：5，最小值为2， ∴t的取值为2≤t≤5； （4）若PA+PB+PC的值最小， 即点P到A、B、C三点的距离之和最小， ∴此时点P与点B重合． 【点睛】本题考查了数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，解题的关键是理解题意，结合图像解决问题． 【变式16-2】探索材料1（填空）：数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．例如数轴上表示数3和的两点距离为________； 则的意义可理解为数轴上表示数________和________这两点的距离； 的意义可理解为数轴上表示数________和________这两点的距离； 探索材料2（填空）： ①如图1，在工厂的一条流水线上有两个加工点A和B，要在流水线上设一个材料供应点P往两个加工点输送材料，材料供应点P应设在________才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小？ ②如图2，在工厂的一条流水线上有三个加工点A，B，C，要在流水线上设一个材料供应点P往三个加工点输送材料，材料供应点P应设在________才能使P到A，B，C三点的距离之和最小？ ③如图3，在工厂的一条流水线上有四个加工点A，B，C，D，要在流水线上设一个材料供应点P往四个加工点输送材料，材料供应点P应设在________才能使P到A，B，C，D四点的距离之和最小？ 结论应用（填空）： ①代数式的最小值是________； ②代数式的最小值是________； ③代数式的最小值是________． 【答案】探索材料1（填空）：，6，，，． 探索材料2（填空）：：与之间，处，之间 结论应用（填空）：，， 【分析】本题考查数轴上两点间的距离的意义，绝对值化简，通过数形结合，分别得到数轴上有2个点，3个点，4个点时，动点在什么位置，到这几个点的距离之和最小，并会求最小的距离之和是解决本题的关键． 探索材料1（填空）：按照化简绝对值的求法即可得到数3和的两点距离；将化为，将化为，再根据数轴上两点间的距离的意义可知其表示哪两个点之间的距离； 探索材料2（填空）： ①通过观察，比较可得点P设在与之间时，可P到A的距离与P到B的距离之和最小，为线段长； ②通过观察，比较可得点P应设在处时，P到A，B，C三点的距离之和最小，为线段的长； ③通过观察，比较可得点P应设在之间，才能使P到A，B，C，D四点的距离之和最小，为的长； 结论应用（填空）： ①结合（2）中的①，可得最小距离为4和之间的距离； ②结合（2）中的②，可得最小距离为和2之间的距离； ③结合（2）中的③，可得最小距离为和5，和2的距离之和． 【详解】解：探索材料1（填空）： ， 的意义可理解为数轴上表示数6和这两点的距离； 的意义可理解为数轴上表示数和这两点的距离； 故答案为：，6，，，． 探索材料2（填空）： ①由题知， 材料供应点P应设在的左侧时，P到A的距离与P到B的距离之和； 材料供应点P应设在B的右侧时，P到A的距离与P到B的距离之和； 材料供应点P应设在与之间，才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小为； ②材料供应点P应设在处时，P到A，B，C三点的距离之和为最小； ③材料供应点P应设在之间，才能使P到A，B，C，D四点的距离之和为最小； 故答案为：与之间，处，之间． 结论应用（填空）： ①代数式表示x到的距离与x到的距离之和， 的最小值是； ②代数式表示x到的距离与x到与x到的距离之和， 的最小值是； ③代数式表示x到的距离与x到与x到与x到的距离之和， 的最小值是． 故答案为：，，． 【变式16-3】结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)数轴上表示4和1的两点之间的距离是_______；表示和2两点之间的距离是_______．一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于如果表示数a和的两点之间的距离是3，那么_______． (2)若数轴上表示数的点位于与2之间，求的值． (3)当取何值时，的值最小，最小值是多少？请说明理由． 【答案】(1)3；5；1或 (2) (3)当时，的值最小，最小值为9，理由见解析 【分析】本题主要考查了数轴上两点的距离计算，解绝对值方程，化简绝对值，熟知数轴上两点的距离计算公式是解题的关键． （1）根据数轴上两点距离计算公式即可求出表示4和1的两点之间的距离，表示和2两点之间的距离，再列出方程，解方程即可； （2）根据题意得到，据此化简绝对值即可； （3）当当时，有最小值9，当时，有最小值0，则当时，有最小值0，有最小值9，由此可得答案． 【详解】（1）解：由题意得，数轴上表示4和1的两点之间的距离是，表示和2两点之间的距离是， ∵表示数a和的两点之间的距离是3， ∴， ∴， ∴或， 故答案为：3；5；1或； （2）解；∵数轴上表示数的点位于与2之间， ∴， ∴ ； （3）解：当时，的值最小，最小值为9，理由如下： 当时，， 当时，， 当时，， ∴当时，有最小值9， ∵当时，有最小值0， ∴当时，有最小值0，有最小值9， ∴当时，的值最小，最小值为9． 【变式16-4】如图，小亮把东、西大街表示成一条数轴，把公交站的位置用数轴上的点表示出来，其中鼓楼站的位置记为原点，正东方向为正方向，公交车的一站地为一个单位长度（假设每站距离相同）．请你根据图形回答下列问题：    (1)到广济街的距离等于两站的地方是________． (2)如果用表示数轴上的点表示的数，那么表示这个点与1对应点的距离为2，请你根据以上信息回答下面问题： ①当满足________时，则的值最小，最小值是________； ②当满足________时，则的值最大，最大值是________． ③若，则满足条件的所有站地表示的数为________． (3)到这8个站距离之和最小的站地是否存在？若存在，是哪个站地？最小值是多少？若不存在，请说明理由． 【答案】(1)西门和端履门； (2)①1；②1；③满足条件的所有站地表示的数为，0，1或2； (3)到这8个站距离之和最小的站地存在，是广济站和钟楼站，最小值是16； 【分析】（1）观察图形可直接得出答案， （2）表示的是：表示a的点分别到点1和点2的距离的和；表示的是：表示a的点分别到点和点的距离的差；分情况讨论：当时，当时，当时，去绝对值化简即可； （3）根据这8个站间隔相等，距离之和最小的站地应该是位于中间的两个可求得答案． 【详解】（1）解：由图可知，到广济街的距离等于两站的地方是西门和端履门； （2）解：①在数轴上表示的是：表示a的点分别到点1和点2的距离的和， ∴当a在点1和点2之间（包括1和2），即时，的值最小，最小值为； 解：②在数轴上表示的是：表示a的点分别到点和点的距离的差， ∴当时，的值最大，最大值为1； 解：③∵， ∴当时，， ∴； 当时，满足条件的所有站地表示的数为0或1； 当时，， ∴； 综上，满足条件的所有站地表示的数为，0，1或2； （3）解：这8个站间隔相等，距离之和最小的站地应该是是位于中间的两个，即广济站和钟楼站， 最小值是：， ∴到这8个站距离之和最小的站地存在，是广济站和钟楼站，最小值是16； 【点睛】本题考查了数轴上的点之间的距离及绝对值的化简法则等知识点，数形结合并分类讨论是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司64 学科网（北京）股份有限公司 $$