12.3 角平分线的性质 (第1课时) 课件 2024-2025学年人教版八年级数学上册

单击此处编母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 第十二章 全等三角形 12.3角平分线的性质 第1课时 * * 单击此处编母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1.通过操作、验证等方式，探究并掌握角平分线的性质定理.（难点） 2.能运用角的平分线性质解决简单的几何问题. （重点） 学习目标 * * 单击此处编母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 挑战第一关 情境引入 问题1：在纸上画一个角，你能得到这个角的平分线吗？ 导入新课 用量角器度量，也可用折纸的方法．　　 问题2：如果把前面的纸片换成木板、钢板等，还能用对折的方法得到木板、钢板的角平分线吗？ 单击此处编母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 提炼图形 单击此处编母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 问题3：如图，是一个角平分仪，其中AB=AD,BC= DC.将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线，你能说明它的道理吗? 其依据是SSS，两全等三角形的 对应角相等. A B C (E) D 单击此处编母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 挑战第二关 探索新知 问题：如果没有此仪器，我们用数学作图工具，能实现该仪器的功能吗？ 做一做：请大家找到用尺规作角的平分线的方法，并说明作图方法与仪器的关系. 提示： (1)已知什么？求作什么？ (2)把平分角的仪器放在角的两边，仪器的顶点与角的顶点重合，且仪器的两边相等，怎样在作图中体现这个过程呢? (3)在平分角的仪器中，BC=DC，怎样在作图中体现这个过程呢？ (4)你能说明为什么OC是∠AOB的平分线吗？ 尺规作角平分线 A B O 单击此处编母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 A B O 已知:∠AOB. 求作：∠AOB的平分线. 仔细观察步骤 作角平分线是最基本的尺规作图,大家一定要掌握噢! 作法： （1）以点O为圆心，适当 长为半径画弧，交OA于 点M，交OB于点N. （2）分别以点MN为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C. （3）画射线OC.射线OC即为所求. * * M N C 单击此处编母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 已知：平角∠AOB. 求作：平角∠AOB的角平分线. 结论：作平角的平分线的方法就是过直线上一点作这条直线的垂线的方法. A B O C 单击此处编母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1. 操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作PD⊥OA，PE ⊥OB,点D、E为垂足，测量PD、PE的长.将三次数据填入下表： 2. 观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系，写出结：__________ C O B A PD=PE 实验：OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的任意一点 猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 角平分线的性质 * * PD PE 第一次 第二次 第三次 p D E 单击此处编母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 验证猜想 已知：如图， ∠AOC= ∠BOC,点P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E.求证：PD=PE. 证明： ∵ PD⊥OA,PE⊥OB， ∴ ∠PDO= ∠PEO=90 °. 在△PDO和△PEO中， ∠PDO= ∠PEO， ∠AOC= ∠BOC， OP= OP， ∴ △PDO ≌△PEO(AAS). ∴PD=PE. 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 * * P A O B C D E 单击此处编母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即 1.明确命题中的已知和求证； 2.根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证； 3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程. 方法归纳 * * 单击此处编母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 应用所具备的条件： 定理的作用： 证明线段相等. 应用格式： ∵OP 是∠AOB的平分线， ∴PD = PE 推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个. PD⊥OA,PE⊥OB， * * （1）角的平分线； （2）点在该平分线上； （3）垂直距离. 知识要点 B A D O P E C 单击此处编母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 判一判：（1）∵ 如下左图，AD平分∠BAC（已知）， ∴ = ，( ) 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 BD CD × (2)∵ 如上右图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）. ∴ = , ( ) 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 BD CD × * * B A D C B A D C 单击此处编母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 例1：已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD,DE⊥AB, DF⊥AC.垂足分别为E,F. 求证：EB=FC. 证明： ∵AD是∠BAC的角平分线， DE⊥AB, DF⊥AC， ∴ DE=DF, ∠DEB=∠DFC=90 °. 在Rt△BDE 和 Rt△CDF中， ∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL). ∴ EB=FC. 典例精析 * * A B C D E F DE=DF， BD=CD， 单击此处编母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 例2:如图，AM是∠BAC的平分线，点P在AM上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是D、E，PD=4cm，则PE=______cm. 4 温馨提示：存在两条垂线段———直接应用 典例精析 A C P M D E B 单击此处编母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 变式：如 图，在Rt△ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC＝4, AB=14. （1）则点P到AB的距离为_______. 4 温馨提示：存在一条垂线段———构造应用 A B C P D 单击此处编母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 变式：如图，在Rt △ABC中，AC=BC,∠C＝900，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC＝4，AB=14. （2）求△APB的面积. （3）求∆PDB的周长. 由垂直平分线的性质，可知，PD=PC=4， A B C P D ·AB·PD=28. = 单击此处编母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1.应用角平分线性质： 存在角平分线 涉及距离问题 2.联系角平分线性质： 面积 周长 条件 知识与方法 利用角平分线的性质所得到的等量关系进行转化求解 单击此处编母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 当堂练习 2.△ABC中, ∠C=90°,AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5,则点D到AB的距离是 . 3 E 1. 如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是E，F， DE =DF， ∠EDB= 60°，则 ∠EBF= 度， BE= . 60 BF * * A B C D E B D F A C G * 单击此处编母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 3.用尺规作图作一个已知角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠BOC的依据是（ ） A.SSS B.ASA C.AAS D.角平分线上的点到角两边的距离相等 A * * M N C A B O 单击此处编母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 4.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是(　　) A．6 B．5 C．4 D．3 D B C E A D 解析：过点D作DF⊥AC于F， ∵AD是△ABC的角平分线， DE⊥AB， ∴DF＝DE＝2， 解得AC＝3. F 方法总结：利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高，再利用三角形面积公式求出线段的长度是常用的方法． * * 单击此处编母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 6 8 10 5.在Rt△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，则： (1)哪条线段与DE相等？为什么？ (2)若AB＝10，BC＝8，AC＝6，求BE，AE的长和△AED的周长. 解：(1)DC=DE.理由如下：角平分线上的点到角两边的距离相等. （2）在Rt△CDB和Rt△EDB中， DC=DE，DB=DB， ∴Rt△CDB≌Rt△EDB(HL)， ∴BE＝BC=8. ∴ AE＝AB-BE=2. ∴△AED的周长=AE+ED+DA=2+6=8. * * E D C B A 单击此处编母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 6.如图，已知AD∥BC，P是∠BAD与 ∠ABC的平分线的交点，PE⊥AB于E，且PE=3，求AD与BC之间的距离. 解：过点P作MN⊥AD于点M，交BC于点N. ∵ AD∥BC， ∴ MN⊥BC，MN的长即为AD与BC之间 的距离. ∵ AP平分∠BAD, PM⊥AD , PE⊥AB， ∴ PM= PE. 同理， PN= PE. ∴ PM= PN= PE=3. ∴ MN=6.即AD与BC之间的距离为6. * * 单击此处编母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 7.如图所示，D是∠ACG的平分线上的一点．DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分别为E，F.求证：CE＝CF. 证明：∵CD是∠ACG的平分线，DE⊥AC，DF⊥CG， ∴DE＝DF. 在Rt△CDE和Rt△CDF中， ∴Rt△CDE≌Rt△CDF(HL)， ∴CE＝CF. * * 单击此处编母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 课堂小结 角平分线 尺规作图 属于基本作图，必须熟练掌握 性质定理 一个点：角平分线上的点； 二距离：点到角两边的距离； 两相等：两条垂线段相等 辅助线 添加 过角平分线上一点向两边作垂线段 * * $$