1.3 正方形的性质与判定 课后作业 2024—2025学年北师大版数学 九年级上册

1.3正方形的性质与判定 正方形的性质与判定第1课时课后作业 一．基础性作业（必做题） 1．矩形、菱形、正方形都一定具有的性质是（　　） A．邻边相等 B．对角线互相平分 C．四个角都是直角 D．对角线相等 2．如图1，E为正方形ABCD对角线BD上一点，且BE＝BC，则∠DCE＝　 　． 3．正方形的一条对角线长为4，则这个正方形的面积是 . 4． 如图2，在正方形ABCD中，AB＝2．若以CD边为底边向其形外作等腰直角△DCE，连接BE，则BE的长为 . 5. 已知正方形ABCD，以CD为边作等边△CDE，则∠AED的度数是（　　） ( 图2 A B C E D )A．15° B．75° C．15°或75° D．25°或65° ( 图1 C B A D E ) 6．如图3，四边形ABCD是正方形，△EBC是等边三角形． （1）求证：△ABE≌△DCE； ( 图3 A B D C E )（2）求∠AED的度数． 二、拓展性作业（选做题） 1. 如图4，边长为的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到正方形AB′C′D′，两图叠成一个“蝶形风筝”（如图所示阴影部分），则这个风筝的面积是　 　． 2．如图5，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE最小，则这个最小值为　 　． ( 图5 ) ( 图4 ) 3. （1）作图发现 如图6-1，已知△ABC，小涵同学以AB、AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE．连接BE，CD．这时他发现BE与CD的数量关系是 　 　． （2）拓展探究 如图6-2．已知△ABC，小涵同学以AB、AC为边向外作正方形ABFD和正方形ACGE，连接BE，CD，试判断BE与CD之间的数量关系，并说明理由． ( 图6-1 图6-2 ) 正方形性质的判定第2课时课后作业 一．基础性作业（必做题） ( D O C A B 图1 )1．如图1，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，添加下列条件中的一个，能使菱形ABCD成为正方形的是（　　） A． ∠ABC＝90° B．AC＝AD C．BD＝AB D．OD＝AC 2．四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，下列条件能使这个四边形是正方形的是（　　） A．∠D＝90° B．AB＝CD C．BC＝CD D．AC＝BD 3．下列说法不正确的是（　　） A．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形 B．对角线相等的菱形是正方形 C．对角线互相垂直的矩形是正方形 D．一条对角线平分一组对角的矩形是正方形 4．矩形各角的角平分线交成的四边形是（　　） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 5．如图2，四边形ABCD是矩形，E是BD上的一点，∠BAE＝∠BCE，∠AED＝∠CED． ( 图2 )求证：四边形ABCD是正方形． ( 图3 )6．已知：如图3，点D是△ABC中BC边上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是点EF，且BF＝CE． （1）求证：Rt△BDF≌Rt△CDE （2）问：△ABC满足什么条件时， 四边形AEDF是正方形，并说明理由． 二、拓展提高题（选做题） 1．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O．要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件．下面给出了五组条件：①AB＝AD，且AC＝BD；②AB⊥AD，且AC⊥BD；③AB⊥AD，且AB＝AD；④AB＝BD，且AB⊥BD；⑤OB＝OC，且OB⊥OC．其中正确的是________（填写序号）． 2. 如图4，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点． （1）求证：BM＝CM． （2）当AB：AD的值为多少时，四边形MENF是正方形？请说明理由． ( 图4 ) 3. 如图5，以△ABC的各边，在边BC的同侧分别作三个正方形ABDI，BCFE，ACHG． （1）求证：△BDE≌△BAC； （2）求证：四边形ADEG是平行四边形． （3）直接回答下面两个问题，不必证明： ①当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是矩形？ ②当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是正方形？ ( 图5 ) 特殊平行四边形回顾与思考课后作业 一．基础性作业（必做题） 1．如图1，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论不正确的是（ ） A. 当AB=BC时，它是菱形 B. 当AC⊥BD时，它是菱形 C. 当∠ABC=90°时，它是矩形 D. 当AC=BD时，它是正方形 2． 如图2，矩形ABCD的顶点A，C分别在直线a，b上，且a∥b，∠1＝50°，则∠2的度数为（ ） A．30° B．40° C．50° D．60° 3． 如图3所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，根据实际需要可以调节AE间的距离．若AE间的距离调节到60 cm，菱形的边长AB＝20 cm，则∠DAB的度数是（ ） ( 图 3 )A．90° B．100° C．120° D．150° ( 图 2 ) ( 图 1 ) 4． 如图4，在正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，AE的延长线交CD于点F，连接CE. 若∠BAE＝56°，则∠ECF＝_______. 5． ( 图 5 )如图5，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，过对角线交点O作EF⊥AC交AD于点E，交BC于点F，则DE的长是_________. ( 图 4 ) 6．如图6，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，连接CD，且AE∥CD，CE∥AB. ( 图 6 )（1）证明：四边形ADCE是菱形； （2）若∠B＝60°，BC＝6，求四边形ADCE的面积． 二、拓展性作业（选做题） 1．如图7，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，AB=4，E、F分别是AB边、AD边上的动点 且BE＝AF，则下列结论:①△BEC≌△AFC；②△ECF为等边三角形；③∠AGE＝∠AFC； ④△AEF的面积的最大值为．则正确结论的序号是_____________________. 2．如图8，边长为6的正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，BC=3BE，BE=CF，AE与BF相交于点G，O是对角线BD的中点，连接OG，则OG的长为_________. ( C F G E B O D A 图 8 ) ( 图 7 ) 3．如图9-1，在矩形ABCD中，AB=5，BC=8，点E，F分别为AB，CD的中点． （1）求证：四边形AEFD是矩形； （2）如图9-2，点P是边AD上一点，点A关于BP的对称点为点M. ①当点M落在线段EF上时，则∠ABP=___________； ( 图 9 - 3 )②如图9-3，连接AM交BP交于N点，连接DM，当△AMD是等腰三角形时，直接写出AN的长． ( 图 9 - 1 ) ( 图 9 - 2 ) 正方形的性质与判定第1课时参考答案 一．基础性作业（必做题） 1．B ； 2． 22.5°； 3．8 ； 4． ； 5．C 6．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，△EBC是等边三角形， ∴BA＝BC＝CD＝BE＝CE，∠ABC＝∠BCD＝90°，∠EBC＝∠ECB＝60°， ∴∠ABE＝∠ECD＝30°， 在△ABE和△DCE中， ， ∴△ABE≌△DCE（SAS）． （2）∵BA＝BE，∠ABE＝30°， ∴∠BAE＝（180°﹣30°）＝75°， ∵∠BAD＝90°， ∴∠EAD＝90°﹣75°＝15°，同理可得∠ADE＝15°， ∴∠AED＝180°﹣15°﹣15°＝150°． 二、拓展性作业（选做题） 1. 解：设CD，C′B′交于E点，连接AE， 由旋转的性质可知△ADE≌△AB′E， ∵旋转角∠BAB′＝30°， ∴∠B′AD＝90°﹣∠BAB′＝60°， ∴∠DAE＝30°， 在Rt△ADE中，根据勾股定理求得：DE＝1， S四边形ADEB′＝2×S△ADE＝2××1×＝， 2. 解：连接BP． ∵点B与D关于AC对称， ∴PD＝PB， ∴PD+PE＝PB+PE． ∴由两点之间线段最短可知当点P为点P′处时， PD+PE有最小值，最小值＝BE． ∵正方形ABCD的面积为12， ∴AB＝． 又∵△ABE是等边三角形， ∴BE＝AB＝． ∴PD+PE的最小值为． 3．解：（1）∵△ABD和△ACE都是等边三角形， ∴AD＝AB，AC＝AE，∠DAB＝∠CAE＝60°， ∴∠DAC＝∠BAE， 在△ADC和△ABE中， ， ∴△ADC≌△ABE（SAS）， ∴CD＝BE， 故答案为：CD＝BE． （2）BE＝CD，理由如下： ∵四边形ABFD和四边形ACGE是正方形， ∴AD＝AB，AC＝AE，∠DAB＝∠CAE＝90°， ∴∠DAC＝∠BAE， 在△ADC和△ABE中， ， ∴△ADC≌△ABE（SAS）， ∴CD＝BE． 正方形性质的判定第2课时参考答案 一．基础性作业（必做题） 1．A． 2．C． 3．A． 130学号 4．D． 户：：137 286 405．证明：∵∠CED是△BCE的外角，∠AED是△ABE的外角， ∴∠CED＝∠CBE+∠BCE，∠AED＝∠BAE+∠ABE， ∵∠BAE＝∠BCE，∠AED＝∠CED， ∴∠CBE＝∠ABE， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝∠BCD＝∠BAD＝90°，AB＝CD， ∴∠CBE＝∠ABE＝45°， ∴△ABD与△BCD是等腰直角三角形， ∴AB＝AD＝BC＝CD， ∴四边形ABCD是正方形． 6（1）证明：∵DE⊥AC，DF⊥AB， ∴∠BDF＝∠CED＝90° ∵点D是△ABC中BC边上的中点， ∴BD＝CD，在Rt△BDF和Rt△CDF中，， ∴Rt△BDF≌Rt△CDE（HL）； （2）解：当△ABC满足∠A＝90°（答案不唯一），四边形AEDF是正方形；理由如下： ∵∠BDF＝∠CED＝90°，∠A＝90°， ∴四边形AEDF是矩形， ∵Rt△BDF≌Rt△CDE， ∴DE＝DF， ∴四边形AEDF是正方形． 二、拓展提高题（选做题） 1．　①②③⑤　． 2．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝DC，∠A＝∠D＝90°， ∵M为AD中点， ∴AM＝DM， 在△ABM和△DCM中， ， ∴△ABM≌△DCM（SAS）， ∴BM＝CM； （2）解：当AB：AD＝1：2时，四边形MENF是正方形，理由如下： ∵N、E、F分别是BC、BM、CM的中点， ∴NE∥CM，NE＝CM， ∵MF＝CM， ∴NE＝FM， ∵NE∥FM， ∴四边形MENF是平行四边形， 由（1）知△ABM≌△DCM， ∴BM＝CM， ∵E、F分别是BM、CM的中点， ∴ME＝MF， ∴平行四边形MENF是菱形； ∵M为AD中点， ∴AD＝2AM， ∵AB：AD＝1：2， ∴AD＝2AB， ∴AM＝AB， ∵∠A＝90°， ∴∠ABM＝∠AMB＝45°， 同理∠DMC＝45°， ∴∠EMF＝180°﹣45°﹣45°＝90°， ∵四边形MENF是菱形， ∴菱形MENF是正方形． 3. （1）证明：∵四边形ABDI、四边形BCFE、四边形ACHG都是正方形， ∴AC＝AG，AB＝BD，BC＝BE，∠GAC＝∠EBC＝∠DBA＝90°． ∴∠ABC＝∠EBD（同为∠EBA的余角）． 在△BDE和△BAC中， ， ∴△BDE≌△BAC（SAS）， （2）∵△BDE≌△BAC， ∴DE＝AC＝AG，∠BAC＝∠BDE． ∵AD是正方形ABDI的对角线， ∴∠BDA＝∠BAD＝45°． ∵∠EDA＝∠BDE﹣∠BDA＝∠BDE﹣45°， ∠DAG＝360°﹣∠GAC﹣∠BAC﹣∠BAD ＝360°﹣90°﹣∠BAC﹣45° ＝225°﹣∠BAC ∴∠EDA+∠DAG＝∠BDE﹣45°+225°﹣∠BAC＝180° ∴DE∥AG， ∴四边形ADEG是平行四边形（一组对边平行且相等）． （3）①当四边形ADEG是矩形时，∠DAG＝90°． 则∠BAC＝360°﹣∠BAD﹣∠DAG﹣∠GAC＝360°﹣45°﹣90°﹣90°＝135°， 即当∠BAC＝135°时，平行四边形ADEG是矩形； ②当四边形ADEG是正方形时，∠DAG＝90°，且AG＝AD． 由①知，当∠DAG＝90°时，∠BAC＝135°． ∵四边形ABDI是正方形， ∴AD＝AB． 又∵四边形ACHG是正方形， ∴AC＝AG， ∴AC＝AB． ∴当∠BAC＝135°且AC＝AB时，四边形ADEG是正方形． 特殊平行四边形回顾与思考参考答案 1． 基础性作业（必做题） 1． D；2．C；3．C；4．34°；5．； 6．证明：（1）∵∠ACB＝90°，D为AB的中点， ∴AD＝CD＝BD， ∵AE∥CD，CE∥AB. ∴四边形ADCE是平行四边形且AD＝CD， ∴四边形ADCE是菱形. （2）连接DE. ∵菱形ADCE， ∴BD＝AD＝CE， ∵CE∥AB， ∴四边形BCED是平行四边形， ∴BC＝DE＝6， ∵∠B＝60°， ∴， ∴. 二、拓展性作业（选做题） 1．①②③. 2．. 3．（1）证明：四边形是矩形， ，，， ，， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形． （2）30°. （3）AN的长为或4或. 第2页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $$