第十三章 轴对称 单元试卷 2024-2025学年人教版八年级数学上册

第十三章 轴对称 一、单选题 1．下列图形是轴对称图形的是(   ) A． B． C． D． 2．等腰三角形的两边长分别是4和8，则它的周长是（    ） A．16 B．20 C．16或20 D．18 3．下列说法正确的是（    ） A．有两个角相等的三角形一定是等边三角形 B．如果两个三角形全等，那么它们必是关于某条直线成轴对称 C．等腰三角形的对称轴是顶角的平分线 D．有一个角是的等腰三角形是等边三角形 4．如图，在中，，，分别以点，点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，，过点， 作直线交于点，连接，则的周长为（　　） A． B． C． D． 5．如图，在中，，点在上，点在上，且．若，，则的度数为（    ） A．30° B．40° C．60° D．80° 6．如图，在中，，，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．如图，和关于直线对称，则下列结论中不正确的是（    ） A． B．直线平分 C．和的周长相等 D．和的面积相等 8．如图所示，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC边翻折180°形成的，若∠1:∠2:∠3=13:3:2，则∠α的度数为（   ） A．80° B．100° C．90° D．50° 9．在△ABC中，∠ABC=30°，∠BAC=70°．在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（    ） A．7条 B．8条 C．9条 D．10条 10．如图，点N在等边的边上，，射线，垂足为点B，点P是射线上一动点，点M是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为（　　） A．8 B．9 C．10 D．12 二、填空题 11．等腰三角形的一个外角是，则它的顶角的度数是 ． 12．在平面直角坐标系中，点关于轴对称点的点的坐标是 ． 13．如图，△ABC中，∠A＝40°，∠C＝20°，线段BC的垂直平分线DE交AC于点D，连接BD，则∠ABD＝ ． 14．如图，等腰三角形ABC中，，，于D，则等于 ． 15．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，2），B（0，4），点C在坐标轴上，且△ABC是等腰三角形，请写出一个满足条件的点C的坐标 ；满足条件的点C一共有 个． 16．如图，△ABD，△ACE都是等边三角形，BE和CD交于O点，则∠BOC= 度． 17．如图，在钝角中，已知为钝角，边、的垂直平分线分别交于点、，若，则的度数为 ． 三、解答题 18．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．A、B、C三点在格点上． （1）作出△ABC关于y轴的对称图形△A′B′C′并写出顶点坐标． （2）求出△ABC的面积． 19．如图，在△ABC中，AB＝AC，点P是底边BC的中点，PD⊥AB，PE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为点D、E、F． （1）试说明PD与PE的关系． （2）请证明PD+PE与BF的关系． 20．如图，在中，是边的垂直平分线，，是的中点，，求的度数． 21．如图，△ABC是等边三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角∠NDM，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN．试探究BM、MN、CN之间的数量关系，并加以证明． 22．数学课上，老师出示了如下框中的题目： 小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答： （1）特殊情况，探索结论 当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系．请你直接写出结论：AE_______DB（填“＞”，“＜”或“＝”）． （2）特例启发，解答题目 解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE　 　DB（填“＞”，“＜”或“＝”）理由如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F，（请你接着继续完成以下解答过程） （3）拓展结论，设计新题 在等边三角形ABC中，点E在直线上AB上，点D在直线BC上，且ED＝EC．若△ABC的边长为3，AE＝5，求CD的长（请你直接写出结果）． 23．如图，是边长为厘米的等边三角形，点，分别从顶点，同时出发，沿线段，运动，且它们的速度都为厘米秒．当点到达点时，、两点停止运动．设点的运动时间为．    (1)当运动时间为秒时，的长为________厘米，的长为________厘米；用含的式子表示 (2)当为何值时，是直角三角形； (3)如图，连接、，相交于点，则点，在运动的过程中，会变化吗？若变化，则说明理由；若不变，请求出它的度数． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B D C C C B B A C 11．或 12．（1，5）． 13． 14． 15． （0，2）（答案不唯一） 5 16．120 17．120° 18．解：（1） A′（3，2），B′（4，-3），C′（1，﹣1） （2）S△ABC=3×5﹣×1×5﹣×2×3﹣×2×3 =15﹣﹣3﹣3= 19．解：（1）∵点P是BC的中点， ∴BP＝PC， ∵AB＝AC ∴∠B＝∠C，且BP＝PC，∠BDP＝∠PEC＝90° ∴△BDP≌△CEP（AAS） ∴PD＝PE （2）PD+PE＝BF 理由如下：如图，连接AP， ∵S△ABC＝S△ABP+S△APC， ∴AC×BF＝AB×PD+×AC×PE ∴BF＝PD+PE． 20．解：如图，连接， 是边的垂直平分线， ， ， ， ， 是的中点， ，， ， 是的一个外角， ， ， ， ． 21． 证明：延长AC至E，使CE=BM，连接DE， ∵△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，△ABC是等边三角形， ∴∠BCD=30°， ∴∠ABD=∠ACD=90°， 即∠ABD=∠DCE=90°， ∴在Rt△DCE和Rt△DBM中， ∵BD=CD，BM=EC ∴Rt△DCE≌Rt△DBM（HL）， ∴∠BDM=∠CDE， 又∵∠BDC=120°，∠MDN=60°， ∴∠BDM+∠NDC=∠BDC﹣∠MDN=60°， ∴∠CDE+∠NDC=60°，即∠NDE=60°， ∴∠MDN=∠NDE=60° ∴DM=DE（上面已经全等） 在△DMN和△DEN中 ∵DM=DE，∠MDN=∠NDE，DN=DN ∴△DMN≌△DEN（SAS）， ∴NM=EN 即NM=CE+CN ∴BM+CN=NM． 22．解：（1）如图1中，结论：AE=BD． ∵△ABC是等边三角形，AE=EB， ∴∠BCE=∠ACE=30°，∠ABC=60°， ∵ED=EC， ∴∠D=∠ECD=30°， ∵∠EBC=∠D+∠BED， ∴∠D=∠BED=30°， ∴BD=BE=AE． （2）AE＝DB． 理由如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F， 在等边△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，AB＝BC＝AC， ∵EF∥BC， ∴∠AEF＝∠ABC，∠AFE＝∠ACB， ∴∠AEF＝∠AFE＝∠BAC＝60°， ∴AE＝AF＝EF， ∴AB﹣AE＝AC﹣AF， 即BE＝CF， ∵∠ABC＝∠EDB+∠BED，∠ACB＝∠ECB+∠FCE， ∵ED＝EC， ∴∠EDB＝∠ECB， ∴∠BED＝∠FCE， 在△DBE和△EFC中 ， ∴△DBE≌△EFC（SAS）， ∴DB＝EF， ∴AE＝BD， 故答案为：＝． （3）分为四种情况： ①当点E在AB的延长线上，点D在CB的延长线上时，如图： ∵AB＝AC＝3，AE＝5， 同（2）可得BD=AE， ∴BD＝AE＝5， ∴CD＝3+5＝8； ②当点E在BA的延长线上，点D在BC的延长线上时，如图，过A作AN⊥BC于N，过E作EM⊥CD于M， ∵等边三角形ABC， ∴∠AEM=90°-∠B=30°， ∴BM＝BE＝×（3+5）＝4， ∴CM＝BM-BC＝4﹣3＝1， ∵EC=ED，EM⊥CD， ∴CD＝2CM＝2； ③当点E在AB的延长线上，点D在BC的延长线上时，如图， ∵∠ECD＞∠EBC（∠EBC＝120°），而∠ECD不能大于120°，否则△EDC不符合三角形内角和定理， ∴此时不存在EC＝ED； ④当点E在BA的延长线上，点D在CB的延长线上时，如图， ∵∠EDC＜∠ABC，∠ECB＞∠ACB， 又∵∠ABC＝∠ACB＝60°， ∴∠ECD＞∠EDC， 即此时ED≠EC， ∴此时情况不存在， 综上所述：CD的长是8或2． 23．（1）解：由题意得，， ∵， ∴， 故答案为：，； （2）解：当时， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，；    当时， ， ， ， ∴ 解得 ； 综上所述，当 或 时，为直角三角形．    （3）解：不变，且，理由如下： ∵是等边三角形， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴不会变化． 学科网（北京）股份有限公司 $$