14.1 平 方 根（课件）2024—2025学年冀教版数学八年级上册

14.1 平 方 根 第一课时 平 方 根 ● 考点清单解读 ● 重难题型突破 ■考点一 平方根的概念及性质 定义 一般地，如果一个数 x 的平方等于 a，即 x2=a，那么这个数 x 就叫做 a 的平方根，也叫做 a 的二次方根 平方根 的性质 ①一个正数有两个平方根，它们互为相反数；②0 只有一个平方根，是 0 本身；③负数没有平方根 表示 方法 把正数 a 的正的平方根用符号“”表示，读作“根号a”；把正数 a 的负的平方根用符号 “-”表示，读作“负根号 a”.正数 a 的两个平方根记为±，其中，a 称为被开方数 第一课时 平 方 根 考点清单解读 返回目录 第一课时 平 方 根 归纳总结 平方根等于它本身的数只有 0；要判断一个数有没有平方根，有几个平方根，关键是确定该数是正数、负数还是 0. 考点清单解读 返回目录 第一课时 平 方 根 典例1 下列判断正确的是（ ） A. 0.36 的平方根是 0.6 B. -6 是-36 的平方根 C. 只有正数才有平方根 D. a2 的平方根为±a 对点典例剖析 考点清单解读 返回目录 第一课时 平 方 根 ［解题思路］ ［答案］ D A 0.36 的平方根是±0.6，选项错误 B -6 是 36 的平方根，选项错误 C 正数和 0 都有平方根，选项错误 D a2 的平方根为±a，选项正确 考点清单解读 返回目录 ■考点二 开 平 方 第一课时 平 方 根 定义 我们把求一个数的平方根的运算，叫做开平方 示例 考点清单解读 返回目录 第一课时 平 方 根 归纳总结 对于正数来说，开平方与平方运算互为逆运算，可以借助平方运算来求一个正数的平方根，也可以用平方运算来检验开平方的结果是否正确. 考点清单解读 返回目录 第一课时 平 方 根 典例2 求下列各数的平方根． （1）10 000； （2）0.64. 对点典例剖析 考点清单解读 返回目录 第一课时 平 方 根 ［答案］解：（1）因为（±100）2=10000， 所以 10000 的平方根为±100，即± =±100； （2）因为（±0.8）2=0.64，所以 0.64 的平方根为±0.8，即± =±0.8. 考点清单解读 返回目录 ■题型一 利用平方根的性质求值 例 1 一个正数 x 的两个不同的平方根分别是 2a-3 和 5-a. （1）求 a 和 x 的值； （2）求 x+12a 的平方根. 第一课时 平 方 根 重难题型突破 返回目录 ［解析］ 第一课时 平 方 根 ［答案］ 解：（1）∵ 一个正数 x 的两个不同的平方根分别是 2a-3 和 5-a， ∴2a-3+5-a=0，解得 a=-2， ∴x=（2a-3）2=49； （2）将 x=49，a=-2 代入 x+12a 中，得 49-24=25． ∵（±5）2=25， ∴25 的平方根为±5，即 x+12a 的平方根为±5． 重难题型突破 返回目录 第一课时 平 方 根 变式衍生 1 已知 2m-4 与 m-5 是同一个数的平方根，则 m 的值是（ ） A． -3 B． 1 C． -1 或 3 D． -3 或 1 C 重难题型突破 返回目录 ■题型二 利用开平方解方程 例 2 解方程：（2x-1）2=4. 第一课时 平 方 根 重难题型突破 返回目录 ［解析］根据平方根的定义先求出 2x-1=±2，再分别求出 x 的值即可． 第一课时 平 方 根 ［答案］ 解：∵（2x-1）2=4， ∴2x-1=±2， ∴2x-1=2 或 2x-1=-2， ∴x= 或 x=- ． 重难题型突破 返回目录 第一课时 平 方 根 变式衍生 2 解方程：1-a2=0. 解：∵1-a2=0，∴a2=1，∵（±1）2=1，∴a=±1. 重难题型突破 返回目录 第一课时 平 方 根 解题通法 对于形式为（ax+b）2=p（p≥0）的方程，可以把左边的 ax+b 看成整体，对右边常数开平方，转化为一次方程来求解；对于形式为 x2=p（p≥0）的方程，直接开平方. 重难题型突破 返回目录 第二课时 算术平方根 ● 考点清单解读 ● 重难题型突破 ● 易错易混分析 ● 方法技巧点拨 ■考点 算术平方根 定义 我们把一个正数 a 的正的平方根 叫做 a 的算术平方根 表示 方法 非负数 a 的算术平方根记作，读作“根号 a” 性质 算术平方根 具有双重非负性： ①被开方数 a 为非负数，即 a≥0； ②算术平方根 本身是非负数，即 ≥0 由平方根的意义可知：当a≥0 时， =a 第二课时 算术平方根 考点清单解读 返回目录 归纳总结 非负数的算术平方根只有一个，求一个正数的算术平方根就是只保留正的平方根，熟记常用平方数有助于快速解题. 第二课时 算术平方根 考点清单解读 返回目录 典例 求下列各数的算术平方根. （1）400； （2）. 对点典例剖析 第二课时 算术平方根 考点清单解读 返回目录 ［答案］ 解：（１）因为 202=400， 所以 400 的算术平方根是 20， 即=20； （２）因为 （）2= ， 所以 的算术平方根是 ， 即 = . 第二课时 算术平方根 考点清单解读 返回目录 ■题型一 根据平方根、算术平方根的定义求值 例 1 计算下列各式. （1）± ； （2）-； （3）- ； （4）. 第二课时 算术平方根 重难题型突破 返回目录 ［答案］ 解：（1）± =± =± ； （2）- =- =-0.09； （3）- =- =-36； （4） = = = . 第二课时 算术平方根 重难题型突破 返回目录 思路点拨 辨析，±，-（a≥0）： 第二课时 算术平方根 意义 非负数 a 的算术平方根 ± 非负数 a 的平方根 - 非负数 a 的负的平方根 重难题型突破 返回目录 ■题型二 根据算术平方根的非负性求值 例 2 若 + =0，则（a+b）2025 =_____. 第二课时 算术平方根 重难题型突破 返回目录 ［答案］ 1 第二课时 算术平方根 ［解析］∵ ≥0， ≥0， + =0， ∴a-2=0，b+1=0，解得 a=2，b=-1， ∴（a+b）2025 =12025=1． 重难题型突破 返回目录 第二课时 算术平方根 变式衍生 若 +（y-7）2=0，则- =______. -2 重难题型突破 返回目录 解题通法 非负数之和等于 0 时，各项都等于 0，利用此性质列方程解决求值问题． 第二课时 算术平方根 重难题型突破 返回目录 ■求 的算术平方根时忽略根号 例 的算术平方根是 （ ） A. 3 B. -3 C. -9 D. 9 第二课时 算术平方根 ［解析］∵ =9，32=9，∴ 的算术平方根是 3. 易错易混分析 返回目录 ［答案］ A ［易错］ D ［错因］ 误认为是求 81 的算术平方根. 第二课时 算术平方根 易错易混分析 返回目录 易错警示 易审题不清，混淆 a（a＞0）的算术平方根和 的算术平方根. 领悟提能 求 的算术平方根时，不要忽略“”，要先算 ，得出数值再求算术平方根. 第二课时 算术平方根 易错易混分析 返回目录 ■方法：利用方程思想解决算术平方根问题 已知一个代数式的平方根或算术平方根时，要先根据定义或性质列出方程（组），求出待定字母的值. 例 已知 a-2 的平方根是±4，a+b-1 的算术平方根是 4，求 a+2b 的算术平方根. 第二课时 算术平方根 方法技巧点拨 返回目录 ［答案］ 解：∵a-2 的平方根是±4， ∴a-2=16，∴a=18， ∵a+b-1 的算术平方根是 4， ∴a+b-1=16， ∴18+b-1=16，∴b=-1， ∴a+2b=18+2×（-1）=16. ∵42=16， ∴16 的算术平方根是 4. 第二课时 算术平方根 方法技巧点拨 返回目录 $$