13.3全等三角形的判定（二） 课件 2024-2025学年冀教版数学八年级上册

13.3 全等三角形的判定（二） 全等三角形的判定（三）（ASA AAS） ● 考点清单解读 ● 重难题型突破 ■考点一 “角边角”（或“ASA”） 基本事 实三 如果两个三角形的两个角和它们的夹边对应相等， 那么这两个三角形全等. 基本事实三可简记为“角边角”或“ASA” 符号 语言 如图，在△ABC 和△A′B′C′中，∵ ∴△ABC≌△A′B′C′ （ASA） ∠B=∠B′， BC=B′C′， ∠C=∠C′， 考点清单解读 返回目录 归纳总结 利用“ASA”证明两个三角形全等时，一定要按照“角—边—角”的顺序列出全等的三个条件，以突出边是夹边. 第三课时 全等三角形的判定（三）（ASA AAS） 考点清单解读 返回目录 典例1 如图，点B，D 在线段AE上，∠C=∠F，AC=EF，AC∥EF.求证：△ABC≌△EDF． 对点典例剖析 第三课时 全等三角形的判定（三）（ASA AAS） 考点清单解读 返回目录 ［答案］ 证明：∵AC∥EF，∴∠A=∠E． 在△ABC 和△EDF 中，∵ ∴△ABC≌△EDF（ASA）． 第三课时 全等三角形的判定（三）（ASA AAS） ∠A=∠E， AC=EF， ∠C=∠F， 考点清单解读 返回目录 ■考点二 “角角边”（或“AAS”） 判定 定理 如果两个三角形的两角及其中一个角的对边对应 相等，那么这两个三角形全等. 这个定理可简记为“角角边”或“AAS” 符号 语言 如图，在△ABC 和△A′B′C′中， ∵ ∴△ABC≌△A′B′C′（AAS） 第三课时 全等三角形的判定（三）（ASA AAS） ∠A=∠A′， ∠B=∠B′， BC=B′C′， 考点清单解读 返回目录 重要 警示 （1）有两角和一边分别相等的两个三角形不一定全等，因为边不一定是对应边. 例如：如图 1，∠A=∠A， ∠ADE=∠ABC，AD=BC，但 △ADE和△ABC 不全等； （2）有三个角对应相等的两个三角形不一定全等.例如：如图 2，DE∥BC，则∠ADE=∠B，∠AED=∠C，又知∠A=∠A，但△ADE 和△ABC 不全等 第三课时 全等三角形的判定（三）（ASA AAS） 续表 考点清单解读 返回目录 归纳总结 1. 运用“AAS”证明两个三角形全等找等角时，除已知外，还有以下方式：①公共角或对顶角；②角平分线；③平行线的性质；④角的和差；⑤同角（或等角）的余角、补角相等；⑥垂直得两直角相等. 第三课时 全等三角形的判定（三）（ASA AAS） 考点清单解读 返回目录 2. 全等三角形的判定思路 第三课时 全等三角形的判定（三）（ASA AAS） 考点清单解读 返回目录 典例2 如图，AB∥DE，AC∥DF，AC=DF，∠B=∠E.求证：△ABC≌△DEF. 对点典例剖析 第三课时 全等三角形的判定（三）（ASA AAS） 考点清单解读 返回目录 ［答案］ 证明：∵AB∥DE，AC∥DF， ∴∠A=∠DOC，∠D=∠DOC，∴∠A=∠D， 在△ABC 和△DEF 中， ∴△ABC≌△DEF（AAS）. 第三课时 全等三角形的判定（三）（ASA AAS） ［解题思路］ ∠B=∠E， ∠A=∠D， AC=DF， 考点清单解读 返回目录 典例3 如图，线段 AB，CD 相交于点 O，AC =DB，∠A = ∠D，求证：AO=DO． 对点典例剖析 第三课时 全等三角形的判定（三）（ASA AAS） 考点清单解读 返回目录 ［答案］ 证明：在△AOC 和△DOB 中， ∵ ∴△AOC≌△DOB（AAS）， ∴AO=DO． 第三课时 全等三角形的判定（三）（ASA AAS） ∠A=∠D， ∠AOC=∠DOB， AC=DB， 考点清单解读 返回目录 ■题型 “截长补短法”构造全等三角形 例 如图，AB∥DC，AB⊥AD，BE 平分∠ABC，CE 平分∠BCD.试探求 AB，CD 与 BC 的数量关系，并说明你的理由. 第三课时 全等三角形的判定（三）（ASA AAS） 重难题型突破 返回目录 ［答案］ 解：AB+CD=BC.理由如下： 证法一（截长法）：如图 1，在 BC 上截取 BF=AB，连接 EF. ∵BE 平分∠ABC，∴∠ABE=∠FBE， 在△BAE 和△BFE 中，∵ ∴△BAE≌△BFE（SAS），∴∠BFE=∠A， ∵AB⊥AD，∴∠A=90°，∴∠BFE=90°，∴∠EFC=90°， ∵AB∥DC，∴∠A+∠D=180°，∴∠D=90°， 第三课时 全等三角形的判定（三）（ASA AAS） AB=FB， ∠ABE=∠FBE， BE=BE， 重难题型突破 返回目录 ∴∠EFC=∠D. ∵CE 平分∠BCD，∴∠DCE=∠FCE. 在△EDC 和△EFC 中，∵ ∴△EDC≌△EFC（AAS）， ∴CD=CF，∵BF+CF=BC，∴AB+CD=BC. 第三课时 全等三角形的判定（三）（ASA AAS） ∠DCE=∠FCE， ∠D=∠EFC， EC=EC， 重难题型突破 返回目录 证法二（补短法）：如图 2，延长 BA 至点 G，使 BG=BC，连接 EG. ∵BE 平分∠ABC，∴∠GBE=∠CBE， 在△GBE 和△CBE 中，∵ ∴△GBE≌△CBE（SAS），∴CE=GE，∵AB⊥AD， ∴∠EAG=90°，∵AB∥DC，∴∠ECD=∠G，∠EAG=∠D. 第三课时 全等三角形的判定（三）（ASA AAS） BG=BC， ∠GBE=∠CBE， BE=BE， 重难题型突破 返回目录 在△EDC 和△EAG 中，∵ ∴△EDC≌△EAG（AAS）， ∴CD=AG，∵AB+AG=BG，∴AB+CD=BC. 第三课时 全等三角形的判定（三）（ASA AAS） ∠D=∠EAG， ∠ECD=∠G， CE=GE， 重难题型突破 返回目录 变式衍生 若把例题中 AB⊥AD 这一条件去掉，则 AB，CD 与 BC 的数量关系还成立吗？说明你的理由． 第三课时 全等三角形的判定（三）（ASA AAS） 解：成立，理由如下： 如图，在 BC 上截取 BF=AB，连接 EF， 在△BAE 和△BFE 中，∵ ∴△BAE≌△BFE（SAS），∴∠EAB=∠EFB， ∵AB∥DC，∴∠EAB+∠D=180°， ∵∠EFB+∠EFC=180°，∴∠D=∠EFC， AB=FB， ∠ABE=∠FBE， BE=BE， 重难题型突破 返回目录 第三课时 全等三角形的判定（三）（ASA AAS） ∵CE 平分∠BCD，∴∠DCE=∠FCE，在△CDE 和△CFE 中， ∵ ∴△CDE≌△CFE（AAS），∴CD=CF， ∵BF+CF=BC， ∴AB+CD=BC． ∠D=∠EFC， ∠DCE=∠FCE， CE=CE， 重难题型突破 返回目录 解题通法 截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系，目的是将线段和差倍分问题转化为线段相等问题. （1）截长法（如图 1） 已知：AD 平分∠BAC，在 AB上截取 AF=AC，连接 DF. 结论：△ACD≌△AFD； 第三课时 全等三角形的判定（三）（ASA AAS） 重难题型突破 返回目录 （2）补短法（如图 2） 已知：AD 平分∠BAC，延长 AC 至点 E，使 AE=AB，连接 DE.结论：△AED≌△ABD. 第三课时 全等三角形的判定（三）（ASA AAS） 重难题型突破 返回目录 具有特殊位置关系的三角形全等的判定 ● 考点清单解读 ● 重难题型突破 ● 易错易混分析 ■考点 具有特殊位置关系的三角形全等的判定 常见基 本图形 考点清单解读 返回目录 归纳总结 全等三角形常见的类型 第四课时 具有特殊位置关系的三角形全等的判定 考点清单解读 返回目录 典例 如图，CA=CD，∠BCE=∠ACD，BC=EC．求证：AB=DE． 对点典例剖析 第四课时 具有特殊位置关系的三角形全等的判定 考点清单解读 返回目录 ［答案］ 证明：∵∠BCE=∠ACD， ∴∠BCE+∠ACE=∠ACD+∠ACE， ∴∠ACB=∠DCE， 在△ACB 和△DCE 中，∵ ∴△ACB≌△DCE（SAS）， ∴AB=DE． CA=CD， ∠ACB=∠DCE， BC=EC， 第四课时 具有特殊位置关系的三角形全等的判定 考点清单解读 返回目录 ■题型 构造全等三角形解决线段和差问题 例 如图，若在四边形 ABCD 中，AB=AD，∠B+∠D= 180°，E，F 分别是 BC，CD 上的点，且 ∠EAF= ∠BAD，求证：EF=BE+DF. 第四课时 具有特殊位置关系的三角形全等的判定 重难题型突破 返回目录 ［答案］ 证明：如图，延长 FD 到点 G，使 DG=BE，连接 AG， ∵∠B+∠ADC=180°，∠ADG+∠ADC=180°，∴∠B=∠ADG， 又 ∵AB=AD，BE=DG，∴△ABE≌△ADG（SAS）， ∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，∴∠BAE+∠EAD=∠DAG+∠EAD， 即∠BAD=∠EAG，又 ∵∠EAF= ∠BAD， ∴∠EAF= ∠EAG，∴∠EAF=∠GAF． 在△AEF 和△AGF 中，∵ AE=AG， ∠EAF=∠GAF， AF=AF， 第四课时 具有特殊位置关系的三角形全等的判定 重难题型突破 返回目录 ∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF=GF， 又 ∵GF=DG+DF=BE+DF，∴EF=BE+DF． 第四课时 具有特殊位置关系的三角形全等的判定 重难题型突破 返回目录 思路点拨 本题实际是将 △ABE 绕点 A 逆时针旋转到 △ADG 的位置，证明 △ABE≌△ADG，从而得到△AEF≌△AGF，证明 EF=GF，得到答案. 第四课时 具有特殊位置关系的三角形全等的判定 重难题型突破 返回目录 解题通法 解题的关键在于根据题目已知条件，利用全等变换构造出全等三角形，把求和的两条线段转移到一条直线上，从而简化问题. 第四课时 具有特殊位置关系的三角形全等的判定 重难题型突破 返回目录 第四课时 具有特殊位置关系的三角形全等的判定 ■判定三角形全等时误用判定方法 例 （多选）如图，若要判定△ACD≌△ABE，则添加的条件可以是 ______． A. ∠AEB=∠ADC，∠C=∠B B. AC=AB，AD=AE C. ∠AEB=∠ADC，CD=BE D. AC=AB，CD=BE 易错易混分析 返回目录 第四课时 具有特殊位置关系的三角形全等的判定 ［解析］A.不符合全等三角形的判定条件，不能推出△ACD≌△ABE；B.可利用“SAS”推出 △ACD≌△ABE；C.可利用“AAS”推出 △ACD≌△ABE；D.不符合全等三角形的判定条件，不能推出 △ACD≌△ABE. 易错易混分析 返回目录 第四课时 具有特殊位置关系的三角形全等的判定 ［答案］ BC ［易错］ ABCD ［错因］ 误以为“AAA”“SSA”也能判定两个三角形全等. 易错易混分析 返回目录 第四课时 具有特殊位置关系的三角形全等的判定 易错警示 注意“AAA”“SSA”不能判定两个三角形全等. 领悟提能 现阶段只能利用“SSS”“SAS”“ASA” “AAS”判定三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 易错易混分析 返回目录 $$