5.2二次函数的图象和性质（讲义2）2024-2025学年苏科版数学九年级下册

2024-2025学年苏科版数学九年级下册 5.2二次函数的图象和性质 （讲义2） 【知识点一】二次函数的图象 （1） （2） 【典型例题】 【例题1】二次函数y＝x2＋1的图象大致是（ ） A．B．C． D． 【例题2】在平面直角坐标系中，将二次函数y＝3x2的图象向下平移3个单位长度，所得函数的解析式为（　　） A．y＝3x2﹣1 B．y＝3 x2+1 C．y＝3x2﹣3 D．y＝3x2+3 【例题3】如图，在同一坐标系中，二次函数y＝ax2+c与一次函数y＝ax+c的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【例题4】如图，二次函数y＝﹣x2+m（m＞0）的图象经过一个顶点在原点的正方形的另三个顶点，则m＝　 　． 【例题5】在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象： 观察三条抛物线的位置关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点．你能说出抛物线的开口方向、对称轴和顶点吗？它与抛物线有什么关系？ 【例题6】在同一平面直角坐标系中画出函数和的图象，并根据图象回答下列问题： （1）抛物线经过怎样的平移才能得到抛物线？ （2）函数，当x_______时，y随x的增大而减小；当x________时，函数有最大值，最大值是_____________；其图象与y轴的交点坐标是______，与x轴的交点坐标是________________. （3）试说出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标. 【知识点二】二次函数的性质 函数 图像 开口方向 向上 向下 顶点坐标 (0，k) (0，k) 对称轴 y轴 y轴 函数变化 当时，y随x的增大而增大； 当时，y随x的增大而减小. 当时，y随x的增大而减小； 当时，y随x的增大而增大. 最大（小）值 当时， 当时， 【典型例题】 【例题1】抛物线可以看作是由抛物线按下列何种变换得到的（ ） A．向上平移5个单位 B．向下平移5个单位 C．向左平移5个单位 D．向右平移5个单位 【例题2】对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（ ） A．开口向下 B．对称轴是直线x=-3 C．顶点坐标为（0，3） D．当 x>0时，y随x的增大而减小 【例题3】抛物线共有的性质是（ ） A．开口向上 B．都有最高点 C．对称轴是轴 D．随的增大而减小 【例题4】已知，点，，都在函数的图象上，则（   ） A． B． C． D． 【例题5】如图，已知抛物线． （1）该抛物线顶点坐标为________； （2）在坐标系中画出此抛物线y的大致图象（不要求列表）； （3）该抛物线可由抛物线向________平移________个单位得到； （4）当时，求x的取值范围． 【例题6】已知二次函数y＝﹣x2+1． （1）该抛物线的对称轴是 　 　，顶点坐标 　 　； （2）补充下列表格，并在下表的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象； x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … ﹣3 0 　 　 0 　 　 … （3）若该抛物线上两点A（x1，y1），B（x2，y2）的横坐标满足x1＞x2＞0，则y1　 　y2（比较大小）． 【知识点三】二次函数的图象与性质综合运用 【典型例题】 【例题1】如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣2，﹣3），B（3，q）两点，则不等式ax2﹣mx+c＜n的解集是　 　． 【例题2】如图，抛物线与直线交于， 两点，则不等式的解是 ． 【例题3】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+3（a＜0）与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线yx2于点B、C，则线段BC的长为 　 　． 【例题4】如图所示，已知抛物线y＝x2﹣1与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． （1）求A、B、C三点的坐标； （2）过点A作AP∥CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积； （3）在x轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MG⊥x轴于点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形与△PCA相似？若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由． 【例题5】如图，已知正比例函数y＝2x的图象与抛物线y＝ax2＋3相交于点A(1，b)． (1)求a与b的值； (2)若点B(m，4)在函数y＝2x的图象上，抛物线y＝ax2＋3的顶点是C，求△ABC的面积； (3)若点P是x轴上一个动点，求当PA＋PC最小时点P的坐标． 【例题6】如图，二次函数的顶点坐标为，矩形的顶点、在轴上，、在抛物线上，矩形在抛物线与轴所围成的图形内． （1）求二次函数的解析式； （2）设点的坐标为，试求矩形的周长关于自变量的函数解析式，并求出自变量的取值范围； （3）是否存在这样的矩形，使它的周长为9？试证明你的结论． ( 第 1 页 共 9 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$