5.2 解一元一次方程 第4课时 去分母解一元一次方程 2024-2025学年人教版数学七年级上册

5.2.4 用去分母解 一元一次方程 第五章 一元一次方程 人教版初中数学/七年级上册 授课教师：XXX 日期：XXX 学习目标 2.熟练利用解一元一次方程的步骤解各种类型的方程，体会解方程中的化归思想. 1.掌握含有分数系数的一元一次方程的解法； 复习回顾 1.等式的性质2：等式两边乘________，或除以 ， 结果仍相等. 2.写出下列各组数的最小公倍数： (1)2和4最小公倍数为______； (2) 2和3 最小公倍数为____； (3)2，3和6 最小公倍数为____； (4)4，5和6 最小公倍数为_____. 一个数 6 60 同一个不为0的数 4 6 问题导入 总结：像这样，方程中有些系数是分数，如果能化去分母，把系数化为整数，则可以使计算更方便些.今天，我们就来学习如何用去分母解一元一次方程. x＋ x＋ x ＋x =33 你能解出这道方程吗？把你的解法与其他同学交流一下，看谁的解法好. 新知探究 问题4 如图，翠湖在青山、绿水两地之间，距青山50 km，距绿水 70 km.某天，一辆汽车匀速行驶，途经王家庄、青山、绿水三地的时间如表所示，王家庄距翠湖的路程有多远? x km 50 km 70 km 王家庄 青山 翠湖 绿水 设：王家庄距翠湖的路程为x km. 地名 王家庄 青山 绿水 时间 10:00 13:00 15:00 新知探究 x km 50 km 70 km 王家庄 青山 翠湖 绿水 地名 王家庄 青山 绿水 时间 10:00 13:00 15:00 x+70km x-50km 通过路线图和表格，你能得到什么信息？ 3h 2h 5h 新知探究 由于汽车是匀速行驶，则汽车在各段的行驶速度相等，即 王家庄→青山、王家庄→绿水、青山→绿水行驶速度相等. 根据速度= ，可列方程 = = = 新知探究 = 我们来解这个方程 这个方程中未知数的系数不是整数，如果能化去分母，把未知数的系数化成整数，就可以使解方程中的计算更简便些. x的系数是 x的系数是 思考：如何化去分母？依据是什么？ 依据等式的性质2：等式两边乘同一个数，结果仍相等. 这个方程中，两边都乘分母的最小公倍数15. 新知探究 = 15× ×15 去分母，得 5(x-50)=3(x+70) 去括号，得 5x-250=3x+210. 移项， 得 5x-3x=210+250. 合并同类项，得 2x=460. 系数化为1，得 x=230. 因此，王家庄距翠湖的路程为230 km. 新知探究 为了更全面地研究问题，我们再以方程 - 2= - 为例，以框图的形式展示解这类一元一次方程的步骤. 想一想 2. 去分母时要注意什么问题? 1. 若使方程的系数变成整数系数方程，方程两边应该同乘以什么数? 新知探究 系数化为1 去分母 移项 合并同类项 去括号 小心漏乘，记得添括号！ －2 = － 5(3x ＋1) －10 ×2 =(3x －2) －2(2x ＋3) 15x ＋5－20 =3x －2－4x － 6 15x － 3x ＋ 4x = －2－6 －5 ＋20 16x = 7 x = 方程两边的每一项都要乘分母的最小公倍数10. 依据：等式的性质2. 依据：等式的性质1. 依据：合并同类项的法则. 依据：乘法分配率. 依据：等式的性质2. 你能说出每个步骤的依据吗？ 归纳总结 解一元一次方程的步骤： 步骤 具体做法 依据 注意事项 去分母 在方程两边乘各分母的最小公倍数，去掉分母 等式的性质 2 1.不要漏乘不含分母的项 2.如果分子是一个多项式，那么在去分母时，不要忘记将分子看作一个整体加上括号. 去括号 一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号 分配律 分配律要满足分配到每一项，不要弄错符号 移项 把含未知数的项移到等号的一边，常数项移到等号的另一边 等式的性质 1 移项变号 归纳总结 步骤 具体做法 依据 注意事项 合并同类项 把方程化为 ax=b(a≠0，a，b为常数)的形式 分配律 注意符号 系数化为1 方程两边同除以未知数系数a 等式的性质 2 不要将分子与分母颠倒位置 通过这些步骤可以使以x为未知数的方程逐步向着x=a的形式转化，这个过程主要依据等式的基本性质和运算律等. 归纳总结 注意： 解一元一次方程的步骤不是一成不变的，有时可以省略某个步骤，有时可以先去括号或者先合并同类项再去分母，要根据方程的特点灵活运用. 典例解析 例7 解下列方程：(1) -1=2+ 解：去分母(方程两边乘4)，得 2(x+1) －4 = 8+ (2 －x). 去括号，得 2x+2 －4 = 8+2 －x. 移项，得 2x+x = 8+2 －2+4. 合并同类项，得 3x = 12. 系数化为1，得x = 4. 典例解析 例7 解下列方程：(2) 3x+ =3- . 解：去分母(方程两边乘6)，得 18x+3(x－1) =18－2 (2x －1). 去括号，得 18x+3x－3 =18－4x +2. 移项，得 18x+3x+4x =18 +2+3. 合并同类项，得 25x =23. 系数化为1，得 x = . 巩固练习 1.在解方程-1= 时，为了去分母，最好将方程两边同乘( ) A.4 B.6 C.12 D.16 2.将方程- =1去分母，下列变形正确的是( ) A.2x-x+1=1 B.2x-(x+1)=1 C.2x-x+1=4 D.2x-(x+1)=4 C D 巩固练习 3.解下列方程： (1) = ；(2)1- = ；(3) -x= ；(4) -(2-x)=x. 解：(1)去分母(方程两边乘10)，得5(3x-1)=2(4x+2). 去括号，得15x-5=8x+4. 移项，得15x-8x=4+5. 合并同类项，得7x=9. 系数化为1,得x= . 巩固练习 3.解下列方程： (1) = ；(2)1- = ；(3) -x= ；(4) -(2-x)=x. (2)去分母(方程两边乘4)，得4-(3x-1)=2(3+x). 去括号，得4-3x+1=6+2x. 移项，得-3x-2x=6-4-1. 合并同类项，得-5x=1. 系数化为1,得x= -. 巩固练习 3.解下列方程： (1) = ；(2)1- = ；(3) -x= ；(4) -(2-x)=x. (3)去分母(方程两边乘12)，得4(2x-1)-12x=3(2x+1). 去括号，得8x-4-12x=6x+3. 移项，得8x-12x-6x=3+4. 合并同类项，得-10x=7. 系数化为1,得x= -. 巩固练习 3.解下列方程： (1) = ；(2)1- = ；(3) -x= ；(4) -(2-x)=x. (4)去分母(方程两边乘2)，得3x-2-2(2-x)=2x. 去括号，得3x-2-4+2x=4x. 移项，得3x+2x-2x=2+4. 合并同类项，得3x=6. 系数化为1，得x=2. 课堂练习 1.解下列方程： (1) x = (x-2)； (2) -2= ； (3) = - ； (4) -1= - . 解：(1)去分母(方程两边乘100)，得19x=21(x-2). 去括号，得19x=21x-42. 移项，得19x-21x=-42. 合并同类项，得-2x=-42. 系数化为1，得x=21. 课堂练习 1.解下列方程： (1) x = (x-2)； (2) -2= ； (3) = - ； (4) -1= - . (2)去分母(方程两边乘4)，得2(x+1)-8=x. 去括号，得2x+2-8=x. 移项，得2x-x=8-2. 合并同类项，得x=6. 课堂练习 1.解下列方程： (1) x = (x-2)； (2) -2= ； (3) = - ； (4) -1= - . (3)去分母(方程两边乘12)，得3(5x-1) = 6(3x+1)- 4(2-x). 去括号，得15x-3=18x+6-8+4x. 移项，得15x-18x-4x=6-8+3. 合并同类项，得-7x=1. 系数化为1，得x= - . 课堂练习 1.解下列方程： (1) x = (x-2)； (2) -2= ； (3) = - ； (4) -1= - . (4)去分母(方程两边乘20)，得10(3x+2) -20= 5(2x-1)- 4(2x+1). 去括号，得30x+20-20=10x-5-8x-4. 移项，得30x-10x+8x=-5-4. 合并同类项，得28x=-9. 系数化为1，得x= - . 课堂练习 2. 伦敦大英博物馆保存着一部极其珍贵的文物—莱茵德纸草书. 这是古代埃及人用象形文字写在一种用纸莎草压制成的草片上的著作，书中记载了许多数学问题，其中有一道著名的问题： 一个数，它的三分之二，它的一半，它的七分之一，它的全部，加起来总共是33，这个数是多少？请你用方程解决这个问题. 解：设这个数是 x，则可列方程： x＋ x＋ x ＋x =33. 解得x= . 答：这个数是. 课堂练习 3.一辆客车和一辆卡车同时从A地出发沿同一公路同方向匀速行驶，客车的行驶速度是70 km/h，卡车的行驶速度是 60km/h，客车比卡车早1h经过B地，求A，B两地相距的路程. 解：设A，B两地相距的路程为x km，根据题意列方程，得 - =1. 解得x=420. 答：A，B两地相距的路程为420 km. 随堂检测 1. 方程3 - = - 去分母正确的是( ) A.3-2(5x+7)=-(x+17). B.12-2(5x+7)=-x+17. C.12-2(5x+7)=-(x+17). D.12-10x+14=-(x+17). C 随堂检测 2. 若代数式 与的值互为倒数，则x= . 根据题意列方程： = 解得x= . 随堂检测 3.解下列方程： (1) = ； (2) + =2- . 解：-3(x-3)= 3x+4 -3x+9=3x+4 -3x-3x=4-9 -6x = -5 x= . 解：4(5y+4)+3(y-1)=24-(5y-5) 20y+16+3y-3=24-5y+5 20y+3y+5y=24+5-16+3 28y =16 y= . 随堂检测 4. 某单位计划“五一”期间组织职工到东江湖旅游，如果单独租用40座的客车若干辆刚好坐满；如果租用50座的客车则可以少租一辆，并且有40个剩余座位．该单位参加旅游的职工有多少人？ 答：该单位参加旅游的职工有360人. 解：设该单位参加旅游的职工有x人，由题意得方程： 解得x＝360. - =1. 随堂检测 5. 有一人问老师，他所教的班级有多少学生，老师说：“一半学生在学数学，四分之一的学生在学音乐，七分之一的学生在学外语，还剩六位学生正在操场踢足球．”你知道这个班有多少学生吗？ 答：这个班有56个学生. 解：这个班有x名学生，依题意得 解得x=56. + + +6 = x. 随堂检测 丢番图的墓志铭 “坟中安葬着丢番图，多么令人惊讶，它忠实地记录 了所经历的道路.上帝给予的童年占六分之一.又过十二分 之一，两颊长胡.再过七分之一，点燃结婚的蜡烛.五年之 后天赐贵子，可怜迟到的宁馨儿，享年仅及其父之半， 便进入冰冷的墓.悲伤只有用数论的研究去弥补，又过四 年，他也走完了人生的旅途.” 你知道丢番图去世时的年龄吗?请你列出方程来算一算. 随堂检测 丢番图的墓志铭 “坟中安葬着丢番图，多么令人惊讶，它忠实地记录了所经历的道路.上帝给予的童年占六分之一.又过十二分之一，两颊长胡.再过七分之一，点燃结婚的蜡烛.五年之后天赐贵子，可怜迟到的宁馨儿，享年仅及其父之半，便进入冰冷的墓.悲伤只有用数论的研究去弥补，又过四年，他也走完了人生的旅途.” 解：设丢番图活了x岁，据题意得 答：丢番图活了84岁. 解得x=84. ＋ ＋ ＋5 ＋ ＋4 = x 课程小结 解一元一次方程的一般步骤 ①去分母 ②去括号 ③移项 ④合并同类项 ⑤系数化为1 依据：等式的性质2 乘以所有分母的最小公倍数 不要漏乘不含分母的项 依据：去括号法则 不要漏乘，注意符号 依据：等式的性质1 移项要变号 依据：分配律 依据：等式的性质2 $$