2.6正多边形与圆讲义-2024-2025学年苏科版数学九年级上册

2.6正多边形与圆讲义-数学九年级上册 【易错考点】+【例题精讲】+【针对性训练】 ( 目录导航 ) 第一部分：易错考点 第二部分：例题精讲 第三部分：针对性训练 【第一部分】 ( 易错考点 ) 正多边形和圆 （1）正多边形与圆的关系 把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆． （2）正多边形的有关概念 ①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心． ②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径． ③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． ④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 【第二部分】 ( 例题精讲 ) 1．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O半径为4． （1）求正六边形的边心距； （2）求正六边形ABCDEF的面积． 【解答】解：（1）连接OC、OD，过点O作OH⊥CD于H，则∠OHC＝∠OHD＝90°， ∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴∠COD＝60°， ∴∠COH＝30°，△COD为等边三角形， ∴，CD＝OC＝4， ∴圆心O到CD的距离， 即正六边形的边心距为； （2）正六边形ABCDEF的面积＝． 2．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O． （1）若P是上的动点，连接BP，FP，求∠BPF的度数； （2）已知△ADF的面积为，求⊙O的面积． 【解答】解：（1）如图所示，在弧CD取一点P，连接BP、AP、FP、FO， ∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴AF＝AB，， ∴， ∵AF＝AB， ∴∠APB＝∠APF＝30°， ∴∠BPF＝∠APB+∠APF＝60°； （2）∵∠A0F＝60°，AO＝FO， ∴△AOF是等边三角形， ∴∠DAF＝60°； ∴，AD＝2AF， ∴， ∴AF＝2，即⊙O的半径为2， ∴⊙O的面积＝π×22＝4π． 【第三部分】 ( 针对性训练 ) 一．选择题（共8小题） 1．如图，一个亭子的地基是半径为4m的正六边形，则该正六边形地基的面积是（　　） A．24m2 B． C．48m2 D． 2．如图，在平面直角坐标系中，正六边形OABCDE的边长是4，则它的内切圆圆心M的坐标是（　　） A． B． C． D．（2，4） 3．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为6，则这个正六边形的边心距OM为（　　） A．4 B． C． D． 4．如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心．若∠ADB＝20°，则这个正多边形的边数为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 5．如图，正三角形ABC和正六边形ADBECF都内接于⊙O，连接OC，则∠ACO+∠ABE＝（　　） A．90° B．100° C．110° D．120° 6．两个边长为2的正六边形按如图所示方式放置，则点A的坐标是（　　） A． B．（3，4） C． D． 7．如图，正四边形ABCD和正五边形CEFGH内接于⊙O，AD和EF相交于点M，则∠AMF的度数为（　　） A．26° B．27° C．28° D．30° 8．如图所示的正六边形ABCDEF中，点M是边EF的中点，连接AE，CM，相交于点N．若正六边形ABCDEF的面积为12，阴影部分①的面积为a，阴影部分②的面积为b，则b﹣a的值是（　　） A． B．1 C． D．2 二．填空题（共8小题） 9．圆内接正三角形的中心角的度数为 　 　． 10．陕西某民间灯会活动中，主题灯组上有一幅不完整的正多边形图案，如图，AB与BC为该正多边形的一组相邻边，小丽量得∠BAC＝15°，则这个正多边形的边数为 　 　． 11．在一个圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角为72°，则该正多边形的一个外角的度数是 　 　°． 12．如图，点P是正六边形ABCDEF的边AB的中点，一束光线从点P出发，照射到镜面EF上的点Q处，经反射后恰好经过顶点C．已知正六边形的边长为2，则EQ＝　 　． 13．已知，正六边形ABCDEF 的边长为2，点P在它的边上，当△ABP为等腰三角形时，AP的长为 　 　． 14．点F是正五边形ABCDE边DE的中点，连接BF并延长与CD延长线交于点G，则∠BGC的度数为 　 　． 15．将7个边长均为6的正六边形不重叠、无缝隙的按如图所示摆放，O是中间正六边形的中心． （1）∠α＝　 　度； （2）已知点M在边AB上，且AM＝2．若经过点M的直线l将整个图形的面积平分，则直线l被整个图形所截的线段长是 　 　.（结果保留根号） 16．如图，⊙O与正六边形ABCDEF的两边AF，DE分别相切于A，D两点，则∠AOD＝　 　°． 三．解答题（共5小题） 17．如图，在正五边形ABCDE中，连结AC，AD，CE，CE交AD于点F． （1）求∠CAD的度数． （2）已知AB＝2，求DF的长． 18．司南是我国古代辨别方向用的一种仪器．其早在战国时期就已被发明，是现在所用指南针的始祖．如图，司南中心为一圆形，圆心为点O，直径为20，根据八个方位将圆形八等分（图2中点A～H），过点E作⊙O的切线与AG的延长线交于点M，连接EG． （1）相邻两个方位间所夹的圆心角的度数为 　 　． （2）求AG的长． （3）求线段ME与EG的长，并比较大小． 19．如图是正方形、正五边形、正六边形． （1）观察图中各正多边形相邻两对角线相交所形成的较大的角a4，a5，a6，则a4＝　 　°，a5＝　 　°，a6＝　 　°． （2）按此规律，记正n边形相邻两对角线相交所形成的较大的角为an，请用含n的式子表示an＝　 　（其中n为不小于4的整数）． （3）若an＝150°，求相应的正多边形的边数n． 20．如图，正六边形ABCDEF为⊙O的内接正六边形，过点D作⊙O的切线，交AF的延长线于点P，连接FD，AD，⊙O的半径为6． （1）求∠ADF的度数； （2）求线段PD的长； （3）若点M为FD上一点（不与点F，D重合），连接AM，CM，直接写出△AFM与△CDM的面积之和． 21．如图1，小吴同学在陶艺课中为八角花盆制作“圆形托盘”，已知八角花盆底部截面是一个正八边形（如图2），请根据下列信息解决问题． （1）求八角花盆底部截面正八边形一个内角的度数； （2）若八角花盆底部截面正八边形的边长是16cm，小吴同学制作的圆形托盘半径是22cm，问：这个托盘是否适用于此八角花盆？（图3中边长的数据为近似值，供选用） 2.6正多边形与圆讲义-数学九年级上册 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．如图，一个亭子的地基是半径为4m的正六边形，则该正六边形地基的面积是（　　） A．24m2 B． C．48m2 D． 【解答】解：如图，连接OB，OC，则OB＝OC＝4m， ∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴， ∴△OBC是等边三角形， ∴BC＝CO＝BO＝4m，， ∴． 故选：B． 2．如图，在平面直角坐标系中，正六边形OABCDE的边长是4，则它的内切圆圆心M的坐标是（　　） A． B． C． D．（2，4） 【解答】解：如图所示，作OE、CD的垂直平分线交于点F，即为内切圆圆心M，连接MO，ME， ∵正六边形OABCDE的边长是4， ∴OH＝HE＝2，△OME为等边三角形，∠OMH＝30°， ∴MO＝2OH＝4， ∴ ∴点M的坐标为： 故选：A． 3．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为6，则这个正六边形的边心距OM为（　　） A．4 B． C． D． 【解答】解：连接OB、OC，如图所示： 则∠BOC＝60°， ∵OB＝OC， ∴△OBC是等边三角形， ∴BC＝OB＝6， ∵OM⊥BC， ∴BM＝CM＝BC＝3， ∴OM＝＝3， 故选：B． 4．如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心．若∠ADB＝20°，则这个正多边形的边数为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【解答】解：连接OA，OB， ∵A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心， ∴点A、B、C、D在以点O为圆心，OA为半径的同一个圆上， ∵∠ADB＝20°， ∴∠AOB＝2∠ADB＝40°， ∴这个正多边形的边数＝＝9． 故选：C． 5．如图，正三角形ABC和正六边形ADBECF都内接于⊙O，连接OC，则∠ACO+∠ABE＝（　　） A．90° B．100° C．110° D．120° 【解答】解：如图，连接AO， ∵正三角形ABC， ∴， ∵OA＝OC， ∴， ∵正六边形ADBECF， ∴，DA＝DB， ∴， ∴∠ABE＝120°﹣30°＝90°， ∴∠ACO+∠ABE＝90°+30°＝120°， 故选：D． 6．两个边长为2的正六边形按如图所示方式放置，则点A的坐标是（　　） A． B．（3，4） C． D． 【解答】解：如图所示，设左边正六边形的中心为C，连接CB，CD，AB， ∴， ∴△BCD是等边三角形， ∴∠CDB＝60°， ∵正六边形的一个内角度数为， ∴∠ADB＝360°﹣120°﹣120°＝120°， ∴∠CDB+∠ADB＝180°， ∴A、C、D三点共线， ∵AD＝BD， ∴， ∴∠ABC＝90°， ∴， 又∵OB＝OC+BC＝4， ∴， 故选：D． 7．如图，正四边形ABCD和正五边形CEFGH内接于⊙O，AD和EF相交于点M，则∠AMF的度数为（　　） A．26° B．27° C．28° D．30° 【解答】解：如图，连接OG，OF，OD，OE，DF，连接AC，则AC是正五边形CEFGH，正方形ABCD的对称轴， ∴∠AOD＝＝90°，∠FOG＝∠EOF＝＝72°， ∵AC是正五边形CEFGH的对称轴， ∴∠AOG＝∠AOF＝∠FOG＝36°， ∴∠DOF＝90°﹣36°＝54°， ∴∠DOE＝72°﹣54°＝18°， ∴∠AMF＝∠MFD+∠MDF ＝∠DOE+∠AOF ＝×18°+×36° ＝9°+18° ＝27°． 故选：B． 8．如图所示的正六边形ABCDEF中，点M是边EF的中点，连接AE，CM，相交于点N．若正六边形ABCDEF的面积为12，阴影部分①的面积为a，阴影部分②的面积为b，则b﹣a的值是（　　） A． B．1 C． D．2 【解答】解：连接AD，BE，CF，CE，如图所示： 设BE与CF相交于点O， ∴O为正六边形ABCDEF的外心， ∴CF是圆O的直径，2∠CEF＝90°，O是CF的中点， 由正六边形的对称性可知：S△ABO＝S△BCO＝S△CDO＝S△DEO＝S△EFO＝S△AFO＝2， ∠AOF＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOE＝∠EOF＝360°÷6＝60°， ∴△AOF，△AOB，△BOC，△COD，△DOE，△EOF是全等的等边三角形， ∴四边形AOEF，四边形OCDE是菱形， ∴△AEF的面积＝菱形AOEF的面积＝（S△AFO+S△EFO）＝2， 同理，S△CDE＝菱形OCDE的面积＝（S△CDO+S△DEO）＝2， ∵S四边形CDEF＝S△CDO+S△DEO+S△EFO＝S△CDE+S△CEF＝6， ∴S△CEF＝4， ∵点M是边EF的中点， ∴S△CFM＝S△CEF＝2， ∵S四边形CDEF＝S△CFM+S四边形CDEM， ∴S四边形CDEM＝6﹣2＝4， b﹣a＝（b+S△NME）﹣（a+S△NME）＝S四边形CDEM﹣S△AEF＝4﹣2＝2， 故选：D． 二．填空题（共8小题） 9．圆内接正三角形的中心角的度数为 　120°　． 【解答】解：如图， ∵△ABC是⊙O的内接正三角形， ∴∠A＝60°， ∴∠BOC＝2∠A＝120°， 即圆内接正三角形的中心角的度数为120°． 故答案为：120°． 10．陕西某民间灯会活动中，主题灯组上有一幅不完整的正多边形图案，如图，AB与BC为该正多边形的一组相邻边，小丽量得∠BAC＝15°，则这个正多边形的边数为 　十二　． 【解答】解：由题意知，AB＝BC， ∴∠BCA＝∠BAC＝15°， ∴∠B＝180°﹣∠BCA﹣∠BAC＝150°， 设这个正多边形的边数为n， 依题意得，150°n＝180°（n﹣2）， 解得，n＝12， 故答案为：十二． 11．在一个圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角为72°，则该正多边形的一个外角的度数是 　72　°． 【解答】解：设正多边形的边数为n． 由题意可得：＝72°， ∴n＝5， ∴正多边形的一个内角的度数为＝108°， ∴该正多边形的一个外角的度数是180°﹣108°＝72°， 故答案为：72． 12．如图，点P是正六边形ABCDEF的边AB的中点，一束光线从点P出发，照射到镜面EF上的点Q处，经反射后恰好经过顶点C．已知正六边形的边长为2，则EQ＝　　． 【解答】解：如图，延长QP、CB交于点G，作QH⊥CB于点H，PI⊥CB于点I，则∠QHC＝∠PIC＝90°， 由反射光线的性质可知∠GQH＝∠CQH， ∴90°﹣∠GQH＝90°﹣∠CQH， 即∠G＝∠QCH， ∴QG＝QC， ∵QH⊥GC， ∴CH＝HG， 设BG＝a，则GC＝a+2， ∴CH＝CG＝， ∵六边ABCDEF为正六边形， ∴∠ABC＝＝120°， ∴∠ABG＝60°， ∵P是AB中点， ∴BP＝AB＝1， 在Rt△BPI中，PI＝BP•sin60°＝，BI＝BP•cos60°＝， ∴GI＝a﹣， 在正六边形ABCDEF中，QH＝＝2， ∵∠QHC＝∠PIC＝90°，∠G＝∠QCH， ∴△PGI∽△QCH， ∴，即， 解得a＝， ∴CH＝＝， 连接EC， ∵∠EDC＝∠DEC＝∠BCD＝120°，DE＝DC， ∴∠DEC＝∠DCE＝30°， ∴∠QEC＝∠ECH＝90°， ∵∠QHC＝90°， ∴四边形EQHC是矩形， ∴EQ＝CH＝． 故答案为：． 13．已知，正六边形ABCDEF 的边长为2，点P在它的边上，当△ABP为等腰三角形时，AP的长为 　2或或　． 【解答】解：如图1，当点P与点C重合时，AB＝BP，此时△ABP为等腰三角形， 连接AC，OB，OB与AC相交于点M，则OB⊥AC，垂足为M， ∵六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形， ∴∠ABC＝＝120°，AB＝BC， ∴∠BAM＝30°， 在Rt△ABM中，AB＝2，∠BAM＝30°， ∴AM＝AB＝， ∴AP＝AC＝2AM＝2； 如图2，当点P与点F重合时，AB＝AP，此时△ABP为等腰三角形， ∴AP＝AF＝AB＝2； 如图3，当点P在边DE的中点时，PA＝PB，此时△ABP为等腰三角形， 连接PO并延长交AB于点Q，则PQ是正六边形的对称轴， ∴PQ⊥AB， 连接OA，OB， ∵六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形， ∴∠AOB＝＝60°，OA＝OB， ∴△AOB是正三角形， ∵OQ⊥AB， ∴AQ＝AB＝1， 在Rt△AOM中，AQ＝1，∠OAM＝60°， ∴OQ＝AQ＝， ∴PQ＝2OQ＝2， 在Rt△APQ中，AQ＝1，PQ＝2， ∴AP＝＝， 综上所述，AP＝2或AP＝2或AP＝， 故答案为：2或或． 14．点F是正五边形ABCDE边DE的中点，连接BF并延长与CD延长线交于点G，则∠BGC的度数为 　18°　． 【解答】解：由正五边形的性质可知，BG是正五边形ABCDE的对称轴， ∴∠DFG＝90°， ∵∠FDG是正五边形ABCDE的外角， ∴∠FDG＝＝72°， ∴∠BGC＝90°﹣72°＝18°， 故答案为：18°． 15．将7个边长均为6的正六边形不重叠、无缝隙的按如图所示摆放，O是中间正六边形的中心． （1）∠α＝　30　度； （2）已知点M在边AB上，且AM＝2．若经过点M的直线l将整个图形的面积平分，则直线l被整个图形所截的线段长是 　4　.（结果保留根号） 【解答】解：（1）如图1， 由正六边形的性质可得CF＝CE，∠FCE＝＝120°， ∴∠CEF＝∠CFE＝＝30°， ∴∠α＝30°， 故答案为：30； （2）如图2所示，过点C作CD⊥EF于D， ∴EF＝2DE，CD＝＝3， ∵DE＝＝3， ∴EF＝6， 如图所示，连接MO并延长交最下面的正六边形于N，过点N作NH⊥AB于H， 由对称性可知直线M即平分该图形的面积，即AM＝BH＝2， ∴MH＝2， 又∵HN＝3EF＝18， ∴MN＝＝4， ∴直线l被整个图形所截的线段长是4， 故答案为：4． 16．如图，⊙O与正六边形ABCDEF的两边AF，DE分别相切于A，D两点，则∠AOD＝　120　°． 【解答】解：正六边形的内角＝（6﹣2）×180°÷6＝120°， ∴∠E＝∠F＝120°， ∵AF，DE分别相切于A，D两点， ∴∠OAF＝∠ODE＝90°， ∵正五边形的内角和是（5﹣2）×180°＝540°， ∴∠AOD＝540°﹣∠E﹣∠F﹣∠OAF﹣∠ODE＝540°﹣120°﹣120°﹣90°﹣90°＝120°， 故答案为：120． 三．解答题（共5小题） 17．如图，在正五边形ABCDE中，连结AC，AD，CE，CE交AD于点F． （1）求∠CAD的度数． （2）已知AB＝2，求DF的长． 【解答】解：（1）∵五边形ABCDE是正五边形， ∴AB＝BC＝CD＝DE＝AE，BA∥CE，AD∥BC，DE∥AC，AC＝AD＝CE，． ∴四边形ABCF是菱形， ∴∠BAC＝∠CAD， 同理可求：∠CAD＝∠DAE， ∴； （2）∵四边形ABCF是菱形， ∴CF＝AF＝AB＝2． ∵∠BAC＝∠CAD＝∠DAE＝36°， 同理∠DCE＝36°， ∴△DCF∽△DAC， ∴，即CD2＝DF×AD， 设DF＝x，则AD＝x+2， ∴22＝x（x+2），即x2+2x﹣4＝0， 解得（舍去负值）． ∴DF的长是． 18．司南是我国古代辨别方向用的一种仪器．其早在战国时期就已被发明，是现在所用指南针的始祖．如图，司南中心为一圆形，圆心为点O，直径为20，根据八个方位将圆形八等分（图2中点A～H），过点E作⊙O的切线与AG的延长线交于点M，连接EG． （1）相邻两个方位间所夹的圆心角的度数为 　45°　． （2）求AG的长． （3）求线段ME与EG的长，并比较大小． 【解答】解：（1）由题意可知：八个方位将圆形八等分， ∴相邻两个方位间所夹的圆心角的度数为＝45°， 故答案为：45°； （2）∵AE为⊙O的直径， ∴∠AGE＝90°， ∵， ∴∠GAE＝∠AEG＝45°， ∴A． 答：AG的长是10； （3）∵ME为⊙O的切线， ∴∠AEM＝90°， 由（2）知：∠GAE＝45°， ∴ME＝AE＝20． 如图所示，连接OG， ∵AE是直径， ∴∠AGE＝90°， ∵∠GAE＝45°， ∴∠AEG＝45°， ∴EG＝＝10， ∵20＞10， ∴ME＞EG． 答：线段ME＞EG． 19．如图是正方形、正五边形、正六边形． （1）观察图中各正多边形相邻两对角线相交所形成的较大的角a4，a5，a6，则a4＝　90　°，a5＝　108　°，a6＝　120　°． （2）按此规律，记正n边形相邻两对角线相交所形成的较大的角为an，请用含n的式子表示an＝　　（其中n为不小于4的整数）． （3）若an＝150°，求相应的正多边形的边数n． 【解答】解：（1）由正方形ABCD， 可得：AC⊥BD， ∴a4＝90°； 由正五边形ABCDE，可得：AB＝BC＝CD，∠ABC＝∠BCD＝108°， ∴， ∴a5＝180°﹣∠DBC﹣∠ACB＝108°； 由正六边形ABCDEF，可得：AB＝BC＝CD，∠ABC＝∠BCD＝120°， ∴， ∴a6＝180°﹣∠DBC﹣∠ACB＝120°； 故答案为：90，108，120； （2）根据（1）中的结果发现an等于正n边形一个内角的度数， ∴， 故答案为：； （3）∵， ∴， 解得n＝12． 20．如图，正六边形ABCDEF为⊙O的内接正六边形，过点D作⊙O的切线，交AF的延长线于点P，连接FD，AD，⊙O的半径为6． （1）求∠ADF的度数； （2）求线段PD的长； （3）若点M为FD上一点（不与点F，D重合），连接AM，CM，直接写出△AFM与△CDM的面积之和． 【解答】解：（1）如图，连接FO， ∵正六边形ABCDEF为⊙O的内接正六边形， ∴AD为⊙O的直径，∠AFD＝90°， ∴∠AOF＝60°， ∴； （2）∵PD与⊙O相切，AD为⊙O的直径， ∴∠ADP＝90°， ∵正六边形ABCDEF为⊙O的内接正六边形， ∠PAD＝60°， 在Rt△PAD中，AD＝12， ∴； （3）S△AFM+S△CDM＝S△AFM+S△AMD＝S△AFD， 在Rt△AFD中， AF＝AD•cos∠FAD＝12×cos60°＝6， DF＝ADsin∠FAD＝12×sin60°＝6， ∴， ∴． 21．如图1，小吴同学在陶艺课中为八角花盆制作“圆形托盘”，已知八角花盆底部截面是一个正八边形（如图2），请根据下列信息解决问题． （1）求八角花盆底部截面正八边形一个内角的度数； （2）若八角花盆底部截面正八边形的边长是16cm，小吴同学制作的圆形托盘半径是22cm，问：这个托盘是否适用于此八角花盆？（图3中边长的数据为近似值，供选用） 【解答】解：（1）正八边形的外角＝＝45°， ∴正八边形的内角＝180°﹣45°＝135°． （2）如图2中，连接OA，OB，过点O作OH⊥AB于点H． ∵OA＝OB，OH⊥AB， ∴AH＝BH＝8（cm），∠AOH＝∠BOH＝22.5°， 由题意， ∴OH≈19.6cm， ∵16＜19.6， ∴这个托盘不适用于此八角花盆． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$