第一章特殊平行四边形第一节菱形的性质与判定课后作业2024～2025学年北师大版数学九年级上册

1.1菱形的性质与判定 菱形的性质与判定第1课时课后作业 一．基础性作业（必做题） ( 图1 )1．如图1，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列结论中 不一定成立的是（　　） A．∠BAC＝∠DAC B．OA＝OC C．AC⊥BD D．AC＝BD 2．下列说法中不正确的是（　　） A．平行四边形的对角相等 B．菱形的邻边相等 ( 图2 A B C D )C．菱形的对角线互相垂直且相等 D．平行四边形的对角线互相平分 3．在菱形ABCD中，AC、BD为对角线，若AC＝4，BD＝8， 则菱形ABCD的面积是 4．如图2，菱形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O， 若AC＝4，BD＝6，则菱形ABCD的周长为 ( A B C D O P 图3 ) 5．如图3，已知在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，点P是线段AO上一点，PD＝，则AP的长为 　 ． 6．如图4，菱形ABCD中，作BE⊥AD、CF⊥AB，分别交AD、AB的延长线于点E、F．求证：AE＝BF． ( 图4 ) ( A B C D E F G 图 5 )二、拓展性作业（选做题） 1．如图5，菱形ABCD的周长为40，对角线AC＝12．过AD的中点E作EG⊥AC交AB于点F，交CB的延长线于点G，则EG的长为 　 　． ( x y A B C O 图 6 ) 2．如图6，在直角坐标系中，已知菱形OABC的顶点A（1，2），∠AOB=45º．则点C的坐标是 ． 3．某学校的校门是伸缩电动门（如图7-1），伸缩电动门中的每一行菱形有20个，每个菱形边长为30cm．当每个菱形的内角度数为60°（如图7-2）时，校门打开了5m，当每个菱形的内角度数为90°时，校门打开了多少米？ ( 图7-1 图7-2 ) 菱形的性质和判定第2课时课后作业 一．基础性作业（必做题） 1．已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为菱形的是（　　） A．AC⊥BD B．∠ABD＝∠ADB C．AB＝CD D．AB＝BC 2．如图1，已知四边形ABCD的对角线互相垂直，若适当添加一个条件，就能判定该四边形是菱形．那么这个条件可以是（　　） A．BA＝BC B．AC＝BD C．AB∥CD D．AC、BD互相平分 3．如图2，小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A和B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D，则直线CD即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是（　　） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形 4．如图3，在四边形ABCD中，点E、F分别是线段AD、BC的中点，G、H分别是线段BD、AC的中点，当四边形ABCD的边满足　 　时，四边形EGFH是菱形． ( 图2 ) ( 图3 ) ( 图1 ) 5．证明：对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 6．如图4，在平行四边形ABCD中，点E、F在对角线BD上，BE＝DF． （1）求证：四边形AECF是平行四边形； （2）若BD平分∠ABC，求证：四边形AECF是菱形． ( 图4 ) 二、拓展性作业（选做题） ( 图5 )1．如图5，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝2AD，E、F、G分别是OC、OD，AB的中点．下列结论：①EG＝EF； ②△EFG≌△GBE； ③EA平分∠GEF；④四边形BEFG是菱形．其中正确的是　 　． 2．如图6，A（0，4），B（8，0），点C是x轴正半轴上一点，D是平面内任意一点，若以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标为　 　． ( 图6 ) 3． 如图7，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是边BC延长线上的动点，过点E作EF⊥BD于F，且与CD、AD分别交于点G、H，连接OH． （1）若AC⊥AB，OF＝OC，求证：FG＝CG； （2）若在点E运动的过程中，存在四边形OCGH是菱形的情形，试探究平行四边形ABCD的边和角需要满足的条件． ( 图7 ) 菱形的性质与判定第3课时课后作业 一．基础性作业（必做题） 1．下列说法中不正确的是（　　） A．对角线垂直的平行四边形是菱形 B．四边相等的四边形是菱形 ( 图1 )C．菱形的对角线互相垂直且相等 D．菱形的邻边相等 2．如图1，剪两张对边平行的纸片随意交叉叠放在一起，转动其中一张， 重合部分构成一个四边形，则下列结论中不一定成立的是（　　） A．∠DAB+∠ABC＝180° B．AB＝BC C．AB＝CD，AD＝BC D．∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠BCD 3．如图2，△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，若AF＝6，则四边形AEDF的周长是　 　． 4．如图3，两条笔直的公路l1、l2相交于点O，村庄C的村民在公路的旁边建三个加工厂A、B、D，已知AB＝BC＝CD＝DA＝5公里，村庄C到公路l1的距离为4公里，则村庄C到公路l2的距离是　 　． 5．如图4，①以点A为圆心2cm长为半径画弧分别交∠MAN的两边AM、AN于点B、D；②以点B为圆心，AD长为半径画弧，再以点D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点C； ③分别连接BC、CD、AC．若∠MAN＝60°，则∠ACB的大小为　 　． ( 图4 ) ( 图3 ) ( 图2 ) ( 图5 ) 6．如图5，在△ABC中，AB＝AC，过A、C两点分别作AD∥BC，CD∥AB交于点D，延长DC至点E，使DC＝CE，连接BE． （1）求证：四边形ACEB是菱形； （2）若AB＝4，BC＝6，求四边形ACEB的面积． ( 图6 )二、拓展性作业（选做题） 1．如图6，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ABC＝60°，点E，F分别是BC，CD的中点，BD分别与AE，AF相交于点M，N，连接OE，OF，下列结论：（1）△AEF是等边三角形；（2）四边形CEOF是菱形；（3）OF⊥AE；（4）BM＝MN＝ND．其中正确的结论有　　 　． 2．在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交线段BC于点E，交线段DC的延长线于点F，以EC，CF为邻边作平行四边形ECFG． （1）如图7-1，求证：平行四边形ECFG为菱形； ( 图7-1 图7-2 )（2）如图7-2，若∠ABC＝90°，M是EF的中点，求∠BDM的度数． 3．如图8，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是t秒（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF． （1）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由； （2）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由． ( 图8 ) 菱形的性质与判定第1课时课后作业 一．基础性作业（必做题） 1．D；2．C；3．16；4．；5．． 6．证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC，AD∥BC， ∴∠A＝∠CBF， ∵BE⊥AD、CF⊥AB， ∴∠AEB＝∠BFC＝90°， 在△AEB和△BFC中， ∠A＝∠CBF ∠AEB＝∠BFC AB＝BC ∴△AEB≌△BFC（AAS）， ∴AE＝BF． 二、拓展性作业（选做题） 1．16；2．（，） 3．解：连接BD， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD， ∵∠A＝60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴BD＝AB＝30厘米＝0.3米， ∴校门关闭时，缩门的宽度为：0.3×20＝6米， 当每个菱形的内角度数为90°时， ∴BD＝AB＝30厘米， ∴校门打开时，伸缩门的宽度为×20＝厘米＝米 答：校门打开了米． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布 日期：2021/8/17 10:24:24；用户：数学；邮箱：lhsy1001@xyh.com；学号：23937142 菱形的性质和判定第2课时课后作业 一．基础性作业（必做题） 1. C； 2. D； 3. B； 4. AB＝CD． 5． 已知：如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD为对角线，且AC⊥BD， 求证：四边形ABCD是菱形， 证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴OA＝OC， ∵AC⊥BD， ∴AB＝CB， ∴四边形ABCD是菱形． 6．证明：（1）如图，连接AC，与BD相交于点O， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∵BE＝FD， ∴OB﹣BE＝OD﹣DF，即 OE＝OF． ∴四边形AECF是平行四边形； （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠ADB＝∠DBC， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠DBC， ∴∠ABD＝∠ADB， ∴AB＝AD， ∴平行四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， 即AC⊥EF； 由（1）得：四边形AECF是平行四边形， ∴四边形AECF是菱形． 二、拓展性作业（选做题） 1．　①②③　； 2．（5，4）或（，4）． 3. （1）证明：连接OG，如图1所示： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∵AC⊥AB， ∴AC⊥CD， ∴∠OCG＝90°， ∵EF⊥BD， ∴∠OFG＝90°， 在Rt△OFG和Rt△OCG中， OG＝OG，OF＝OC ∴Rt△OFG≌Rt△OCG（HL）， ∴FG＝CG； （2）解：如图2所示： 若四边形OCGH是菱形， 则OH＝OC，OH∥CG，OC∥GH， ∵EF⊥BD， ∴AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形， ∴CD＝AD，OA＝OC， ∴OA＝OH， ∴∠OAH＝∠OHA， ∵OH∥CG， ∴∠OHA＝∠ADC， ∵CD＝AD， ∴∠CAD＝∠DCA， ∴∠CAD＝∠ADC＝∠DCA， ∴△ACD是等边三角形， ∴∠ADC＝60° 所以平行四边形ABCD的边和角需要满足：CD＝AD，∠ADC＝60° 菱形的性质与判定第3课时参考答案 一．基础性作业（必做题） 1．C； 2．B；3． 24；4． 4；5． 30°； 6．证明：（1）∵AD∥BC，CD∥AB， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝DC， ∵DC＝CE， ∴AB＝CE， ∵AB∥CD， ∴AB∥CE， ∴四边形ACEB是平行四边形， ∵AB＝AC， ∴平行四边形ACEB是菱形； （2）如图，连接AE，交BC于点O， ∵四边形ACEB是菱形， ∴AE⊥BC， ∵AB＝4，BC＝6， ∴OB＝BC＝3， ∴OA＝， ∴AE＝2OA＝， ∴ 二、拓展性作业（选做题） 1．（1）（2）（3）（4）； 2．（1）证明：∵AF平分∠BAD， ∴∠BAF＝∠DAF， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD， ∴∠DAF＝∠CEF，∠BAF＝∠CFE， ∴∠CEF＝∠CFE， ∴CE＝CF， 又∵四边形ECFG是平行四边形， ∴四边形ECFG为菱形． （2）解：如图2，连接BM，MC， ∵∠ABC＝90°，四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是矩形， ∴∠BCD＝90°， ∴∠ECF＝90°， 由（1）可知，四边形ECFG为菱形， ∴四边形ECFG为正方形． ∵∠BAF＝∠DAF， ∴BE＝AB＝DC， ∵M为EF中点， ∴∠CEM＝∠ECM＝45°， ∴∠BEM＝∠DCM＝135°， 在△BME和△DMC中， BE＝CD ∠BEM＝∠DCM EM＝CM ∴△BME≌△DMC（SAS）， ∴MB＝MD， ∠DMC＝∠BME． ∴∠BMD＝∠BME+∠EMD＝∠DMC+∠EMD＝90°， ∴△BMD是等腰直角三角形， ∴∠BDM＝45°． 3．（1）证明：能． 理由如下：在△DFC中，∠DFC＝90°，∠C＝30°，DC＝4t， ∴DF＝2t， 又∵AE＝2t， ∴AE＝DF， ∵AB⊥BC，DF⊥BC， ∴AE∥DF， 又∵AE＝DF， ∴四边形AEFD为平行四边形， 当AE＝AD时，四边形AEFD为菱形， 即60﹣4t＝2t，解得t＝10． ∴当t＝10秒时，四边形AEFD为菱形． （2）①当∠DEF＝90°时，由（1）知四边形AEFD为平行四边形， ∴EF∥AD， ∴∠ADE＝∠DEF＝90°， ∵∠A＝60°， ∴∠AED＝30°， ∴AD＝AE＝t， 又AD＝60﹣4t，即60﹣4t＝t，解得t＝12； ②当∠EDF＝90°时，四边形EBFD为矩形，在Rt△AED中∠A＝60°，则∠ADE＝30°， ∴AD＝2AE，即60﹣4t＝4t，解得t＝． ③若∠EFD＝90°，则E与B重合，D与A重合，此种情况不存在． 综上所述，当t＝或12秒时，△DEF为直角三角形． 第2页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $$