精品解析：北师大版2023-2024学年九年级下学期期末数学试题

期末测试卷（下学期） （120分 120分钟） 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 如图，F，G分别为正方形ABCD的边BC，CD的中点，若设a=cos∠FAB，b=sin∠CAB，c=tan∠GAB，则a，b，c三者之间的大小关系是（　　） A. a＞b＞c B. c＞a＞b C. b＞c＞a D. c＞b＞a 2. 的值是（ ） A. B. C. 1 D. 3. 已知中，，、、所对的边分别是、、，且．则（ ） A. B. C. D. 4. 对于二次函数，当自变量时，图象在第（ ）象限． A. 一、四 B. 二、三 C. 四 D. 一 5. 二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A ，， B. ，， C. ，， D. ，， 6. 无论k为何实数，直线和抛物线（ ） A. 有一个公共点 B. 有两个公共点 C. 没有公共点 D. 公共点的个数不能确定 7. 如图，是的直径，是弦的弦心距，，为，则为（ ） A. B. C. D. 8. 一个滑轮起重装置如图所示,滑轮半径是,当重物上升时, 滑轮的一条半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度约为(假设绳索与滑轮之间没有滑动,取,结果精确到)( ) A B. C. D. 9. 已知：抛物线开口向下，且与x轴有两个交点，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 已知正十边形内切圆的半径是4，那么这个正十边形的面积是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共27分） 11. 已知如图，的内接四边形，、的延长线交于点，切于点，，，，则________，________． 12. 二次函数，当x__________时，，且y随x的增大而减小． 13. 某种商品的商标图案如图（图中的阴影部分），已知的直径，且，弧是以D为圆心，为半径的弧，则商标图案的面积为________． 14. 已知：二次函数，则它的图象对称轴为直线________，若它的图象经过点，则此函数的最小值是________． 15. 如图：为了测量河对岸旗杆AB的高度，在点C处测得顶端A的仰角为30°，沿CB方向前进20m达到D处，在D点测得旗杆顶端A的仰角为45°，则旗杆AB的高度为__________m．(精确到0.1m) 16. 一个圆弧形拱桥跨度为，桥的拱高为，则此拱桥的半径是________． 17. 如图，外侧大圆的半径是10，在里边有两条互相垂直的直径和两个同心圆，其中阴影部分的面积是，请问中间圆的半径是____． 18. 在中，a、b、c分别是的对边，若且，则的形状是________． 三、解答题（63分） 19. 如图，是的直径，是的切线，切点为，，．求： （1）线段长； （2）的直径的长． 20. 已知如图，的内接切于A点，过C作的平行线交于D点． （1）求证：． （2）若的直径为6，求． 21. 如图，已知、为直角坐标系内的两点，点C在x轴的负半轴上，且，以A为圆心，为半径作圆A，直线切圆A于D点，连接． （1）求点D的坐标； （2）求经过三点的抛物线的解析式； （3）判断在（2）中所得的抛物线上是否存在一点P，使？若存在，求出P点坐标？若不存在，请说明理由． 22. 试利用画图和文字，说明如何测得已知高为的小山上的铁塔的高度，要求： （1）简要说明测量铁塔高度的过程，指明所需测量的数据； （2）根据已知条件及测得数据列出表示塔高的代数式（写出计算过程）； （3）指出在实际测量过程中应注意的事项． 23. 如图，在中，是上一点，以为直径的切于E，求的值． 24. 已知：是的内接三角形，为的切线，B为切点，P为直线上一点，过点P作的平行线交直线于点E，交直线于点F． （1）当点P在线段上时（如图），求证： （2）当点P为线段延长线上一点时，第（1）题中的结论还成立吗？如果成立请给予证明，如果不成立请说明理由； （3）若，，求的半径． 25. 如图小强在江南岸选定建筑物A，并在江北岸的B处观察，此时，视线与江岸所成的夹角是．小强沿江岸向东走了，到C处，再观察A，此时视线与江岸所成的夹角．根据小强提供的信息，你能测出江宽吗？若能，写出求解过程；若不能，请说明理由？ 26. 如图，已知抛物线（经过原点）与x轴相交于N点，直线与坐标轴分别相交于A、D两点，与抛物线相交于和两点． （1）求直线与抛物线的表达式； （2）求证：C点是的外心； （3）若（1）中的抛物线，在x轴上方的部分，有一动点，设．当为何值时，的面积有最大值？ （4）若P点保持（3）中运动路线，是否存在，使得其面积等于面积的？若存在，求出动点P的位置；若不存在，请说出理由． 27. 在平面直角坐标系中，，点A在第一象限内，且，． （1）求点A的坐标； （2）求过A、O、B三点的抛物线解析式； （3）动点P从O点出发，以每秒2个单位的速度沿运动到点A止，①若的面积为S，写出S与时间t（秒）的函数关系；②是否存在t，使的外心在x轴上，若不存在，请你说明理由；若存在，请求出t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末测试卷（下学期） （120分 120分钟） 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 如图，F，G分别为正方形ABCD的边BC，CD的中点，若设a=cos∠FAB，b=sin∠CAB，c=tan∠GAB，则a，b，c三者之间的大小关系是（　　） A. a＞b＞c B. c＞a＞b C. b＞c＞a D. c＞b＞a 【答案】B 【解析】 【分析】根据锐角三角函数的概念，分别求得a，b，c的值，再进一步比较其大小． 【详解】解：设其中每个小正方形的边长是单位1． 根据锐角三角函数的概念，得 a==，b=sin45°=，c==2， 显然c＞a＞b． 故选B． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的概念，根据锐角三角函数的概念进行求解，或者直接根据锐角三角函数值的变化规律进行分析． 2. 的值是（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了特殊角三角函数的混合运算，熟记特殊角三角函数值是解题的关键．根据特殊角三角函数值进行计算即可． 【详解】解： ． 故选：C． 3. 已知中，，、、所对的边分别是、、，且．则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先画出图形，再根据余弦的定义即可得． 【详解】解：由题意，画出图形如下： ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了余弦，熟记余弦的概念是解题关键． 4. 对于二次函数，当自变量时，图象在第（ ）象限． A. 一、四 B. 二、三 C. 四 D. 一 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键． 判断出函数图象开口向下，顶点坐标为，与y轴交于即可得出答案． 【详解】解：∵二次函数中的二次项系数， ∴函数图象开口向下，顶点坐标为， 当时，，即函数图象与y轴交于， ∴当自变量时，函数图像在第四象限， 故选：C． 5. 二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据二次函数图象的开口方向确定，再根据对称轴在轴右，可确定与异号，然后再根据二次函数与轴的交点可以确定． 【详解】解：抛物线开口向上， ， 对称轴在轴右侧， 与异号， ， 抛物线与轴交于正半轴， ， 故选：． 【点睛】此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是掌握二次函数， ①二次项系数决定抛物线的开口方向和大小． 当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口． ②一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置． 当与同号时（即，对称轴在轴左； 当与异号时（即，对称轴在轴右．（简称：左同右异） ③．常数项决定抛物线与轴交点． 抛物线与轴交于． 6. 无论k为何实数，直线和抛物线（ ） A. 有一个公共点 B. 有两个公共点 C. 没有公共点 D. 公共点的个数不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握如何判断一元二次方程的解的个数是解题的关键，将直线和抛物线建立关于的一元二次方程，再利用根的判别式即可得到答案． 【详解】解：由题可得：， ∴ ∴， ∴无论取何值，，该方程有两个不等的实数根， ∴直线和抛物线有两个公共点， 故选： B． 7. 如图，是的直径，是弦的弦心距，，为，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆的基本定义，圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理，直角三角形的性质是解题的关键．先利用为，得出，再利用直角三角形的性质求出，即可求解． 【详解】解：∵为， ∴， ∴， ∵是弦弦心距， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 8. 一个滑轮起重装置如图所示,滑轮半径是,当重物上升时, 滑轮的一条半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度约为(假设绳索与滑轮之间没有滑动,取,结果精确到)( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题是弧长公式的基础应用题，根据题意，当重物上升时,即绳索在滑轮上经过的弧长为，再根据弧长计算公式即可求解． 【详解】解：由题意得，根据可得，， 解得，， 故选：C． 9. 已知：抛物线开口向下，且与x轴有两个交点，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的判别式，熟练掌握，当时抛物线与x轴有两个交点是解题的关键． 抛物线与x轴有两个交点说明，然后结合抛物线是二次函数，开口向下，可得，进而即可得到答案． 【详解】解：根据题意得：， 所以， 由于该函数为二次函数，开口向下， 则， ∴． 故选：A． 10. 已知正十边形内切圆的半径是4，那么这个正十边形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正多边形与圆，熟练掌握正多边形的概念是解题的关键，根据题意画出图形，可得正十边形的半径，并求出的长，进而即可得到的面积，将的面积乘以即可得到答案． 【详解】解：由题可得图如下：点为切点，连接， ∴正十边形的中心角， ∴，， ∵正十边形内切圆的半径是4， ∴，， ∴， ∴正十边形的面积． 故选：B． 二、填空题（每题3分，共27分） 11. 已知如图，的内接四边形，、的延长线交于点，切于点，，，，则________，________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据切割线定理求得PB的长，进一步求得BC的长；再根据切割线定理求得PD的长，从而依据相似三角形的性质即可求得CD：AB的值． 【详解】∵PT切⊙O于T点，PT=6，PC=4，AD=9， ∴PT2=PA•PD=PB•PC． 则PB==9， ∴BC=PB-PC=5； ∵PD•（PD+9）=36， ∴PD=3． ∵∠PCD是圆内接四边形的外角， ∴∠PCD=∠A， ∵∠P=∠P， ∴△PCD∽△PAB， ∴==． 故答案为：(1).5 (2). 【点睛】本题综合运用了切割线定理、圆内接四边形的性质、相似三角形的判定和性质，熟练掌握切割线定理是解题关键. 12. 二次函数，当x__________时，，且y随x的增大而减小． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查而次函数的性质，会求二次函数与x轴的交点，以及掌握二次函数的性质是解本题的关键．根据对称轴及开口方向判断y随x的增大而减小的条件，综合以上两个条件，得出本题的结论． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下，对称轴是直线． 当时， 解得， ∴当时，，且y随x的增大而减小． 故答案为：． 13. 某种商品的商标图案如图（图中的阴影部分），已知的直径，且，弧是以D为圆心，为半径的弧，则商标图案的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理的推论，扇形的面积公式，关键是掌握直径所对的圆周角等于90°， 先求出，，再利用扇形面积公式求解即可 【详解】解：∵，是的直径， ∴， ∵弧是以D为圆心，为半径的弧， ∴， ∴商标图案的面积为：（） 故答案为： 14. 已知：二次函数，则它的图象对称轴为直线________，若它的图象经过点，则此函数的最小值是________． 【答案】 ①. x=1 ②. -7 【解析】 【分析】根据公式法求对称轴；把（-1，1）代入函数，可求m的值，从而得到函数解析式，再次利用公式法可求函数最小值，即是函数最低点的纵坐标． 【详解】解：∵-=-=1， ∴对称轴是x=1； 把（-1，1）代入二次函数得2+4+m-1=1，解得m=-4， ∴函数的解析式就是y=2x2-4x-5， ∴-=-=-7． 即函数最小值就是-7 故答案：x=1；-7 【点睛】本题考查二次函数的对称轴，顶点坐标及最值，掌握公式法：y=ax2+bx+c的顶点坐标为（−，），对称轴是x=−是解题关键． 15. 如图：为了测量河对岸旗杆AB的高度，在点C处测得顶端A的仰角为30°，沿CB方向前进20m达到D处，在D点测得旗杆顶端A的仰角为45°，则旗杆AB的高度为__________m．(精确到0.1m) 【答案】27.3 【解析】 【分析】△ADB是等腰直角三角形，设AB=x，则DB=x，再利用Rt△ACB中的tan∠C可列写方程，最值求得x的值 【详解】设AB=x ∵∠ADB=45°，∴△ADB是等腰直角三角形，∴DB=x ∵∠C=30°，∴tan∠C=tan30°= 方程化简得：3x= 解得：x=10 故答案为：27.3 【点睛】本题是利用三角函数进行求解计算的，利用三角函数进行求解计算，关键在于寻找出直角三角形 16. 一个圆弧形拱桥的跨度为，桥的拱高为，则此拱桥的半径是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意画出图形，利用垂径定理得出AC=BC，以及CO=AO-1，再利用勾股定理解答． 【详解】作DO⊥AB交AB于点C， ∴AC=CB． 设半径为x， ∴CO=x-1． ∵AC2+CO2=AO2， ∴x2=32+(x-1)2， 解得：x=5． 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查了垂径定理的应用，结合图形得出CO=x-1，再利用勾股定理得出半径是解决问题的关键． 17. 如图，外侧大圆的半径是10，在里边有两条互相垂直的直径和两个同心圆，其中阴影部分的面积是，请问中间圆的半径是____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． 设中间圆的半径为r，通过旋转可将阴影部分转化为最大圆的和中间圆的，然后根据圆的面积公式得到，再解方程即可． 【详解】解：设中间圆的半径为r， 根据题意得， 解得 (舍去)， 即中间圆的半径为 故答案为：6． 18. 在中，a、b、c分别是的对边，若且，则的形状是________． 【答案】等腰直角三角形 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数，掌握锐角三角函数的定义是正确判断的前提． 由得出的形状是直角三角形，由，可得出的形状是等腰三角形，进而可得的形状是等腰直角三角形． 【详解】解：， 或， ， , ， ， ， ， ， ， ， , , 的形状是等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角三角形． 三、解答题（63分） 19. 如图，是的直径，是的切线，切点为，，．求： （1）线段的长； （2）的直径的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、圆的切线性质、圆周角定理、垂径定理以及三角函数等知识点，掌握相关结论是解题关键． （1）连接，根据、可得，进而证得，据此即可求解； （2）作，可推出；进而得到，；设的半径为，则；根据、即可建立方程求解； 【小问1详解】 解：连接，如图所示： ∵是的直径，是的切线， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴， 解得：, ∴, ∵， ∴ 【小问2详解】 解：作，如图所示： ∵， ∴， ∴ ∴， 设的半径为，则 ∴ ∵ ∴ ∴， 解得： ∴的直径为 20. 已知如图，的内接切于A点，过C作的平行线交于D点． （1）求证：． （2）若的直径为6，求． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆的相关知识点，涉及了切线的性质、相似三角形的判定与性质、圆周角定理、垂径定理以及三角函数等知识点，掌握相关结论是解题关键． （1）过点作直径，连接，根据、可得；结合可得，根据得，即可推出，证即可； （2）连接，作，可得进而得，分别求出即可求解； 【小问1详解】 证明：过点作直径，连接，如图所示： ∵是切线， ∴ ∵是直径， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 即： 【小问2详解】 解：连接，作，如图所示： ∵ ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ ∴ 21. 如图，已知、为直角坐标系内的两点，点C在x轴的负半轴上，且，以A为圆心，为半径作圆A，直线切圆A于D点，连接． （1）求点D的坐标； （2）求经过三点的抛物线的解析式； （3）判断在（2）中所得的抛物线上是否存在一点P，使？若存在，求出P点坐标？若不存在，请说明理由． 【答案】（1）点D的坐标为 （2）； （3）抛物线上存在点使 【解析】 【分析】（1）连接，作于E，利用切线的性质求得，利用坐标与图形的性质结合三角函数的定义求得，，，据此求解即可； （2）利用待定系数法求解即可； （3）先求得与x轴的另一个交点为，连接，，，证明点在抛物线上，且，得到点F为所求点P，据此即可求解． 【小问1详解】 解：连接，作于E， ∵，， ∴，，， ∵直线切于D点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴点D的坐标为； 【小问2详解】 解：∵抛物线过点，，， ∴设抛物线的解析式为， ∴， 解得， ∴所求抛物线的解析式为； 【小问3详解】 解：由题意得，与x轴的另一个交点为，连接，，， ∵直线切于D点， ∴， ∵，为直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵当时，， ∴点在抛物线上， 故点F为所求点P， ∴抛物线上存在点使． 【点睛】本题主要考查运用待定系数法求二次函数解析式，二次函数与几何综合，切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质等知识，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 22. 试利用画图和文字，说明如何测得已知高为的小山上的铁塔的高度，要求： （1）简要说明测量铁塔高度的过程，指明所需测量的数据； （2）根据已知条件及测得数据列出表示塔高的代数式（写出计算过程）； （3）指出在实际测量过程中应注意的事项． 【答案】（1）见解析 （2） （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了解解直角三角形的实际应用，熟练掌握利用仰角、俯角测量物体高度的方法是解题的关键． （1）在平地上选择一点，在点处测得点的仰角为，点的仰角为，即可测量； （2）利用三角函数分别在和中，求出，列式求解即可； （3）答案不唯一，关键是减少误差即可． 【小问1详解】 解：答案不唯一，例如： 如图，在平地上选择一点， 在点处测得点的仰角为，点的仰角为； 【小问2详解】 解：在中，， 在中，， ∴， ∵，， 即：， 解得：； 【小问3详解】 解：答案不唯一，如：在实际测量的过程中，多次测量求平均值，以便减少误差等． 23. 如图，在中，是上一点，以为直径的切于E，求的值． 【答案】的值是． 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质．连接，因为为切线，故可知，即，利用相似三角形的判定和性质对其求解即可得出圆的半径的长度．然后由图中相关线段间的和差关系来求线段的长度，据此求解即可． 【详解】解：连接，设圆的半径为． 切于， ， ， ， ， ， 又在中，，，， 由勾股定理可得， 所以 解得， ， ． 即的值是． 24. 已知：是的内接三角形，为的切线，B为切点，P为直线上一点，过点P作的平行线交直线于点E，交直线于点F． （1）当点P在线段上时（如图），求证： （2）当点P为线段延长线上一点时，第（1）题中的结论还成立吗？如果成立请给予证明，如果不成立请说明理由； （3）若，，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2）成立，见解析 （3）3 【解析】 【分析】（1）连接，由等腰三角形的性质、圆周角定理及切线的性质得；由平行线的性质进而得，从而可证明，由相似三角形的性质即可证得结论； （2）连接，由等腰三角形的性质、圆周角定理及切线的性质得；由平行线的性质进而得，从而可证明，由相似三角形的性质即可证得结论； （3）作直径连结，则，在中，由正弦函数关系即可求得直径的长，从而得半径． 【小问1详解】 证明：连接，如图， 则， ∴； ∵ , ∴， ∴； ∵切于点B， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴ 又， ∴， ∴，即； 【小问2详解】 解：当P为延长线上一点时，（1）题的结论仍成立； 连接，如图， 则， ∴； ∵ , ∴， ∴； ∵切于点B， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：如图，作直径连结， 则，； ∵切于B点， 由（1）知， ∴， 在中，，， ∴， ∴的半径为3． 【点睛】本题是圆的综合问题，考查了圆周角定理，直径对的圆周角相等，切线的性质，相似三角形的判定与性质，正弦函数等知识，构造适当辅助线是关键． 25. 如图小强在江南岸选定建筑物A，并在江北岸的B处观察，此时，视线与江岸所成的夹角是．小强沿江岸向东走了，到C处，再观察A，此时视线与江岸所成的夹角．根据小强提供的信息，你能测出江宽吗？若能，写出求解过程；若不能，请说明理由？ 【答案】能，江宽，过程见解析 【解析】 【分析】过点A作，垂足是D，首先根据三角形外角的性质得到，然后求出，然后利用含角直角三角形的性质得到，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，过点A作，垂足是D， ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． ∴江宽． 【点睛】此题考查了三角形外角的性质，等边对等角，含角直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握以上知识点． 26. 如图，已知抛物线（经过原点）与x轴相交于N点，直线与坐标轴分别相交于A、D两点，与抛物线相交于和两点． （1）求直线与抛物线的表达式； （2）求证：C点是的外心； （3）若（1）中的抛物线，在x轴上方的部分，有一动点，设．当为何值时，的面积有最大值？ （4）若P点保持（3）中运动路线，是否存在，使得其面积等于面积的？若存在，求出动点P的位置；若不存在，请说出理由． 【答案】（1）， （2）证明见解析 （3） （4）P的坐标为或 【解析】 【分析】（1）由抛物线经过原点，可得其表达式可以写成，又由直线与抛物线相交于B、C两点，把两点的坐标代入，利用待定系数法即可求得直线的表达式与点B与C的坐标，继而求得抛物线的表达式； （2）由（1）中直线的解析式，求得A与D的坐标，可得，即可得C点是的外心； （3）由题可得P为顶点时，面积最大．求得顶点的坐标，根据正弦函数的定义，即可求得的值； （4）首先过点P作轴于N点，设点P的坐标为，即可表示出的面积，然后求得的面积，由的面积等于面积的，即可得方程，解此方程即可求得答案． 小问1详解】 ∵抛物线经过原点， ∴其表达式可以写成． ∵直线与抛物线相交于B、C两点，把两点的坐标代入，得： ， 解得：， ∴直线是：， 点，代入二次函数的表达式，得： ， 解得：， ∴抛物线的表达式为：． 【小问2详解】 ∵，令，； 令，， ∴，． ∴．而， ∴． ∴C是的外心． 【小问3详解】 由题可得，P为顶点时，面积最大． ∵， ∴，， 又∵方程的两根是，， 即． ∴． ∴，此时有最大面积（底是相同的）． 【小问4详解】 存在． 理由：过点P作轴于N点， 设点P的坐标为， ∴， ∵， 又∵的面积等于面积的， ∴， 解得：，， ∴当x=时，y=， 当时，，当时，， ∴点P的坐标为或． 【点睛】此题考查了一次函数与二次函数的综合应用．解题的关键是掌握待定系数法求函数的解析式，掌握点与函数的关系，圆的外心的定义，三角函数以及三角形面积的求解方法等知识．注意数形结合思想与方程思想的应用． 27. 在平面直角坐标系中，，点A在第一象限内，且，． （1）求点A的坐标； （2）求过A、O、B三点的抛物线解析式； （3）动点P从O点出发，以每秒2个单位的速度沿运动到点A止，①若的面积为S，写出S与时间t（秒）的函数关系；②是否存在t，使的外心在x轴上，若不存在，请你说明理由；若存在，请求出t的值． 【答案】（1） （2） （3）①；②存在， 【解析】 【分析】（1）过点作于点．通过解和在可以求得；然后利用列出关于的方程，通过解方程可以求得的值； （2）已知抛物线与轴的两个交点的坐标，所以设“两点式”方程，把点的坐标代入函数解析式，即利用待定系数法求得抛物线的解析式； （3）①过点P作于D，则，表示出，然后利用三角形面积公式求解即可； ②存在，使的外心在轴上，即的外心在上．由圆周角定理推知，通过解求得，由此求得的值． 【小问1详解】 解：过点作于点，设． 在中，， ， 又在中，， ， ∵， ∴， ， ， ， ∴， ∴， ； 【小问2详解】 解：抛物线经过点、、． 设． 则， 解得． 故该抛物线的解析式为：； 【小问3详解】 解：①过点P作于D，则， ∴， ， ， ∴； ②存在，使的外心在轴上，即的外心在上．理由如下： 的外心在上， （直径所对的圆周角是直角） ， ， ，即当时，的外心在轴上 ． 【点睛】本题考查了二次函数综合题型，待定系数法求二次函数解析式、坐标与图形的性质，解直角三角形以及圆周角定理，解题的关键是掌握以上知识点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$