2.5 直线与圆的位置关系 讲义-2024-2025学年苏科版九年级数学上册

2.5直线与圆的位置关系讲义-数学九年级上册 【易错考点】+【例题精讲】+【针对性训练】 ( 目录导航 ) 第一部分：易错考点 第二部分：例题精讲 第三部分：针对性训练 【第一部分】 ( 易错考点 ) 直线与圆的位置关系 （1）直线和圆的三种位置关系： ①相离：一条直线和圆没有公共点． ②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点． ③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线． （2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d． ①直线l和⊙O相交⇔d＜r ②直线l和⊙O相切⇔d＝r ③直线l和⊙O相离⇔d＞r． 切线的性质 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的性质可总结如下： 如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直． （3）切线性质的运用 运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题． 切线的判定 （1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （2）在应用判定定理时注意： ①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线． ②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的． ③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”． 三角形的内切圆与内心 （1）内切圆的有关概念： 与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点． （2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形． （3）三角形内心的性质： 三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角． 【第二部分】 ( 例题精讲 ) 1．如图，四边形ABCD为平行四边形，O为AD上一点，以OA为半径作⊙O，与BC，CD的延长线分别相切于点B，E，与AD相交于点F． （1）求∠C的度数； （2）试探究AB，DE，DF之间的数量关系，并证明． 【解答】（1）连接OB， ∵BC为⊙O切线， ∴∠OBC＝90°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DOB＝90°， ∵OA＝OB，∠DOB＝∠OAB+∠OBA， ∴∠DOB＝2∠OAB， ∴∠OAB＝45°， 在平行四边形ABCD中，∠OAB＝∠C， ∴∠C＝45°； （2）AB＝DE+DF， 证明：连接OE， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠EDO＝∠C＝∠OAB， 又∵CE为⊙O切线， ∴∠DEO＝90°， 在△DEO和△OAB中， ， ∴△DEO≌△AOB（AAS）， ∴AB＝OD，DE＝OA， ∵OF＝OA， ∴OF＝DE， ∵AB＝OD＝OF+DF， ∴AB＝OF+DF＝DE+DF， ∴AB＝DE+DF． 2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，E为BC的中点，连接DE并延长交AC的延长线于点F． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若∠A＝30°，DF＝3，求CE长． 【解答】（1）证明：连接CD，OD，如图， ∵AC是⊙O的直径， ∴∠CDA＝90°， ∴∠BDC＝90°， 在Rt△BCD中，E为BC的中点， ∴DE＝CE＝BE， ∵DE＝CE， ∴∠BCD＝∠EDC， ∵∠ACB＝90°， ∴∠BCD+∠OCD＝90°， ∵OD＝OC， ∴∠OCD＝∠ODC， ∴∠ODE＝∠ODC+∠EDC＝∠OCD+∠BCD＝90°， 即OD⊥DE， ∵OD为半径，OD⊥DE， ∴DE是⊙O的切线； （2）解：∵∠A＝30°， ∴∠DOC＝2∠A＝60°， 在Rt△FOD中，∠F＝30°， ∴，， 设OD＝x，则OF＝2x， 由勾股定理可得：OD2+DF2＝OF2，即x2+32＝（2x）2， 解得， ∴，， ∴， 同理在Rt△CEF中，设CE＝y，则EF＝2y， 由勾股定理可得：CE2+FC2＝EF2，即， 解得y＝1，即CE＝1． 【第三部分】 ( 针对性训练 ) 一．选择题（共8小题） 1．“海上生明月，天涯共此时”，如图是记录的日出美景，图中太阳与海天交界处可看成圆与直线，它们的位置关系是（　　） A．相切 B．相交 C．相离 D．平行 2．如图，AB是⊙O的切线，点A为切点，弦CD⊥OA，连接OD并延长交AB于点B．若∠O＝45°，CD＝2，则AB的长是（　　） A．1 B． C．2 D． 3．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为D，CD与AB的延长线交于点C，若∠A＝30°，AD＝5，则BC的长度为（　　） A． B． C． D． 4．如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOD＝30°，半径为2cm的⊙P的圆心在直线AB上，且位于点O左侧的距离10cm处．如果⊙P以2cm/s的速度沿由A向B的方向移动，那么（　　）秒钟后⊙P与直线CD相切． A．3 B．7 C．3或7 D．6或14 5．在平面直角坐标系中，以点（3，2）为圆心，2为半径的圆与坐标轴的位置关系为（　　） A．与x轴相离、与y轴相切 B．与x轴、y轴都相离 C．与x轴相切、与y轴相离 D．与x轴、y轴都相切 6．正三角形的内切圆半径、外接圆半径和正三角形高的比为（　　） A．1：2：3 B．2：3：4 C．1：： D．1：：2 7．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，连接AC，若BD＝AO＝4，则AC的长度为（　　） A．4 B．2 C．8 D．4 8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D为AB的中点，以D为圆心，2为半径作⊙D，则下列说法不正确的是（　　） A．点A在圆外 B．点C在圆上 C．⊙D与直线AC相切 D．⊙D与直线BC相交 二．填空题（共8小题） 9．“海上生明月，天涯共此时”，如图是记录的日出美景，图中太阳与海天交界处可看成圆与直线，它们的位置关系是 　 　． 10．已知点M（6，0），⊙M的半径为3，OA切⊙M于点A，点P为⊙M上的动点，当点P的坐标为 　 　时，△POA是等腰三角形． 11．如图，PA，PB切⊙O于A，B两点，AC是⊙O的直径，若∠OBA＝21°，则∠P的度数是 　 　． 12．《九章算术》中记载：“今有勾六步，股八步．问勾中容圆径几何？”译文：今有一个直角三角形，勾（短直角边）长为6步，股（长直角边）长为8步，则该直角三角形内切圆的直径是等于　 　步． 13．如图，已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于点D，连接BD．若∠C＝36°，则∠B的度数是 　 　°． 14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝4，O为边AC上的一点，以OA为半径的半圆O交AB于点D、交AC于点E，过点D作半圆O的切线交边BC于点F，且CF＝1，则⊙O的半径为 　 　． 15．为了测量一个圆形铁环的半径，小华采用了如下方法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的直角三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到有关数据，进而求得铁环的半径，若测得AB＝10cm，则铁环的半径是　 　． 16．《九章算术》中记载：“今有勾八步，股一十五步．问勾中容圆，径几何？”译文：现在有一个直角三角形，短直角边的长为8步，长直角边的长为15步．问这个直角三角形内切圆的直径是多少？书中给出的算法译文如下：如图，根据短直角边的长和长直角边的长，求得斜边的长．用直角三角形三条边的长相加作为除数，用两条直角边相乘的积再乘2作为被除数，计算所得的商就是这个直角三角形内切圆的直径．根据以上方法，求得该直径等于 　 　步．（注：“步”为长度单位） 三．解答题（共6小题） 17．如图，⊙O与△ABC的BC边相切于点B，与AC边相切于点D，与AB边交于点E，EB是⊙O的直径． （1）求证：DE∥OC； （2）若⊙O的半径是，AD＝2，求CD的长． 18．如图，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上一点，且AP与⊙O相切于点A，弦AB⊥CD于点F，过D点作DE⊥AP于点E． （1）求证：∠EAD＝∠FAD； （2）若PA＝4，PD＝2，求⊙O的半径和DE的长． 19．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，AD平分∠BAC交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E． （1）求证：DE是⊙O切线； （2）若DE＝3，CE＝2，求⊙O的半径． 20．⊙O是四边形ABCD的外接圆，对角线AC与BD交于点E，AB＝AD，AC是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线MN． （1）写出图中一个度数为90°的圆周角：　 　写出一条与BC相等的线段 　 　； （2）判断MN与BD的位置关系，并说明理由． 21．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，DE⊥AC，垂足为E，ED的延长线与AB的延长线交于点F． （1）求证：EF是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为，BD＝2，求CE的长． 22．如图，在△ABC，AC＝BC，以BC为直径的⊙O与底边AB交于点D，过D作DE⊥AC，垂足为E．求证：DE为⊙O的切线． 2.5直线与圆的位置关系讲义-数学九年级上册 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．“海上生明月，天涯共此时”，如图是记录的日出美景，图中太阳与海天交界处可看成圆与直线，它们的位置关系是（　　） A．相切 B．相交 C．相离 D．平行 【解答】解：图中太阳与海天交界处可看成圆与直线，它们的位置关系是相交， 故选：B． 2．如图，AB是⊙O的切线，点A为切点，弦CD⊥OA，连接OD并延长交AB于点B．若∠O＝45°，CD＝2，则AB的长是（　　） A．1 B． C．2 D． 【解答】解：如图，记OA、CD的交点为E， ∵AB是⊙O的切线，弦CD⊥OA， ∴∠OAB＝90°＝∠OED，， ∴， ∴， 故选：B． 3．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为D，CD与AB的延长线交于点C，若∠A＝30°，AD＝5，则BC的长度为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：连接OD，如图， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， 在Rt△ADB中，∵∠A＝30°， ∴BD＝AD＝， ∴AB＝2BD＝， ∴OD＝OB＝AB＝， ∵OA＝OD， ∴∠ODA＝∠A＝30°， ∴∠COD＝∠A+∠ODA＝60°， ∵CD是⊙O的切线， ∴OD⊥CD， ∴∠ODC＝90°， 在Rt△ODC中，∵∠ODC＝60°， ∵OC＝2OD＝， ∴CB＝OC﹣OB＝﹣＝． 故选：D． 4．如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOD＝30°，半径为2cm的⊙P的圆心在直线AB上，且位于点O左侧的距离10cm处．如果⊙P以2cm/s的速度沿由A向B的方向移动，那么（　　）秒钟后⊙P与直线CD相切． A．3 B．7 C．3或7 D．6或14 【解答】解：①由题意可知CD与⊙P1相切于点E， ∴P1E⊥CD， ∵⊙P半径为2cm， ∴P1E＝2cm， ∵∠AOD＝30°，P1E⊥CD， ∴P1O＝4cm， ∴PP1＝PO﹣P1O＝10﹣4＝6（cm）， ∴t＝3秒． ②当圆心P在直线CD的右侧时，PP2＝PO+P2O＝10+4＝14（cm）， 则需要运动的时间为7秒． 综上所述，⊙P与直线CD相切时经过的时间为3或7秒钟， 故选：C． 5．在平面直角坐标系中，以点（3，2）为圆心，2为半径的圆与坐标轴的位置关系为（　　） A．与x轴相离、与y轴相切 B．与x轴、y轴都相离 C．与x轴相切、与y轴相离 D．与x轴、y轴都相切 【解答】解：∵是以点（2，3）为圆心，2为半径的圆， 则有2＝2，3＞2， ∴这个圆与x轴相切，与y轴相离． 故选：C． 6．正三角形的内切圆半径、外接圆半径和正三角形高的比为（　　） A．1：2：3 B．2：3：4 C．1：： D．1：：2 【解答】解：如图：在直角三角形BOD中，∠OBD＝30°， ∴R＝2r， ∵AD是BC边上的高h，OA＝OB， ∴h＝R+r＝3r． ∴r：R：h＝r：2r：3r＝1：2：3． 即正三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比为1：2：3． 故选：A． 7．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，连接AC，若BD＝AO＝4，则AC的长度为（　　） A．4 B．2 C．8 D．4 【解答】解：如图，连接OC， ∵CD为⊙O的切线， ∴OC⊥CD， ∵BD＝AO＝4， ∴∠D＝30°，CD＝＝＝4， ∴∠COD＝60°， 由圆周角定理得：∠A＝∠COD＝30°， ∴∠A＝∠D， ∴AC＝CD＝4， 故选：D． 8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D为AB的中点，以D为圆心，2为半径作⊙D，则下列说法不正确的是（　　） A．点A在圆外 B．点C在圆上 C．⊙D与直线AC相切 D．⊙D与直线BC相交 【解答】解：∵∠ACB＝90°， ∴AB＝＝＝5， ∵D是AB的中点， ∴BD＝AD＝CD＝2.5＞2，故点A，点C在圆外，故选项A不符合题意，B选项符合题意； 连接CD， ∴∠ACB＝90°，D为AB的中点， ∴CD＝BD＝AD， 作DE⊥AC于点E，作DF⊥CB于点F， ∵DE⊥AC ∴AE＝CE， ∴DE∥BC，DE＝＝2，故⊙D与直线AC相切，故C不符合题意； 过D作DF⊥BC于F， ∴CF＝BF， ∴DF∥AC，DF＝AC＝1.5＜2；故⊙D与直线BC相交，故D不符合题意； 故选：B． 二．填空题（共8小题） 9．“海上生明月，天涯共此时”，如图是记录的日出美景，图中太阳与海天交界处可看成圆与直线，它们的位置关系是 　相交　． 【解答】解：由题可知，太阳与海天交接所看成的圆和直线有两个公共点， 所以太阳和海天交界处所看出看成的直线位置关系是相交． 故答案为：相交． 10．已知点M（6，0），⊙M的半径为3，OA切⊙M于点A，点P为⊙M上的动点，当点P的坐标为 　（1，0），（3，0）（，）　时，△POA是等腰三角形． 【解答】解：如图，当P的坐标为（3，0）或（9，0）或（，）时，△POA是等腰三角形．理由如下： 连接AM， ∵M（6，0），⊙M的半径为3， ∴OM＝6，AM＝PM＝3， ∴OP＝3， ∵OA切⊙M于点A， ∴∠MAO＝90°， ∴∠AOM＝30°， ∴∠AMO＝60°， ∴PA＝AM＝PM＝3， ∴OP＝PA＝3， ∴P（3，0）； 当OA＝OP′时，连接AP′交x轴于点H， ∵OA切⊙M于点A， ∴OP′切⊙M于点P′， ∴∠P′OM＝∠AOM＝30°， ∴∠AOP′＝60°， ∴△AOP′是等边三角形， ∴AP′＝OA＝＝＝3， ∴OH＝OA＝，P′H＝AP′＝， ∴P′（，）； ∵MA＝MP″，∠AMO＝60°， ∴∠MAP″＝∠MP″A＝30°， ∴∠AOP″＝∠MP″A＝30°， ∴OA＝OP″， ∴P″（9，0）． 综上所述：当P的坐标为（3，0）或（9，0）或（，）时，△POA是等腰三角形． 故答案为：（3，0）或（9，0）或（，）． 11．如图，PA，PB切⊙O于A，B两点，AC是⊙O的直径，若∠OBA＝21°，则∠P的度数是 　42°　． 【解答】解：∵PA为切线， ∴OA⊥PA， ∴∠CAP＝90°， ∴∠PAB＝90°﹣∠BAC＝90°﹣21°＝69°， ∵PA，PB是⊙O的切线， ∴PA＝PB， ∴∠PBA＝∠PAB＝69°， ∴∠P＝180°﹣69°﹣69°＝42°． 故答案为：42°． 12．《九章算术》中记载：“今有勾六步，股八步．问勾中容圆径几何？”译文：今有一个直角三角形，勾（短直角边）长为6步，股（长直角边）长为8步，则该直角三角形内切圆的直径是等于　4　步． 【解答】解：连接OD、OE，如图： 由题意可得AC、AB、BC与⊙O相切，AC＝8步，BC＝6步， ∴∠C＝∠OED＝∠ODC＝90°，BD＝BF，CD＝CE，AF＝AE， ∴四边形ODCE为矩形，（步）， 又∵OD＝OE， ∴矩形ODCE为正方形， 设半径为r，则CD＝OD＝CE＝r步， ∴AF＝AE＝（8﹣r）步，BF＝BD＝（6﹣r）步， ∴8﹣r+6﹣r＝10， 解得r＝2， ∴圆的直径为2×2＝4（步）， 故答案为：4． 13．如图，已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于点D，连接BD．若∠C＝36°，则∠B的度数是 　27　°． 【解答】解：∵AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线， ∴OA⊥AC， ∴∠OAC＝90°， ∵∠C＝36°， ∴∠AOC＝90°﹣∠C＝54°， ∴∠B＝∠AOC＝27°， 故答案为：27． 14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝4，O为边AC上的一点，以OA为半径的半圆O交AB于点D、交AC于点E，过点D作半圆O的切线交边BC于点F，且CF＝1，则⊙O的半径为 　　． 【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝4， ∴∠B＝60°，AB＝2BC＝8， ∴， 连接OD，OF，则：OD＝OA， ∴∠ODA＝∠A＝30°， ∵DF是切线， ∴OD⊥DF， ∴∠ODF＝90°， ∴∠BDF＝180°﹣90°﹣30°＝60°， ∴∠BFD＝180°﹣∠B﹣∠BDF＝60°， ∴△BFD为等边三角形， ∴DF＝BF＝BC﹣CF＝3， 设⊙O的半径为r，则：， 由勾股定理，得：OF2＝OD2+DF2＝OC2+CF2， ∴， 解得：； 故答案为：． 15．为了测量一个圆形铁环的半径，小华采用了如下方法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的直角三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到有关数据，进而求得铁环的半径，若测得AB＝10cm，则铁环的半径是　10cm　． 【解答】解：如图所示：连接OB，OC，OA， ∵AB为圆O的切线， ∴OB⊥AB，即∠OBA＝90°， 又AC为圆O的切线， ∴OC⊥AC，即∠OCA＝90°， 在Rt△ADE中，∠E＝30°，∠ADE＝90°， ∴∠EAD＝60°，∠BAC＝120°， ∵AC及AB为圆O的切线， ∴OA为∠BOC的平分线， 则∠BAO＝∠OAC， 可得∠BOA＝∠COA， 又∠OBA＝∠OCA＝90°， ∴∠OAB＝∠OAC＝∠BAC＝60°， 在Rt△OBA中，∠OBA＝90°，∠OAB＝60°，AB＝10cm， ∴tan60°＝，即＝， 则圆的半径OB＝10cm． 故答案为：10cm 16．《九章算术》中记载：“今有勾八步，股一十五步．问勾中容圆，径几何？”译文：现在有一个直角三角形，短直角边的长为8步，长直角边的长为15步．问这个直角三角形内切圆的直径是多少？书中给出的算法译文如下：如图，根据短直角边的长和长直角边的长，求得斜边的长．用直角三角形三条边的长相加作为除数，用两条直角边相乘的积再乘2作为被除数，计算所得的商就是这个直角三角形内切圆的直径．根据以上方法，求得该直径等于 　6　步．（注：“步”为长度单位） 【解答】解：根据勾股定理得：斜边为， 则该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）半径（步），即直径为6步， 故答案为：6． 三．解答题（共6小题） 17．如图，⊙O与△ABC的BC边相切于点B，与AC边相切于点D，与AB边交于点E，EB是⊙O的直径． （1）求证：DE∥OC； （2）若⊙O的半径是，AD＝2，求CD的长． 【解答】（1）证明：连接OD，如图， ∵，⊙O与△ABC的BC边相切于点B，与AC边相切于点D， ∴CD＝CB，∠ODC＝∠OBC， 在△COD和△COB中， ， ∴△COD≌△COB（SAS）， ∴∠COD＝∠COB， ∴∠COB＝×（180°﹣∠DOE）， ∵OD＝OE， ∴∠DEO＝∠ODE＝（180°﹣∠DOE）， ∴∠DEO＝∠COB， ∴DE∥OC； （2）在Rt△AOD中，OA＝＝＝， ∴AB＝OA+OB＝+＝4， ∵∠OAD＝∠CAB，∠ADO＝∠ABC， ∴△AOD∽△ACB， ∴＝，即＝，解得BC＝3， ∵△COD≌△COB， ∴CD＝CB＝3． 18．如图，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上一点，且AP与⊙O相切于点A，弦AB⊥CD于点F，过D点作DE⊥AP于点E． （1）求证：∠EAD＝∠FAD； （2）若PA＝4，PD＝2，求⊙O的半径和DE的长． 【解答】（1）证明：如图所示，连接OA， ∵OA是⊙O半径，AP是⊙O的切线， ∴OA⊥AP， ∴∠OAE＝90°， ∴∠EAD+∠OAD＝90°， ∵AB⊥CD于F， ∴∠AFD＝90°， ∴∠FAD+∠ADO＝90°， ∵OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ADO， ∴∠EAD＝∠FAD； （2）解：在Rt△AOP中，设OA＝x， ∴OD＝x，OP＝x+2， 由勾股定理可得：OA2+AP2＝OP2， 即x2+42＝（x+2）2， 得x＝3， ∴OA＝3，OP＝5， ∵AB⊥CD于F， ∴， ， ∴， 在Rt△FOA中，OA＝3，，由勾股定理得： ， ∴， ∵AD平分∠FAP，DF⊥AF，DE⊥AP， ∴， ∴⊙O的半径为3，DE的长为． 19．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，AD平分∠BAC交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E． （1）求证：DE是⊙O切线； （2）若DE＝3，CE＝2，求⊙O的半径． 【解答】（1）证明：∵DE⊥AC交AC的延长线于点E，AB是⊙O的直径， ∴∠E＝∠ACB＝90°， ∴DE∥BC； 连接OD， ∵AD平分∠BAC交⊙O于点D， ∴∠BAD＝∠CAD， ∴＝， ∴OD垂直平分BC， ∵DE∥BC， ∴∠ODE＝∠OFC＝90°， ∵OD是⊙O的半径，且DE⊥OD， ∴DE是⊙O的切线． （2）解：∵∠CFD＝∠FDE＝∠E＝90°， ∴四边形CFDE是矩形， ∴BF＝CF＝DE＝3，DF＝CE＝2， ∵∠OFB＝90°，OD＝OB， ∴OF2+BF2＝OB2，OF＝OD﹣2＝OB﹣2， ∴（OB﹣2）2+32＝OB2， 解得OB＝， ∴⊙O的半径长为． 20．⊙O是四边形ABCD的外接圆，对角线AC与BD交于点E，AB＝AD，AC是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线MN． （1）写出图中一个度数为90°的圆周角：　∠ABC（或∠ADC）　写出一条与BC相等的线段 　CD　； （2）判断MN与BD的位置关系，并说明理由． 【解答】解：（1）∵AC为⊙O的直径， ∴∠ABC＝∠ADC＝90°， ∵AB＝AD， ∴＝， ∴＝， ∴BC＝CD， 故答案为：∠ABC（或∠ADC），CD； （2）MN与BD平行，理由如下： 如图，连接BO，DO， ∵MN是⊙O的切线，AC是⊙O的直径， ∴∠MAC＝90°， ∵AB＝AD， ∴∠AOB＝∠AOD， ∴∠EOB＝∠EOD， ∵OB＝OD， ∴OE⊥BD， ∴∠DEO＝90°， ∴∠DEO＝∠MAC， ∴MN∥BD． 21．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，DE⊥AC，垂足为E，ED的延长线与AB的延长线交于点F． （1）求证：EF是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为，BD＝2，求CE的长． 【解答】（1）证明：连接OD， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵OB＝OD， ∴∠ABC＝∠ODB， ∴∠ACB＝∠ODB， ∴OD∥AC， ∵DE⊥AC， ∴DE⊥OD， 即EF⊥OD， ∵OD是⊙O的半径， ∴EF是⊙O的切线； （2）解：连接AD， ∵AB是⊙O直径， ∴AD⊥BC， ∵DE⊥AC， ∴∠ADC＝∠DEC， ∵∠C＝∠C， ∴△CDE∽△CAD， ∴， ∵AB＝AC， ∴DC＝DB＝2， ∵AC＝AB＝5， ∴， ∴． 22．如图，在△ABC，AC＝BC，以BC为直径的⊙O与底边AB交于点D，过D作DE⊥AC，垂足为E．求证：DE为⊙O的切线． 【解答】解：连接OD，如图所示， ∵AC＝BC， ∴∠A＝∠ABC， ∵OB＝OD， ∴∠ODB＝∠ABC， ∴∠ODB＝∠A， ∴OD∥AC， 又∵DE⊥AC， ∴DE⊥OD， ∴DE为⊙O的切线． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$