1.2矩形的性质与判定 课后作业2024～2025学年北师大版数学九年级上册

1.2矩形的性质与判定 矩形的性质与判定第1课时课后作业 一.基础性作业(必做题) 1.菱形和矩形都具有的性质是( ) A.对角线互相平分 B.有一组邻边相等 C.对角线相等 D.对角线互相垂直 2.在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O.若AB=5,AD=12,则OC= . 3.如图1,矩形ABCD中,∠BOC=120 ,AB=4,则AC的长是 . 4. 如图2,在矩形ABCD中,AB=2BC,在CD上取一点E,使AE=AB,则∠EBC等于 . 5.如图3,在矩形ABCD中,∠BDC的平分线交AB的延长线于点E,若AD=3,AE=9,则AB的长为 . ( 图3 ) ( 图1 ) ( 图2 ) 6.如图4,在矩形ABCD中,BE⊥AC,DF⊥AC,垂足分别为E、F,连接DE、BF. (1)求证:BE=DF; ( 图4 )(2)判断四边形BEDF的形状,并说明理由. ( 图5 )二.拓展性作业(选做题) 1. 如图5,矩形ABCD的对角线AC,BD交于点O,AB=6,BC=8,过点O作OE⊥AC,交AD于点E,过点E作EF⊥BD,垂足为F,则OE+EF的值为 . 2.如图6-1,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,经过点O的任意一条直线分别交AD,BC于点E,F. ( 图6-2 ) ( 图6-1 ) (1)求证:OE=OF; (2)如图6-2,如果点E,F分别是AD,BC的中点,AB=5,BC=12.在对角线AC上是否存在点P,使∠EPF=90 ?如果存在,请求出AP的长;如果不存在,请说明理由. 3.【知识回顾】我们在八年级上学期已学习定理:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 【新知应用】请你利用矩形的性质,证明该定理. 已知:如图7-1,在Rt ABC中,∠ABC=90 ,O是AC的中点; ( 图7 -1 图7 -2 )求证:OB=AC . 证明: 【灵活运用】如图7-2,四边形ABCD中,∠ABC=90 ,AC=AD,E,F分别是AC,CD的中点,连接BE,EF,BF,求证:∠1=∠2. 矩形的性质与判定第2课时课后作业 一.基础性作业(必做题) 1.已知平行四边形ABCD,下列条件中,不能判定这个平行四边形为矩形的是( ) A.∠A=∠B B.∠A=∠C C.AC=BD D.AB⊥BC 2.要判断一个四边形门框是否为矩形,在下面四个拟定方案中,正确的方案是( ) A.测量对角线是否互相平分且垂直 B.测量对角线是否相互平分 C.测量对角线是否互相平分且相等 D.测量对角线是否互相垂直 3.如图1,在四边形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,AB=4cm,AD>AB,CD=5cm,点P从点C出发沿边CB以每秒1cm的速度向点B运动, 秒后四边形ABPD是矩形. 4. 如图2,将平行四边形ABCD的边DC延长到E,使CE=CD,连接AE交BC于F, ∠AFC=n∠D,当n= 时,四边形ABEC是矩形. 5.如图3,A,B为5 5的正方形网格中的两个格点,称四个顶点都是格点的矩形为格点矩形,在此图中以A,B为顶点的格点矩形共可以画出 个. ( 图3 ) ( 图2 ) ( 图1 ) 6.如图4,点C是BE的中点,四边形ABCD是平行四边形. ( 图4 )(1)求证:四边形ACED是平行四边形; (2)如果AB=AE,求证:四边形ACED是矩形. 二.拓展性作业(选做题) ( 图5 )7.如图5,在锐角 ABC中,点O是AC边上的一个动点,过O作直线MN∥BC.设MN交∠ACB的平分线于点E,交∠ACB的外角平分线于点F.则以下结论:①OE=OF;②CE=CF;③若CE=12,CF=5,则OC=6;④当AO=CO时,四边形AECF是矩形.正确的是 .(只填序号即可) 8.如图6,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别为OB,OD的中点,延长AE至点G,使AE=GE,连接CG,CF. (1)求证: AOE≌ COF; (2)只需添加一个条件,即 ,可使四边形CGEF为矩形,请加以证明. ( 图6 ) 9.如图7,在 ABC中,点O是边AC上一个动点,过点O作直线EF∥BC分别交∠ACB、外角∠ACD的平分线于点E,F. ( 图7 )(1)若CE=4,CF=3,求OC的长. (2)连接AE、AF,问当点O在边AC上运动到什么位置时, 四边形AECF是矩形?请说明理由. 矩形的性质与判定第3课时课后作业 一.基础性作业(必做题) 1.已知 ABCD,下列条件中,不能判定这个平行四边形为矩形的是( ) A.∠A=∠B B.∠A=∠C C.AC=BD D.AB⊥BC 2.如图1,O是矩形ABCD的对角线AC的中点,M是AD的中点,若AB=5,AD=12,则OM+OB的长为( ) A.7 B.8 C.9 D.10 ( 图2 ) ( 图1 ) 3.如图2,点O是菱形ABCD对角线的交点,DE∥AC,CE∥BD,连接OE,设AC=12,BD=16,则OE的长为( ) A.8 B.9 C.10 D.12 4.如图3,已知矩形ABCD,将 BCD沿对角线BD折叠,记点C的对应点为C',若∠ADC'=20 ,则∠BDC的度数为( ) A.55 B.50 C.60 D.65 ( 图3 ) ( 图4 ) 5.如图4,已知矩形ABCD,AB=6cm,AD=8cm,过对角线BD的中点O作BD的垂直平分线EF,分别交AD,BC于点E,F,则AE的长为 cm. 6.如图5,在 ABC中,AB=AC=5,BC=6,AD为BC边上的高,过点A作AE∥BC,过点D作DE∥AC,AE与DE交于点E,AB与DE交于点F,连接BE. ( 图5 )(1)求证:四边形AEBD是矩形; (2)求四边形AEBD的面积. 二、拓展性作业(选做题) ( 图6 )1.如图6,在平行四边形ABCD中,P是AB上一点(不与点A,B重合),CP=CD,过点P作PQ⊥CP,交AD于点Q,连接CQ,∠BPC=∠AQP. (1)求证:四边形ABCD是矩形; (2)当AP=3,AD=9时,求AQ和CQ的长. 2.如图7,在Rt ABC中,∠BAC=90 ,AB=6,AC=8,P为边BC上一动点,PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,M为EF的中点,求AM的最小值. ( 图7 ) 3.如图8,四边形ABCD中,AC=6,BD=8且AC⊥BD.顺次连接四边形ABCD各边中点,得到四边形A1B1C1D1;再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点,得到四边形A2B2C2D2…如此进行下去得到四边形AnBn∁nDn. ( 图8 )(1)证明:四边形A1B1C1D1是矩形; (2)写出四边形A1B1C1D1和四边形A2B2C2D2的面积; (3)写出四边形AnBn∁nDn的面积; (4)求四边形A5B5C5D5的周长. 矩形的性质与判定第1课时参考答案 一.基础性作业(必做题) 1.A; 2.; 3. 8; 4.15 ;5. 4; 6.(1)证明:∵矩形ABCD, ∴AB∥CD,AB=CD, ∴∠BAE=∠DCF, ∵BE⊥AC,DF⊥AC, ∴∠BEA=∠DFC=90 , ∴ ABE≌ CDF(AAS), ∴BE=DF. (2)四边形BEDF是平行四边形. ∵BE⊥AC,DF⊥AC, ∴BE∥DF, 又∵BE=DF, ∴四边形BEDF是平行四边形. 二、拓展性作业(选做题) 1. ; 2. 证明:∵ ABCD的对角线AC,BD交于点O, ∴AO=CO,AD∥BC, ∴∠EAC=∠FCO, 在 AOE和 COF中 ∴ AOE≌ COF(ASA), ∴AE=CF; (2)存在, 由(1)可知,OE=OF,AO=CO, ∵∠EPF=90 , ∴OP=EF, ∵AE∥BF,AE=BF,∠B=90 , ∴四边形ABFE是矩形, ∴EF=AB=5, ∴OP=EF=2.5, 在Rt ABC中,AC=, ∴AO=CO=AC=6.5, ∴AP'=AO﹣OP'=6.5﹣2.5=4, AP″=AO+OP″=6.5+2.5=9, ∴AP的长为4或9. 3.【新知应用】 证明:延长BO至点D,使OD=OB,连接AD、CD, ∵O是AC的中点, ∴OA=OC, ∴四边形ABCD是平行四边形, ∵∠ABC=90 , ∴平行四边形ABCD是矩形, ∴AC=BD, ∴OB=AC, 【灵活运用】 证明:∵∠ABC=90 ,E是AC的中点, ∴BE=AC, ∵F是CD的中点, ∴EF是 ACD的中位线, ∴EF=AD, ∵AC=AD, ∴BE=EF, ∴∠1=∠2. 矩形的性质与判定第2课时参考答案 一.基础性作业(必做题) 1.B; 2.C ; 3.3 ; 4.2 ; 5.4 ; 6. (1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC,且AD=BC. ∵点C是BE的中点, ∴BC=CE, ∴AD=CE, ∵AD∥CE, ∴四边形ACED是平行四边形; (2)证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB=DC, ∵AB=AE, ∴DC=AE, ∵四边形ACED是平行四边形, ∴四边形ACED是矩形. 二.拓展性作业(选做题) 1.①④; 8.(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴OB=OD,OA=OC, ∵点E、F分别为OB、OD的中点, ∴EO=OB,FO=OD, ∴OE=OF, 在 AEO和 CFO中, OA=OC ∠AEO=∠COF OE=OF ∴ AEO≌ CFO(SAS); (2)解:添加AC=2AB时,可使四边形CGEF为矩形,证明如下: 由(1)得:∠AEO=∠CFO, ∴AE∥CF, ∵EA=EG,OA=OC, ∴EO是 AGC的中位线, ∴EO∥GC, ∴四边形CGEF是平行四边形, ∵AC=2AB,AC=2AO, ∴AB=AO, ∵E是OB的中点, ∴AE⊥OB, ∴∠OEG=90 , ∴平行四边形CGEF是矩形, 故答案为:AC=2AB. 3.(1)证明:∵EF交∠ACB的平分线于点E,交∠ACB的外角平分线于点F, ∴∠OCE=∠BCE,∠OCF=∠DCF, ∵EF∥BC, ∴∠OEC=∠BCE,∠OFC=∠DCF, ∴∠OEC=∠OCE,∠OFC=∠OCF, ∴OE=OC,OF=OC, ∴OE=OF; ∵∠OCE+∠BCE+∠OCF+∠DCF=180 , ∴∠ECF=90 , 在Rt CEF中,由勾股定理得:EF==5, ∴OC=OE=EF=2.5; (2)当点O在边AC上运动到AC中点时,四边形AECF是矩形.理由如下: 连接AE、AF,如图所示:当O为AC的中点时,AO=CO, ∵EO=FO, ∴四边形AECF是平行四边形, ∵∠ECF=90 , ∴平行四边形AECF是矩形. 矩形的性质与判定第3课时参考答案 一.基础性作业(必做题) 1.B; 2.C; 3.C; 4.A;5.; 6.(1)证明:∵AE∥BC,BE∥AC, ∴四边形AEDC是平行四边形. ∴AE=CD. 在 ABC中,AB=AC,AD为BC边上的高, ∴∠ADB=90 ,BD=CD. ∴BD=AE. ∴四边形AEBD是矩形. (2)解:在Rt ADC中,∠ADB=90 ,AC=5,BD=CD=BC=3, ∴AD==4. ∴四边形AEBD的面积=BD•AD 3 4=12. 二、拓展性作业(选做题) 1.(1)证明:∵∠BPQ=∠BPC+∠CPQ=∠A+∠AQP,∠BPC=∠AQP, ∴∠CPQ=∠A, ∵PQ⊥CP, ∴∠A=∠CPQ=90 , ∴平行四边形ABCD是矩形; (2)解:∵四边形ABCD是矩形, ∴∠D=∠CPQ=90 , 在Rt CDQ和Rt CPQ中, CQ=CQ CD=CP , ∴Rt CDQ≌Rt CPQ(HL), ∴DQ=PQ, 设AQ=x,则DQ=PQ=9﹣x, 在Rt APQ中,AQ2+AP2=PQ2, ∴x2+32=(9﹣x)2, 解得:x=4, ∴AQ的长是4. 设CD=AB=CP=y,则PB=y﹣3,在Rt PCB中,根据勾股定理列方程,求出y=15. 在Rt CDQ中,CQ=. 2.解:连接AP,如图所示: ∵∠BAC=90 ,AB=6,AC=8, ∴BC==10, ∵PE⊥AB,PF⊥AC, ∴四边形AFPE是矩形, ∴EF=AP,EF与AP互相平分, ∵M是EF的中点, ∴M为AP的中点, ∴AM=AP, ∵AP⊥BC时,AP最短,同样AM也最短, ∴当AP⊥BC时,AP==4.8, ∴AP最短时,AP=4.8, ∴当AM最短时,AM=AP=2.4. 即AM的最小值为2.4. 3. (1)证明:∵点A1,D1分别是AB、AD的中点, ∴A1D1是 ABD的中位线 ∴A1D1∥BD,A1D1=BD, 同理:B1C1∥BD,B1C1=BD ∴A1D1∥B1C1,A1D1=B1C1=BD ∴四边形A1B1C1D1是平行四边形. ∵AC⊥BD,AC∥A1B1,BD∥A1D1, ∴A1B1⊥A1D1即∠B1A1D1=90 ∴四边形A1B1C1D1是矩形; (2)解:由三角形的中位线的性质知,B1C1=BD=4,B1A1=AC=3, 得:四边形A1B1C1D1的面积为12;四边形A2B2C2D2的面积为6; (3)解:由三角形的中位线的性质可以推得,每得到一次四边形,它的面积变为原来的一半,故四边形AnBn∁nDn的面积为; (4)解:方法一:由(1)得矩形A1B1C1D1的长为4,宽为3. ∵矩形A5B5C5D5∽矩形A1B1C1D1 ∴可设矩形A5B5C5D5的长为4x,宽为3x,则, 解得 ∴, ∴矩形A5B5C5D5的周长= 方法二:矩形A5B5C5D5的面积/矩形A1B1C1D1的面积 =(矩形A5B5C5D5的周长)2/(矩形A1B1C1D1的周长)2 即:12=(矩形A5B5C5D5的周长)2:142 ∴矩形A5B5C5D5的周长=. 第2页(共2页) 学科网(北京)股份有限公司 $$