2.3 第1课时 一元二次不等式及其解法课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

2 带着目标阅读教材，勾划重点知识 问题导入 在初中，我们从一次函数的角度看一元一次方程、一元一次不等式，发现了三者之间的内在联系，利用这种联系可以解一元一次不等式（图象法） 对于二次函数、一元二次方程和一元二次不等式，是否也有这样的联系呢？ 什么是一元二次不等式？ 问题 园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉．若栅栏的长度是24 m，围成的矩形区域的面积要大于20 m2，则这个矩形的边长为多少米？ 求得上述不等式的解集，即可得到问题的答案 新概念 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次是2的不等式，称为一元二次不等式． 一元二次不等式的一般形式是： 注：若无a≠0这个条件，则该不等式不一定是一元二次不等式，需对a是否为零展开讨论. 类比学习： 在初中，我们学习用图象法解一元一次方程、一元一次不等式．类似地，从二次函数的观点看一元二次不等式，进而得到一元二次不等式的求解方法呢？ 注：使得 成立的实数x（方程 的解）即为二次函数 的零点． 步骤：1．做出函数的图像； 2．求出图像与x轴交点的横坐标；（函数的零点） 3．观察图像位于x轴上方（或下方）所对应的x取值范围． 二次函数y=x2－12x+20 的两个零点x1＝2，x2＝10将x轴分成三段． 当x＜2 时，y＞0，即x2－12x+20>0； 当2<x＜10时，y<0，即x2－12x+20<0； 当x＞10时，y＞0，即x2－12x+20>0； 故一元二次不等式x2－12x＋20＜0 的解集是{x|2＜x＜10}． 观察一元二次不等式x2－12x+20<0与二次函数y=x2－12x+20间有何关系？ 归纳总结 a>0 ax2+bx+c=0 (a>0)的根 ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 ax2+bx+c<0 (a>0)的解集 x y O x1=x2 y x O x1=x2= 没有实根 y=ax2+bx+c (a>0)的图象 x1 x2 x y O 有两个不相的实根 x1, x2 (x1<x2) 当a大于零时，常用记忆口决：大于取两边，小于取中间 大于取上边 小于取下边 等于取零点 图形记忆 【例1】求不等式x2－5x＋6＞0的解集. 【解析】对于方程x2－5x＋6＞0，因为Δ>0， 故有两个不等的实数根，解得x1＝2，x2＝3 ． 画出二次函数y＝x2－5x＋6的大致图象， 结合图象得不等式x2－5x＋6＞0 的解集为： 【例2】求不等式9x2－6x＋1＞0的解集． 【解析】对于方程9x2－6x＋1＝0，因为Δ＝0， 画出二次函数y＝9x2－6x＋1的大致图象， 结合图象得不等式9x2－6x＋1＞0的解集为 ． 所以它有两个相等的实数根，解得x1＝x2＝ 【例3】求不等式－x2+2x－3＞0的解集． 【解析】不等式可化为x2－2x+3<0，因为∆<0 所以方程x2－2x+3=0无实数根 画出二次函数y=x2－2x+3的大致图象， 结合图象得不等式x2－2x+3<0的解集为:∅ 规 律 和 方 法 (1) 移项整理：将不等号右边化为0，左边二次项系数为正; (2) 分因、算判别式、解方程：求出对应一元二次方程的根; (3) 画（想）图象：画（想）出对应二次函数的图象; (4) 写解集：根据图象写出不等式的解集（也可用口决）。 【例4】 解一元二次不等式的流程图           （如果能因式分解，可以省略这一步） 方程 ax2+bx+c=0 有两个不等的实数根 x1，x2（x1<x2） 方程 ax2+bx+c=0 有两个相等的实数根 方程 ax2+bx+c=0 没有实数根 课堂小练 17 课堂小练 18 课堂小练 19 20 21 22 23 24 25 提升作业 学习的本质是改变思维 THANK YOU 一次函数 一次函数与一元一次方程、不等式间关系 对应图像为x轴上方部分； 解集为： 对应图像为x轴下方部分； 解集为： 一元一次方程 一元一次 不等式 P 方程的根是直线l与x轴交点P的横坐标x=2 图象为一条直线l