12.2三角形全等的判定 讲义2024－2025学年人教版数学八年级上册

12.2三角形全等的判定讲义-数学八年级上册人教版 高频考点梳理 全等三角形的判定 （1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等． （2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等． （3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等． （4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． （5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等． 方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边． 直角三角形全等的判定 1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件． 全等三角形的应用 （1）全等三角形的性质与判定综合应用 用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系． （2）作辅助线构造全等三角形 常见的辅助线做法：①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律．②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明． （3）全等三角形在实际问题中的应用 一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键． 清易错 1．如图，已知，AB＝CD，AD＝BC，求证：∠DAC＝∠BCA． 【解答】证明：在△ABC和△CDA中， ， ∴△ABC≌△CDA（SSS）， ∴∠DAC＝∠BCA． 2．完成下面的解答过程并在括号内填上推理的依据． 如图，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CF交AB于点E，BD⊥CF于点D，AF⊥CF．若AF＝9，DF＝10，求BD的长． 解：∵∠ACB＝90°， ∴①　∠1+∠2　＝90° ∵BD⊥CF， ∴∠4＝90°， ∴在Rt△BCD中，∠2+∠3＝90°， ∴②　∠1＝∠3　， ∵BD⊥CF，AF⊥CF， ∴∠4＝∠F＝90°， 在△ACF和△CBD中， ， ∴△ACF≌△CBD（④　AAS　）， ∴CF＝BD，AF＝⑤　CD　＝9， ∴CF＝CD+DF＝9+10＝19， ∴BD＝CF＝19． 【解答】解：∵∠ACB＝90°， ∴∠1+∠2＝90° ∵BD⊥CF， ∴∠4＝90°， ∴在Rt△BCD中，∠2+∠3＝90°， ∴∠1＝∠3， ∵BD⊥CF，AF⊥CF， ∴∠4＝∠F＝90°， 在△ACF和△CBD中， ， ∴△ACF≌△CBD（AAS）， ∴CF＝BD，AF＝CD＝9， ∴CF＝CD+DF＝9+10＝19， ∴BD＝CF＝19． 故答案为：∠1+∠2，∠1＝∠3，∠F＝∠4，AAS，CD． 3．如图，在△ABD中，AB＝AD，E为平面内一点，连接AE，DE，C为AD延长线上一点，连接BC交DE于点F，且AE＝BC，∠ADB+∠CBD＝∠DAE． （1）求证：AC＝DE； （2）若∠ADB＝30°，∠CBD＝10°，求∠BFD的度数． 【解答】（1）证明：∵AB＝AD， ∴∠ADB＝∠ABD， ∵∠ADB+∠CBD＝∠DAE， ∴∠ABD+∠CBD＝∠DAE， ∴∠ABC＝∠DAE， 在△ABC和△DAE中， ， ∴△ABC≌△DAE（SAS）， ∴AC＝DE； （2）解：∵∠ADB＝∠ABD＝30°，∠CBD＝10°， ∴∠ABC＝40°，∠C＝20°， ∴∠BAC＝120°， ∵△ABC≌△DAE， ∴∠DAE＝∠ABC＝40°，∠E＝∠C＝20°， ∴∠EDC＝∠DAE+∠E＝60°， ∴∠BFD＝∠C+∠EDC＝60°+20°＝80°． 精选好题 一、单选题 1．如图，在中，为边的中点，，，延长至点，使得，则长度可以是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．下列作图属于尺规作图的是（    ） A．用量角器画出的平分线 B．已知，作，使． C．用刻度尺画线段 D．用三角板过点作的垂线 3．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，，则点D的坐标是（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，是上一点，于点，，连接，若，则等于（    ） A． B． C． D． 5．用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则要说明，需要证明和，则这两个三角形全等的依据是（    ） A． B． C． D． 6．在中，，，所对的边分别记为a，b，c，则符合下列条件的三角形不能唯一确定的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 7．如图，在中，，，于E，于D，，，则的长是（    ） A． B． C． D． 8．如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，小明在池塘外取的垂线上的点C，D，使，再画出的垂线，使E与A，C在一条直线上，这时测得的长就是的长，依据是（    ） A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS 二、填空题 9．“两条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等”是 命题（填“真”或“假”）． 10．如图，已知，要使需要添加的一个条件是 ． 11．如图，ABC中，，是上一点，连接，过点作，垂足为，，若，则的值为 ． 12．如图所示的网格是正方形网格，点，，，均落在格点上，则的度数为 ． 13．如图，点A，C，B，D在同一条直线上，．若，则的度数为 ．    14．在中，于E，于D，交于F，平分交延长线于M，连接，．若，，，则 ． 15．如图，为了测量凹档的宽度，把一块等腰直角三角板（，）放置在凹槽内，三个顶点A，B，C分别落在凹槽内壁上，若，测得，，则该凹槽的宽度的长为 ． 16．如图，，,，，垂足分别是点D、E，，，则的长是 ． 三、解答题 17．如图，在和 中，边，交于点，，，． (1)若，，求的度数； (2)求证：． 18．如图，在与中，，，点，，，在同一条直线上，．求证：． 19．如图，中，平分，且，于，于， (1)求证：与互补； (2)如果，，求、的长． 20．如图所示，在中，和分别是边和边上的高，且和交于点．求证：    21．如图，在中，已知，是的高，，直线，动点D从点C开始沿射线方向以每秒3厘米的速度运动，动点E也同时从点C开始在直线上以每秒1厘米的速度向远离C点的方向运动，连接、，设运动时间为t秒． 备用图 (1)请直接写出、的长度（用含有t的代数式表示）：________，________； (2)当t为多少时，的面积为？ (3)探究：当t为多少时，？并简要说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B B C C A A B 1．A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系；证明，得，在中由三边不等关系确定的取值范围，根据范围即可完成求解． 【详解】解：为边的中点， ； 在与中， ， ， ； ，， ， 故可以为4, 故选：A． 2．B 【分析】本题考查了尺规作图的定义，掌握尺规作图的定义是解题的关键．根据尺规作图的定义，逐项分析即可，尺规作图是指仅用没有刻度的直尺和圆规作图 【详解】解：A．用量角器画出的平分线借助了量角器，不符合题意 B.借助直尺和圆规作，使，符合题意； C.画线段，借助了带刻度的直尺或三角板，不符合题意； D．用三角尺过点P作的垂线，借助了三角尺的直角，不符合题意； 故选：B． 3．B 【分析】本题考查正方形性质及应用，涉及全等三角形的判定与性质，点的坐标等知识，由“”可证，可得，，即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴于点， 点，， ，， 四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， 点． 故选：B． 4．C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出答案，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故选：． 5．C 【分析】本题考查了作一个角等于已知角的尺规作图、三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键． 根据尺规作图可得，，，再根据定理即可得． 【详解】解：由尺规作图可知，，，， 在和中， ， ∴ 即这两个三角形全等的依据是， 故选：C． 6．A 【分析】本题考查了利用全等三角形的判定作图，对于没有不属于全等三角形的判定情况，要根据实际情况作图，是本题解答的关键．根据全等三角形的判定，可判断B选项和C选项不符合题意，对于选项A和选项D，则作以点C为圆心，长为半径作弧，查看该弧与直线的交点情况，即可判断答案． 【详解】A、如图1，在中， ，，，以点C为圆心，长为半径作弧，交的延长线于点，连结，则在中， ，，，同样满足题意，所以此三角形不唯一，符合题意； B、， a，b，c三线段能作组成三角形， 根据两个三角形“边边边”全等的判定，可知此三角形唯一确定，不符合题意； C、根据两个三角形“角角边”全等的判定，可知此三角形唯一确定，不符合题意； D、如图2，在中， ，，，以点C为圆心，长为半径作弧，与直线没有交点，可知此三角形唯一确定，不符合题意． 故选A． 7．A 【分析】此题考查同角的余角相等，全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键． 由于D，于E，得，而，则，而，即可证明，则，所以． 【详解】解：∵于D，于E， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的长是． 故选A． 8．B 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键，全等三角形的判定定理有． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴依据是， 故选B． 9．真 【分析】本题考查的是全等三角形的判定，命题真假的判断，由两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等可得答案． 【详解】解：∵两个直角三角形的两条直角边相等，而且所夹的角为直角， ∴这两个直角三角形全等， ∴两条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等是真命题； 故答案为：真 10．（答案不唯一） 【分析】本题考查了添加条件使三角形全等，根据题中给出的条件，，再添加即可利用证明． 【详解】解：，， 当时，， 故答案为：（答案不唯一）． 11．/14厘米 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，由“”可证，可得，即可求解． 【详解】解：在和中， ， ， ， ． 故答案为：． 12． 【分析】本题网格型问题，考查了三角形全等的性质和判定，本题构建全等三角形是关键．证明，得，根据同角的余角相等可得结论． 【详解】解：，，， ， ， ， 故答案为：． 13．110 【分析】此题主要考查全等三角形的判定与性质、平行线的性质，三角形外角的性质．根据，可得，再证明，即可． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：110． 14． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，根据题意证明，，，得出，．进而根据得出，，根据得出，根据，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分 ∴， 又∵ ∴， ∴ ∵于E，于D， ∴，， ∴ 又∵ ∴， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴，． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 15．48 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论． 【详解】解：∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ 故答案为：48． 16．2 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 根据条件可以得出，利用可以得出，再根据全等三角形的性质得出，，最后根据线段的和差即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，． ∴， 故答案为：2． 17．(1)； (2)证明见解析． 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，平行线的性质，全等三角形的判定，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据三角形内角和定理求出，再根据平行线的性质得出即可； （）根据平行线的性质得出，求出，再根据全等三角形的判定定理推出即可； 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， 在和中， ∴． 18．证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的判定，利用证明，得到，即可证明． 【详解】证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴． 19．(1)见解析 (2)， 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，掌握全等三角形的判定与性质成为解题的关键． （1）根据角平分线的性质及已知条件可得、、，再证明可得，最后结合即可证明结论； （2）再证明可得，再根据等量代换及已知条件即可解答． 【详解】（1）证明：平分，于，于， ，，， 在和中， ， ； ，， ， ，即与互补． （2）解：在和中， ， ， ， 又， ， ， ， ，解得：， ． 20．见详解 【分析】此题重点考查同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识由，，，得，则，而，即可根据“”证明，则． 【详解】证明：∵和分别是边和边上的高， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴． 21．(1)，t (2)当为或时，的面积为 (3)秒或4秒时，．理由见详解 【分析】本题考查了线段的和与差、三角形全等的判定定理与性质，熟记判定定理与性质是解题关键．需注意的一点是：动点D的位置要分情况讨论，避免漏解． （1）根据“”即可得； （2）根据可求出的长，因为要求t则需要求出的长，由点D的位置可知，需分点D在点B右侧和点D在点B左侧两种情况，根据线段的和与差分别讨论即可； （3）先假设，则有，同（2）分两种情况讨论解出t的值，再检验两种情况下的t值，能否使得即可 【详解】（1）解：由“”得：， 故答案为：； （2）， ， 求的长分以下两种情况： 若在点右侧，，则 若在点左侧，，则 综上所述：当为或时，的面积为； （3）如果，则有 同（2）分两种情况： ①若在点右侧，当E在射线上时，D必在上，如下图： 则 由，即可得： 检验： 因此，由定理可得， ②若在点左侧，当E在的反向延长线上时，D必在延长线上，如下图： 则，， 由，即可得： 检验： ， ∴由定理可得， 综上，秒或4秒时，． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$