11.3多边形及其内角和讲义-2024-2025学年人教版数学八年级上册

11.3多边形及其内角和讲义-数学八年级上册人教版 高频考点梳理 多边形内角与外角 （1）多边形内角和定理：（n﹣2）•180° （n≥3且n为整数） 此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法． （2）多边形的外角和等于360°． ①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°． ②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2）•180°＝360°． 清易错 1．某同学在进行多边形的内角和的计算时，求得的内角和为1125°．当发现错了之后，重新检查，发现是多加了一个内角．问：多加的这个内角的度数是多少？这个多边形是几边形？ 【解答】解：由题意可知： 多加的内角为1125°﹣（n﹣2）•180°． ， 解得7.25＜n＜8.25． ∵n为正整数， ∴n＝8． ∴多加的内角为：1125°﹣（8﹣2）•180°＝45°． 故多加的这个内角是45°，这个多边形是八边形． 2．如图，阅读佳佳与明明的对话，解决下列问题： （1）“多边形内角和为2023°”可能吗？　不可能　；（选填“可能”或“不可能”） （2）明明求的是几边形的内角和？ 【解答】解：（1）设多边形的边数为n，则其内角和为（n﹣2）×180°， 故其一定是180°的倍数， 而2023°不是180°的倍数， 故答案为：不可能． （2）设多边形的边数为n，则其内角和为（n﹣2）×180°， 根据题意，得：多加的外角为2023°﹣（n﹣2）×180°， ∴0°＜2023°﹣（n﹣2）×180°＜180°， 解得， ∵n是正整数， 故n＝13， ∴该多边形是十三边形． 3．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BD⊥CD，点E，F分别在BC，CD上，EF⊥CD． （1）求证：∠1＝∠2； （2）若∠A＝100°，BD平分∠ABC，求∠ADC的度数． 【解答】（1）证明：∵AD∥BC， ∴∠1＝∠3， ∵BD⊥CD，EF⊥CD， ∴BD∥EF， ∴∠2＝∠3， ∴∠1＝∠2； （2）解：∵AD∥BC， ∴∠A+∠ABC＝180°，∠1＝∠DBC， ∴∠ABC＝80°， ∵BD平分∠ABC， ∴， ∴∠1＝40°， ∵BD⊥CD， ∴∠BDC＝90°， ∴∠ADC＝∠1+∠BDC＝130°． 精选好题 一、单选题 1．四边形的外角和是（    ） A． B． C． D． 2．一个多边形的每一个外角都等于36°，则该多边形的内角和等于（  ） A． B． C． D． 3．一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为，原多边形的边数是（    ）． A．8或9或10 B．7或8或9 C．6或7或8 D．5或6或7 4．如图所示，已知，正五边形的顶点A、B在射线上，顶点E在射线上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．将一个四边形截去一个角后，所形成的一个新的多边形的内角和是（    ） A．14 B．23 C．或 D．或或 6．七边形中，、的延长线相交于点．若图中、、、的外角的角度和为，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．如图所示，的度数是（    ） A． B． C． D． 8．若正边形的内角和是它的外角和的2倍，则的值为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 二、填空题 9．一个多边形的每一个内角为，则这个多边形的内角和为 ． 10．在四边形中，，，则为 . 11．经过某个多边形一个顶点的所有对角线将这个多边形分成七个三角形，则这个多边形是 ． 12．如图，小刚在一个正五边形广场周围的小路按逆时针方向跑步，小刚每从一条小路转到下一条小路时，跑步方向改变的角度是 度． 13．在平面内有个点，其中每三个点都能构成等腰三角形，我们把具有这样性质的个点构成的点集称为爱尔特希点集．如图，四边形的四个顶点构成爱尔特希点集，且，则 ，若平面内存在一个点与也构成爱尔特希点集，则 ． 14．如图，在“鱼形”图案中，已知，则 ． 15．如图，在六边形中，若，与的平分线交于点G，则等于 ． 16．如图，将边长相等的正八边形与正六边形的一条边重合，点分别为正八边形和正六边形的顶点，则的度数为 ． 三、解答题 17．如图，在正五边形中，连接，且，试判断与的位置关系，并说明理由．    18．一个多边形的内角和比五边形的内角和多，并且这个多边形的各内角都相等．这个多边形的每个内角等于多少度？ 19．在锐角中，分别为边上的动点，连接交于点．    (1)如图1，当运动到，求的度数； (2)如图2，当运动到分别平分，写出与的数量关系，并证明． 20．某数学兴趣小组在学习了“多边形内角和与外角和”后深入思考，继续探究多边形的一个外角与它不相邻的内角之和具有的数量关系．    (1)如图1，与，之间的数量关系为______．若，，则______． (2)如图2，是四边形ABCD的外角，求证：． (3)若n边形的一个外角为，与其不相邻的内角之和为，则x，y与n的数量关系是______． 21．已知，，点C是直线，下方一点，连接，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，分别平分和，所在的直线相交于点H，若，求的度数；（用含的式子表示） (3)如图3，若，分和两部分，且，，直线，相交于点H，则____________．（用含n和的式子表示） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C B A D C B A 1．B 【分析】本题考查多边形的外角和定理，根据n边形内角和为求解即可得到答案； 【详解】解：∵多边形外角和为， ∴四边形的外角和是， 故选：B． 2．C 【分析】本题考查了多边形的内角与外角．任何多边形的外角和等于，可求得这个多边形的边数．再根据多边形的内角和等于即可求得内角和． 【详解】解：∵任何多边形的外角和等于， ∴多边形的边数为， ∴多边形的内角和为． 故选：C． 3．B 【分析】根据切后的内角和可以求出切后的多边形边数，然后又知一个多边形切去一个角可得到的多边形有三种可能，分别是比原边数少1，相等，多1．所以可求得原多边形边数． 【详解】解：设切去一角后的多边形为n边形．根据题意得： ． 解得∶． 因为一个多边形切去一个角后形成的多边形边数有三种可能：比原多边形边数小1、相等、大1， 所以原多边形的边数可能为7、8或9． 故选：B 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和问题，熟练掌握多边形的内角和定理是解题的关键． 4．A 【分析】本题考查多边形的内角和，三角形外角的性质．先求出正五边形的每一个内角的度数，利用外角的性质，求出的度数，再利用平角的定义，求出的度数即可． 【详解】解：正五边形的每一个内角的度数为：， ∴， ∵，， ∴， ∴； 故选：A． 5．D 【分析】本题考查了多边形的内角和，能够得出一个四边形截一刀后得到的图形有三种情形，是解决本题的关键． 根据一个四边形截一刀后得到的多边形的边数即可得出结果． 【详解】如图所示： 多边形截去一个角有三种情况．一种是从两个角的顶点截取，这样就少了一条边，即原四边形变为三角形； 另一种就是从一个边的任意位置和一个角顶点截，那样原多边形边数不变，还是四边形；还有一种是从两个边的任意位置截，那样就多了一条边，即原四边形为五边形； 新的多边形的内角和可能是，或，或． 故选：D． 6．C 【分析】本题主要考查的是多边形内角与外角的知识点，熟练掌握多边形内角与外角的关系是本题的解题关键．根据外角和内角的关系可求得、、、的和，由五边形内角和可求得五边形的内角和，则可求得． 【详解】解：∵、、、的外角的角度和为， ∴， ∴， ∵五边形内角和， ∴， ∴． 故选：． 7．B 【分析】本题主要考查三角形内角和定理以及四边形内角和定理，根据三角形内和定理得是解题的关键． 【详解】解：由三角形内角和可知， ∵， ∴， 则 ， 故选：B． 8．A 【分析】此题主要考查了多边形内角和与外角和，根据多边形内角和公式和多边形外角和为，可列方程，再解方程即可． 【详解】解：依题意，， 解得：， 故选：A． 9．/1260度 【分析】本题考查多边形的内角和与外角和，是重要考点，难度较易，掌握多边形的内角和公式和外角和是解题关键．根据题意，先解得多边形的每个外角，再根据外角和公式解得边数，最后由内角和公式解题． 【详解】解：∵多边形的每一个内角都等于， ∴多边形的每一个外角都等于， ∴边数， ∴内角和为， 故答案为：． 10．/140度 【分析】本题主要考查了多边形的内角和，解题的关键是根据四边形的的内角和为计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：． 11．9； 【分析】本题考查多边形的对角线，根据一个顶点可以引条对角线，分成个三角形直接求解即可得到答案； 【详解】解：∵多边形一个顶点的所有对角线将这个多边形分成七个三角形， ∴， 解得：， 故答案为：9． 12．72 【分析】本题考查多边形的内角与外角．根据多边形的外角的意义进行计算即可． 【详解】解：小刚跑步方向改变的角度是正五边形的外角的度数，即， 故答案为：72． 13． /度 或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，正多边形的内角，三角形内角和定理；由题意知为某正五边形的任意四个顶点时，即满足题意． 【详解】解：依题意由题意知为某正五边形的任意四个顶点时， ∴． 当为正五边形的中心点时即满足题意， 当为正五边形的顶点时，． 故答案为：，或． 14．/590度 【分析】本题考查了三角形的内角和，多边形的内角和及对顶角相等，根据三角形内角和和五边形内角和即可得出答案，解题的关键是熟练掌握多边形的内角和． 【详解】根据三角形内角和等于，五边形内角和等于得，， 又∵，， ∴， 故答案为：． 15．/70度 【分析】本题主要考查了多边形的内角和，角平分线的定义，三角形内角和，解题的关键是根据六边形的内角和为，，求出，再根据角平分线的定义求出，最后根据三角形内角和求出结果即可． 【详解】解：六边形的内角和是：， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴． 故答案为：． 16． 【分析】本题考查正多边形内角和问题，根据多边形内角和定理及正多边形每个内角相等求解即可得到答案； 【详解】解：∵边长相等的正八边形与正六边形的一条边重合， ∴，， ∴， 故答案为：． 17．，理由见解析 【分析】求得正五边形的内角，再利用三角形内角和定理求得，再求得的度数，即可证明． 【详解】，理由如下： 证明：五边形是正五边形， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了多边形的内角和，正多边形的内角，平行线的判定，三角形内角和定理，判定平行需求同旁内角互补，根据求得正五边形的内角是解题的关键． 18．这个多边形的每个内角大小为 【分析】本题考查了多边形内角和问题，根据题意利用内角和公式先求出多边形的边数，再根据每个内角都相等利用内角和公式即可求解． 【详解】解：设这个多边形的边数为，依题可知： ， 解得：， 这个多边形的各内角都相等， 这个多边形的每个内角大小为：． 19．(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查了三角形的内角和定理及角平分线的性质，掌握角平分线的性质是解题的关键． （1）根据垂直定义及四边形的内角和解答即可； （2）由、分别平分、，得，在中由三角形的内角和解答即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 在四边形中，， ， ； （2）解： 、分别平分、， ， ． 20．(1)，； (2)见解析； (3)． 【分析】本题考查了多边形内角与外角，解题的关键是掌握n边形的内角和公式：（且n为整数）． （1）根据三角形的内角和和邻补角的性质即可得出答案； （2）根据四边形的内角和和邻补角的性质即可得出结论； （3）根据n边形的内角和和邻补角的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴； ∵，， ∴ 故答案为：，； （2）证明：∵，， ∴， ∴． （3）解：∵n边形的某一个外角的度数是， ∴与这个外角相邻的内角是， ∵与这个外角不相邻的所有内角的和是， ∴， 整理得：， 故答案为：． 21．(1)证明见解析； (2)； (3)． 【分析】本题考查平行线的性质，四边形内角和，角平分线相关计算，熟练掌握四边形内角和等于解题关键是． （1）过点B作交CD于点F，根据证明，再利用，且，即可证明； （2）利用角平分线以及四边形内角和等于可得：，整理可得：，再结合（1）结论可得，进一步可求出； （3）设，，则，，由四边形内角和等于可得：，即，由（1）结论可得：，即可求出． 【详解】（1）证明：过点B作交CD于点F， ∵， ∴， ∵，且， ∴，即． （2）解：∵，分别平分和， ，， ，， ， ∴， 整理可得：， 由（1）可得：， ∴，即， ∵， ∴． （3）解：∵，， 设，，则且，， 由四边形内角和等于可得：， 即， ， 由（1）可得：， ∴，即， ∴， 整理得：． 故答案为： 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$