专题02 一元二次函数、方程和不等式（6大基础题5大提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学上学期期中真题分类汇编（山东专用）

专题02 一元二次函数、方程和不等式 由已知条件判断所给不等式是否正确 1．（23-24高一上·山东烟台·期中）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（23-24高一上·山东·期中）若，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（多选题）（23-24高一上·山东临沂·期中）设，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．（多选题）（23-24高一上·山东济南·期中）若则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·山东济宁·期中）已知，，，均为实数，则下列命题中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，则 6．（23-24高一上·山东济宁·期中）已知，，，均为实数，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 比较大小 7．（23-24高一上·山东潍坊·期中）某人分两次购买同一种物品，因价格有变动，两次购买时物品的单价分别为，且.若他每次购买数量一定，其平均价格为；若他每次购买的费用一定，其平均价格为，则（    ） A． B． C． D．，不能比较大小 8．（23-24高一上·山东青岛·期中）本周日晚上，高一数学组刘老师将要在学校体育馆举行数学知识讲座，同学们热情高涨，积极报名参加．甲、乙两位同学约定，届时两人采用不同的方式同时从教室出发前往体育馆，先到达体育馆者为胜．甲同学一半路程步行，一半路程跑步，乙同学一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，你认为最终获胜的将是（    ）． A．甲同学 B．乙同学 C．两人同时到达 D．不能确定 9．（23-24高一上·山东泰安·期中）已知，设，则（    ） A． B． C． D． 10．（多选题）（23-24高一上·山东枣庄·期中）某商品计划提价两次，有甲、乙、丙三种方案（如下表格），其中. 方案 第一次提价（%） 第二次提价（%） 甲 乙 丙 则两次提价后价格关系正确的为（    ） A．甲等于乙 B．甲等于丙 C．甲小于丙 D．乙大于丙 11．（多选题）（23-24高一上·山东·期中）甲、乙两个项目组完成一项工程，甲项目组在做工程的前一半时间内用速率工作，后一半用速率工作；乙项目组在完成工程量的前一半中用速率工作，在后一半用速率工作，则（    ） A．如果，则两个项目组同时完工 B．如果，则甲项目组先完工 C．如果，则甲项目组先完工 D．如果，则乙项目组先完工 利用不等式求值或范围 12．（23-24高一上·山东淄博·期中）已知实数，满足，，则（    ） A． B． C． D． 13．（23-24高一上·山东青岛·期中）设，，当时，恒有，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 14．（23-24高一上·山东泰安·期中）已知，则的取值范围是 . 15．（23-24高一上·山东聊城·期中）已知，，的取值范围为 . 16．（23-24高一上·山东泰安·期中）已知，，则的取值范围为 . 17．（23-24高一上·山东聊城·期中）若，，，则的取值范围为 ． 18．（23-24高一·山东青岛·期中）已知，则的取值范围是 . 基本不等式的应用 19．（23-24高一上·山东·期中）若，且，则的最小值是 . 20．（23-24高一上·山东济宁·期中）已知，，且，则的最小值是 . 21．（23-24高一上·山东济南·期中）若正数，满足，则的最大值为 ． 22．（多选题）（23-24高一下·山东淄博·期中）已知，，且，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 23．（多选题）（23-24高一上·山东德州·期中）已知，且，下列正确的有（    ） A．的最小值为9 B． C．的最小值为0 D．若，则 24．（多选题）（23-24高一上·山东临沂·期中）设正实数a、b满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 25．（多选题）（23-24高一上·山东济南·期中）下列说法正确的是（    ） A．的最小值是2 B．的最小值是 C．的最小值是2 D．的最大值是 26．（23-24高一上·山东济宁·期中）若，则的最小值为（    ） A．8 B．4 C．2 D．0 27．（23-24高一上·山东·期中）已知，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 28．（23-24高一上·山东临沂·期中）（1）已知，求函数的最大值； （2）已知，且，求的最小值． 二次不等式、分式不等式的解法 29．（23-24高一上·山东菏泽·期中）不等式的解集是 ． 30．（23-24高一上·山东济宁·期中）设，且，则的解集为（　　） A． B． C． D． 31．（23-24高一上·山东泰安·期中）关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 32．（23-24高一上·山东青岛·期中）不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 33．（23-24高一上·山东聊城·期中）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 由一元二次不等式确定参数问题 34．（23-24高一上·山东聊城·期中）若关于x的不等式的解集是，则的值为 ． 35．（多选题）（23-24高一下·山东淄博·期中）若关于x的不等式的解集为，则下列选项正确的是（    ） A．不等式的解集是 B． C．不等式的解集为 D．设x的不等式的解集为N，则 36．（多选题）（23-24高一上·山东潍坊·期中）已知关于的不等式的解集为或，则（    ） A． B． C． D．不等式的解集为 37．（23-24高一上·山东聊城·期中）若不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D．或 38．（23-24高一上·山东菏泽·期中）若不等式的解集为或，则实数m的取值范围（    ） A． B． C． D． 39．（23-24高一上·山东·期中）已知不等式的解集是或，则（    ） A． B． C．1或 D．或 证明不等式 40．（23-24高一上·山东聊城·期中）学习与探究问题：正实数x，y，满足，求的最小值．求解本问题的方法很多，其中一种求解方法是：，当且仅当，即，而时，即，且时取等号成立．这种解题方法叫作“1”的代换． (1)利用上述求解方法解决下列问题：若实数a，b，x，y满足，试比较与的大小，并注明等号成立的条件； (2)利用（1）的结论，求的最小值，并注明使得T取得最小值时t的值． 41．（23-24高一下·山东淄博·期中）（1）已知，求证：； （2）求证：． 不等式的实际应用 42．（23-24高一上·山东青岛·期中）某企业为实现产业转型升级，决定研发一款新型电子设备，生产这种电子设备的年固定成本为500万元，每生产台，需另投入成本（万元）．当年产量不足60台时，（万元）；当年产量不小于60台时，（万元），若每台电子设备售价为100万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完． (1)求年利润（万元）关于年产量（台）的函数关系式；（利润销售额成本）. (2)当年产量为多少台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大？并求出最大利润． 43．（23-24高一上·山东泰安·期中）2020年我国全面建成了小康社会，打赢了脱贫攻坚战. 某村全面脱贫后，通过调整产业结构，以秀美乡村建设为契机，大力发展乡村旅游.  2021年上半年接待游客逾5万人次，使该村成为当地旅游打卡网红景点. 该村原有户从事种植业，据了解，平均每户的年收入为万元. 调整产业结构后，动员部分农户改行从事乡村旅游业. 据统计，若动员户从事乡村旅游，则剩下的继续从事种植业的平均每户的年收入有望提高，而从事乡村旅游的平均每户的年收入为万元. 在动员户从事乡村旅游后，还要确保剩下的户从事种植业的所有农户年总收入不低于原先户从事种植的所有农户年总收入. (1)求的取值范围； (2)要使从事乡村旅游的这户的年总收入始终不高于户从事种植业的所有农户年总收入，求的最大值. （参考数据：，，） 44．（23-24高一上·山东日照·期中）已知某工生产某产品的总成本y与年产量x之间的关系为，且当年产量是50时，总成本为4000. （1）设该产品年产量为x时的平均成本为，求解析式； （2）求当年产量为多少时，平均成本最小，并求最小值. 45．（23-24高一上·山东淄博·期中）要制作一个体积为，高为的长方体纸盒，怎样设计用纸最少？ 46．（23-24高一上·山东·期中）甲、乙两位消费者同时两次购买同一种物品，分别采用两种不同的策略，甲的策略是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；乙的策略是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定. （1）若两次购买这种物品的价格分别为元，元，求甲两次购买这种物品平均价格和乙两次购买这种物品平均价格分别为多少； （2）设两次购买这种物品的价格分别为元，元，问甲、乙谁的购物比较经济合算. 47．（23-24高一上·山东烟台·期中）某工厂拟建造一个深为2.5米的长方体无盖贮水池，如果池底每平方米的造价为200元，池壁每平方米的造价为100元，总造价不超过3万元，怎样设计水池，才能使其容积最大?最大容积是多少? 48．（23-24高一上·山东聊城·期中）随着人类生活质量的提高，生活用水越来越多，水污染也日益严重，水资源愈来愈成为世界关注的问题，许多国家都积极响应节约水资源的号召.为此我们的国家也提出了比较科学的处理污水的办法.近年来，某企业每年需要向自来水厂缴纳水费约4万元，为了缓解供水的压力，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量.该企业经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备.这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积x（单位：平方米）成正比，比例系数为0.2.预计安装后该企业每年需缴纳的水费C（单位：万元）与设备占地面积x之间的函数关系为（，k为常数）.将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为y（单位：万元）. (1)试解释的实际意义，根据题意求出y关于x的函数关系式； (2)要使y不超过7.2万元，求设备占地面积x的取值范围； (3)当设备占地面积x为多少时，y的值最小？ 含参数的一元二次不等式 49．（23-24高一上·山东日照·期中）已知函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)当时，求关于的不等式的解集. 50．（23-24高一上·山东泰安·期中）已知一元二次不等式的解集是. (1)求的值； (2)已知，求关于的不等式的解集. 51．（23-24高一上·山东·期中）已知集合.命题，命题，若是的必要条件，求实数的取值范围. 52．（23-24高一上·山东潍坊·期中）已知函数. (1)若关于的不等式的解集是实数集，求的取值范围； (2)当时，解关于的不等式. 53．（23-24高一上·山东泰安·期中）已知函数，， (1)设命题p：，，若p为假命题，求实数a的取值范围； (2)若实数，解关于x的不等式. 54．（23-24高一上·山东青岛·期中）解关于的一元二次不等式： 恒成立与有解问题 55．（23-24高一上·山东德州·期中）已知函数 (1)当时，解不等式； (2)解关于的不等式； (3)已知，当时，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围. 56．（23-24高一上·山东淄博·期中）设函数. (1)若命题：是假命题，求的取值范围； (2)若存在成立，求实数的取值范围. 57．（23-24高一上·山东济宁·期中）已知关于的不等式，其解集为. (1)求该不等式的解集； (2)对，不等式恒成立，试求实数的取值范围. 58．（23-24高一上·山东聊城·期中）已知实数a，b满足，，且. (1)求的最小值； (2)若不等式恒成立，求实数x的取值范围. 59．（23-24高一上·山东泰安·期中）已知关于x不等式解集为R，则实数k的取值范围是 . 60．（23-24高一上·山东临沂·期中）已知，，，若不等式恒成立，则m的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．7 61．（23-24高一上·山东·期中）不等式对于，恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 含参数二次函数的最值问题 62．（23-24高一上·山东·期中）已知函数，． (1)设，解关于不等式. (2)设，若当时的最小值为，求的值． 63．（23-24高一上·山东青岛·期中）一次函数是R上的增函数，，已知． (1)求； (2)当时，有最大值13，求实数的值． 64．（23-24高一上·山东威海·期中）已知函数 (1)解关于x的不等式； (2)若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围 (3)已知，当时，若对任意的，总存在，使成立，求实数m的取值范围． 65．（23-24高一上·山东青岛·期中）已知函数． (1)若函数在上是增函数，求实数的取值范围； (2)若不等式的解集为，求的值； (3)若时，求时的最小值． 66．（23-24高一上·山东烟台·期中）已知函数（）. (1)若函数在上具有单调性，求实数的取值范围； (2)求函数在区间上的最小值 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 一元二次函数、方程和不等式 由已知条件判断所给不等式是否正确 1．（23-24高一上·山东烟台·期中）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，取，则，此时，故A错误； 对于B，取，则，此时，故B错误； 对于C，取，则，此时，故C错误； 对于D，∵，且，∴，且， 则，即，故D正确. 故选：D. 2．（多选题）（23-24高一上·山东·期中）若，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】A选项：由正数同向相乘性，可知A正确； B选项：取，则，故B错误； C选项：因为，所以，又，所以，故C正确； D选项：取，则，故D错误. 故选：AC. 3．（多选题）（23-24高一上·山东临沂·期中）设，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AD 【解析】对A,由,显然,两边除以可得.故A正确; 对B,当时显然不成立.故B错误; 对C,当故C错误; 对D,因为,同时乘以有,同时乘以有,故.故D正确. 故选：AD. 4．（多选题）（23-24高一上·山东济南·期中）若则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】对于A，因为，所以，又因为，所以，故A正确； 对于B，因为，则有，所以，故B正确； 对于C，因为，若，，，则，，此时，故C错误； 对于D，因为，若，，，则，，此时，故D错误. 故选：AB. 5．（23-24高一上·山东济宁·期中）已知，，，均为实数，则下列命题中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】D 【解析】对于A：若、、、，满足，， 但是，，即，故A错误； 对于B：因为，，故，故B错误； 对于C：，而，故，故C错误； 对于D：因为，所以，，所以，故D正确. 故选：D. 6．（23-24高一上·山东济宁·期中）已知，，，均为实数，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【解析】A选项，若、，则，所以A选项错误. B选项，若，，如， 则，所以B选项错误. C选项，若，，如， 则，所以C选项错误. D选项，若，， 则，所以D选项正确. 故选：D 比较大小 7．（23-24高一上·山东潍坊·期中）某人分两次购买同一种物品，因价格有变动，两次购买时物品的单价分别为，且.若他每次购买数量一定，其平均价格为；若他每次购买的费用一定，其平均价格为，则（    ） A． B． C． D．，不能比较大小 【答案】B 【解析】假设每次购买这种物品的数量为m， 则平均价格； 假设每次购买这种物品所花的钱为， 则第一次购得该物品的数量为，第二次购得该物品的数量为， 则平均价格， 则 ， 所以， 故选：B. 8．（23-24高一上·山东青岛·期中）本周日晚上，高一数学组刘老师将要在学校体育馆举行数学知识讲座，同学们热情高涨，积极报名参加．甲、乙两位同学约定，届时两人采用不同的方式同时从教室出发前往体育馆，先到达体育馆者为胜．甲同学一半路程步行，一半路程跑步，乙同学一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，你认为最终获胜的将是（    ）． A．甲同学 B．乙同学 C．两人同时到达 D．不能确定 【答案】B 【解析】设跑步的速度，步行速度为，甲用时，乙用时为，从教室到体育馆的距离为， 则甲用时， 乙：， 所以， 所以， ∵，，，，， ∴，即， 所以乙获胜． 故选：B． 9．（23-24高一上·山东泰安·期中）已知，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为， ， 所以， 故选：A 10．（多选题）（23-24高一上·山东枣庄·期中）某商品计划提价两次，有甲、乙、丙三种方案（如下表格），其中. 方案 第一次提价（%） 第二次提价（%） 甲 乙 丙 则两次提价后价格关系正确的为（    ） A．甲等于乙 B．甲等于丙 C．甲小于丙 D．乙大于丙 【答案】AC 【解析】设商品原价为1， 甲：经两次提价后变为：； 乙：经两次提价后变为：； 则两次提交后甲乙价格相等 丙：经两次提价后变为：． 因为， 所以 ， 则， 所以经两次提价后，甲乙相同，只有丙方案两次提价后价格最高． 故选：AC. 11．（多选题）（23-24高一上·山东·期中）甲、乙两个项目组完成一项工程，甲项目组在做工程的前一半时间内用速率工作，后一半用速率工作；乙项目组在完成工程量的前一半中用速率工作，在后一半用速率工作，则（    ） A．如果，则两个项目组同时完工 B．如果，则甲项目组先完工 C．如果，则甲项目组先完工 D．如果，则乙项目组先完工 【答案】AC 【解析】设总工程量为， 甲项目组在做工程的前一半时间内用速率工作，后一半用速率工作， ，， 乙项目组在完成工程量的前一半中用速率工作，在后一半用速率工作， ， 当时，，，，即甲、乙项目组同时完工； 当时，，， ，，即甲项目组先完工， 故选：AC. 利用不等式求值或范围 12．（23-24高一上·山东淄博·期中）已知实数，满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，， 则 ， 则， ∵ ， ∴ ． 又， ∴ ． ∴ ． 故选：B． 13．（23-24高一上·山东青岛·期中）设，，当时，恒有，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【解析】因为当时，恒有， 令则，即， 所以. 故选：A 14．（23-24高一上·山东泰安·期中）已知，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】，则，，故. 故答案为：. 15．（23-24高一上·山东聊城·期中）已知，，的取值范围为 . 【答案】 【解析】由，根据不等式的倒数性质，可得； 由，根据不等式的的同向同正可乘性，可得. 故答案为：. 16．（23-24高一上·山东泰安·期中）已知，，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】， ，而， ，即的取值范围为. 故答案为： 17．（23-24高一上·山东聊城·期中）若，，，则的取值范围为 ． 【答案】 【解析】设，则， 解得，所以， 因为，，所以，， 所以. 故答案为：. 18．（23-24高一·山东青岛·期中）已知，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】由题意可知，， ，，则，所以. 故答案为： 基本不等式的应用 19．（23-24高一上·山东·期中）若，且，则的最小值是 . 【答案】/ 【解析】因为，则由可得， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立. 故答案为：. 20．（23-24高一上·山东济宁·期中）已知，，且，则的最小值是 . 【答案】3 【解析】由， 当且仅当即时取得最小值. 故答案为：3 21．（23-24高一上·山东济南·期中）若正数，满足，则的最大值为 ． 【答案】 【解析】因为正数，满足，所以，即， 则， 当且仅当且，即时取等号， 此时取得最小值9，则的最大值为． 故答案为： 22．（多选题）（23-24高一下·山东淄博·期中）已知，，且，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】对A：，当且仅当时，等号成立，故A错误； 对B：， 当且仅当，即，时，等号成立，故B正确； 对C：由A知，，故， 即，当且仅当时，等号成立，故C正确； 对D：由，故， 则， 由，，故，则， 即，故，故D正确. 故选：BCD. 23．（多选题）（23-24高一上·山东德州·期中）已知，且，下列正确的有（    ） A．的最小值为9 B． C．的最小值为0 D．若，则 【答案】ABD 【解析】对选项A：， 当且仅当，即，时等号成立，正确； 对选项B：，即， 当且仅当，即时等号成立，正确； 对选项C：. 当且仅当，即时成立，不成立，故等号不成立，错误； 对选项D：，，要证，即，即， 成立，正确； 故选：ABD 24．（多选题）（23-24高一上·山东临沂·期中）设正实数a、b满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】对选项A：， 当且仅当时等号成立，正确； 对选项B：， 当且仅当时等号成立，正确； 对选项C：取，，错误； 对选项D：取，， ，错误； 故选：AB 25．（多选题）（23-24高一上·山东济南·期中）下列说法正确的是（    ） A．的最小值是2 B．的最小值是 C．的最小值是2 D．的最大值是 【答案】AB 【解析】因为，所以，当且仅当时，即时等号成立，故A正确； 因为，当时等号成立，故最小值是，故B正确； 因为，当且仅当时，即，无解，等号不成立，故C错误； 因为中，令时，，所以的最大值不是，故D错误. 故选：AB 26．（23-24高一上·山东济宁·期中）若，则的最小值为（    ） A．8 B．4 C．2 D．0 【答案】C 【解析】， 当且仅当，即时取得最小值. 故选：C 27．（23-24高一上·山东·期中）已知，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】由，且，易知，，则 ， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：C. 28．（23-24高一上·山东临沂·期中）（1）已知，求函数的最大值； （2）已知，且，求的最小值． 【解析】（1），，故， 所以． ，， 当且仅当，即或（舍）时，等号成立，故当时，． （2）因为，且， ， 当且仅当，且时等号成立，取最小值， ， 当时，． 二次不等式、分式不等式的解法 29．（23-24高一上·山东菏泽·期中）不等式的解集是 ． 【答案】 【解析】由题设，可得， 所以不等式解集为. 故答案为： 30．（23-24高一上·山东济宁·期中）设，且，则的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】二次函数，，则，得， 即，解得. 故选：B． 31．（23-24高一上·山东泰安·期中）关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，得， 解得，所以不等式的解集为. 故选：D 32．（23-24高一上·山东青岛·期中）不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，所以， 所以，所以不等式的解集是. 故选：C 33．（23-24高一上·山东聊城·期中）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 ，即 ，等价于 ，解得 或 ； 故选：D. 由一元二次不等式确定参数问题 34．（23-24高一上·山东聊城·期中）若关于x的不等式的解集是，则的值为 ． 【答案】 【解析】由的解集是， 可得，且和是的两根， 则且，即且， 解得，所以． 故答案为：. 35．（多选题）（23-24高一下·山东淄博·期中）若关于x的不等式的解集为，则下列选项正确的是（    ） A．不等式的解集是 B． C．不等式的解集为 D．设x的不等式的解集为N，则 【答案】ABD 【解析】关于的不等式的解集为 则,且关于的方程的根为，， 则，解之得， 则不等式为，所以解集为， ，所以A、B都正确； 不等式可化为，即， 所以解集为，或，故C错误； 设，， 则函数的图象向上平移一个单位得的图象，如图， 所以不等式的解集为N，则，D正确. 故选：ABD 36．（多选题）（23-24高一上·山东潍坊·期中）已知关于的不等式的解集为或，则（    ） A． B． C． D．不等式的解集为 【答案】BCD 【解析】根据题意可知，，且方程的两个根为， 由韦达定理知，所以， 由，得，即， 故A错误，B正确； 因为，故C正确； 不等式可化为， 即，且， 所以不等式的解集为，故D正确， 故选：BCD. 37．（23-24高一上·山东聊城·期中）若不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【解析】不等式的解集为， 故，且，故，， 带入不等式得到：，即，解得. 故选：A. 38．（23-24高一上·山东菏泽·期中）若不等式的解集为或，则实数m的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意，不等式的解集为或， 所以，，， ，所以的取值范围是. 故选：D 39．（23-24高一上·山东·期中）已知不等式的解集是或，则（    ） A． B． C．1或 D．或 【答案】A 【解析】根据不等式解集可确定，不等式为一元二次不等式，且， 令，方程两根，， 根据根与系数关系有，， 则有解得，所以. 故选：A 证明不等式 40．（23-24高一上·山东聊城·期中）学习与探究问题：正实数x，y，满足，求的最小值．求解本问题的方法很多，其中一种求解方法是：，当且仅当，即，而时，即，且时取等号成立．这种解题方法叫作“1”的代换． (1)利用上述求解方法解决下列问题：若实数a，b，x，y满足，试比较与的大小，并注明等号成立的条件； (2)利用（1）的结论，求的最小值，并注明使得T取得最小值时t的值． 【解析】（1）由，可得， 又由，当且仅当时，等号成立， 所以， 所以， 当且仅当且x，y同号时等号成立， 此时x，y满足. （2）令且，由，即， 则，，解得，， 因为，所以，，则， 所以， 当且仅当，即等号成立，此时， 所以当时，有最小值． 41．（23-24高一下·山东淄博·期中）（1）已知，求证：； （2）求证：． 【解析】（1）因为（当且仅当时取等号），， 所以①； 同理可得②；③； ①、②、③相加得， 所以， 又，所以， 所以，当且仅当时取等号． （2）因为 ，当且仅当时取等号， 所以， 所以， 即， 又，当时取等号， 所以，当且时取等号． 不等式的实际应用 42．（23-24高一上·山东青岛·期中）某企业为实现产业转型升级，决定研发一款新型电子设备，生产这种电子设备的年固定成本为500万元，每生产台，需另投入成本（万元）．当年产量不足60台时，（万元）；当年产量不小于60台时，（万元），若每台电子设备售价为100万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完． (1)求年利润（万元）关于年产量（台）的函数关系式；（利润销售额成本）. (2)当年产量为多少台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大？并求出最大利润． 【解析】（1）由题意可得：时，， 当时， 所以年利润（万元）关于年产量（台）的函数关系式为： ， （2）由（1）得时，，开口向下的抛物线，对称轴为， 此时时，万元， 当时，， 当且仅当即时等号成立，（万元）， 综上所述：年产量为台时，该企业在这一款电子设备的生产中获利最大，最大利润为万元. 43．（23-24高一上·山东泰安·期中）2020年我国全面建成了小康社会，打赢了脱贫攻坚战. 某村全面脱贫后，通过调整产业结构，以秀美乡村建设为契机，大力发展乡村旅游.  2021年上半年接待游客逾5万人次，使该村成为当地旅游打卡网红景点. 该村原有户从事种植业，据了解，平均每户的年收入为万元. 调整产业结构后，动员部分农户改行从事乡村旅游业. 据统计，若动员户从事乡村旅游，则剩下的继续从事种植业的平均每户的年收入有望提高，而从事乡村旅游的平均每户的年收入为万元. 在动员户从事乡村旅游后，还要确保剩下的户从事种植业的所有农户年总收入不低于原先户从事种植的所有农户年总收入. (1)求的取值范围； (2)要使从事乡村旅游的这户的年总收入始终不高于户从事种植业的所有农户年总收入，求的最大值. （参考数据：，，） 【解析】（1）依题意得， 整理得，解得， 又， 所以的取值范围为. （2）从事乡村旅游的户农民年总收入为万元， 户从事种植业的农户总年收入为 依题意得恒成立， 即恒成立， 所以恒成立. 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，最小，又，所以或者. … 当时，， 当时，， 所以，所以的最大值为 44．（23-24高一上·山东日照·期中）已知某工生产某产品的总成本y与年产量x之间的关系为，且当年产量是50时，总成本为4000. （1）设该产品年产量为x时的平均成本为，求解析式； （2）求当年产量为多少时，平均成本最小，并求最小值. 【解析】（1）将，代入中， 可得，从而，于是. 因此. （2）因为， 当且仅当，即时，上述等号成立.因此， 当年产量为50时，平均成本最小，且最小值为80. 45．（23-24高一上·山东淄博·期中）要制作一个体积为，高为的长方体纸盒，怎样设计用纸最少？ 【解析】由题意得,长方体纸盒的底面积为, 设长方体纸盒的底面一边长为,则另一边长为, 长方体纸盒的全面积为, 则由题意得 ∵, ∴,当且仅当,即时,等号成立 ∴当时,的最小值为64 答:当长方体纸盒的底面是边长为的正方形时，用纸最少为. 46．（23-24高一上·山东·期中）甲、乙两位消费者同时两次购买同一种物品，分别采用两种不同的策略，甲的策略是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；乙的策略是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定. （1）若两次购买这种物品的价格分别为元，元，求甲两次购买这种物品平均价格和乙两次购买这种物品平均价格分别为多少； （2）设两次购买这种物品的价格分别为元，元，问甲、乙谁的购物比较经济合算. 【解析】（1）设甲每次购买这种物品的数量为，乙每次购买这种物品所花的钱数为，                       所以甲两次购买这种物品平均价格为，， 乙两次购买这种物品平均价格为，. （2）设甲每次购买这种物品的数量为，乙每次购买这种物品所花的钱数为， 所以甲两次购买这种物品平均价格为，， 乙两次购买这种物品平均价格为， ， 所以乙的购物比较经济合算. 47．（23-24高一上·山东烟台·期中）某工厂拟建造一个深为2.5米的长方体无盖贮水池，如果池底每平方米的造价为200元，池壁每平方米的造价为100元，总造价不超过3万元，怎样设计水池，才能使其容积最大?最大容积是多少? 【解析】设池底的长为x米，宽为y米，则水池的容积为， 由题意得， 因为，当且仅当时取“＝”， 所以，即， 解得，即． 所以，当，即池底的长和宽均为10米时，其容积最大． 此时，最大容积为立方米. 48．（23-24高一上·山东聊城·期中）随着人类生活质量的提高，生活用水越来越多，水污染也日益严重，水资源愈来愈成为世界关注的问题，许多国家都积极响应节约水资源的号召.为此我们的国家也提出了比较科学的处理污水的办法.近年来，某企业每年需要向自来水厂缴纳水费约4万元，为了缓解供水的压力，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量.该企业经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备.这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积x（单位：平方米）成正比，比例系数为0.2.预计安装后该企业每年需缴纳的水费C（单位：万元）与设备占地面积x之间的函数关系为（，k为常数）.将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为y（单位：万元）. (1)试解释的实际意义，根据题意求出y关于x的函数关系式； (2)要使y不超过7.2万元，求设备占地面积x的取值范围； (3)当设备占地面积x为多少时，y的值最小？ 【解析】（1）表示不安装设备时每年缴纳的水费约为4万元，则，解得， 所以，即； （2）要满足题意，则，即， 化简得，解得， 即设备占地面积x的取值范围为. （3）， 当且仅当，即时等号成立， 所以设备占地面积为时，y的值最小. 含参数的一元二次不等式 49．（23-24高一上·山东日照·期中）已知函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)当时，求关于的不等式的解集. 【解析】（1）当时，，由得，即， 所以，解得或， 故不等式的解集为. （2）当时，，即， 当时，，，，无解； 当时，，的解为； 当时，，的解为. 综上所述： 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为. 50．（23-24高一上·山东泰安·期中）已知一元二次不等式的解集是. (1)求的值； (2)已知，求关于的不等式的解集. 【解析】（1）由题知，是方程的一个根， 将代入方程，得. 是方程的另外一个根，由韦达定理得，解得. （2）把代入不等式，整理. 当时，不等式化为，解得. 当时，不等式可化为， 方程有两个根1和. ①当时，，解不等式得，或； ②当时，，不等式为，得； ③当时，，解不等式得：，或. 综上所述： 当时，不等式的解集是； 当时，不等式的解集是或； 当时，不等式的解集是； 当时，不等式的解集是或. 51．（23-24高一上·山东·期中）已知集合.命题，命题，若是的必要条件，求实数的取值范围. 【解析】化简得， 因为是的必要条件，所以，所以. ①当，即时，，符合题意； ②当，即时，， 要使，则，解得； ③当，即时，， 要使，则，此时无解； 综上所述，实数的取值范围是. 52．（23-24高一上·山东潍坊·期中）已知函数. (1)若关于的不等式的解集是实数集，求的取值范围； (2)当时，解关于的不等式. 【解析】（1）因为关于的不等式的解集是实数集， 即在上恒成立， 当时解得，不是恒成立，矛盾； 当时要使得恒成立，则需满足， 解得， 综上可得； （2）， 当时的两个根为 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为， 综上所述，当时解集为，当时解集为，当时解集为. 53．（23-24高一上·山东泰安·期中）已知函数，， (1)设命题p：，，若p为假命题，求实数a的取值范围； (2)若实数，解关于x的不等式. 【解析】（1）由已知：，为真命题， 当时，成立， 当时，为真命题，∴； 综上，. （2） ∵，∴的根为1，， 当即时，的大致图象为： ∴解集为； 当即时，的大致图象为： ∴解集为； 当即时，的大致图象为： ∴解集为； 综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集； 当时，不等式的解集为. 54．（23-24高一上·山东青岛·期中）解关于的一元二次不等式： 【解析】原不等式可化为， 若，则； 若，则或； 若，则或； 综上所述，时，不等式解集为，时，不等式解集为{或}， 时，不等式解集为{或}. 恒成立与有解问题 55．（23-24高一上·山东德州·期中）已知函数 (1)当时，解不等式； (2)解关于的不等式； (3)已知，当时，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）当时，， 所以， 解得或， 即不等式的解集为. （2）因为函数， 所以不等式，等价于， 即， 当时，解得； 当时，解得； 当时，解得， 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. （3）当时，， 因为，所以函数的值域是， 因为对任意的，总存在，使成立， 所以的值域是的值域的子集， 当时，在区间上单调递增，得， 则，解得； 当时，在区间上单调递减，得， 则，解得， 当时，，不满足题意. 综上，实数的取值范围. 56．（23-24高一上·山东淄博·期中）设函数. (1)若命题：是假命题，求的取值范围； (2)若存在成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）若命题：是假命题，则是真命题， 即在上恒成立， 当时，，符合题意； 当时，需满足，解得； 综上所述，的取值范围为. （2）若存在成立， 即存在使得成立，故只需，， 因为，所以，则， 当且仅当，即时取等号， 所以，所以. 57．（23-24高一上·山东济宁·期中）已知关于的不等式，其解集为. (1)求该不等式的解集； (2)对，不等式恒成立，试求实数的取值范围. 【解析】（1）不等式等价于，即， 所以，解得， 故所求不等式的解集. （2）令， 对， 不等式恒成立等价， 即，解得. 所求实数的取值范围是. 58．（23-24高一上·山东聊城·期中）已知实数a，b满足，，且. (1)求的最小值； (2)若不等式恒成立，求实数x的取值范围. 【解析】（1）解法一：因为，，且，则， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为. 解法二：由，，且，得， ， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为. （2）由可得， 由（1）可得， 所以要使不等式恒成立，只需， 即，解得， 所以实数x的取值范围为. 59．（23-24高一上·山东泰安·期中）已知关于x不等式解集为R，则实数k的取值范围是 . 【答案】 【解析】因为关于x不等式解集为R，则有： 当得：，满足题意； 当时，则，解得：， 综上所述：的取值范围为 故答案为：. 60．（23-24高一上·山东临沂·期中）已知，，，若不等式恒成立，则m的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．7 【答案】C 【解析】因为， 所以， 又，， 所以， 当且仅当时取等号， 所以，即，的最大值为3． 故选：C． 61．（23-24高一上·山东·期中）不等式对于，恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为不等式对于，恒成立， 所以不等式对于，恒成立， 令， 由对勾函数的性质，函数在上单调递减， 所以，所以，. 故选：A 含参数二次函数的最值问题 62．（23-24高一上·山东·期中）已知函数，． (1)设，解关于不等式. (2)设，若当时的最小值为，求的值． 【解析】（1）不等式即，即， 当时，即，解得， 当时，由得：，， （ⅰ）若，则开口向上，，原不等式解得， （ⅱ）若，则开口向下，，原不等式解得或， 综上，当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为． （2）由知开口向上，对称轴是， 当，即时，函数在上单调递增， 最小值为，解得； 当，即时， 函数在单调递减，在上单调递增， 最小值为，解得或（舍）， 综上，的值为或． 63．（23-24高一上·山东青岛·期中）一次函数是R上的增函数，，已知． (1)求； (2)当时，有最大值13，求实数的值． 【解析】（1）∵一次函数是R上的增函数， 可设，，∴， ，解得或(舍)， ∴． （2）， ∴是开口向上，对称轴为的二次函数， ①当，即时，，∴； ②当，即时，，∴； ∴实数m为或． 64．（23-24高一上·山东威海·期中）已知函数 (1)解关于x的不等式； (2)若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围 (3)已知，当时，若对任意的，总存在，使成立，求实数m的取值范围． 【解析】（1）因为函数， 所以，即为，所以，         当时，解得，当时，解得，当时，解得，              综上，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为 （2）因为对任意的恒成立，所以对任意的，恒成立， 当时，恒成立， 所以对任意的时，恒成立，             令，当且仅当，即时取等号， 所以，所以实数a的取值范围是 （3）当时，，因为，所以函数的值域是， 因为对任意的，总存在，使成立， 所以的值域是的值域的子集，              当时，，则，解得 当时，，则，解得， 当时，，不成立； 综上，实数m的取值范围. 65．（23-24高一上·山东青岛·期中）已知函数． (1)若函数在上是增函数，求实数的取值范围； (2)若不等式的解集为，求的值； (3)若时，求时的最小值． 【解析】（1）∵函数的对称轴为，且在上是增函数， ∴，解得， ∴实数a的取值范围是． （2）若不等式的解集为， 则0，2是方程的两个实数根， ∴，∴． （3）若，则，对称轴为， 当，即时，函数在到单调递增， 则， 当，即时， 函数在单调递减，在单调递增， 则， 当，即时，函数在单调递减， 则， 综上，． 66．（23-24高一上·山东烟台·期中）已知函数（）. (1)若函数在上具有单调性，求实数的取值范围； (2)求函数在区间上的最小值 【解析】（1）二次函数图象开口向上，对称轴为， 因函数在上具有单调性，则或，解得或， 所以实数的取值范围是或. （2）二次函数图象开口向上，对称轴为， 当，即时，函数在区间上单调递增，，                     当，即时，， 当，即时，函数在区间上单调递减，， 所以. ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$