精品解析：北师大版2023-2024学年八年级数学下册期末模拟试卷一

2023-2024学年北师大版数学八年级第二学期期末模拟试卷一 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 要使分式有意义，x应满足的条件是（　　） A. B. C. D. 2. 下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 3. 在四边形中，且，若，则的度数是（　　） A. B. C. D. 4. 下列判断不正确是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 如图，在平面直角坐标系中，将四边形向下平移，再向右平移得到四边形，已知，则点坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 下列可以用完全平方公式因式分解的是（ ） A. 4a2﹣4a﹣1 B. 4a2＋2a＋1 C. 1﹣4a＋4a2 D. 2a2＋4a＋1 7. 计算的结果正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 解一元一次方程的一般步骤包括：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1等．将一元一次方程去分母，得（ ） A. B. C D. 9. 如图，过平行四边形对角线的交点O，交于点E，交于点F，若平行四边形的周长为36，，则四边形的周长为（ ） A. 28 B. 26 C. 24 D. 20 10. 若关于x的分式方程有增根，则m的值为（ ） A. 1.5 B. -6 C. 1或-2 D. 1.5或-6 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 因式分解： ________________． 12. 一个正多边形的内角和为，则这个正多边形的每一个外角等于______度． 13. 已知关于x的分式方程的解为非负数，则k的取值范围为__________________． 14. 如图，在平行四边形中，是对角线，E，F是对角线上的两点，要使四边形是平行四边形，还需添加一个条件（只需添加一个）是__________． 15. 如图，在菱形中，，E、F分别是边上的动点，连接，G、H分别为的中点，连接．若的最小值为3，则的长为__________． 16. 如图，在△ABC中，EF是AB边的垂直平分线，AC＝18cm，BC＝16cm，则△BCE的周长为_____cm． 三、解答题（共9题，共72分） 17. 解不等式组并把解集在数轴上表示出来. 18. 先化简再求值：，其从，2，，3中选一个合适的数代入求值． 19. （1）先化简：，再从中选取合适整数代入求值． （2）解分式方程：． 20. 若关于x的方程的解为非负数，求a的取值范围． 21. 如图，在中，为边上的垂直平分线，与的平分线交于点，过点作交的延长线于点，作，交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 22. 如图，点是平行四边形对角线上两点，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若．求线段的长． 23. 先阅读下面的材料，再解决问题： 因式分解多项式：am+an+bm+bn， 先把它的前两项分成一组，并提出a；把它的后两项分成一组，并提出b： 得：a（m+n）+b（m+n） 再提公因式（m+n），得：（m+n）（a+b）． 于得到：am+an+bm+bn＝a（m+n）+b（m+n）＝（a+b）（m+n）． 这种因式分解的方法叫做分组分解法． 请用上面材料中提供的方法解决问题： （1）将多项式ab﹣ac+b2﹣bc分解因式； （2）若△ABC的三边a、b、c满足条件：a4﹣b4+a2c2+b2c2＝0，试判断△ABC的形状． 24. 普陀山佛茶又称佛顶山云雾茶，具有提神解乏之功效和一定的药用价值．舟山某茶店用32000元购进A等级茶叶若干盒，用6000元购进B等级茶叶若干盒，所购A等级茶叶比B等级茶叶多10盒，已知A等级茶叶的每盒进价是B等级茶叶每盒进价的4倍． （1）A，B两种等级茶叶的每盒进价分别为多少元？ （2）当购进的所有茶叶全部售完后，茶店以相同的进价再次购进A，B两种等级茶叶共60盒，但购茶的总预算控制在36000元以内．若A等级茶叶的售价是每盒900元，B等级茶叶的售价为每盒250元，则A，B两种等级茶叶分别购进多少盒时可使获利润最大？最大利润是多少？ 25. 将一副直角三角板按图1方式叠放在一起，并且直角顶点C重合，其中，．保持三角尺固定不动，将三角尺绕着点C顺时针旋转α度．探究以下问题： （1）如图2，当时，求证：； （2）当时，若这两个三角尺的一组边互相平行，请画出相应的图形，并求出此时α的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年北师大版数学八年级第二学期期末模拟试卷一 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 要使分式有意义，x应满足的条件是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得，，即可得． 【详解】解：根据题意得，， ， 即要使分式有意义，x应满足的条件是， 故选：C． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式有意义的条件． 2. 下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查因式分解的定义：将一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做因式分解．根据定义进行判断即可． 【详解】解：A、不是对多项式进行变形，故选项错误，不符合题意； B、是整式的乘法，不是因式分解，故选项错误，不符合题意； C、是因式分解，故选项正确，符合题意； D、等式右边不是整式的积的形式，故选项错误，不符合题意； 故选：C． 3. 在四边形中，且，若，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先证明四边形是平行四边形，则，即可求得． 【详解】解：∵且， ∴四边形平行四边形， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟记平行四边形的邻角互补是解题的关键． 4. 下列判断不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．根据不等式的性质即可得到答案． 【详解】解：若，则，故选项A正确； 若，则，故选项B正确； 若，则，故选项C 不正确； 若，则，故选项D正确． 故选C． 5. 如图，在平面直角坐标系中，将四边形向下平移，再向右平移得到四边形，已知，则点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据A和A1的坐标得出四边形ABCD先向下平移2个单位，再向右平移6个单位得到四边形，则B的平移方法与A点相同，即可得到答案． 【详解】图形向下平移，纵坐标发生变化，图形向右平移，横坐标发生变化. A（－3，5）到A1（3，3）得向右平移3－（－3）＝6个单位，向下平移5－3＝2个单位.所以B（－4，3）平移后B1（2，1）. 故选B. 【点睛】此题考查图形的平移.，掌握平移的性质是解题关键 6. 下列可以用完全平方公式因式分解的是（ ） A. 4a2﹣4a﹣1 B. 4a2＋2a＋1 C. 1﹣4a＋4a2 D. 2a2＋4a＋1 【答案】C 【解析】 【分析】对于前三项，根据完全平方公式的特点可知4a2和1是平方项，中间项是±4a，即可判断；最后一项2a2和1是平方项，不能因式分解判断即可． 【详解】解：A．4a2﹣4a﹣1不能用完全平方公式分解因式，故错误； B．4a2+2a+1不能用完全平方公式分解因式，故错误； C．1﹣4a+4a2＝(1﹣2a)2，能用完全平方公式分解因式，故正确； D．2a2+4a+1不能用完全平方公式分解因式，故错误． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式因式分解，掌握完全平方公式的形式是解题的关键． 7. 计算的结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了分式乘法运算，先利用平方差公式展开，然后约分即可． 【详解】解： 故选：A． 8. 解一元一次方程的一般步骤包括：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1等．将一元一次方程去分母，得（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了解一元一次方程的方法，注意等式的性质的应用．根据等式的性质，把一元一次方程的两边同时乘6，去掉分母即可． 【详解】解：将一元一次方程去分母，得． 故选：A 9. 如图，过平行四边形对角线的交点O，交于点E，交于点F，若平行四边形的周长为36，，则四边形的周长为（ ） A. 28 B. 26 C. 24 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】首先利用平行四边形的性质证明，得出，然后将四边形EFCD的周长转化为即可求解． 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴， ． 在和中， ， ． ， ． ∵平行四边形的周长为36， ∴ ， ∴四边形的周长为， 故选：C． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质及全等三角形的判定及性质，掌握这些性质是解题的关键． 10. 若关于x的分式方程有增根，则m的值为（ ） A. 1.5 B. -6 C. 1或-2 D. 1.5或-6 【答案】D 【解析】 【分析】方程两边同乘以将方程化成整式方程，再根据分式方程有增根可得或，然后分别代入整式方程即可得． 【详解】解：， 方程两边同乘以，得，即， 关于的分式方程有增根， 或，即或， （1）当时，则，解得， （2）当时，则，解得， 综上，的值为或， 故选：D． 【点睛】本题考查了分式方程的增根，熟练掌握分式方程的增根的定义（分式方程的增根有两个特点：1、它必须是由分式方程转化成的整式方程的根；2、它能使原分式方程的最简公分母等于0）是解题关键． 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 因式分解： ________________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了提取公因式法与公式法的综合运用，正确运用平方差公式是解题关键．首先提取公因式3，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 12. 一个正多边形的内角和为，则这个正多边形的每一个外角等于______度． 【答案】72 【解析】 【分析】根据正多边形的性质、补角的定义即可得． 【详解】解：设正多边形的边数为，根据题意得： ， 解得：， ∵正多边形的每个外角都相等，且外角和为， ∴正多边形的每一个外角为：． 故答案为：72． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，正多边形的内角和和外角和，熟记正多边形的性质是解题关键． 13. 已知关于x的分式方程的解为非负数，则k的取值范围为__________________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查分式方程的解以及解分式方程，掌握分式方程的解法是正确解答的前提．将分式方程化为整式方程，求出整式方程的解，使整式方程的解是非负数，结合分式方程有意义进行求解即可． 【详解】解：关于x的分式方程化为整式方程得， ， 解得， 由于分式方程的解为非负数，即， 所以， 而是分式方程的增根，当时，， 因此k的取值范围为且， 故答案为：且． 14. 如图，在平行四边形中，是对角线，E，F是对角线上的两点，要使四边形是平行四边形，还需添加一个条件（只需添加一个）是__________． 【答案】BF=DE（答案不唯一） 【解析】 【分析】连接对角线AC，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形进行求解即可． 【详解】解：添加的条件为BF=DE，理由如下： 证明：连接AC交BD于点O，如图所示： ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AO=CO，BO=DO， ∵BF=DE， ∴BO-BF=DO-DE， 即OF=OE， 四边形AFCE为平行四边形， 故答案为：BF=DE（答案不唯一）． 【点睛】题目主要考查平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题关键． 15. 如图，在菱形中，，E、F分别是边上的动点，连接，G、H分别为的中点，连接．若的最小值为3，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，利用中位线的性质，要使最小，只要最小，当时，最小为6，由确定为等腰直角三角形，得出，由勾股定理得：求出即可． 【详解】解：连接， ∵，分别为，中点， ∴，且， 要使最小，只要最小， 当时，最小， ∵的最小值为3， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查动点图形中的中位线，菱形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理应用问题，掌握中位线的性质，菱形性质，等腰直角三角形的性质是解题关键． 16. 如图，在△ABC中，EF是AB边的垂直平分线，AC＝18cm，BC＝16cm，则△BCE的周长为_____cm． 【答案】34 【解析】 【分析】根据垂直平分线的性质推出AE=BE，则C△BCE=BC+CE+BE=AC+BC，计算即可． 【详解】由中垂线的性质可知：AE=BE， 则C△BCE=BC+CE+BE=BC+CE+AE=AC+BC=18+16=34cm， 故答案为：34． 【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质，能够灵活运用其性质是解题关键． 三、解答题（共9题，共72分） 17. 解不等式组并把解集在数轴上表示出来. 【答案】，在数轴上表示见解析 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解题关键．先解出每个不等式的解集，再取公共解集，最后在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 解得， 解得， 在数轴上表示为： ∴不等式组的解集为． 18. 先化简再求值：，其从，2，，3中选一个合适的数代入求值． 【答案】，当时，原式；当时，原式 【解析】 【分析】先根据分式的混合计算法则化简，然后结合分式有意义的条件选取合适的值代值计算即可． 【详解】解：原式 ， 由题意可得，和， 当时，原式， 当时，原式． 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，熟知分式的相关计算法则是解题的关键． 19. （1）先化简：，再从中选取合适的整数代入求值． （2）解分式方程：． 【答案】（1），；（2）． 【解析】 【分析】本题考查分式的运算及解分式方程，解题的关键是熟练运用分式的运算法则及检验分式方程的根，本题属于基础题型． （1）根据分式的运算法则即可求出答案； （2）把分式分式方程化为整式方程，再求解整式方程，即可求出答案． 【详解】解：（1） ， ∵，且m为整数， ∴根据分式有意义的条件可知：， ∴原式； （2） ， 经检验，是原方程的解． 20. 若关于x的方程的解为非负数，求a的取值范围． 【答案】且 【解析】 【分析】解分式方程得出，根据分式方程的解为非负数可得关于的不等式（同时保证），解之可得． 【详解】解：方程两边都乘以，得：， 解得， 分式方程解为非负数， 且， 解得且． 【点睛】本题主要考查分式方程的解，在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解． 21. 如图，在中，为边上的垂直平分线，与的平分线交于点，过点作交的延长线于点，作，交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（）连接、，利用已知条件证明，即可得到； （）根据（）中的条件证得，根据全等三角形的性质得到，于是得到结论，代入即可求解； 本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的性质和判定，能综合运用性质进行推理是解题的关键． 【小问1详解】 如图，连接，， ∵平分，，， ∴，， ∵为边上的垂直平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 【小问2详解】 由（）得，，， 同理：， ∴， ∴， ∵，， ∴． 22. 如图，点是平行四边形对角线上的两点，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若．求线段的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理， （1）如图所示，连接交于O，根据平行四边形的性质得到，再证明，即可证明四边形是平行四边形； （2）利用勾股定理求出，进而求出，则． 【小问1详解】 证明：如图所示，连接交于O， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 23. 先阅读下面的材料，再解决问题： 因式分解多项式：am+an+bm+bn， 先把它的前两项分成一组，并提出a；把它的后两项分成一组，并提出b： 得：a（m+n）+b（m+n） 再提公因式（m+n），得：（m+n）（a+b）． 于是得到：am+an+bm+bn＝a（m+n）+b（m+n）＝（a+b）（m+n）． 这种因式分解的方法叫做分组分解法． 请用上面材料中提供的方法解决问题： （1）将多项式ab﹣ac+b2﹣bc分解因式； （2）若△ABC的三边a、b、c满足条件：a4﹣b4+a2c2+b2c2＝0，试判断△ABC的形状． 【答案】（1）(a+b)(b﹣c) （2）△ABC是直角三角形 【解析】 【分析】（1）采用分组分解法即可求解； （2）将等式的左边先用分组分解法进行变形，得到，再根据勾股定理逆定理即可求解． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 由， 得， 即， ∵作为三角形的边长，有， ∴， 即， ∴△ABC是直角三角形． 【点睛】本题考查了用分组分解法分解因式以及勾股定理的逆定理的知识，掌握分组分解法分解因式是解答本题的关键． 24. 普陀山佛茶又称佛顶山云雾茶，具有提神解乏之功效和一定的药用价值．舟山某茶店用32000元购进A等级茶叶若干盒，用6000元购进B等级茶叶若干盒，所购A等级茶叶比B等级茶叶多10盒，已知A等级茶叶的每盒进价是B等级茶叶每盒进价的4倍． （1）A，B两种等级茶叶的每盒进价分别为多少元？ （2）当购进的所有茶叶全部售完后，茶店以相同的进价再次购进A，B两种等级茶叶共60盒，但购茶的总预算控制在36000元以内．若A等级茶叶的售价是每盒900元，B等级茶叶的售价为每盒250元，则A，B两种等级茶叶分别购进多少盒时可使获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）A等级茶叶的每盒进价为800元，B等级茶叶的每盒进价为200元； （2）再次购进A等级茶叶40盒，B等级茶叶20盒时，可使所获利润最大，最大利润是5000元． 【解析】 【分析】此题考查了分式方程、一次函数、一元一次不等式的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设B等级茶叶的每盒进价为x元，则A等级茶叶的每盒进价为元，根据所购A等级茶叶比B等级茶叶多10盒列分式方程，解方程并检验即可得到答案； （2）设茶店再次购进m盒A等级茶叶，则购进盒B等级茶叶，先求出m的取值范围，设茶店再次购进的两种等级茶叶全部售出后获得的总利润为w元，列出w关于m的一次函数，根据一次函数的性质解答即可． 【小问1详解】 解：设B等级茶叶的每盒进价为x元，则A等级茶叶的每盒进价为元， 根据题意得：10， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴． 答：A等级茶叶的每盒进价为800元，B等级茶叶的每盒进价为200元； 【小问2详解】 设茶店再次购进m盒A等级茶叶，则购进盒B等级茶叶， 根据题意得：， 解得：， 设茶店再次购进两种等级茶叶全部售出后获得的总利润为w元，则， 即， ∵， ∴w随m的增大而增大， ∴当时，w取得最大值，最大值为，此时． 答：再次购进A等级茶叶40盒，B等级茶叶20盒时，可使所获利润最大，最大利润是5000元． 25. 将一副直角三角板按图1方式叠放在一起，并且直角顶点C重合，其中，．保持三角尺固定不动，将三角尺绕着点C顺时针旋转α度．探究以下问题： （1）如图2，当时，求证：； （2）当时，若这两个三角尺的一组边互相平行，请画出相应的图形，并求出此时α的度数． 【答案】（1）见解析 （2）画图见解析，α的度数为或或或或 【解析】 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，牢记平行线的判定与性质定理是解题关键， （1）通过计算得出证出结论； （2）分情况根据平行线的性质求出α的度数即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①延长交于点F，如图1所示： ∵，点D在直线的上方， ∴， ∵， ∴， ∴； ②∵改变三角尺的位置，且点D在直线的上方， ∴当两块三角尺存在一组边互相平行的情况有以下五种： （Ⅰ）当时，如图2所示： 则， 由（1）可知：； （Ⅱ）当时，如图3所示： 则； （Ⅲ）当时，如图4所示： 则， ∴； （Ⅳ）当时，如图5所示： 则， ∴； （Ⅴ）当时，与（3）①相同，． 综上所述：α的度数为或或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$