期中押题重难点检测卷（提高卷）（考试范围：苏科版第1～4章）-2024-2025学年八年级数学上学期重难点专题提升精讲精练（苏科版）

期中押题重难点检测卷（提高卷） 【考试范围：苏科版第1—4章】 注意事项： 本试卷满分120分，考试时间120分钟，试题共28题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图是科学防控新冠知识的图片．其中的图案是轴对称图形（　　） A．  B．  C．   D．   2．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）在实数，、、、、、中，无理数的个数是（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 3．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）下列条件中，不能判断为直角三角形的是（　　） A．，， B． C． D． 4．（23-24八年级上·广西玉林·期中）如图，在中，的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点．已知的周长为，则的长为（　　） A． B． C． D． 5．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，已知于点，交于点，于点，且．若，则的大小为（　　） A． B． C． D． 6．（23-24八年级上·江苏南京·开学考试）用“★”规定新运算：对于任意实数a，b，都有，如果，那么x等于（    ） A．15 B． C． D． 7．（23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在中，，，于E，于D，，，则的长是（    ） A． B． C． D． 8．（19-20八年级上·吉林白城·期末）如图是“人字形”钢架，其中斜梁，顶角，跨度，为文柱（即底边的中线），两根支撑架，则等于（　　） A． B． C． D． 9．（23-24九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，中，分别是边的中点，是上的动点，的最小值为（    ） A．3 B． C．4 D． 10．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，为等腰三角形，过点C作，连接，若，则线段的长为（   ） A． B．4 C． D． 二、填空题（8小题，每小题3分，共24分） 11．（23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）写出一个比大且比小的整数： ． 12．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，小明不小心把一块三角形的玻璃摔成三块碎片，现要带其中一块去配出与原来完全一样的玻璃，正确的办法是带第③块去配，其全等的依据是 ．（可以用字母简写） 13．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）如图，长方形的边长为2，长为1，点在数轴上对应的点是，以点为圆心，对角线长为半径画弧，交数轴的正半轴于点，则点表示的实数是 ． 14．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，是的中点，交于点，的周长是，则的长为 ． 15．（23-24八年级上·江苏南通·期末）如图，在中，E是上一点，，垂直平分，于点D，的周长为，，则的长为 ． 16．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，，经测量得到如下数据：，，，则警示牌的高为 m． 17．（23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，在四边形ABCD中，，，，点在线段上以的速度由点A向点运动，同时，点在线段BC上由点向点运动，设运动时间为，当与以，，为顶点的三角形全等时，点的运动速度为 ． 18．（2024·黑龙江·二模）如图，在边长为 2的等边三角形中，D 是 的中点，点 E 在线段上，连接，在的下方作等边三角形，连接，则周长的最小值为 .    三、解答题（10小题，共66分） 19．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）求下列各式中的值 (1)； (2)． 20．（23-24七年级下·江苏南通·阶段练习）已知的平方根是，的立方根是2，c是的整数部分． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 21．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，在中，，垂足为点D，，垂足为点E，且．求证：． 22．（2024·江苏无锡·二模）如图，点C在线段上，，，，．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 23．（2024八年级上·江苏·专题练习）在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路CH，测得千米，千米，千米． (1)问是否为从村庄C到河边的最近路？（即问：与是否垂直？）请通过计算加以说明； (2)求原来的路线的长． 24．（2023七年级下·全国·专题练习）如图，在中，分别垂直平分边和边，交边于两点，与相交于点． (1)若，则的周长为 　　； (2)若，求的度数． 25．（23-24七年级下·江苏南通·期中）【阅读材料】 ，即， ， 的整数部分是1， 的小数部分是． 【解决问题】 （1）的整数部分是_______，小数部分是_______； （2）已知a是的整数部分，b是的小数部分，求代数式的值； （3）已知，其中x是整数，且，求的值． 26．（23-24八年级上·江苏·期中）如图，在的两边、上分别取点、，连接．若平分，平分． (1)求证：平分； (2)若，且与的面积分别是16和24，求线段与的长度之和． 27．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，若点P从点 A出发，以每秒的速度沿射线运动，设运动时间为t秒．    (1)把沿着过点 P的直线折叠，使点A与点 B 重合，请求出此时t的值． (2)是否存在t值，使得为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． (3)现把沿着直线翻折，当t为何值时，点 C翻折后的对应点恰好落在直线上． 28．（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图1，在四边形中，，分别是上的点，且，探究图中线段之间的数量关系． (1)提示：探究此问题的方法是延长到点G，使，连接，先证明，再证明．请根据提示按照提示的方法完成探究求解过程． (2)探索延伸： 如图2，若在四边形中，，E，F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立？请说明理由． (3)能力提高： 如图，等腰直角三角形中，，点M，N在边上，，若，则的长为 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中押题重难点检测卷（提高卷） 【考试范围：苏科版第1—4章】 注意事项： 本试卷满分120分，考试时间120分钟，试题共28题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图是科学防控新冠知识的图片．其中的图案是轴对称图形（　　） A．  B．  C．   D．   【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：B． 2．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）在实数，、、、、、中，无理数的个数是（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查的是无理数的定义，熟知无限不循环小数叫做无理数是解题的关键． 根据无理数的定义解答即可． 【详解】解 ：， 在实数、、、、、、中，无理数有、，共2个． 故选：B． 3．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）下列条件中，不能判断为直角三角形的是（　　） A．，， B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查勾股定理和三角形内角和定理．根据勾股定理的逆定理可判定A；根据比值并结合勾股定理的逆定理可判断B；根据三角形的内角和为度，即可计算出的值可判断C；根据角的比值求出各角的度数，可判断D． 【详解】解：A、当，，， ， 故是直角三角形，本选项不符合题意； B、当时，设，，， 则， 故是直角三角形，本选项不符合题意； C、当时， ∵， ∴，则， 故是直角三角形，本选项不符合题意； D、当时， ∵， 则最大角为， 故不是直角三角形，本选项符合题意； 故选：D． 4．（23-24八年级上·广西玉林·期中）如图，在中，的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点．已知的周长为，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质可得，，结合的周长，得出，即可得解，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∵的周长， ∴， ∴， ∴， ∴的长为； 故选：D． 5．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，已知于点，交于点，于点，且．若，则的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的内角和定理，先由、得到，然后结合，得证，进而得到，再利用求得的大小，最后求得的大小． 【详解】解：，， ， ，， ， ， ，， ， ． 故选：B． 6．（23-24八年级上·江苏南京·开学考试）用“★”规定新运算：对于任意实数a，b，都有，如果，那么x等于（    ） A．15 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方根，解决本题的关键是熟记平方根的定义． 根据新规定的运算，列出等式，再根据平方根的定义即可解答． 【详解】解：， ， ， ． 故选：D． 7．（23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在中，，，于E，于D，，，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查同角的余角相等，全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键． 由于D，于E，得，而，则，而，即可证明，则，所以． 【详解】解：∵于D，于E， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的长是． 故选A． 8．（19-20八年级上·吉林白城·期末）如图是“人字形”钢架，其中斜梁，顶角，跨度，为文柱（即底边的中线），两根支撑架，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形和直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题关键．先根据等腰三角形的性质得，根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半得到，两式相加即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴． 故选：B． 9．（23-24九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，中，分别是边的中点，是上的动点，的最小值为（    ） A．3 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查等边三角形的性质、勾股定理解三角形、求线段和的最值等知识点，通过作辅助线、将转化为是解题的关键． 连接，由题意可得,即是的垂直平分线，即,将转化为，根据三角形三边关系知，故当P、E、C在一条直线时，取最小值，然后解直角三角形求出的长度即可． 【详解】解：如图，连接交BD于点， ∵中，，D是的中点， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴， ， 根据三角形两边和大于第三边可知，即当P、E、C在一条直线时，取最小值，最小值为， ∵中，，E是的中点， ，， ， ∴的最小值为为． 故选：B． 10．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，为等腰三角形，过点C作，连接，若，则线段的长为（   ） A． B．4 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线间的距离，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握平行线间的距离，等腰三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． 如图，作于，作于，作的延长于，则，由，可得，由勾股定理得，，由，可求，则，由勾股定理得，，则，由勾股定理得，，计算求解即可． 【详解】解：如图，作于，作于，作的延长于， 又∵， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得，， ∵， ∴， 解得，， ∴， 由勾股定理得，， ∴， 由勾股定理得，， 故选：D． 二、填空题（8小题，每小题3分，共24分） 11．（23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）写出一个比大且比小的整数： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了无理数的估算，估算出，即可得解． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴比大且比小的整数为， 故答案为：（答案不唯一）． 12．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，小明不小心把一块三角形的玻璃摔成三块碎片，现要带其中一块去配出与原来完全一样的玻璃，正确的办法是带第③块去配，其全等的依据是 ．（可以用字母简写） 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据第③块玻璃的特点可知：有2个角以及两角的夹边是确定，利用即可判定三角形全等． 【详解】解：由图可知：第③块玻璃有2个角以及两角的夹边确定，只能得到唯一确定的三角形，即利用可判定三角形全等． 故答案为： 13．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）如图，长方形的边长为2，长为1，点在数轴上对应的点是，以点为圆心，对角线长为半径画弧，交数轴的正半轴于点，则点表示的实数是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理和无理数，先用勾股定理求出，即可解答． 【详解】解：根据勾股定理可得：， ∵点在数轴上对应的点是， ∴点表示的实数是， 故答案为：． 14．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，是的中点，交于点，的周长是，则的长为 ． 【答案】/3厘米 【分析】此题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，由是的中点，得垂直平分，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，由的周长，最后代入即可求解，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质及整体思想的应用． 【详解】∵是的中点，， ∴垂直平分， ∴， ∵的周长是， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 15．（23-24八年级上·江苏南通·期末）如图，在中，E是上一点，，垂直平分，于点D，的周长为，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形性质，线段的和差，根据垂直平分线的性质和三线合一得到，，继而结合的周长得出，即可求出结果． 【详解】解：，， ， 垂直平分， ， 的周长为， ， ， ， 解得， 故答案为：． 16．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，，经测量得到如下数据：，，，则警示牌的高为 m． 【答案】2 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握勾股定理的应用，属于中考常考题型． 首先根据等腰直角三角形的性质可得，设，在中根据勾股定理即可求得答案． 【详解】解：由题意可得：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设， 在中，， ∴， 解得， ∴， 则， 故答案为：2． 17．（23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，在四边形ABCD中，，，，点在线段上以的速度由点A向点运动，同时，点在线段BC上由点向点运动，设运动时间为，当与以，，为顶点的三角形全等时，点的运动速度为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键．设点的运动速度为，则，，，由于，则分两种情况：当，时；当，时，分别求解即可． 【详解】解：设点的运动速度为， 则，，， ， 当，时，根据“”判断， 则，， 解得：，； 当，时，根据“”判断， 则，， 解得：，， 综上所述，点的运动速度为或． 故答案为：或． 18．（2024·黑龙江·二模）如图，在边长为 2的等边三角形中，D 是 的中点，点 E 在线段上，连接，在的下方作等边三角形，连接，则周长的最小值为 .    【答案】 【分析】连接，由条件可以得出，再根据等边三角形的性质就可以证明. 从而可以得出作点关于的对称点， 连接， 则依据当在同一直线上时，的最小值等于线段长，可得的周长最小，再根据等边三角形的性质即可得到的度数，然后计算最小周长即可. 【详解】如图，连接，    ∵都是等边三角形， ∴，， ， ∴ ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 如图，作点关于的对称点，连接，， 则， ∴当在同一直线上时， 的最小值等于线段长，且时， 的周长最小， 由轴对称的性质，可得 是等边三角形， ， ∴， ∴， ∴的周长最小值为， 故答案为：. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质的运用.凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点. 三、解答题（10小题，共66分） 19．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）求下列各式中的值 (1)； (2)． 【答案】(1) (2)． 【分析】本题主要考查了根据平方根和立方根的定义解方程，解题的关键是熟练掌握平方根和立方根的定义． （1）根据平方根的定义解方程即可； （2）根据立方根的定义解方程即可． 【详解】（1）解： ∴ （2） ∴ 20．（23-24七年级下·江苏南通·阶段练习）已知的平方根是，的立方根是2，c是的整数部分． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】此题考查了平方根、立方根、无理数的估算， （1）分别根据的平方根是，的立方根是2，c是的整数部分，依次求出a，b，c的值； （2）根据（1）中的结果和平方根定义进行解答即可． 【详解】（1）解：∵的平方根是， ∴ 解得 ∵的立方根是2， ∴ 即 解得， ∵ ∴ ∴ ∵c是的整数部分 ∴ ∴，， （2）由题意得：，， ∴ 21．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，在中，，垂足为点D，，垂足为点E，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质；证明，得到，再根据等角对等边即可得出结论． 【详解】证明：∵，， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴． 22．（2024·江苏无锡·二模）如图，点C在线段上，，，，．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质； （1）由即可得证； （2）由全等三角形的性质得，，即可求解； 掌握全等三角形的判定方法与性质，准确找出对应边、对应角是解题的关键． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中， ， （）； （2）解：， ，， ． 23．（2024八年级上·江苏·专题练习）在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路CH，测得千米，千米，千米． (1)问是否为从村庄C到河边的最近路？（即问：与是否垂直？）请通过计算加以说明； (2)求原来的路线的长． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)2.5千米 【分析】此题考查勾股定理的应用，关键是根据勾股定理的逆定理和定理解答． （1）根据勾股定理的逆定理解答即可； （2）根据勾股定理解答即可． 【详解】（1）解：是， 理由是：在中， ∵ ∴ ∴， ∴是从村庄C到河边的最近路； （2）解：设，则， 由勾股定理得： ∴ 解得 答：原来的路线的长为2.5千米． 24．（2023七年级下·全国·专题练习）如图，在中，分别垂直平分边和边，交边于两点，与相交于点． (1)若，则的周长为 　　； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查垂直平分线的性质，三角形内角和定理，对顶角相等的知识的运用， （1）根据垂直平分线的性质可得，因为的周长，由此即可求解； （2）根据三角形内角和定理可得，根据对顶角相等可得，由三角形的内角和定理可得，再根据垂直平分线的性质可得，最后根据即可求解． 【详解】（1）解：∵分别垂直平分边和边， ∴， ∴的周长， ∵， ∴的周长， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 25．（23-24七年级下·江苏南通·期中）【阅读材料】 ，即， ， 的整数部分是1， 的小数部分是． 【解决问题】 （1）的整数部分是_______，小数部分是_______； （2）已知a是的整数部分，b是的小数部分，求代数式的值； （3）已知，其中x是整数，且，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】此题考查了估算无理数的大小，在确定形如的无理数的整数部分时，常用的方法是“夹逼法”，其依据是平方和开平方互为逆运算．在应用“夹逼法”估算无理数时，关键是找出位于无理数两边的平方数，则无理数的整数部分即为较小的平方数的算术平方根． （1）先估算出的取值范围，进而可求出的整数部分和小数部分； （2）先根据的取值范围，进而可求出的取值范围，然后求出a和b的值即可求解； （3）先求出的整数部分，再求出的小数部分，然后求出，，然后再代入求值即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴的整数部分是8；小数部分是． （2），即， ， 的整数部分为1， 的小数部分为， ，， ． （3），即， ， 的整数部分为3， 的小数部分为． ，， ． 26．（23-24八年级上·江苏·期中）如图，在的两边、上分别取点、，连接．若平分，平分． (1)求证：平分； (2)若，且与的面积分别是16和24，求线段与的长度之和． 【答案】(1)详见解析 (2)20 【分析】本题考查了角平分线的判定与性质，三角形的面积，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点作，垂足为，过点作，垂足为，过点作，垂足为，先利用角平分线的性质定理可得，再利用角平分线性质定理的逆定理，即可解答； （2）根据的面积是16，可求出，从而可得，然后再利用四边形的面积的面积的面积的面积的面积，进行计算即可解答． 【详解】（1）证明：过点作，垂足为，过点作，垂足为，过点作，垂足为， 平分，，， ， 平分，，， ， ， 平分； （2）解：的面积是16，， ， ， ， ， 的面积是24， 四边形的面积的面积的面积， 的面积的面积， ， ， ， 线段与的长度之和为20． 27．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，若点P从点 A出发，以每秒的速度沿射线运动，设运动时间为t秒．    (1)把沿着过点 P的直线折叠，使点A与点 B 重合，请求出此时t的值． (2)是否存在t值，使得为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． (3)现把沿着直线翻折，当t为何值时，点 C翻折后的对应点恰好落在直线上． 【答案】(1) (2)为等腰三角形时，的值为5或或8 (3)为或10 【分析】（1）连接，根据勾股定理求出，根据勾股定理列式计算，得到答案； （2）分、、三种情况，根据等腰三角形的性质计算即可； （3）分点在上、点在的延长线上两种情况，根据翻转变换的性质、勾股定理计算，求出的值． 本题考查的是等腰三角形的性质，勾股定理，翻转变换的性质，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 【详解】（1）解：如图1，连接，    在中，，，， 则， 沿着过点的直线折叠，点与点重合， 是的垂直平分线， ， 在中，，即， 解得：， ； （2）解：当时，； 当时，由（1）可知，， ； 当时，， ， 综上所述：为等腰三角形时，的值为5或或8； （3）解：当点在上时，如图2，   ，，， ， 在中，，即， 解得：， ； 当点在的延长线上时，如图3， ，，， ， 在中，，即， 解得：， ； ∴为或10时满足条件． 28．（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图1，在四边形中，，分别是上的点，且，探究图中线段之间的数量关系． (1)提示：探究此问题的方法是延长到点G，使，连接，先证明，再证明．请根据提示按照提示的方法完成探究求解过程． (2)探索延伸： 如图2，若在四边形中，，E，F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立？请说明理由． (3)能力提高： 如图，等腰直角三角形中，，点M，N在边上，，若，则的长为 ． 【答案】(1)见解析 (2)成立，理由见解析 (3)24 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理．解题的关键的通过截长补短，构造特殊三角形和全等三角形． （）延长到点，使，连接，证明和，根据全等三角形的性质即可求解； （）（）中的结论仍然成立．如图中，延长至，使，连接，证明和即可求证； （3）过点C作，垂足为点C，截取．连接、，证明，再证明，得到，，再利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：如图，延长到点，使，连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ， 即， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：（）中的结论仍然成立． 证明：如图中，延长至，使，连接， ∵， ， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）如图，过点C作，垂足为点C，截取．连接、． ∵， ∴ ∵， ∴， 在和中 ∵ ∴ ∴， ∴， ∴， 在和中 ∵ ， ∴ ∴，， ∴． 故答案为：24． 学科网（北京）股份有限公司 $$