精品解析：北师大版2023-2024学年七年级数学下册期末检测卷

七年级下册阶段性检测 一．选择题（共10小题） 1. 2023年5月16日，习近平总书记考察了山西运城博物馆和运城盐湖，在运城博物馆考察时强调：要全面提升文物保护利用和文化遗产保护传承水平．以下是一些博物馆的徽标（LOGO），下列图案中除文字以外其余的部分是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合，逐一判断即可． 【详解】A、B、D选项中的图形怎样折叠都不能使两部分重合，不是轴对称图形，不符合题意； C选项中的图形是轴对称图形，符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查了轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的概念是解题的关键． 2. 刘禹锡有诗曰：“庭前芍药妖无格，池上芙藻净少情，唯有牡丹真国色，花开时节动京城．”紫斑牡丹为国家重点一级保护野生植物，在显微镜下可见其花粉粒类圆形或椭圆形，直径为，其中，数据“”换算成米用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数． 【详解】解：， 故选：C． 3. 如图，一块直角三角尺的一个顶点落在直尺的一边上，若，则的度数为( ) A. 45° B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线的性质和直角的定义解答即可． 【详解】解：如图，作， ∴，， ∵， ∴， 故选B． 【点睛】此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质得出，． 4. 下列说法正确的是（ ） A. “短跑运动员1秒跑完100米”是随机事件 B. “将油滴入水中，油会浮在水面”是不可能事件 C. “随意翻到一本书的某页，页码是奇数”是必然事件 D. “画一个三角形，其内角和一定等于180°”是必然事件 【答案】D 【解析】 【分析】根据事件的分类，逐项进行分析． 【详解】A、“短跑运动员1秒跑完100米”，是不可能事件，故说法错误，不符合题意； B、“将油滴入水中，油会浮在水面”，是必然事件，故说法错误，不符合题意； C、“随意翻到一本书的某页，页码是奇数”，是随机事件，故说法错误，不符合题意； D、“画一个三角形，其内角和一定等于180°”，是必然事件，故说法正确，符合题意； 故答案选：D． 【点睛】本题考查事件的分类．在一定条件下，必然会发生的事件叫必然事件；必然不会发生的事件叫不可能事件；有可能发生也有可能不发生的事件叫随机事件． 5. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据完全平方公式计算并判定A；根据单项式乘单项式法则计算并判定B；根据积的乘方运算法则计算并判定C；根据同底数幂相乘计算并判定D． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查完全平方公式，单项式乘单项式，积的乘方，同底数幂相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键． 6. 如图，方格纸是由9个相同的正方形组成，则与的和为（ ） A. 45° B. 70° C. 80° D. 90° 【答案】D 【解析】 【分析】由全等三角形的判定与性质即可求解． 【详解】解：设正方形的边长为．如图所示： 故选：D 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质．掌握相关几何结论是解题关键． 7. 如图，在▱ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E．若BF=8，AB=5，则AE的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：由基本作图得到AB=AF，AG平分∠BAD，故可得出四边形ABEF是菱形，由菱形的性质可知AE⊥BF，故可得出OB=4，再由勾股定理即可得出OA=3，进而得出AE=2AO=6． 故选B． 考点：1、作图﹣基本作图，2、平行四边形的性质，3、勾股定理，4、平行线的性质 8. 如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，运动路线是A→D→C→B→A,设P点经过的路程为x，以点A、P、D为顶点的三角形的面积是y.则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据特殊点和三角形的面积公式解答即可． 【详解】解：由题意可知，P点在AD段时面积为零，在DC段时面积y由0逐渐增大到8，在CB段因为底和高不变所以面积y不变，在BA段时面积y逐渐减小为0， 故选：B． 【点睛】本题考查动点问题的函数图象识别，根据动点P的位置正确得出三角形的面积变化情况是解答的关键． 9. 如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为．则的面积为 （ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题根据折叠的性质，得到，设，在中，利用勾股定理求出的长，利用面积公式求出的面积即可． 【详解】解：∵四边形为长方形， ∴， ∵折叠， ∴， 设，则：， 在中，，即：， 解得：； 即：， ∴的面积为． 故选：A． 10. 如图，在中，，垂足为D，与关于直线对称，点B的对称点落在边上．若，平分，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角形外角的性质和轴对称的性质求出，，然后根据三角形内角和定理列式求出，进而可得答案． 详解】解：∵， ∴， ∵与关于直线对称， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形外角的性质、轴对称的性质、三角形内角和定理，求出的度数是解答本题的关键． 二．填空题（共6小题） 11. 36的算术平方根是___． 【答案】6 【解析】 【分析】根据算术平方根可直接进行求解． 【详解】解：∵， ∴36的算术平方根是6； 故答案为6． 【点睛】本题主要考查算术平方根，熟练掌握求一个数的算术平方根是解题的关键． 12. 等腰三角形的一个底角为，则它的顶角的度数为__________． 【答案】##80度 【解析】 【分析】本题给出了一个底角为50°，利用等腰三角形的性质得另一底角的大小，然后利用三角形内角和可求顶角的大小． 【详解】解：∵等腰三角形底角相等， ∴180°-50°×2=80°， ∴顶角为80°． 故答案为80°． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，即等边对等角．找出角之间的关系利用三角形内角和求角度是解答本题的关键． 13. 如图，中，，的垂直平分线交于点D和E，则的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 根据线段的垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点D和E， ∴， ∴的周长， 故答案为：． 14. 某汽车生产厂对其生产的A型汽车进行油耗试验（油箱已加满），试验中汽车为匀速行驶，在行驶过程中，油箱的余油量y（升）与行驶时间t（小时）之间的关系如下表： t（小时） 0 1 2 3 y（升） 80 72 64 56 如果此辆汽车在行驶6小时后加油一次，将油箱加满，此后继续行驶，由表格中y与t的关系可知，当汽车行驶10小时时：油箱的余油量为_______升． 【答案】48 【解析】 【分析】由表格中的数据可得：汽车每行驶1小时，耗油8升，由于汽车已经行驶了6小时，油箱加满后，只要再计算出汽车行驶4小时的耗油量，即得剩余油量． 【详解】解：由表格中的数据可得：汽车每行驶1小时，耗油8升， 此辆汽车在行驶6小时后加油一次，将油箱加满，此时油箱中有油80升， 所以，当汽车行驶10小时时，即再行驶4小时，耗油升，则油箱的余油量为升； 故答案为：48． 【点睛】本题考查了列表法表示变量之间的关系，正确理解题意是关键． 15. 七巧板是我国古代的一项发明，被誉为“东方魔板”，世纪传到国外被称为“唐图”，它是由五块等腰直角三角形，一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．如图，在七巧板铺成的正方形地板上，一个小球自由滚动，则小球停留在阴影部分的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值． 【详解】解：设大正方形的面积为1，由图可知，小正方形的面积为大正方形面积的，小等腰直角三角形的面积为大正方形面积的， ∴阴影部分的面积为大正方形面积的：. 飞镖落在阴影部分的概率是． 故答案为：． 【点睛】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率． 16. 如图，在中，D是的中点，，，延长至点M，使得，连接并延长，交的延长线于点N，现给出以下结论： ①； ②； ③； ④. 其中正确的是__.（写出所有正确结论的序号） 【答案】①③##③① 【解析】 【分析】证明垂直平分，得出，即可证明，即可判断①； 设，则，得出，求出，得出，证明，即可判断③； 求出，，得出，得出与不一定全等，即可判断②； 根据，得出，从而得出，即可判断④． 【详解】解：∵在中，D是的中点，， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴，故①正确； ∵，， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴与不一定全等，故②错误； ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴，故④错误； 综上分析可知，正确的有①③． 故答案为：①③． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理的应用，三角形面积的计算，全等三角形的判定，等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 三．解答题（共8个题） 17. 计算： （1）； （2）． （3）． （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算、整式的乘除混合运算、多项式除单项式、整式的混合运算等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． （1）先运用绝对值、负整数次幂、零次幂、乘方化简，然后再计算即可； （2）先运用幂的乘方化简，然后运用整式的乘除混合运算法则计算即可； （3）直接运用多项式除单项式的运算法则计算即可； （4）根据整式的混合运算法则计算即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 【小问3详解】 解： ． 【小问4详解】 解： ． 18. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】，1 【解析】 【分析】根据去括号，合并同类项，整式的乘除，进行化简，然后代入求值计算即可． 本题考查了整式的乘除，整式的化简求值，正确化简是解题的关键． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 19. 如图：点B、F、C、E在一条直线上，， ，，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．证明，根据全等三角形的对应边相等证明结论． 【详解】证明：∵， ∴，即， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 20. 如图，一个质地均匀的转盘被分成8等份，分别标有“我”“是”“中”“国”“人”“我”“骄”“傲”这8个汉字，转盘指针的位置固定，转动转盘，当转盘自然停止时，指针指向的汉字即为转出的汉字（指针落在分界线重新转动）． （1）转出的汉字为“我”的概率是________． （2）小明和小华利用该转盘做游戏，当转出的汉字在阴影区域时，小明获胜；否则小华获胜．请你判断这个游戏是否公平，并说明理由． 【答案】（1） （2）公平，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据概率公式即可求解； （2）分别计算两个人获胜的概率，即可解答． 【小问1详解】 解：8个汉字中，有2个“我”字， ∴转出的汉字为“我”的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：8块区域中，有4块阴影区域， ∴小明获胜的概率为， 则小华获胜的概率为， ∵， ∴两人获胜的概率相同，即游戏公平． 【点睛】本题考查了概率应用，掌握概率公式求概率是解题的关键． 21. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点．已知的顶点均在格点上． （1）请你直接写出的度数是________；的面积是________； （2）画出格点关于直线对称的； （3）请你在直线上画出一个点P，使周长最小，并求最小值．（保留作图痕迹） 【答案】（1）；5 （2）见解析 （3）图见解析，周长最小值为． 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理以及勾股定理的逆定理证明是等腰直角三角形即可求解； （2）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可求解； （3）连接交直线于点P，连接，点P即为所求，再利用网格和勾股定理求出周长即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴，， ∴， ∴， ． 故答案为：；5． 【小问2详解】 解：如图，即为所求； 【小问3详解】 解：如图，点P即为所求． ∵点B与点关于直线对称， ∴ ∴， 根据两点之间线段最短，此时，最小值为， ∵，， ∴的周长最小值． 【点睛】本题考查网格与勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的性质，作图-轴对称变换，轴对称最短路径问题等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，属于中考常考题型． 22. 已知A、B两地相距，甲开汽车从A地到B地出差，甲出发1小时后，乙开货车装满货物从B地驶往A地，图中两条线段分别表示甲乙两车与B地的距离与行驶时间的变量关系；请根据以上信息结合图象回答以下问题： （1）甲的平均行驶速度为_____，乙的平均行驶速度为_____； （2）甲出发几小时后甲乙两人相遇？ （3）甲出发几小时后甲乙两人相距？ （4）甲刚刚到达B地，接到公司紧急通知，要求他立即返回A地，若甲返回时的行驶速度不变，再过几小时甲将在途中追上乙？ 【答案】（1） （2）甲出发小时后甲乙两人相遇 （3）甲出发或时，两人相距 （4）再过2小时甲将在途中追上乙 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数的应用，读懂函数图象，掌握待定系数法求一次函数解析式的一般步骤是解题的关键． （1）根据函数图象，根据“速度=路程÷时间”解答； （2）设甲出发t小时后甲乙两人相遇，根据甲乙两人相遇时总路程为240千米，列方程即可求解； （3）利用待定系数法求出甲乙两人的S关于t的关系式，再列方程解答即可； （4）甲到达B地时，乙行驶了2小时，此时乙和B地的距离为80千米，设再过x小时甲将在途中追上乙，根据追及问题列方程解答即可； 【小问1详解】 解：由图象得，甲从地到地共用了3小时， 初始时甲距离B地240平米， ∴甲的平均行驶速度为：； 乙从地到地用了：（小时）， ∴乙的平均行驶速度为：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：设甲出发t小时后甲乙两人相遇， 则， 解得：， 故甲出发小时后甲乙两人相遇； 【小问3详解】 解：设甲的与的关系式为， 根据题意得， 解得， ； 设乙的与的关系式为， 根据题意得， 解得， ∴， ∵甲乙两人相距， ， 当时，，解得； 当时，，解得， 综上所述，甲出发或时，两人相距； 【小问4详解】 解：甲到达地时，乙行驶了2小时， 此时乙与地的距离为：(千米)， 设再过小时甲将在途中追上乙， 根据题意得：， 解得， 答：再过2小时甲将在途中追上乙． 23. 如图，，垂足为D ，，． （1）求的度数？并说明理由； （2）P是边上一点，连接，当为等腰三角形时，求的长． 【答案】（1） （2）4或或5 【解析】 【分析】（1）先由勾股定理求出和，再由勾股定理逆定理证出为直角三角形即可； （3）分三种情况：①当时，②当时，③当时，分别求解即可． 【小问1详解】 解：， 理由：∵， ∴， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：分三种情况：①当时，如图， ∵，， ∴， ∴； ②当时，如图， ∵ ∴， ∴； ③当时，过点P作于E，如图， ∵，， ∴，， 由（1）知：， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上，当为等腰三角形时，的长为4或或5． 【点睛】本题考查勾股定理和逆定理，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握勾股定理和逆定理、等腰三角形“三线合一”的性质是解题的关键，注意分类讨论，以免漏解． 24. 在直角三角形中，三边存在特殊的关系：两直角边的平方和等于斜边的平方，如图1，因为，所以．这种特殊的关系被称为勾股定理． 勾股定理的证明方法非常丰富，达数百种之多，其中比较出名的，有东汉数学家赵爽的“勾股圆方图”（见《周髀算经》）和政几里得的证法（见《欧几何原本》）． （1）赵爽的证明方法：如图2，四个全等的直角三角形拼成了一个大正方形，中间空白的部分是小正方形，设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边为c，则小正方形的边长为；在此基础上，大正方形的面积可以直接表示为_________，还可以表示为四个直角三角形与小正方形的面积之和，为__________________．于是得到等式__________________；化简后可得． （2）欧几里得的证明方法： ①如图3，设的两条直角边分别为a和b，斜边为c，分别以这三条边为边，向外做三个正方形，得到正方形ADEB，正方形ACFG和正方形BHKC，连接EC与AH，做交HK于N，交BC于M，首先请证明 ② 正方形ADEB与同底等高，长方形BHNM与同底等高， =______________， __________________， 同理可得 所以： 即． 【答案】（1）， ，= （2） 【解析】 【分析】（1）根据正方形和三角形面积公式即可得出答案 （2）由正方形性质有推出，再证，由正方形、三角形、长方形的面积公式即可得出答案． 【小问1详解】 大长方形的面积为，还等于 ， 可得= 【小问2详解】 四边形BCKH和四边形ABED是正方形， ∴ 即 在中 由题干知 【点睛】本题考查了用数形结合来证明勾股定理，勾股定理的应用，梯形的周长，三角形的高与积，拥有数形结合思想是解题关键． 25. 正方形中，点E，F分别在边上，且． （1）若点G在边的延长线上，且，（如图①），求证：； （2）若直线与的延长线分别交于点M，N（如图②），求证：； （3）若．求线段的长度． （4）将正方形改为长与宽不相等的矩形（如图③），，请你直接写出的面积． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） （4） 【解析】 【分析】（1）证得，进一步得，即可求证； （2）将绕着点顺时针旋转，得到，连接．则，．由（1）知；根据题意可推出均为等腰直角三角形，结合即可求证； （3）根据为等腰直角三角形即可求解； （4）延长交延长线于M点，交延长线于N点，将绕着点A顺时针旋转，得到，连接．过点H作交延长线于点O，可证；由题意得为等腰直角三角形，推出；证明四边形是矩形推出；根据，通过线段之间的等量关系可得出，即可求解； 【小问1详解】 证明：由题意得： ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， ∴ 【小问2详解】 证明：将绕着点顺时针旋转，得到，连接． 则，． 由（1）知， ∴． ∵， ∴， ∴均为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴ 【小问3详解】 解：由（2）可知：为等腰直角三角形， ∴ 【小问4详解】 解：延长交延长线于M点，交延长线于N点，将绕着点A顺时针旋转，得到，连接．过点H作交延长线于点O，如图所示： ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 即 又∵， ∴ 即： ∵， ∴ ∵为等腰直角三角形， ∴的面积 【点睛】本题考查了几何综合问题，涉及了全等三角形的判定与性质、正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，掌握举一反三的数学思想，作出正确的辅助线是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 七年级下册阶段性检测 一．选择题（共10小题） 1. 2023年5月16日，习近平总书记考察了山西运城博物馆和运城盐湖，在运城博物馆考察时强调：要全面提升文物保护利用和文化遗产保护传承水平．以下是一些博物馆的徽标（LOGO），下列图案中除文字以外其余的部分是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 刘禹锡有诗曰：“庭前芍药妖无格，池上芙藻净少情，唯有牡丹真国色，花开时节动京城．”紫斑牡丹为国家重点一级保护野生植物，在显微镜下可见其花粉粒类圆形或椭圆形，直径为，其中，数据“”换算成米用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，一块直角三角尺的一个顶点落在直尺的一边上，若，则的度数为( ) A. 45° B. C. D. 4. 下列说法正确的是（ ） A. “短跑运动员1秒跑完100米”是随机事件 B. “将油滴入水中，油会浮在水面”是不可能事件 C. “随意翻到一本书的某页，页码是奇数”是必然事件 D. “画一个三角形，其内角和一定等于180°”是必然事件 5. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，方格纸是由9个相同的正方形组成，则与的和为（ ） A. 45° B. 70° C. 80° D. 90° 7. 如图，在▱ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E．若BF=8，AB=5，则AE的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 12 8. 如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，运动路线是A→D→C→B→A,设P点经过的路程为x，以点A、P、D为顶点的三角形的面积是y.则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是( ) A. B. C. D. 9. 如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为．则的面积为 （ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，垂足为D，与关于直线对称，点B的对称点落在边上．若，平分，则的度数为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共6小题） 11. 36的算术平方根是___． 12. 等腰三角形的一个底角为，则它的顶角的度数为__________． 13. 如图，中，，垂直平分线交于点D和E，则的周长为______． 14. 某汽车生产厂对其生产的A型汽车进行油耗试验（油箱已加满），试验中汽车为匀速行驶，在行驶过程中，油箱的余油量y（升）与行驶时间t（小时）之间的关系如下表： t（小时） 0 1 2 3 y（升） 80 72 64 56 如果此辆汽车在行驶6小时后加油一次，将油箱加满，此后继续行驶，由表格中y与t关系可知，当汽车行驶10小时时：油箱的余油量为_______升． 15. 七巧板是我国古代的一项发明，被誉为“东方魔板”，世纪传到国外被称为“唐图”，它是由五块等腰直角三角形，一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．如图，在七巧板铺成的正方形地板上，一个小球自由滚动，则小球停留在阴影部分的概率为______． 16. 如图，在中，D是的中点，，，延长至点M，使得，连接并延长，交的延长线于点N，现给出以下结论： ①； ②； ③； ④. 其中正确是__.（写出所有正确结论的序号） 三．解答题（共8个题） 17. 计算： （1）； （2）． （3）． （4）． 18. 先化简，再求值：，其中，． 19. 如图：点B、F、C、E在一条直线上，， ，，求证：． 20. 如图，一个质地均匀的转盘被分成8等份，分别标有“我”“是”“中”“国”“人”“我”“骄”“傲”这8个汉字，转盘指针的位置固定，转动转盘，当转盘自然停止时，指针指向的汉字即为转出的汉字（指针落在分界线重新转动）． （1）转出的汉字为“我”的概率是________． （2）小明和小华利用该转盘做游戏，当转出汉字在阴影区域时，小明获胜；否则小华获胜．请你判断这个游戏是否公平，并说明理由． 21. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点．已知的顶点均在格点上． （1）请你直接写出的度数是________；的面积是________； （2）画出格点关于直线对称的； （3）请你在直线上画出一个点P，使周长最小，并求最小值．（保留作图痕迹） 22. 已知A、B两地相距，甲开汽车从A地到B地出差，甲出发1小时后，乙开货车装满货物从B地驶往A地，图中两条线段分别表示甲乙两车与B地的距离与行驶时间的变量关系；请根据以上信息结合图象回答以下问题： （1）甲的平均行驶速度为_____，乙的平均行驶速度为_____； （2）甲出发几小时后甲乙两人相遇？ （3）甲出发几小时后甲乙两人相距？ （4）甲刚刚到达B地，接到公司紧急通知，要求他立即返回A地，若甲返回时的行驶速度不变，再过几小时甲将在途中追上乙？ 23. 如图，，垂足为D ，，． （1）求的度数？并说明理由； （2）P是边上一点，连接，当为等腰三角形时，求的长． 24. 在直角三角形中，三边存在特殊的关系：两直角边的平方和等于斜边的平方，如图1，因为，所以．这种特殊的关系被称为勾股定理． 勾股定理的证明方法非常丰富，达数百种之多，其中比较出名的，有东汉数学家赵爽的“勾股圆方图”（见《周髀算经》）和政几里得的证法（见《欧几何原本》）． （1）赵爽的证明方法：如图2，四个全等的直角三角形拼成了一个大正方形，中间空白的部分是小正方形，设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边为c，则小正方形的边长为；在此基础上，大正方形的面积可以直接表示为_________，还可以表示为四个直角三角形与小正方形的面积之和，为__________________．于是得到等式__________________；化简后可得． （2）欧几里得的证明方法： ①如图3，设的两条直角边分别为a和b，斜边为c，分别以这三条边为边，向外做三个正方形，得到正方形ADEB，正方形ACFG和正方形BHKC，连接EC与AH，做交HK于N，交BC于M，首先请证明 ② 正方形ADEB与同底等高，长方形BHNM与同底等高， =______________， __________________， 同理可得 所以： 即． 25. 正方形中，点E，F分别在边上，且． （1）若点G在边的延长线上，且，（如图①），求证：； （2）若直线与的延长线分别交于点M，N（如图②），求证：； （3）若．求线段的长度． （4）将正方形改为长与宽不相等的矩形（如图③），，请你直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$