12.1全等三角形讲义-2024-2025学年人教版数学八年级上册

12.1全等三角形讲义-数学八年级上册人教版 高频考点梳理 1．全等图形 （1）全等形的概念 能够完全重合的两个图形叫做全等形． （2）全等三角形 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． （3）三角形全等的符号 “全等”用符号“≌”表示．注意：在记两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应位置上． （4）对应顶点、对应边、对应角 把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角． 2．全等三角形的性质 （1）性质1：全等三角形的对应边相等 性质2：全等三角形的对应角相等 说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等 ②全等三角形的周长相等，面积相等 ③平移、翻折、旋转前后的图形全等 （2）关于全等三角形的性质应注意 ①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边． ②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角． 清易错 1．如图，E为线段BC上一点，AB⊥BC，△ABE≌△ECD，判断AE与DE的关系，并证明你的结论． 【解答】解：AE⊥DE，AE＝DE． ∵AB⊥BC， ∴∠B＝90°． ∵△ABE≌△ECD， ∴∠A＝∠DEC，∠AEB＝∠EDC，∠B＝∠C＝90°． ∵∠A+∠AEB＝90°，∠DEC+∠D＝90°， ∴∠AEB+∠DEC＝90°， ∴∠AED＝90°，即AE⊥DE． 2．如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，DE与AC相交于点F． （1）若DE＝6，BC＝4，求线段AE的长； （2）已知∠D＝35°，∠C＝60°，求∠AFD的度数． 【解答】解：（1）∵△ABC≌△DEB，DE＝6，BC＝4， ∴AB＝DE＝6，BE＝BC＝4， ∴AE＝AB﹣BE＝6﹣4＝2； （2）∵△ABC≌△DEB，∠D＝35°，∠C＝60°， ∴∠DBE＝∠C＝60°，∠A＝∠D＝35°，∠ABC＝∠DEB， ∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝85°， ∴∠DEB＝85°， ∴∠AED＝95°， ∴∠AFD＝∠A+∠AED＝35°+95°＝130°． 3．如图，在△ABC中，AD为高，AC＝12，点E为AC上的一点，AE＝2CE，连接BE交AD于点O，△BDO≌△ADC（∠DAC和∠EBD是对应角）． （1）求∠BEC的度数； （2）有一动点Q从点A出发沿线段AC以每秒4个单位长度的速度运动，设点Q的运动时间为t秒，是否存在t的值，使得△BOQ的面积为18？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）∵在△ABC中，AD为高， ∴∠ODB＝90°， 又∵△BDO≌△ADC， ∴∠OBD＝∠DAC， ∵∠BOD＝∠AOE， ∴∠BEA＝∠ODB＝90°， ∴∠BEC＝180°﹣∠BEA＝180°﹣90°＝90°； （2）∵△BDO≌△ADC，AC＝12， ∴BO＝AC＝12， ∵AE＝2CE， ∴，， 由（1）可知，∠BEC＝90°，且Q点从点A出发，在AC上以4个单位的速度运动，那么AQ＝4t， ∴∠BEQ＝90°，即△BOQ以BO为底时高为QE，如图所示， 当0≤t＜2时，Q在线段AE上，则QE＝AE﹣AQ＝8﹣4t， ∴， 解得：， 当 2≤t≤3时，Q在线段EC上，则QE＝AQ﹣AE＝4t﹣8， ∴， 解得：． 综上所述，存在t的值为或 ． 精选好题 一、单选题 1．下列命题中，逆命题是真命题的是（　） A．对顶角相等 B．全等三角形的对应角相等 C．如果两个角都是直角，那么这两个角相等 D．直角三角形两锐角互余 2．如图，已知，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图，，，，则等于（    ）    A．4 B．3.5 C．3 D．2 4．如图，两个三角形全等，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 5．如图，已知，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．已知的三边长分别为3，5，7，的三边长分别为，，，若这两个三角形全等，则为（    ） A．2 B． C．3 D．4 7．如图所示的两个三角形全等，且对应，则（    ） A． B． C．对应 D．对应 8．在中，，， 且 和 在同一直线上，如图，若，则（    ） A．9 B．11 C．12 D．14 二、填空题 9．如果，，那么 ． 10．已知的三边长为x，2，6，的三边长为5，6，y，若与全等，则 ． 11．如图，，，，，则 ． 12．如图，已知，则 度． 13．如图，已知，若，，则 度． 14．如图，这是纸飞机的示意图，在折纸的过程中，使得与能够重合．如果，，那么 ． 15．如图，，点在同一条直线上，，则的长为 ． 16．如图，在正方形中，，E是上一点且，连接，动点M从点A以每秒2个单位长度的速度沿向终点A运动，设点M的运动时间为1秒，当和全等时，t的值是 ． 三、解答题 17．如图所示，已知于点D，． (1)若，，求的长； (2)求证：． 18．如图，，，三点在同一条直线上，且． (1)求证：； (2)当满足什么条件时，？并说明理由． 19．如图，与全等，与是对应角．找出其余的对应角和各对对应边，并用符号表示这两个三角形全等． 20．如图，在中，于点D，．完成下面说明的理由的过程． 解：（已知）， ___________（垂直的定义）． 当把图形沿AD对折时，射线DB与DC___________． （___________） 点B与点___________重合， 与___________， ___________（全等三角形的定义）， （___________）． 21．如图，在长方形中，，，点从点出发，以秒的速度沿向点运动，设点的运动时间为秒： (1)                   ．（用的代数式表示） (2)当为何值时，？ (3)当点从点开始运动，同时，点从点出发，以秒的速度沿向点运动，是否存在这样的值，使得全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D D C A D A B B 1．D 【分析】根据选项中的命题写出其逆命题，然后判断命题真假即可．本题考查了命题，逆命题，真假命题，能准确得出命题的题设和结论是解本题的关键． 【详解】解：A、对顶角相等的逆命题为如果两个角相等，则这两个角为对顶角，是假命题，不符合题意； B、全等三角形的对应角相等的逆命题为如果两个三角形的三个角对应相等，则这两个三角形全等，是假命题，不符合题意； C、如果两个角都是直角，那么这两个角相等的逆命题为如果两个角相等，那么这两个角都是直角，是假命题，不符合题意； D、直角三角形的两锐角互余的逆命题是两锐角互余的三角形是直角三角形，属于真命题，符合题意； 故选：D． 2．D 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的对应角相等即可求解，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：． 3．C 【分析】本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的对应边相等求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 故选：C． 4．A 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质定理是解题的关键．根据全等三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵两个三角形全等，左图中a与c的夹角为，右图中a与c的夹角为， ∴， 故选：A． 5．D 【分析】先根据“全等三角形对应角相等”得出，再根据三角形内角和定理即可求出的度数．本题主要考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】∵， ， 在中，，， ． 故选：D 6．A 【分析】本题主要考查了全等三角形的知识．根据全等三角形的性质可得：与3是对应边，与5是对应边，与7是对应边，由此即可得出正确选项． 【详解】解：∵与全等， 与3是对应边，与5是对应边，与7是对应边， ， ， ． 故选：A． 7．B 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，根据已知条件确定，按照全等三角形的性质即可一一判断 【详解】解：∵两个三角形全等，且，对应， ∴， A．∵，∴，该选项错误，故本选项不符合题意； B．∵，∴，该选项正确，故本选项符合题意； C．∵，∴对应，该选项错误，故本选项不符合题意； D．∵，∴对应，该选项错误，故本选项不符合题意； 故选：B． 8．B 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，根据全等三角形的性质可得，进而根据线段的和差即可求解；熟记全等三角形的对应边相等是解本题的关键． 【详解】解：∵，， ∴ ∵和在同一直线上，， ∴， 故选：B． 9．/度 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，解题的关键在于熟知全等三角形对应角相等． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 10．7 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质并准确识图是解题的关键．根据全等三角形对应边相等解答即可求出． 【详解】解：因为与全等，的三边长为x，2，6，的三边长为5，6，y， ∴， ∴所， 故答案为：7． 11．/度 【分析】本题主要考查三角形全等的性质，找到相应等量关系的角是解题的关键，做题时要结合图形进行思考． 由，可得，根据三角形外角性质可得，因为，即可求得的度数,根据三角形内角和定理可得，即可得的度数． 【详解】解：， ． , ． ． 12．120 【分析】本题考查了三角形全等的性质，及三角形外角的性质，由，得到，根据三角形外角的性质，由，得到，利用邻补角的性质即可求出． 【详解】解：， ， ， ， ， 故答案为：120． 13． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，先根据全等三角形对应角相等得到，再由三角形内角和定理即可求出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 14．90 【分析】本题考查了全等三角形的性质、三角形的内角和定理等知识，熟练使用全等三角形的对应角相等和三角形的内角和定理是解题的关键． 【详解】解：与能够重合 ， 故答案为：． 15．1 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，线段的和差计算，根据全等三角形对应边相等得到，再根据进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：1． 16．3.5或6.5 【分析】本题考查了全等三角形的性质，一元一次方程的应用等知识，解题的关键是掌握全等三角形的性质．分两种情况进行讨论，根据“全等三角形的对应边相等”并结合题意得出和，即可求得答案． 【详解】解：如下图，    ①当点在上时， ∵和全等， ∴， 由题意可得， 所以（秒）； ②当点在上时， ∵和全等， ∴， 由题意得：， 解得（秒）． 所以，当的值为3.5秒或6.5秒时．和全等． 故答案为：或． 17．(1)3 (2)见解析 【分析】（1）根据，得出， ，根据即可求解； （2）根据全等的性质得出，易得， 则，即可求证． 【详解】（1）解：∵， ∴， ， ∵，， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形的内角和，解题的关键是掌握全等三角形对应边相等，对应角相等． 18．(1)见解析 (2)当时，．理由见解析 【分析】（1）由得出，再进行相应等量代换； （2）当时，．由，得出，，若，则，因而，所以，进而，从而得证． 【详解】（1）证明：， ，， ． （2）解：当时，．理由如下： ， ． ， ，， ， ， ，， ， ． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质、平行线的判定及三角形内角和定理；根据全等的条件，得出等角及等量线段，进行相应的等量代换是解题的关键． 19．与是对应角，与是对应角，与是对应边，与是对应边，与是对应边，． 【分析】根据全等三角形的性质可得，由此求解即可． 【详解】解：∵与全等，与是对应角，， ∴， ∴， ∴与是对应角，与是对应角，与是对应边，与是对应边，与是对应边． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，熟知全等三角形对应角相等，对应边相等是解题的关键． 20．；重合；已知；C；重合；；全等三角形的性质 【分析】根据全等三角形的定义，即可得到答案． 【详解】解：（已知）， （垂直的定义）． 当把图形沿AD对折时，射线DB与DC重合． （已知） 点B与点C重合， 与重合， （全等三角形的定义）， （全等三角形的性质）． 故答案为：；重合；已知；C；重合；；全等三角形的性质． 【点睛】本题主要考查证明三角形全等，掌握全等三角形的定义：能够完全重合的三角形叫做全等三角形，是关键． 21．(1)2t (2) (3)存在，2或 【分析】（1）根据点的运动速度可得的长； （2）根据全等三角形的性质即可得出即可； （3）此题主要分两种情况①得到，②得到，然后分别计算出的值，进而得到的值． 【详解】（1）点从点出发，以秒的速度沿向点运动，点的运动时间为秒： ∴, 故答案案为：； （2）当时，． 理由：∵， ∵， ∴， ∴， ∴， （3）①当时， ∴， ∵， ∴， ∴， ， 解得：， ， ， 解得：；                 ②当P时， ∴ ∵， ∴， ， 解得： ，                     ， ， 解得：                     综上所述：当 或时，与全等． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，矩形的性质，解本题的关键是全等三角形性质的掌握． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$