专题2.9 数轴上的动点问题解题方法与技巧（知识梳理与考点分类讲解）-2024-2025学年七年级数学上册全章复习与专题突破讲与练（浙教版）

专题2.9 数轴上的动点问题解题方法与技巧（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点一】与数轴上的动点问题相关的基本概念 1、数轴上两点间的距离：即为这两点表示的有理数差的绝对值：，其中a、b分别表示两点点表示的数，d为两点间的距离； 2、两点中点公式:在数轴上，A、B两点表示的数为，线段AB中点点C表示的数为，点C表示的数为； 3、点在数轴上运动时，由于数轴向右的方向为正方向，因此向右运动的速度看作正速度，而向左运动的速度看作负速度，这样在起点的基础上加上点的运动路程就可以直接得到运动后点的表示的数，即一个点表示的数为a，向左运动b个单位后表示的数为a—b；向右运动b个单位后所表示的数为a+b； 4、数轴是数形结合的产物,分析数轴上点的运动要结合图形进行分析,点在数轴上运动形成的路径可看作数轴上线段的和差关系。 【知识点二】数轴上的动点问题基本解题思路和方法: 1、表示出题目中动点运动后的点表示的数(一般用含有时间t的式子表示)； 2、根据两点间的距离公式表示出题目中相关线段长度(一般用含有时间t的式子表示)； 3、根据题目问题中线段的等量关系(一般是和、差关系)列绝对值方程（也可分类讨论）； 4、解绝对值方程并根据实际问题验算结果。 【题型目录】 【题型1】数轴上动点表示的数........................................................2 【题型2】数轴上两点之间距离........................................................2 【题型3】数轴上动点问题基础题......................................................2 【题型4】数轴上动点问题综合题......................................................3 【题型5】数轴上动点问题压轴题......................................................3 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】数轴上动点表示的数 【例1】数轴上有一动点从表示的点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动，则运动秒后点表示的数为（   ） A． B． C． D． 【变式1】数轴上一动点向右移动个单位长度到达点，再向左移动个单位长度到达点，若表示的数是，则点表示的数是（    ） A． B．5 C．0 D．1 【变式2】如图，点A，P，Q，B在一条不完整的数轴上，点A表示数-3，点B表示数3，若动点P从点A出发以每秒1个单位长度向终点B匀速运动，同时动点Q从点B出发以每秒2个单位长度向终点A匀速运动，其中一点到达终点时，另一个点也随之停止运动，当BP=3AQ时，点P在数轴上表示的数是( )   A．2.4 B．-1.8 C．0.6 D．-0.6 【题型2】数轴上两点之间距离 【例2】如图，在数轴上，点A表示的数是10，点B表示的数为50，点P是数轴上的动点．点P沿数轴的负方向运动，在运动过程中，当线段和的大小关系满足时，点P表示的数是 ． 【变式1】（22-23六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）数轴上点表示的数是，两点表示的数互为相反数，且点到点的距离为，则点表示的数为 ． 【变式2】（23-24七年级上·辽宁大连·期末）如图，数轴上点和点表示的数分别是和，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左匀速移动，动点同时从点出发，以每秒个单位长度的速度向左匀速移动．设移动时间为秒，当动点到点的距离等于动点到点的距离时，的值为 ． 【题型3】数轴上动点问题基础题 【例3】（23-24七年级上·四川宜宾·期末）如图，数轴的原点为，在数轴上有、两点，点对应的数是，点对应的数是1，动点、同时从、出发，分别以3个单位/秒和1个单位/秒的速度沿着数轴正方向运动，设运动时间为秒（）．    (1)两点间的距离是 ； (2)当时，动点对应的数是 ，动点对应的数是 ； (3)当运动时间为秒时，用含的代数式表示出点和点所对应的数； (4)当时，点是否为线段的中点？ 【变式1】数轴上一动点向左移动2个单位长度到达点，再向右移动6个单位长度到达点，若点表示的数是1，则点表示的数为（    ） A．7 B．3 C．-3 D．-2 【变式2】（23-24七年级上·四川成都·期中）有如下定义：数轴上有三个点，若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“关键点”．若点A表示数，点B表示数8，M为数轴一个动点．若点M在直线上，且点M是点A、点B的“关键点”，则此时点M表示的数是 ． 【题型4】数轴上动点问题综合题 【例4】（23-24七年级上·广东汕尾·期末）数轴上点A，B的位置如图所示，若点A表示的数为，且，已知动点P，Q分别从A，B两点同时出发，都向右运动，点P的速度为每秒2个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度，当点P与点Q重合时，P，Q两点停止运动，设运动的时间为ts．    (1)点B表示的数为______，线段的中点表示的数为______； (2)当时，求t的值（提示：先分别表示出运动后点P，Q表示的数） 【变式1】（22-23七年级上·山西临汾·阶段练习）如下图，数轴上一动点A向左移动2个单位长度到达点B，再向右移动5个单位度到达点C，若点C表示的数为1，则点A表示的数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23七年级上·江苏扬州·阶段练习）在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，是最小的正整数，且、满，是数轴上一动点，点表示的数是，当时， ． 【题型5】数轴上动点问题压轴题 【例5】（23-24七年级上·湖北黄冈·期中）已知a、b为常数，且满足，其中a、b分别为点A、点B在数轴上表示的数，如图所示，动点E、F分别从A、B同时开始运动，点E以每秒6个单位向左运动，点F以每秒2个单位向右运动，设运动时间为t秒． (1)求a、b的值； (2)请用含t的代数式表示点E在数轴上对应的数为：______；点F在数轴上对应的数为：______； (3)当E、F相遇后，点E继续保持向左运动，点F在原地停留4秒后向左运动且速度变为原来的5倍，在整个运动过程中，当E、F之间的距离为2个单位时，请求出运动时间t的值． 【变式1】（19-20七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）已知数轴上两点、对应的数分别为-1，3，点为数轴上一动点，其对应的数为，当到点、的距离之和为7时，则对应的数的值为（   ） A． B．和 C．和 D．和 【变式2】在数轴上，点分别表示，点分别从点同时开始沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒3个单位，点Q的速度是每秒1个单位，运动时间为t秒．若点三点在运动过程中，其中两点为端点构成的线段被第三个点三等分，则运动时间为 秒． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.9 数轴上的动点问题解题方法与技巧（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点一】与数轴上的动点问题相关的基本概念 1、数轴上两点间的距离：即为这两点表示的有理数差的绝对值：，其中a、b分别表示两点点表示的数，d为两点间的距离； 2、两点中点公式:在数轴上，A、B两点表示的数为，线段AB中点点C表示的数为，点C表示的数为； 3、点在数轴上运动时，由于数轴向右的方向为正方向，因此向右运动的速度看作正速度，而向左运动的速度看作负速度，这样在起点的基础上加上点的运动路程就可以直接得到运动后点的表示的数，即一个点表示的数为a，向左运动b个单位后表示的数为a—b；向右运动b个单位后所表示的数为a+b； 4、数轴是数形结合的产物,分析数轴上点的运动要结合图形进行分析,点在数轴上运动形成的路径可看作数轴上线段的和差关系。 【知识点二】数轴上的动点问题基本解题思路和方法: 1、表示出题目中动点运动后的点表示的数(一般用含有时间t的式子表示)； 2、根据两点间的距离公式表示出题目中相关线段长度(一般用含有时间t的式子表示)； 3、根据题目问题中线段的等量关系(一般是和、差关系)列绝对值方程（也可分类讨论）； 4、解绝对值方程并根据实际问题验算结果。 【题型目录】 【题型1】数轴上动点表示的数........................................................2 【题型2】数轴上两点之间距离........................................................3 【题型3】数轴上动点问题基础题......................................................5 【题型4】数轴上动点问题综合题......................................................7 【题型5】数轴上动点问题压轴题......................................................9 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】数轴上动点表示的数 【例1】数轴上有一动点从表示的点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动，则运动秒后点表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数轴上的单动点问题，解决本题的关键要确定运动的路程和运动方向． 解：点以每秒个单位长度的速度运动， 点运动秒后的路程：， 又点向右运动， 点运动秒后表示的数为， 故选：C． 【变式1】数轴上一动点向右移动个单位长度到达点，再向左移动个单位长度到达点，若表示的数是，则点表示的数是（    ） A． B．5 C．0 D．1 【答案】D 【分析】设数轴上的动点表示的数是，根据数轴上的点向左移动时，点表示的数减去移动的长度，向右移动时，点表示的数加上移动的长度，得到点表示的数是，点表示的数是，根据点表示数是，推出，解之即可． 解：设数轴上的动点A表示的数是， 由于右移动7个单位长度到点， ∴点表示的数是， 再向左移动5个单位长度到， ∴点表示的数是． ∵点表示数是， ∴，即， ∴点A表示的数是． 故选：D． 【点拨】本题主要考查了数轴上的动点问题，解一元一次方程，解决问题的关键是熟练掌握数轴上的点表示的数“左减右加”． 【变式2】如图，点A，P，Q，B在一条不完整的数轴上，点A表示数-3，点B表示数3，若动点P从点A出发以每秒1个单位长度向终点B匀速运动，同时动点Q从点B出发以每秒2个单位长度向终点A匀速运动，其中一点到达终点时，另一个点也随之停止运动，当BP=3AQ时，点P在数轴上表示的数是( )   A．2.4 B．-1.8 C．0.6 D．-0.6 【答案】D 【分析】设t秒钟BP=3AQ，点P表示的数为：-3+t，点Q表示的数为：3-2t，列方程求出t的值，再求点P在数轴上表示的数即可. 解：设t秒钟BP=3AQ， ∴点P表示的数为：-3+t，点Q表示的数为：3-2t， ∴BP=3-（-3+t）=6-t，AQ=3-2t-(-3)=6-2t， ∵BP=3AQ， ∴6-t=3（6-2t） 解之：t=2.4 ∴OP=-3+2.4=-0.6 ∴点P表示的数为-0.6. 故答案为：D. 【点拨】本题考查了两点间的距离，数轴，正确的理解题意是解题的关键． 【题型2】数轴上两点之间距离 【例2】如图，在数轴上，点A表示的数是10，点B表示的数为50，点P是数轴上的动点．点P沿数轴的负方向运动，在运动过程中，当线段和的大小关系满足时，点P表示的数是 ． 【答案】26或/或 26 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，数轴上两点间的距离，根据题意可得该问题可分为两种情况，即可得到等式，求解即可得到结果，根据数轴得到两点间的距离是解题的关键． 解：在点P运动过程中，，即， 分两种情况： ①当点P运动到点A右侧时，， 此时点P表示的数是； ②当点P运动到点A左侧时，设，则， ∵， ∴， 则，， ∴点P表示的数是， 综上所述，点P表示的数是26或， 故答案为：26或． 【变式1】（22-23六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）数轴上点表示的数是，两点表示的数互为相反数，且点到点的距离为，则点表示的数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，相反数，绝对值的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 设点所表示的数为，根据题意知点表示的数是，再根据点到点的距离为，列式求解即可． 解：设点所表示的数为， ∵两点表示的数互为相反数， ∴点表示的数为， ∵点到点的距离为，点表示的数是， ∴，即， 解得：，， 点表示的数为或， 故答案为或． 【变式2】（23-24七年级上·辽宁大连·期末）如图，数轴上点和点表示的数分别是和，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左匀速移动，动点同时从点出发，以每秒个单位长度的速度向左匀速移动．设移动时间为秒，当动点到点的距离等于动点到点的距离时，的值为 ． 【答案】或/9或3 【分析】此题考查了数轴上动点问题，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，正确理解数轴上两点之间的距离是解题的关键．点表示的数为，点表示的数为，可得点到点的距离为，点到点的距离为，列方程即可解答． 解：根据题意，点表示的数为，点表示的数为， 表示的数是， 点到点的距离为，点到点的距离为， ， 解得：或， 故答案为：或． 【题型3】数轴上动点问题基础题 【例3】（23-24七年级上·四川宜宾·期末）如图，数轴的原点为，在数轴上有、两点，点对应的数是，点对应的数是1，动点、同时从、出发，分别以3个单位/秒和1个单位/秒的速度沿着数轴正方向运动，设运动时间为秒（）．    (1)两点间的距离是 ； (2)当时，动点对应的数是 ，动点对应的数是 ； (3)当运动时间为秒时，用含的代数式表示出点和点所对应的数； (4)当时，点是否为线段的中点？ 【答案】(1)；(2)，；(3)，；(4)是，理由见解析 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，涉及了数轴上两点间的距离公式．根据动点的起始位置、运动方向和运动速度确定动点在数轴上对应的数是解题关键． （1）根据即可求解； （2）根据动点的起始位置、运动方向和运动速度即可求解； （3）根据动点的起始位置、运动方向和运动速度即可求解；（4）表示出线段的中点对应的数即可求解； 解：（1）解：， 故答案为： （2）解：当时，动点对应的数是：； 动点对应的数是：， 故答案为：， （3）解：当运动时间为秒时，动点对应的数是：； 动点对应的数是： （4）解：线段的中点对应的数是： 令， 解得： ∴当时，点是否为线段的中点 【变式1】数轴上一动点向左移动2个单位长度到达点，再向右移动6个单位长度到达点，若点表示的数是1，则点表示的数为（    ） A．7 B．3 C．-3 D．-2 【答案】C 【分析】设点A表示的数为x，再由题意得到关于x的方程，解方程即可得到答案． 解：设点A表示的数为x，则由题意得： x-2+6=1，解之得：x=-3， 故选C． 【点拨】本题考查数轴上的动点问题，分清运动方向与数的正负关系及根据题意列出方程是解题关键． 【变式2】（23-24七年级上·四川成都·期中）有如下定义：数轴上有三个点，若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“关键点”．若点A表示数，点B表示数8，M为数轴一个动点．若点M在直线上，且点M是点A、点B的“关键点”，则此时点M表示的数是 ． 【答案】或0或4或20 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，分类讨论：当点M在点A的左侧时，当点M在点A和点B之间时，当点M在点B的右侧时，由数轴上两点之间的距离公式即可求解，熟练掌握数轴上两点之间的距离公式及分类讨论思想解决问题是解题的关键． 解：设点M表示的数为， 当点M在点A的左侧时，由得： ， 解得：， 当点M在点A和点B之间时， 由得：， 解得：， 由得：， 解得：， 当点M在点B的右侧时，由得： ， 解得：， 综上所述，点M表示的数为或0或4或20， 故答案为：或0或4或20． 【题型4】数轴上动点问题综合题 【例4】（23-24七年级上·广东汕尾·期末）数轴上点A，B的位置如图所示，若点A表示的数为，且，已知动点P，Q分别从A，B两点同时出发，都向右运动，点P的速度为每秒2个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度，当点P与点Q重合时，P，Q两点停止运动，设运动的时间为ts．    (1)点B表示的数为______，线段的中点表示的数为______； (2)当时，求t的值（提示：先分别表示出运动后点P，Q表示的数） 【答案】(1)；(2)的值是或13 【分析】本题考查一次方程的应用，解题的关键是用含t的代数式表示运动后点所表示的数，从而得到相关线段的长度，再列方程； （1）根据点表示的数为，点在原点的右侧，可得表示的数是6，即可得线段的中点表示的数为； （2）设运动的时间为，则运动后表示的数是表示的数是，由，得，即可解得或； 解：（1）解：∵点表示的数为，点在原点的右侧， ∴， ∴表示的数是6， ∴线段的中点表示的数为， 故答案为：； （2）设运动的时间为，则运动后表示的数是表示的数是， 解得或， 答：的值是或13． 【变式1】（22-23七年级上·山西临汾·阶段练习）如下图，数轴上一动点A向左移动2个单位长度到达点B，再向右移动5个单位度到达点C，若点C表示的数为1，则点A表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设点A表示的数为，根据题意，列方程求解即可． 解：设点A表示的数为，根据题意可得：， 解得， 故选：C 【点拨】此题考查了数轴上的动点问题以及一元一次方程的求解，解题的关键是理解题意，正确列出方程． 【变式2】（22-23七年级上·江苏扬州·阶段练习）在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，是最小的正整数，且、满，是数轴上一动点，点表示的数是，当时， ． 【答案】或 【分析】本题考查了非负数的性质，几个非负数的和为时，这几个非负数都为，熟练掌握非负数的性质是解决本题的关键．由非负数的性质列出方程求出的值，由有理数的概念求出值，根据分类讨论求解． 解：∵， ∴，， 解得：，， ∵是最小的正整数， ∴， ∴ 当在线段上时， ∵， ∴， 解得：或， 当在线段的左侧时， ∵， ∴， 解得：，不符合题意应舍去， 当在线段的右侧时， ∵， ∴， 解得：，不符合题意应舍去， 故答案为：或． 【题型5】数轴上动点问题压轴题 【例5】（23-24七年级上·湖北黄冈·期中）已知a、b为常数，且满足，其中a、b分别为点A、点B在数轴上表示的数，如图所示，动点E、F分别从A、B同时开始运动，点E以每秒6个单位向左运动，点F以每秒2个单位向右运动，设运动时间为t秒． (1)求a、b的值； (2)请用含t的代数式表示点E在数轴上对应的数为：______；点F在数轴上对应的数为：______； (3)当E、F相遇后，点E继续保持向左运动，点F在原地停留4秒后向左运动且速度变为原来的5倍，在整个运动过程中，当E、F之间的距离为2个单位时，请求出运动时间t的值． 【答案】(1)；(2)，；(3). 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，列代数式， （1）根据绝对值和平方式的非负性得出a和b的值即可； （2）根据点的运动得出代数式即可； （3）分四种不同情况进行分类讨论，根据路程=速度×时间，列方程求解即可． 解题的关键是要运用分类讨论的思想． 解：（1）解： ， ， ； （2）解：由题意可知，E点对应的数为：， F对应的数为， 故答案为：，； （3）解：在相遇前：， 设时E、F相遇， 即； 解得， ①当E点在F点左侧时，且F点没动时， 由题意可得，， 解得：， ②当E点在F点左侧时，且F点已动时， ， 解得：， ③当点E在点F右侧时， 由题意， 解得：， 综上所述，符合条件的t的值为：． 【变式1】（19-20七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）已知数轴上两点、对应的数分别为-1，3，点为数轴上一动点，其对应的数为，当到点、的距离之和为7时，则对应的数的值为（   ） A． B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】分①点P位于点A、B之间，②点P位于点A左边，③点P位于点B右边三种情况讨论即可． 解：分三种情况讨论： ①当点P位于点A、B之间时，P到A、B之间的距离之和为4，不满足条件； ②当点P位于点A左边时，2PA+AB=7，∴2（－1－x）+4=7，解得：x=； ③当点P位于点B右边时，AB+2PB=7，∴4+2（x－3）=7，解得：x=； 综上所述：x或x． 故选D． 【点拨】本题考查了数轴上的点与点之间的距离及数轴的应用，分类讨论是解答本题的关键． 【变式2】在数轴上，点分别表示，点分别从点同时开始沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒3个单位，点Q的速度是每秒1个单位，运动时间为t秒．若点三点在运动过程中，其中两点为端点构成的线段被第三个点三等分，则运动时间为 秒． 【答案】2、、6、 【分析】根据运动的规则找出点P、Q表示的数，分P、O、Q三点位置不同考虑，根据三等分点的性质列出关于时间t的一元一次方程，解方程即可得出结论． 解：设运动的时间为t（t＞0），则点P表示3t−10，点Q表示t＋6， ①    点O在线段PQ上时，如图1所示． 此时3t−10＜0，即t＜， ∵点O是线段PQ的三等分点， ∴PO＝2OQ或2PO＝OQ， 即10−3t＝2（t＋6）或2（10−3t）＝t＋6， 解得：t＝（舍去）或t＝2； ②    点P在线段OQ上时，如图2所示． 此时0＜3t−10＜t＋6，即＜t＜8． ∵点P是线段OQ的三等分点， ∴2OP＝PQ或OP＝2PQ， 即2（3t−10）＝t＋6−（3t−10）或3t−10＝2[t＋6−（3t−10）]， 解得：t＝或t＝6； ③当点Q在线段OP上时，如图3所示． 此时t＋6＜3t−10，即t＞8． ∵点Q是线段OP的三等分点， ∴OQ＝2QP或2OQ＝QP， 即t＋6＝2[3t−10−（t＋6）]或2（t＋6）＝3t−10−（t＋6）， 解得：t＝或无解． 综上可知：点P，Q，O三点在运动过程中，其中两点为端点构成的线段被第三个点三等分，则运动时间为2、、6、． 故答案为：2、、6、． 【点拨】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴，解题的关键是按P、O、Q三点位置不同分类讨论．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据运动的过程分情况考虑，再根据三等分点的性质列出方程是关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$