专题2-1 基本不等式10类常考题型- 【重难点突破】2024-2025学年高一上·人教A版必修第一册·重难点专题突破

【重难点突破】2024-2025学年高一上·人教A版必修第一册·专题突破 专题2-1 基本不等式10类常考题型 基本不等式是开学后第一次月考的重难点题型 高一的同学初见它，笑容就渐渐消失，直呼：“这是基本不懂式”； 高二的同学再见它，小小眼睛装大大的疑惑：“啊？这道题还得用它啊。” 高三的同学刷到它相关的题，人生若只如初见：“我们高一高二的时候学过这个？” 总览 题型解读 【题型1】直接利用不等式求最值 1 【题型2】 凑配法求最值 3 【题型3】“1”的妙用（1）：乘“1”法 4 【题型4】“1”的妙用（2）：“1”的代换 5 【题型5】分离常数型 6 【题型6】换元法（1）：单换元 7 【题型7】换元法（2）：双换元 7 【题型8】二次比一次型 8 【题型9】判断不等式是否能成立 9 【题型10】基本不等式与几何图形结合 10 题型汇编 知识梳理与常考题型 【题型1】直接利用不等式求最值 基本不等式：如果，那么，当且仅当时，等号成立．（仅限和与积） 常用不等式：若，则，当且仅当时取等号；（从左至右为积，和，平方和） 1． 已知x＞0，y＞0，且x+2y=2，则xy（ ） A．有最大值为1 B．有最小值为1 C．有最大值为 D．有最小值为 2． 若，，则的最小值为______． 3． 若，，且，则的最小值是________ 4． 已知，则的最小值是 ． 【巩固练习1】已知，则的最大值为 ． 【巩固练习2】若，，则的最小值为______． 【巩固练习3】若, 则的最小值是 ; 此时的值为 . 【巩固练习4】已知，，且，则的最小值是________ 【题型2】 凑配法求最值 配凑法：加上一个数或减去一个数使和(积)为定值，然后利用基本不等式求解． 1、通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式． 2、注意验证取得条件． 常见的配凑法求最值模型 (1)模型一：，当且仅当时等号成立； (2)模型二：，当且仅当时等号成立 5． 当时，（ ） A．有最大值1 B．有最大值2 C．有最小值5 D．有最小值 6． 已知实数x＞3，则的最小值是（ ） A．24 B．12 C．6 D．3 【巩固练习1】若，则的最小值为 . 【巩固练习2】函数（）的最小值为 ． 【题型3】“1”的妙用（1）：乘“1”法 方法总结：乘“1”法就是指凑出1，利用乘“1”后值不变这个性质，使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值． 主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值 注意：验证取得条件． 7． 若，且，则的最小值为 ． 8． 设为正实数，且，则的最小值为 9． 设，，，则的最小值为（　　） A． B． C． D．3 【巩固练习1】若，且，则的最小值为 ． 【巩固练习2】已知，且. （1）求的最小值，（2）求的最小值. 【巩固练习3】（2024·高一·江苏苏州·期末）已知正数，满足，则的最小值为 . 【题型4】“1”的妙用（2）：“1”的代换 方法总结：通过常数“1”的代换，把求解目标化为可以使用基本不等式求最值的式子，达到解题的目的． 10． 若，，且，则有最小是________ 【巩固练习1】已知，，，则的最小值为 ． 【巩固练习2】正实数，满足，则的最小值是________ 【巩固练习3】已知实数x，满足，则的最小值为（    ） A．6 B． C． D．8 【题型5】分离常数型 方法总结：对于分子分母中含有相同单一字母时，可以考虑分离常数 例1：（x>0） 例2： 11． 的最小值为（ ） A．4 B．5 C．7 D．9 12． 已知，则的最小值是______，此时a=______． 【巩固练习1】已知，则的最小值为 . 【巩固练习2】已知，，，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【巩固练习3】的最小值是______. 【巩固练习4】已知，则的最小值是______，此时a=______． 【题型6】换元法（1）：单换元 对于两个分式，且分母有加减符号时可以考虑整体法或换元法配凑 整体配凑法原理是把目标当作一个整体，然后利用基本不等式求最值. 单分母换元：把其中一个分母进行换元 13． 若，则的最小值为______. 【巩固练习1】已知正数、满足，求 的最小值； 【巩固练习2】已知，则的最小值是______. 【巩固练习3】若，，，，则的最小值为 ． 【题型7】换元法（2）：双换元 双分母换元：可以把2个分母都换元 14． 正实数a，b满足，则的最小值为______. 15． 已知正数满足，则的最大值是（ ） A． B． C． D． 【巩固练习1】若正实数满足，则最小值为________ 【巩固练习2】已知实数，且，则的最小值是 ． 【巩固练习3】设x，y是正实数，且，则的最大值是 . 【题型8】二次比一次型 基本模型：，当且仅当时等号成立 16． 已知，则函数的最小值是 ． 17． 若，则函数的最小值为 . 【巩固练习1】求函数的最小值． 【巩固练习2】函数的最小值为 ． 【巩固练习3】已知，则的最小值为 . 【题型9】判断不等式是否能成立 （1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件． （2）连续使用不等式要注意取得一致． 18． （多选）下列命题中，真命题的是（    ） A．，都有 B．，使得 C．任意非零实数，都有 D．若，则的最小值为4 19． （多选）已知，且，则（    ） A．的最小值是 B．最小值为 C．的最大值是 D．的最小值是 【巩固练习1】（多选）下列函数中，最小值为2的是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（多选）若实数m，，满足，以下选项中正确的有（    ） A．mn的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．最小值为 【巩固练习3】（多选）已知，，且，下列结论中正确的是（    ） A．的最大值是 B．的最小值是 C．的最小值是8 D．的最小值是 【题型10】基本不等式与几何图形结合 基本不等式链的无字证明： 如图，在C是以AB为直径的半圆上一点，CD⊥AB，DE⊥CO，记AD＝a，BD＝b，则有 （1）证明： 由射影定理可得：（几何平均数），（算术平均数），显然，即 （2）证明： 由三角函数可得：，显然 （3）对于，若通过以上图形来解会有些复杂，可以结合完全平方公式来证明会更方便 20． 设，，称为a、b的调和平均数．如图，C为线段上的点，且，，为的中点，以为直径作半圆．过点C作的垂线交半圆于D，连接、、．过点C作的垂线，垂足为E．则图中线段的长度是a、b的算术平均数，线段 的长度是a、b的几何平均数．      【巩固练习1】数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所示图形，在等腰直角三角形中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边AB上异于顶点的一个动点，设，，用该图形能证明的不等式为（    ）． A． B． C． D． 【巩固练习2】（多选）几何原本中的几何代数法以几何方法研究代数问题成为了后世数学家处理问题的重要依据通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明如图，在AB上取一点C，使得，，过点C作交半圆周于点D，连接作交OD于点下面不能由直接证明的不等式为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】如图，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求点B在AM上，点D在AN上，且对角线MN过点C，已知AB＝4，AD＝3，那么当BM＝ 时，矩形花坛的AMPN面积最小，最小面积为 ． 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$【重难点突破】2024-2025学年高一上·人教A版必修第一册·专题突破 专题2-1 基本不等式10类常考题型 基本不等式是开学后第一次月考的重难点题型 高一学生初见它，笑容就渐渐消失，直呼：“这是基本不懂式”； 高二学生再见它，小小眼睛装大大的疑惑：“啊？这道题还得用它啊。” 高三学生刷到它相关的题，人生若只如初见：“我们高一高二的时候学过这个？” 总览 题型解读 【题型1】直接利用不等式求最值 1 【题型2】 凑配法求最值 3 【题型3】“1”的妙用（1）：乘“1”法 5 【题型4】“1”的妙用（2）：“1”的代换 7 【题型5】分离常数型 9 【题型6】换元法（1）：单换元 11 【题型7】换元法（2）：双换元 13 【题型8】二次比一次型 15 【题型9】判断不等式是否能成立 17 【题型10】基本不等式与几何图形结合 21 题型汇编 知识梳理与常考题型 【题型1】直接利用不等式求最值 基本不等式：如果，那么，当且仅当时，等号成立．（仅限和与积） 常用不等式：若，则，当且仅当时取等号；（从左至右为积，和，平方和） 1． 已知x＞0，y＞0，且x+2y=2，则xy（ ） A．有最大值为1 B．有最小值为1 C．有最大值为 D．有最小值为 【答案】C 【解析】，，且，（1）， 当且仅当，即，时，取等号，故的最大值是：，故选：． 2． 若，，则的最小值为______． 【答案】 【简析】，当且仅当 3． 若，，且，则的最小值是________ 【答案】 【详解】，则， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以有最小值 已知，则的最小值是 ． 【答案】16 【解析】由题意得，解得， 等号成立当且仅当，所以的最小值是16. 故答案为：16. 【巩固练习1】已知，则的最大值为 ． 【答案】 【解析】，由不等式可知， 当且仅当时等号成立，即的最大值为. 【巩固练习2】若，，则的最小值为______． 【答案】2 【简析】 【巩固练习3】若, 则的最小值是 ; 此时的值为 . 【答案】 4; 1 【解析】因为，所以，当且仅当，即时等号成立. 故的最小值是4，此时的值为1. 【巩固练习4】已知，，且，则的最小值是________ 【答案】 【详解】由于，所以，当且仅当时等号成立 【题型2】 凑配法求最值 配凑法：加上一个数或减去一个数使和(积)为定值，然后利用基本不等式求解． 1、通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式． 2、注意验证取得条件． 常见的配凑法求最值模型 (1)模型一：，当且仅当时等号成立； (2)模型二：，当且仅当时等号成立 4． 当时，（ ） A．有最大值1 B．有最大值2 C．有最小值5 D．有最小值 【答案】A 【解析】当时，，， 所以， 当且仅当即时等号成立， 所以有最大值1，没有最小值，故选：A. 5． 已知实数x＞3，则的最小值是（ ） A．24 B．12 C．6 D．3 【解题思路】4（x﹣3）12，利用基本不等式的性质，即可求得最小值． 【解答过程】解：∵x＞3，∴x﹣3＞0， 4（x﹣3）12≥12+224， 当且仅当4x﹣12时，取得最小值24． 【巩固练习1】若，则的最小值为 . 【答案】0 【解析】由，得， 所以， 当且仅当即时等号成立. 【巩固练习2】函数（）的最小值为 ． 【答案】 【解析】因为，所以， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 【题型3】“1”的妙用（1）：乘“1”法 方法总结：乘“1”法就是指凑出1，利用乘“1”后值不变这个性质，使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值． 主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值 注意：验证取得条件． 6． 若，且，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】由于，所以， 当且仅当，即时等号成立， 故答案为： 7． 设为正实数，且，则的最小值为 【答案】 【解析】由，得， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 8． 设，，，则的最小值为（　　） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】由不等式“1”的代换求解即可. 【详解】因为，所以， 因为，，所以 . 当且仅当，即时取等. 【巩固练习1】若，且，则的最小值为 ． 【答案】5 【解析】因为，且，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为5．故答案为：5． 【巩固练习2】利用不等式求最值 （1）已知，且，求的最小值. （2）已知，且，求的最小值. 【答案】（1）9；（2）16 【分析】由条件可得，结合基本不等式分别求和的最小值. 【详解】（1）因为，， 所以， 所以， 当且仅当，时等号成立，即时等号成立， 所以的最小值为. （2）因为，， 由基本不等式可得，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为. 【巩固练习3】（2024·高一·江苏苏州·期末）已知正数，满足，则的最小值为 . 【答案】 【解析】由正数，满足，则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 【题型4】“1”的妙用（2）：“1”的代换 方法总结：通过常数“1”的代换，把求解目标化为可以使用基本不等式求最值的式子，达到解题的目的． 9． 若，，且，则有最小是________ 【答案】5 【详解】， 当且仅当，即时，等号成立， 所以有最小值5 【巩固练习1】已知，，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】利用基本不等式求得的最小值． 【详解】依题意． 当且仅当时等号成立． 【巩固练习2】正实数，满足，则的最小值是________ 【答案】 【解析】因为正实数，满足， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 故的最小值是 【巩固练习3】已知实数x，满足，则的最小值为（    ） A．6 B． C． D．8 【答案】C 【分析】根据“1”的变形技巧化简，再运用均值不等式求解即可． 【详解】由条件可得 ． 当且仅当，即时等号成立 【题型5】分离常数型 方法总结：对于分子分母中含有相同单一字母时，可以考虑分离常数 例1：（x>0） 例2： 10． 的最小值为（ ） A．4 B．5 C．7 D．9 【答案】C 【解析】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以函数的最小值为；故选：C 11． 已知，则的最小值是______，此时a=______． 【答案】4 ， 【分析】化简，根据基本不等式求解即可. 【详解】显然，， 则，， 当且仅当，即时，等号成立. 所以，的最小值是4此时. 【巩固练习1】已知，则的最小值为 . 【答案】 【解析】因为， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立. 所以的最小值为. 【巩固练习2】已知，，，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】将已知条件等式化为，整体代入结合基本不等式即可得解． 【详解】因为，，，所以，， 所以， 当且仅当，即，时等号成立，即的最小值为6，故选：B． 【巩固练习3】的最小值是______. 【答案】 【详解】，当且仅当时，即时取等号 【巩固练习4】已知，则的最小值是______，此时a=______． 【答案】 2； 0 【分析】化简，根据基本不等式求解即可. 【详解】显然，， 则，， 当且仅当，即时，等号成立. 所以，的最小值是2，此时. 【题型6】换元法（1）：单换元 对于两个分式，且分母有加减符号时可以考虑整体法或换元法配凑 整体配凑法原理是把目标当作一个整体，然后利用基本不等式求最值. 单分母换元：把其中一个分母进行换元 12． 若，则的最小值为______. 【答案】 【分析】由基本不等式“1”的代换求解即可. 【详解】因为， 所以． 因为，所以， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 则. 【巩固练习1】已知正数、满足，求 的最小值； 【答案】 【详解】因为，， 所以，， 所以 ， 当且仅当，且，即时，等号成立， 故的最小值为； 【巩固练习2】已知，则的最小值是______. 【答案】 【简析】记，则，则有 【巩固练习3】若，，，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】令 ，则，由此可将变形为，结合基本不等式，即可求得答案。 【详解】由题意，，，，得：， 设 ，则 ， 故 ， 当且仅当 ，即 时取得等号， 故的最小值为 【题型7】换元法（2）：双换元 双分母换元：可以把2个分母都换元 13． 正实数a，b满足，则的最小值为______. 【答案】1 【分析】将变为，即可将化为，展开后利用基本不等式即可求得答案. 【详解】因为正实数满足，所以， 则 ， 当且仅当,即时取等号， 所以的最小值为1， 14． 已知正数满足，则的最大值是（ ） A． B． C． D． 【解题思路】设，则有，求最小值，结合乘1法即可 【解答过程】解：5﹣（）， ∵a+b＝2，∴a+1+b+1＝4， ）（a+1+b+1）（1+4）， 4（当且仅当，即a，b时，等号成立）， 故（1+49，即， 故5﹣（ 【巩固练习1】若正实数满足，则最小值为________ 【答案】 【详解】由 ，当且仅当时，等号成立，所以有最小值 【巩固练习2】已知实数，且，则的最小值是 ． 【答案】24 【解析】因为，且， 所以， 所以 ， 当且仅当，即，时等号成立 【巩固练习3】设x，y是正实数，且，则的最大值是 . 【答案】 【解析】令，则， 可得，即， 且， ∵， 当且仅当，即时，等号成立， 可得， ∴， 即的最大值是. 【题型8】二次比一次型 基本模型：，当且仅当时等号成立 15． 已知，则函数的最小值是 ． 【答案】 【分析】将函数化简，分离常数，然后结合基本不等式即可得到结果. 【详解】因为， 当且仅当，即时，等号成立. 所以函数的最小值是 16． 若，则函数的最小值为 . 【答案】3 【解析】由题意，， 因为，所以，当且仅当，即时等号成立. 所以函数的最小值为3. 【巩固练习1】求函数的最小值． 【答案】 【分析】将看作一个整体，对函数分子进行凑配化简，再利用基本不等式即可求得函数的最小值. 【详解】（1）因为，， 所以，， 所以 ， 当且仅当，且，即时，等号成立， 故的最小值为； （2）因为，所以 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故函数的最小值. 【巩固练习2】函数的最小值为 ． 【答案】 【解析】由，又， 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以原函数的最小值为. 【巩固练习3】已知，则的最小值为 . 【答案】 【解析】令，则， 所以，当且仅当，即时取等号，所以的在最小值为. 【题型9】判断不等式是否能成立 （1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件． （2）连续使用不等式要注意取得一致． 17． （多选）下列命题中，真命题的是（    ） A．，都有 B．，使得 C．任意非零实数，都有 D．若，则的最小值为4 【答案】AB 【分析】利用不等式的性质和均值不等式，以及对勾函数的单调性求最值，并根据全称命题与特称命题的真假判断，即可选出真命题． 【详解】解：对于A，恒成立， 则，都有，A选项正确； 对于B，当时，， （当且仅当时取等号）， ，，使得，B选项正确； 对于，当时，，C选项错误； 对于 D，，当且仅当 时取等号，故当时，的最小值不是4，D选项错误 18． （多选）已知，且，则（    ） A．的最小值是 B．最小值为 C．的最大值是 D．的最小值是 【答案】BC 【分析】利用基本不等式即可得到A；二元换一元，代入 ，利用二次函数求出最值，得出B选项；利用即可得到C选项；利用“1”的妙用得出D. 【详解】对于A，∵，且，∴，即时，等号成立， 即的最大值是，故A不正确； 对于B，∵，∴，， 所以，故B正确； 对于C，∵，且，∴，即 当且仅当时，等号成立，故C正确； 对于D，∵， 即时，等号成立， 所以的最小值是，故D错误． 【巩固练习1】（多选）下列函数中，最小值为2的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据基本不等式求解最值判断ABC，根据复合函数最值求法求解判断D． 【详解】对于A，，当时，，不符合要求，错误； 对于B，，当且仅当时取等号， 由得显然不成立，所以等号取不到， 即的最小值不是2，错误； 对于C，因为，所以，， 当且仅当时取等号，最小值是2，正确； 对于D，，易知，， 则， 当即或时，有最小值4，即有最小值2，故D正确． 【巩固练习2】（多选）若实数m，，满足，以下选项中正确的有（    ） A．mn的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．最小值为 【答案】AD 【分析】利用基本不等式解决条件的最值问题求解和为定值或乘积为定值. 【详解】解：对于A，由m，，得，又， 所以，解得，当且仅当， 即，时等号成立， 所以mn最大值为，选项A正确； 对于B，， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为，选项B错误； 对于C，由，得， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立，又m，， 所以，选项C错误； 对于D，由m，，，得， 则，当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为，选项D正确． 【巩固练习3】（多选）已知，，且，下列结论中正确的是（    ） A．的最大值是 B．的最小值是 C．的最小值是8 D．的最小值是 【答案】ABD 【分析】根据题意，利用题设条件，结合基本不等式，逐项判定，即可求解. 【详解】，且， 对于A，由，解得，当且仅当时等号成立， 则的最大值为，所以A正确； 对于B，由， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为，所以B正确； 对于C，， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是9，所以C错误； 对于D，由， 得，当且仅当时等号成立， 则的最小值是，所以D正确. 【题型10】基本不等式与几何图形结合 基本不等式链的无字证明： 如图，在C是以AB为直径的半圆上一点，CD⊥AB，DE⊥CO，记AD＝a，BD＝b，则有 （1）证明： 由射影定理可得：（几何平均数），（算术平均数），显然，即 （2）证明： 由三角函数可得：，显然 （3）对于，若通过以上图形来解会有些复杂，可以结合完全平方公式来证明会更方便 19． 设，，称为a、b的调和平均数．如图，C为线段上的点，且，，为的中点，以为直径作半圆．过点C作的垂线交半圆于D，连接、、．过点C作的垂线，垂足为E．则图中线段的长度是a、b的算术平均数，线段 的长度是a、b的几何平均数．      【答案】 【分析】根据三角形相似，即可得相似比，根据几何平均数的定义即可求解. 【详解】由于, 又,故, 因此， 故的长度是a、b的几何平均数 【巩固练习1】数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所示图形，在等腰直角三角形中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边AB上异于顶点的一个动点，设，，用该图形能证明的不等式为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由图知：， 在中，， 所以，即 【巩固练习2】（多选）几何原本中的几何代数法以几何方法研究代数问题成为了后世数学家处理问题的重要依据通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明如图，在AB上取一点C，使得，，过点C作交半圆周于点D，连接作交OD于点下面不能由直接证明的不等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用射影定理可得即可证明 【详解】由射影定理可知 即 由得 故由由直接证明的不等式为选项B 【巩固练习3】如图，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求点B在AM上，点D在AN上，且对角线MN过点C，已知AB＝4，AD＝3，那么当BM＝ 时，矩形花坛的AMPN面积最小，最小面积为 ． 【答案】 【分析】利用平行线分线段成比例得到，进而得到，再利用矩形面积公式与基本不等式即可得到答案. 【详解】依题意不妨设，易知， 故，即，即， 故矩形的面积为 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故当时，矩形的面积取得最小值为48. 1 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $$