5.1二次函数（讲义）2024-2025学年苏科版数学九年级下册

2024-2025学年苏科版数学九年级下册 5.1二次函数 (讲义) 【知识点一】二次函数的概念 (1)一般地,形如y=ax2+bx+c(a≠0,a, b, c为常数)的函数是二次函数. (2)其中x、y是变量,a、b、c是常量,a是二次项系数,b是一次项系数,c是常项. (3)y=+bx+c(a、b、c是常数,a≠0)也叫做二次函数的一般形式. 【典型例题】 【例题1】下列函数中,是二次函数的是( ) A. y=+x+1 B.y=x2-(x+1)2 C.y=-x2+3x+1 D.y=3x+1 【例题2】下列函数中,是二次函数的是( ) A. B. C. D. 【例题3】下列函数是二次函数的有( ) ①y=(x+1)2﹣x2; ②y=﹣3x2+5; ③y=x3﹣2x; ④y=x23. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【例题4】若y=(a+1)x|a+3|﹣x+3是关于x的二次函数,则a的值是( ) A.1 B.﹣5 C.﹣1 D.﹣5或﹣1 【例题5】若是关于x的二次函数,则m的值是( ) A.1 B.2 C.3 D.﹣1或3 【例题6】已知函数y=(m2-2)x2+(m+)x+8. (1)若这个函数是一次函数,求m的值; (2)若这个函数是二次函数,求m的取值范围. 【知识点二】二次函数的系数关系 若b=0,则y=ax2+c; 若c=0,则y=ax2+bx; 若b=c=0,则y=ax2. 如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0),那么y叫做x的二次函数. 这里,当a=0时就不是二次函数了,但b、c可分别为零,也可以同时都为零. a 的绝对值越大,抛物线的开口越小. 【典型例题】 【例题1】关于函数y=(500﹣10x)(40+x),下列说法不正确的是( ) A.y是x的二次函数 B.二次项系数是﹣10 C.一次项是100 D.常数项是20000 【例题2】当函数是二次函数时,a的取值为( ) A. B. C. D. 【例题3】对于y=ax2+bx+c,有以下四种说法,其中正确的是( ) A. 当b=0时,二次函数是y=ax2+c B.当c=0时,二次函数是y=ax2+bx C.当a=0时,一次函数是y=bx+c D.以上说法都不对 【例题4】二次函数y=2(x+2)2-3的二次项系数是 ,一次项系数是 ,常数项是 . 【例题5】指出下列二次函数中相应的a,b,c的值: (1)y=﹣5x2+3x+1; (2)y=(x﹣1)2﹣1; (3)y=﹣x2+6. 【例题6】已知函数 (1) 当为何值时,是的一次函数? (2)当为何值时,是的二次函数? 【知识点三】根据实际问题列二次函数表达式 【典型例题】 【例题1】下列函数关系中,是二次函数的是( ) A.在弹性限度内,弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的关系 B.当距离一定时,火车行驶的时间t与速度v之间的关系 C.等边三角形的周长C与边长a之间的关系 D.圆的面积S与半径R之间的关系 【例题2】用绳子围成周长10m的矩形,记矩形的一边为xm,它的邻边为ym,面积为S.当x在一定范围内变化时,y与S都随x的变化而变化,则y与x,S与x满足的函数关系分别是( ) A. 一次函数关系,二次函数关系 B.反比例函数关系,二次函数关系 C.一次函数关系,反比例函数关系 D.反比例函数关系,一次函数关系 【例题3】某农机厂四月份生产零件60万个,设该厂第二季度平均每月的增长率为x,如果第二季度共生产零件y万个,那么y与x满足的函数关系式是( ) A.y=60(1+x)2 B.y=60+60(1+x)+60(1+x)2 C.y=60(1+x)+60(1+x)2 D.y=60+60(1+x) 【例题4】用一根长的铁丝围成一个矩形,那么矩形的面积与它的一边长之间的函数关系式为( ) A. B. C. D. 【例题5】如图所示,用长为21米的篱笆,一面利用墙(墙的最大可用长度为10米),围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃,为便于进出,开了3道宽均为1米的门.设花圃的一边为米,面积为平方米,求与之间的函数解析式,并求自变量的取值范围. 【例题6】了改善小区环境,某小区决定要在一块一边靠墙(墙长25m)的空地上修建一个矩形绿化带ABCD,绿化带一边靠墙,其他三边用总长为60m栅栏围住(如图),若设绿化带的BC边长为xm,绿化带的面积为y平方米. (1)求y与x的函数关系式,并写出自变量的取值范围; (2)是否存在绿化带BC的长的某个值,使得绿化带的面积为450平方米? 若存在,请求出这个值;若不存在,请说明理由. ( 第 1 页 共 9 页 ) 学科网(北京)股份有限公司 $$