精品解析：苏科版2023-2024学年九年级数学下册期末综合练习

期末综合练习-2023-2024学年数学九年级下册苏科版 注意事项： 1．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效． 2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上． 3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效． 4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列说法中，正确是（ ） A. 一组数据4，4，2，3，1的中位数是2 B. 反映空气的主要成分（氮气约占，氧气约占，其他微量气体约占）宜采用折线统计图 C. 甲、乙两人各10次射击的平均成绩相同，方差分别是，，则乙的射击成绩较稳定 D. 对载人航天器零部件的检查适合采用抽样调查 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全面调查和抽样调查，平均数，中位数以及方差等知识点，选项A根据中位数的定义判断即可；选项B根据各种统计图的特点判断即可；选项C根据方差的意义判断即可；选项D根据全面调查和抽样调查的定义判断即可，掌握相关定义是解答本题的关键． 【详解】A．一组数据4，4，2，3，1的中位数是3，原说法错误，故本选项不符合题意； B．反映空气的主要成分（氮气约占，氧气约占，其他微量气体约占）宜采用扇形统计图，原说法错误，故本选项不符合题意； C．甲、乙两人各10次射击的平均成绩相同，方差分别是，，则乙的射击成绩较稳定，说法正确，故本选项符合题意； D．对载人航天器零部件的检查适合采用全面调查，原说法错误，故本选项不符合题意； 故选：C． 2. 如图，在中，以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点，分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧在的内部交于点，作射线交于点．若，则的长为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，角平分线的性质和角平分线的尺规作图，过点作于点，勾股定理求得，根据作图可得是的角平分线，进而设，则，根据，代入数据即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点， 在中，，， ∴， 根据作图可得是的角平分线， ∴， 设，则， ∵， ∴ 解得：，经检验，满足所列方程， ∴ 故选：C． 3. 如图，在平行四边形中，， ． 动点M从A点出发， 沿折线方向运动，运动到点C停止． 设点M的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数图象如图，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查平行四边形的性质，三角形的面积公式，判断出点M和点D重合时，的面积为是解本题的关键． 先根据函数关系图象得出，再由运动结合的面积的变化，得出点M和点D重合时，的面积最大，其值为，进而建立方程求解，即可得出结论． 【详解】解：由图可知点M的运动路程为，即， ∵是平行四边形， ∴， ∴， 设，则， 因为当点M运动到点D时，的面积为， 这时，过点D作于点E， 则， ∴， 解得：或， ∵， ∴，， 故选：C． 4. 生活中到处可见黄金分割的美．如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感．若图中b为2米，则a约为（ ） A. 1.37米 B. 0.76米 C. 1.22米 D. 1.24米 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，根据黄金分割的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：∵雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618， ∴， ∵米， ∴（米）， ∴a约为1.24米， 故选：D． 5. 如图，在中，，，将直角三角板的直角顶点放在线段的中点上，以点为旋转中心，转动三角板，交线段于点，交线段于点，连接.设线段的长为，的面积为，在转动过程中，与的函数图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】的面积可以分为，，和，所以通过面积关系来列式计算，从而得到关于，的关系式，再有关系式来判断图象．本题主要考查了函数关系式及二次函数图象的性质，相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过面积关系推导出函数关系式． 【详解】解：如图：作，， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵为中点， ∴ ∵， ， ∵， ∴， ∵为的中点， ∴ ∴ ， ∴四边形是正方形， 设线段的长为， ， 连接，如图： ∵ ∴ ∵四边形是正方形， ∴ ∴ ∵ ∴ ， ， 即， ∵， ∴开口向上， 当时，则， 即经过点， 故选：C 6. 已知抛物线是常数且经过，下列四个结论： ①若此抛物线顶点在第四象限，则； ②若抛物线经过，则对称轴为直线； ③若二次函数的图象与x轴只有一个公共点，则； ④若，此抛物线与x轴交于两点，当时，有．其中正确的结论是（ ） A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象与二次函数系数之间关系，把点代入解析式得出，再根据抛物线顶点在第四象限得出；根据抛物线经过，，得出对称轴；根据函数的图象与x轴只有一个公共点可得，再根据得出；根据二次函数的对称性，即可判断． 【详解】解：①把点代入，得， ∴， ∵此抛物线顶点在第四象限， ∴， ∴， 故①正确； ②∵抛物线经过，， ∴抛物线对称轴为直线， 故②正确； ③当时， ∵函数的图象与x轴只有一个公共点， ∴， ∵， ∴， 即， ∴； 故③错误； ④∵， ∴， ∴二次函数的图象关于直线对称，与x轴交于两点，且， ∴，故④正确； 综上，正确的结论是①②④． 故选：C． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 7. 在一个不透明的布袋中装有红球、白球共40个，这些球除颜色外都相同．小明从中随机摸出一个球记下颜色并放回，通过大量重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.4，则布袋中红球的个数大约是______． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，用总球的个数乘以摸到红球的频率即可得出答案，解答本题的关键要明确：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【详解】解：一个不透明的布袋中装有红球、白球共40个，其中摸到红球的频率稳定在0.4， 布袋中红球的个数大约是（个； 故答案为：16． 8. 在锐角中，已知满足，则______． 【答案】##75度 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值以及非负数的性质，根据非负数的性质求出、的值，然后求出的度数，继而可求得． 【详解】解：由题意得，，， ∴，， 则，， ∴． 故答案为：． 9. 下面是某小区随机抽取的50户家庭的某月用电量情况统计表： 月用电量x（千瓦时/户/月） 户 数（户） 6 15 11 14 4 已如月用电量第三档的标准为大于240小于等于400，如果该小区有500户家庭，估计用电量在第三档的家庭有______户． 【答案】400 【解析】 【分析】本题考查用样本估计总体．先计算样本中月用电量第三档的百分比，由此可计算出总体中月用电量第三档的数量． 【详解】解：样本中月用电量第三档的百分比为， ∴由此估计全小区500户家庭中用电量在第三档的家庭有（户）． 故答案为：400 10. 为了给山顶供水，决定在山脚A处开始沿山坡铺设水管．现测得斜坡与水平面所成角为，为使出水口高度为35m，那么需要准备____长的水管．（结果保留整数）（） 【答案】113 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，解直角三角形进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故答案为：113． 11. 如图，在中，，平分，，垂足为点E，若，，则（1）是______；（2）的周长是______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据等面积法得出即可求解；延长交于点，过点作，即可得出，进而根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】解：如图所示，延长交于点，过点作， ∵平分，则到的距离相等， 设到的距离为，到的距离为， ∴， ∴； 故答案为：． ∵平分， ∴，， 又∵ ∴ ∴， ∵ 设 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 由（1）可得 设，则，，则 ∵，， ∴ ∵ ∴ ∵， ∴， 又 ∴ ∴ ∴ 解得： ∴的周长是 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，三角形的内角和定理的应用，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 12. 古希腊数学家泰勒斯曾利用立杆测影的方法，在金字塔影子的顶部直立一根木杆，借助太阳光测金字塔的高度．如图，木杆长米，它的影长是3米，同一时测得是274米，则金字塔的高度是________米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行投影，根据同一时刻，物高与影长对应成比例，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 即：， ∴； 故答案为：137． 13. 在中，．将绕点B顺时针旋转得到，点A的对应点为点D，点C的对应点为点E，点E在内，当时，过点A作于点F．若，则的长为__． 【答案】 【解析】 【分析】此题重点考查旋转性质、勾股定理、矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．延长交于点G，作于点H，则，根据勾股定理求得，由旋转得，可证明四边形是矩形，解直角三角形的相关计算求出的长，再证明，得到于是得到问题的答案． 【详解】解：如图，延长交于点G，作于点H，则， 于点F， ， ， 由旋转得， ， 四边形是矩形， ， ，， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 14. 抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，将抛物线W沿y轴向上平移得到抛物线，抛物线与y轴交于点D，当时，抛物线与x轴有且只有一个交点，则的长为_________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标的特征，一元二次方程的根与系数的关系，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．设向上平移得到抛物线的解析式为，利用，得到，利用抛物线与x轴有且只有一个交点，求得；设，，则α，β是方程的根，利用一元二次方程的根与系数的关系解答即可得出结论． 【详解】解：∵与y轴交于点C， ∴， ∴． 设向上平移得到抛物线的解析式为， ∵抛物线与y轴交于点D， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴抛物线的解析式为， ∵抛物线与x轴有且只有一个交点， ∴， ∴． ∴抛物线W的解析式为， 设，则α，β是方程的根， ∴． ∴． 故答案为：． 15. 定义：在平面直角坐标系中，我们将横、纵坐标都是整数的点称为“整点”． （1）抛物线与轴围成的区域内（不包括抛物线和轴上的点）整点有_____个； （2）若抛物线与轴围成的区域内（不包括抛物线和轴上的点）恰好有个“整点”，则的取值范围是_____． 【答案】 ①. ； ②. 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键， （）根据二次函数与坐标轴交点问题即可求解； （）根据二次函数图象的性质即可求解． 【详解】（）如图， 当时，个“整点”， 当时，个“整点”， 当时，个“整点”， 一共有个“整点”， 故答案为：； （）如图， 由得，根据图形可知， 当时，个“整点”， 当时，个“整点”， 当时，个“整点”， 若恰好有个“整点”，则抛物线经过时，， 抛物线经过时，， 抛物线经过时，， 的取值范围是， 故答案为：． 16. 二次函数的图象的一部分如图所示，已知图象经过点，其对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④；⑤点是抛物线上的两点，若，则；⑥若抛物线经过点，则关于x的一元二次方程的两根分别为．其中正确的有__________（填序号）． 【答案】①③⑥ 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题关键是根据二次函数图象，确定字母系数的符号和相关式子；根据二次函数图象的性质，逐项判断即可． 【详解】解：由所给函数图象可知， 抛物线开口向下，， 因为抛物线的对称轴为直线， 所以，即， ∵抛物线与y轴交点在正半轴， ∴ 所以． 故①正确． 因为抛物线与x轴有两个不同的交点， 所以． 故②错误． 由函数图象可知， 当时，函数值小于零， 则． 又因为抛物线的对称轴为直线， 所以， 即， 所以， 即． 故③正确． 因为抛物线与x轴的一个交点坐标为，且对称轴为直线， 所以抛物线与x轴的另一个交点坐标为， 则． 又因为， 所以． 故④错误． 当点在抛物线对称轴的右侧时， 因为抛物线开口向下， 所以在对称轴右侧的部分，y随x的增大而减小， 即时，． 故⑤错误． 方程的根可看成函数的图象与直线的交点的横坐标， 因为抛物线经过点， 所以函数的图象与直线的一个交点的横坐标为． 又因为抛物线的对称轴为直线， 所以函数的图象与直线的另一个交点的横坐标为5， 所以关于x的一元二次方程的两根分别为． 故⑥正确． 故答案为：①③⑥． 三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：； （2）如图，在中，点D，E分别在上，，若，求的长． 【答案】（1）1；（2） 【解析】 【分析】本题主要查了二次根式的性质，特殊角锐角函数值，零指数幂，相似三角形的判定和性质： （1）先根据二次根式的性质，特殊角锐角函数值，零指数幂化简，再计算，即可求解； （2）根据，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：（1） ； （2）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：． 18. 春节、清明、端午、中秋是我国四大传统节日，每个传统节日都有丰富的文化内涵，体现了厚重的家国情怀；在文化的传承与创新中让我们更加热爱传统文化，更加坚定文化自信，因此，端午节前，学校举行“传经典·乐端午”系列活动，活动设计的项目及要求如下：A-包粽子，B-划旱船，C-诵诗词，D-创美文；人人参加，每人限选一项．为了解学生的参与情况，校团支部随机抽取了部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如下不完整的统计图，如图．请根据统计图中的信息，回答下列问题 （1）______，“诵诗词”在扇形统计图中所占扇形区域的圆心角的度数为______°． （2）补全条形统计图； （3）若学校有2000名学生，请估计选择D类活动的人数； （4）甲、乙、丙、丁四名学生都是包粽子的能手，现从他们4人中选2人参加才艺展示，请用列表或画树状图的方法，求甲、乙两人同时被选中的概率． 【答案】（1）25，54； （2）见解析； （3）人； （4） 【解析】 【分析】（1）根据划旱船的人数和所占的百分比可求得总人数，再用总人数乘以包粽子的人数所占的百分比即可得出m的值，再计算出诵诗词的人数即可求得所对应圆心角的度数； （2）根据（1）补全条形统计图； （3）用2000乘以D类活动所占的百分比即可； （4）先画树状图，再根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：总人数为：（人） （人） 诵诗词的人数：（人） ∴“诵诗词”在扇形统计图中所占扇形区域的圆心角的度数为 ， 故答案为：25，54； 【小问2详解】 解：补全图形如下： 【小问3详解】 解： （人） 答：选择D类活动的人数大约有200人； 小问4详解】 解：树状图如下： 由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中同时选中甲和乙的有2种， 所以同时选中甲和乙的概率为． 【点睛】本题考查了扇形统计图和条形统计图的信息关联，样本估计总体以及树状图求概率，解题的关键是从统计图中获取有用信息，以及掌握画树状图的方法． 19. 在边长为1的小正方形组成的网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上． （1）作出关于直线l成轴对称的； （2）在边上确定一点D，使． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）利用网格特点和轴对称的性质画出A、B、C关于直线l的对称点即可； （2）取格点M，N，可得，进而得到． 【小问1详解】 解：即为所求； 【小问2详解】 解：点D即为所求 【点睛】本题考查了作图—轴对称变换，相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质和轴对称的性质是解题的关键． 20. 过点 , 的抛物线与轴交于点． （1）求，的值； （2）直线交轴于点，点是抛物线上位于直线下方的一动点，过点作直线的垂线，垂足为． 求的最大值； 当 时，求点的坐标． 【答案】（1），； （2）最大值为；． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数，一次函数的性质及解直角三角形，解题的关键是熟练掌握知识点的应用． （）直接利用待定系数法，把代入抛物线即可求得； （）直线的解析式为，先求出设与轴交于点，过作轴于点，交于点，根据，即，得，设点，则点，则，求出最大值即可； 由的坐标特点，得到轴， 又和直线的解析式即可求得； 【小问1详解】 把 代入抛物线可得，， 解得 ； 【小问2详解】 由（）得，抛物线的解析式为， ∴， ∵， 设直线的解析式为， 把代入解析式得， ，解得 ， ∴直线的解析式为， 设与轴交于点，过作轴于点，交于点， ∴， ∴， 由得， 又 ， ，， ∴，， ∴由勾股定理得：， ∴，即， ∴， 设点，则点， 则， ∵， 故当时，有最大值， ∴的最大值为； 过点作交抛物线于点，则， ∵，则， 而直线的表达式为， 则的表达式为：， 联立直线的表达式和抛物线的表达式得： ， 解得：(舍去)或， 则点的坐标为． 21. 如图，在等腰中，，点是上一点，以为直径的过点，连接，且，的平分线交于点，交于点，连接． （1）求证：与相切． （2）求证：． （3）已知，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题是圆的综合题，考查了圆的基本性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识． （1）连接，由得，根据得到，结合题意可推出，由是的直径，得，即可证明； （2）根据圆周角定理得，由角平分线的定义得，推出，即可证明； （3）连接，由得，根据等腰三角形的性质和三角形的外角性质可推出，进而求出，由得到，根据勾股定理求出，最后根据相似三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 证明：连接， ， ， ， ， ， . 是的直径， ， ， ， ， 与相切； 【小问2详解】 证明：与所对的弧相同， ， 平分， ， ， ， ； 【小问3详解】 ， ， ，，， ， ， 在中，， 连接， ， ， ， 在中，， ， ， ， . 22. 跳楼机是游乐园常见的大型机动游戏设备（如图①），小明同学想测算跳楼机的上升速度，将其抽象成如图②所示的示意图，跳楼机从地面处发射，前以的平均速度竖直上升到达处，此时小明在处观测跳楼机的仰角为．跳楼机以不同的速度再继续上升后到达处，此时小明在处测得跳楼机的仰角为，求跳楼机在段的平均速度（参考数据：）． 【答案】跳楼机在段的平均速度约为 【解析】 【分析】根据时间与速度计算出路程，通过三角函数计算出，即可得到的距离，最后用速度公式求解即可．本题考查了仰角、解直角三角形的应用，解题的关键在于正确计算． 【详解】解：依题意，． 又， ． ∵， ， ，， 故跳楼机在段的平均速度约为． 23. 大学生小丽暑假期间从小商品批发市场批发了一种新商品，新商品的进价为30元/件，经过一段时间的试销，售价为x元/件，每月的总利润为w元． （1）当售价在40﹣50元/件时，每月的销售量都为60件，则此时每月的总利润最多是多少元？ （2）当售价在50﹣70元/件时，每月的销售量与售价的关系如图所示．小丽决定每卖出一件商品就向福利院捐赠m（m为整数）元，若要保证小丽每月获利仍随x的增大而增大，并求此时售价为多少元时，她每月获利最大． 【答案】（1）1200元 （2）70元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数应用和二次函数的应用： （1）根据总利润=单件的利润×销售量求解即可； （2）首先求出当售价在元时，每月销售量与售价的关系式，进而可得每月的总利润，根据二次函数的性质即可求解； 解题关键是理清题意，列出方程或函数关系式． 【小问1详解】 解：当售价在元时，总利润， ， ∴当时，总利润最多， ∴每月的总利润最多是1200元 【小问2详解】 当售价在元时，设每月销售量， 由图得：， 解得 ∴每月销售量， ∴每月的总利润， ∴二次函数的对称轴为直线， ∵，且要保证小丽每月获利仍随x的增大而增大， ， 解得：， ∴m的最小值是30， 此时， ∴当时，w取得最大值， ∴m的最小值是30，此时售价为70元时． 24. 已知抛物线 （1）当时，求抛物线的顶点坐标． （2）无论a为何值，直线与抛物线相交所得的线段（点E在点F左侧）的长度都不变，求m的值和的长； （3）在（2）的条件下，将抛物线沿直线翻折，得到抛物线，抛物线的顶点分别记为P，Q．是否存在实数a，使得以点E，F，P，Q为顶点的四边形为正方形？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）， （3）或1 【解析】 【分析】（1）将一般式化成顶点式即可求出顶点坐标； （2）分析可知抛物线过定点和，利用的长度不变，可知当时，抛物线相交所得的线段（点E在点F左侧）的长度都不变； （3）先求出抛物线的顶点坐标为，由（2）可知点E、F均在直线上，根据翻折的性质可知P、Q两点关于对称，即P、Q在的两侧，故要使E、F、P、Q四点构成的四边形为正方形，需满足，可得点P到直线的距离为2，即可求解． 【小问1详解】 解：当时，抛物线的解析式为， ∵， 抛物线的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线过点， 当时，， ∴抛物线与y轴交于点， ∵直线与抛物线相交所得的线段（点E在点F左侧）的长度都不变， ∴当时，， 即当时，抛物线相交所得的线段（点E在点F左侧）的长度都不变，为4； 【小问3详解】 解：存在实数a，使得以点E，F，P，Q为顶点的四边形为正方形，理由如下： ∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 由（2）可知，点E、F均在直线上， 根据翻折的性质得：P、Q两点关于对称，即P、Q在的两侧，故要使E、F、P、Q四点构成的四边形为正方形，需满足， 即点P到直线的距离为2， ∴，解得：或1． 【点睛】本题考查二次函数，翻折的性质，正方形的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数及翻折的性质． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与抛物线的形状相同，且与轴交于点和．直线分别与轴、轴交于点，，与于点（点在点的左侧）． （1）求抛物线的解析式； （2）点是直线上方抛物线上的任意一点，当时，求面积的最大值； （3）若抛物线与线段有公共点，结合函数图象请直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）面积的最大值为 （3）的取值范围为或 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法即可求解； （2）求出直线与抛物线的交点的坐标，过点作轴的平行线交于点，交轴于点，设点坐标为，由此用含的式子表示的面积，结合二次函数的最值计算方法即可求解； （3）根据题意，分类讨论：当时；当时；由此即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线与抛物线的形状相同， ∴， ∵抛物线与轴交于点和， ∴， ∴抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 解：当时，直线的解析式为：， 联立方程组， 解得或， ∴，， 过点作轴的平行线交于点，交轴于点， 设点坐标为， ∴点， ∴，， ∴， ∵，， ∴当时，有最大值． ∴面积的最大值为； 【小问3详解】 解：令，则， ∴点坐标为， 令，则， 解得， ∴点坐标为， 若抛物线与线段有公共点， 当时，如图所示， 则， 解得； 当时，如图所示： 则， 解得； 综上所述，的取值范围为或． 【点睛】本题主要考查二次函数图象的性质，待定系数法求解析式，二次函数图象与一次函数图象的综合，二次函数的最值问题，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 26. 如图，矩形中，，，点为线段上一点，点为线段一点，取线段的中点，以，为邻边向上作，、所在直线分别交于．设． （1）当点落在上时（如图），的值为 ． （2）若为的中点，且点到直线的距离为时，求的值． （3）设的面积为，求与的函数表达式． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（）由平行四边形的性质得，，由相似三角形的判定方法得 ，由相似三角形的性质得，即可求解； （）过作交于，过作交于，由等腰三角形的判定得 ，由勾股定理得，，设，则，可求出，，， 由相似的判定方法得，由相似三角形的性质得，可求出，由平行四边形的性质可求出 ，，分别代入比例式，即可求解； （）当时，过作交于，过作交于，设，，，由（）同理可得，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，可求出，由（）得，可求出、，即可求解；当时，仿照上述解法，同理可求 【小问1详解】 解：四边形是平行四边形， ，，即：， ， ， ， 为的中点， ， ， ； 故答案：； 【小问2详解】 解：如图，过作交于，过作交于， ， 四边形是矩形， ，， 是的中点， ， ， ，， ， ， ， ， 设，则， ， ， 解得：， ， ， ， 由（）同理可得： ，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 解得：， 故的值为； 【小问3详解】 解：由题意得：点G不能落在上， 故m不能等于 ①当时， 如图，过作交于，过作交于， 设， ， ， ， 由（）同理可得： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由（）得： ， ， ， 解得：， ， ； ②当时，如图，过作交于，过作交于， 设， ， ， ， 由（）同理可得： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由（）得： ， ， ， 解得：， ， ； 综上所述，与的函数表达式为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理等；能熟练掌握相关的判定方法及性质，能设恰当的辅助未知数，用方程思想求解是解题的关键． 27. 如图1，已知抛物线C：与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点D． （1）直接写出A，B，D三点的坐标； （2）如图1，点M是抛物线在第二象限上一点，连接和，交于点N，若的面积比的面积大4，求点M的坐标； （3）如图2，在直线下方的抛物线上有一点P，过点P作，垂足为点M；过点P作，交抛物线于另一点N．若，求点P的坐标． 【答案】（1），，； （2）； （3）或． 【解析】 【分析】（1）分别令，，再解方程即可得到答案； （2）连接，，设点M的坐标为，且．根据．可得，再建立方程求解即可； （3）先求解设点Р的坐标为，且．分两种情况：当点Р在点N左侧时，可得是等腰直角三角形，取的中点Q，连接，设，可得，，再利用函数的性质建立方程求解即可；当点Р在点N右侧时，同理可得：，，再利用函数的性质建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵， 当时， ∴， 解得：，， 当时，； ∴，，； 【小问2详解】 连接，，设点M的坐标为，且． 依题意得． ∵， ∴， 即， ∴， 解得，（舍）， ∴点M的坐标为； 【小问3详解】 ∵抛物线的解析式为， ∴， 设直线的解析式为(≠0)， 则，解得， ∴； 设点Р的坐标为，且． ∵， ∴， 分两种情况：当点Р在点N左侧时， ∵，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，取的中点Q，连接，设， 则，， 将代入到中， 可得， 将代入到抛物线中，可得， 化简得， 将代入到中， 可得， 解得，(舍)， ∴； 当点Р在点N右侧时， 同理可得：，， 将代入到中， 可得， 将代入到抛物线中，可得， 化简得， 将代入到中， 可得，解得，(舍)， ∴． 综上所得，或 【点睛】本题考查的是求解抛物线与坐标轴的交点坐标，二次函数图象与图形面积的综合，与等腰直角三角形的综合应用，清晰的分类讨论与转化思想是应用是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末综合练习-2023-2024学年数学九年级下册苏科版 注意事项： 1．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效． 2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上． 3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效． 4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列说法中，正确的是（ ） A. 一组数据4，4，2，3，1的中位数是2 B. 反映空气的主要成分（氮气约占，氧气约占，其他微量气体约占）宜采用折线统计图 C. 甲、乙两人各10次射击的平均成绩相同，方差分别是，，则乙的射击成绩较稳定 D. 对载人航天器零部件的检查适合采用抽样调查 2. 如图，在中，以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点，分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧在的内部交于点，作射线交于点．若，则的长为（ ） A. B. 1 C. D. 3. 如图，在平行四边形中，， ． 动点M从A点出发， 沿折线方向运动，运动到点C停止． 设点M的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数图象如图，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 7 4. 生活中到处可见黄金分割的美．如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感．若图中b为2米，则a约为（ ） A. 1.37米 B. 0.76米 C. 1.22米 D. 1.24米 5. 如图，在中，，，将直角三角板的直角顶点放在线段的中点上，以点为旋转中心，转动三角板，交线段于点，交线段于点，连接.设线段的长为，的面积为，在转动过程中，与的函数图象是（ ） A. B. C. D. 6. 已知抛物线是常数且经过，下列四个结论： ①若此抛物线顶点在第四象限，则； ②若抛物线经过，则对称轴为直线； ③若二次函数的图象与x轴只有一个公共点，则； ④若，此抛物线与x轴交于两点，当时，有．其中正确结论是（ ） A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①③④ 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 7. 在一个不透明布袋中装有红球、白球共40个，这些球除颜色外都相同．小明从中随机摸出一个球记下颜色并放回，通过大量重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.4，则布袋中红球的个数大约是______． 8. 在锐角中，已知满足，则______． 9. 下面是某小区随机抽取的50户家庭的某月用电量情况统计表： 月用电量x（千瓦时/户/月） 户 数（户） 6 15 11 14 4 已如月用电量第三档的标准为大于240小于等于400，如果该小区有500户家庭，估计用电量在第三档的家庭有______户． 10. 为了给山顶供水，决定在山脚A处开始沿山坡铺设水管．现测得斜坡与水平面所成角为，为使出水口高度为35m，那么需要准备____长的水管．（结果保留整数）（） 11. 如图，在中，，平分，，垂足为点E，若，，则（1）是______；（2）的周长是______． 12. 古希腊数学家泰勒斯曾利用立杆测影的方法，在金字塔影子的顶部直立一根木杆，借助太阳光测金字塔的高度．如图，木杆长米，它的影长是3米，同一时测得是274米，则金字塔的高度是________米． 13. 在中，．将绕点B顺时针旋转得到，点A的对应点为点D，点C的对应点为点E，点E在内，当时，过点A作于点F．若，则的长为__． 14. 抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，将抛物线W沿y轴向上平移得到抛物线，抛物线与y轴交于点D，当时，抛物线与x轴有且只有一个交点，则的长为_________________． 15. 定义：在平面直角坐标系中，我们将横、纵坐标都是整数的点称为“整点”． （1）抛物线与轴围成的区域内（不包括抛物线和轴上的点）整点有_____个； （2）若抛物线与轴围成的区域内（不包括抛物线和轴上的点）恰好有个“整点”，则的取值范围是_____． 16. 二次函数的图象的一部分如图所示，已知图象经过点，其对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④；⑤点是抛物线上的两点，若，则；⑥若抛物线经过点，则关于x的一元二次方程的两根分别为．其中正确的有__________（填序号）． 三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：； （2）如图，在中，点D，E分别在上，，若，求的长． 18. 春节、清明、端午、中秋是我国四大传统节日，每个传统节日都有丰富的文化内涵，体现了厚重的家国情怀；在文化的传承与创新中让我们更加热爱传统文化，更加坚定文化自信，因此，端午节前，学校举行“传经典·乐端午”系列活动，活动设计的项目及要求如下：A-包粽子，B-划旱船，C-诵诗词，D-创美文；人人参加，每人限选一项．为了解学生的参与情况，校团支部随机抽取了部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如下不完整的统计图，如图．请根据统计图中的信息，回答下列问题 （1）______，“诵诗词”在扇形统计图中所占扇形区域的圆心角的度数为______°． （2）补全条形统计图； （3）若学校有2000名学生，请估计选择D类活动的人数； （4）甲、乙、丙、丁四名学生都是包粽子的能手，现从他们4人中选2人参加才艺展示，请用列表或画树状图的方法，求甲、乙两人同时被选中的概率． 19. 在边长为1的小正方形组成的网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上． （1）作出关于直线l成轴对称的； （2）在边上确定一点D，使． 20. 过点 , 的抛物线与轴交于点． （1）求，的值； （2）直线交轴于点，点是抛物线上位于直线下方的一动点，过点作直线的垂线，垂足为． 求的最大值； 当 时，求点的坐标． 21. 如图，在等腰中，，点是上一点，以为直径过点，连接，且，的平分线交于点，交于点，连接． （1）求证：与相切． （2）求证：． （3）已知，求值． 22. 跳楼机是游乐园常见的大型机动游戏设备（如图①），小明同学想测算跳楼机的上升速度，将其抽象成如图②所示的示意图，跳楼机从地面处发射，前以的平均速度竖直上升到达处，此时小明在处观测跳楼机的仰角为．跳楼机以不同的速度再继续上升后到达处，此时小明在处测得跳楼机的仰角为，求跳楼机在段的平均速度（参考数据：）． 23. 大学生小丽暑假期间从小商品批发市场批发了一种新商品，新商品的进价为30元/件，经过一段时间的试销，售价为x元/件，每月的总利润为w元． （1）当售价在40﹣50元/件时，每月的销售量都为60件，则此时每月的总利润最多是多少元？ （2）当售价在50﹣70元/件时，每月的销售量与售价的关系如图所示．小丽决定每卖出一件商品就向福利院捐赠m（m为整数）元，若要保证小丽每月获利仍随x的增大而增大，并求此时售价为多少元时，她每月获利最大． 24. 已知抛物线 （1）当时，求抛物线的顶点坐标． （2）无论a为何值，直线与抛物线相交所得的线段（点E在点F左侧）的长度都不变，求m的值和的长； （3）在（2）的条件下，将抛物线沿直线翻折，得到抛物线，抛物线的顶点分别记为P，Q．是否存在实数a，使得以点E，F，P，Q为顶点的四边形为正方形？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与抛物线的形状相同，且与轴交于点和．直线分别与轴、轴交于点，，与于点（点在点的左侧）． （1）求抛物线的解析式； （2）点是直线上方抛物线上的任意一点，当时，求面积的最大值； （3）若抛物线与线段有公共点，结合函数图象请直接写出的取值范围． 26. 如图，矩形中，，，点为线段上一点，点为线段一点，取线段的中点，以，为邻边向上作，、所在直线分别交于．设． （1）当点落在上时（如图），的值为 ． （2）若为中点，且点到直线的距离为时，求的值． （3）设的面积为，求与的函数表达式． 27. 如图1，已知抛物线C：与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点D． （1）直接写出A，B，D三点的坐标； （2）如图1，点M是抛物线在第二象限上一点，连接和，交于点N，若的面积比的面积大4，求点M的坐标； （3）如图2，在直线下方的抛物线上有一点P，过点P作，垂足为点M；过点P作，交抛物线于另一点N．若，求点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$