1.2.4 绝对值 讲义2024－2025学年人教版数学七年级上册

5 有理数—绝对值 课时1 绝对值的定义及性质 知识点5 绝对值1.定义:一般地,数轴上表示数a的点与 的 叫做数a的绝对值,记作|a|. 2.绝对值的判断:一个正数的绝对值是 ,一个负数的绝对值是 ,0的绝对值是 .即如果a>0,那么|a|= ;如果a=0,那么|a|= ;如果a<0,那么|a|= . 3.绝对值非负性的应用:根据绝对值的非负性“若几个非负数的和为0,则每一个非负数必为0”,即若|a|+|b|=0,则|a|=0且|b|=0. 知识点6 有理数比较大小 1.利用数轴比较大小:在数轴上表示有理数,它们从左到右的顺序,就是从 到 的顺序,即左边的数 右边的数. 2.利用有理数的分类比较大小:一般地,正数 0,0 负数,正数 负数;两个负数,绝对值大的反而 . 答案 原点 距离 它本身 它的相反数 0 a 0 -a 小 大 小于 大于 大于 大于 小 重点 注意 (1)表示一个数的点与原点的距离越远,这个数的绝对值越大;与原点的距离越近,这个数的绝对值越小. (2)距离不可能是负数,所以任何数的绝对值都是非负数. (3)绝对值是某个正数的数有两个,它们互为相反数. 说明 同时我们也可以这样理解;a走到门口(绝对值符号| |),至于如何走出门,还要看a的体质(正、负、0),体质强壮的会直接走出门(即如果,那么),体质虚弱的必须带上一根拐杖以防摔跤(即如果a<0,那么). 注意6 对于两个负数的大小比较一定要先比较它们的绝对值,并且明确两个负数的大小关系与它们绝对值的大小关系正好相反,而异号两数比较,正数总大于负数. 基础巩固 题型1 绝对值的定义 1.2020的绝对值等于( ) A.2020 B.-2020 C. D. 1.A 【解析】|2020|=2020.故选A. 2.数轴上有A,B,C,D四个点,其中表示的数的绝对值等于2的点是( ) A.点A B.点B C.点C D.点D 2.A 【解析】在数轴上,表示的数的绝对值等于2的点到原点距离为2,由数轴可知为点A.故选A. 3.下列各组数中,互为相反数的是( ) A.-2与|-2| B.-2与-|-2| C.-2与 D.2与|-2| 3.A 【解析】A选项,-2与|-2|=2,互为相反数,故此选项正确;B选项,-2与-|-2|=-2;两数相等;故此选项错误;C选项,-2与,两数相加不为零,故此选项错误;D选项,2与|-2|=2,两数相等,故此选项错误.故选A. 4.的相反数是_. 4. 【解析】的相反数是. 5.求下列各数的绝对值:,0.5,0,. 5.【解】,,,. 题型2 绝对值的性质 6.下列说法正确的是( ) A.一个数的绝对值等于它本身,这个数一定是正数 B.一个数的绝对值等于它的相反数,这个数一定是负数 C.绝对值越大,这个数越大 D.两个负数,绝对值大的那个数反而小 6.D 【解析】A选项,一个数的绝对值等于它本身,这个数是正数或0,故此选项错误,不合题意;B选项,一个数的绝对值等于它的相反数,这个数是负数或0,故此选项错误,不合题意;C选项,负数绝对值越大,这个数越小,故此选项错误,不合题意;D选项,两个负数,绝对值大的那个数反而小,故此选项正确. 7.一个数的绝对值是9,这个数是( ) A.9 B.-9 C.9或-9 D.不能确定 7.C 【解析】根据一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数,得,所以这个数是9或-9. 8.如果a为整数,且,那么a的值为( ) A.-1或0或1 B.1或0 C.-1或0 D.0或1或2 8.A 【解析】因为,所以-2<a<2.因为a是整数,所以a=-1或0或1. 9.小贝认为:若有理数a,b满足,则a>b.小贝的观点正确吗?请说明理由. 9.【解】小贝的观点不正确。理由如下: 因为当a=-2,b=-1时,,但是-2<-1,所以若,则a>b不一定成立,所以小贝的观点不正确. 10.[中]计算:(1); (2); (3). 10.【解】(1). (2). (3). 11.列式计算:的相反数比的绝对值大多少? 11.【解】因为的相反数是,的绝对值是,所以的相反数比的绝对值大. 题型3 绝对值的化简 12.化简_. 12.-12 【解析】,故答案为-12. 13.[中]计算:. 13.【解】原式=4-2.5+3=4.5. 易错点 对绝对值的性质理解不清致错 14.判断:若,则m的值是负数. 晓莉认为上述说法正确,请你判断晓莉的想法是否正确,如果不正确,请举出例子说明理由. 14.【解】晓莉的想法不正确.理由如下: 当m=0时,说法不正确.故晓莉的想法不正确. 易错警示 对于绝对值的性质,一定要注意,并且某个数的绝对值一定是非负的. 巩固提升 1.下列判断正确的是( ) A.若,则a=b B.若,则a=-b C.若a=b,则 D.若a=-b,则 1.C 【解析】若,则a=-b或a=b,故A,B选项错误;若a=b,则,故C选项正确;当a=-b=0时,成立,当时,,故D选项错误.故选C. 2.如图,四个有理数在数轴上分别对应点M,P,N,Q.若点M,N表示的有理数互为相反数,则图中表示绝对值最小的数的点是( ) A.点M B.点N C.点P D.点Q 2.C 【解析】因为点M,N表示的有理数互为相反数;所以原点的位置大约在点O(如下图). 所以表示绝对值最小的数的点是点P.故选C. 3.如图,若数轴上a的绝对值是b的绝对值的3倍,则数轴的原点在点_或点_.(填“A”“B”“C”或“D”) 3.C D 【解析】由题图知b-a=4,①当a>0,b>0时,由题意可得,即a=3b,解得a=-6;b=-2,不合题意,舍去;②当a<0,b<0时,由题意可得;即a=3b,解得a=-6,b=-2;故数轴的原点在点D;③当a<0,b>0时,由题意可得,即-a=3b,解得a=-3,b=1,故数轴的原点在点C.综上可得,数轴的原点在点C或点D. 4.已知零件的标准直径是100mm,超过标准直径的数量记作正数,不足标准直径的数量记作负数,检验员抽查了五件样品,检查结果如下: 序号 1 2 3 4 5 直径(mm) +0.10 -0.15 +0.20 -0.05 +0.25 (1)指出哪件样品的直径最符合要求; (2)如果规定误差的绝对值在0.18mm之内是正品,误差的绝对值在0.18~0.22mm之间是次品,误差的绝对值超过0.22mm是废品,那么这五件样品分别属于哪类产品? 4.【解】(1)第4件样品的直径最符合要求. (2)因为,,.所以第1,2,4件样品是正品; 因为,,所以第3件样品为次品; 因为,所以第5件样品为废品. 5.一条直线流水线上有5个机器人,它们站的位置在数轴上依次用点,,,,表示,如图所示. (1)站在点_上的机器人表示的数的绝对值最大,站在点_和点_,点_和点_上的机器人到原点的距离相等; (2)怎样移动点,使它先到达点,再到达点?请用文字语言说明. (3)若原点是零件供应点,则5个机器人到达供应点取货的总路程是多少? 5.【解】(1)因为|-4|最大, 所以站在点上的机器人表示的数的绝对值最大. 因为,, 所以站在点和点,点和点上的机器人到原点的距离相等故答案为,,,,. (2)将点向左移动2个单位长度到达点,再向右移动6个单位长度到达点. (3). 答:5个机器人到达供应点取货的总路程是12. 拓展培优 6.同学们都知道,表示5与2之差的绝对值,也可以利用数轴理解为数轴上5与2这两个数所对的两点之间的距离,如图(1)所示.试回答: (1)_,这个算式利用数轴可理解为_; (2)求使成立的所有整数; (3)求出使成立的所有整数; (4)如图(2),在笔直的公路一侧有A,B,C,D四个村庄,且AB=BC=CD,现要在公路上开一家超市,使各村庄到超市的距离之和最小,则超市的位置应在哪两个村庄之间? 6.【解】(1)如图(1),,可以利用数轴理解为数轴上-5与2这两个数所对的两点之间的距离. (2)因为使成立的所有整数,就是数轴上到-5表示的点距离为7的点所表示的数, 所以如图(2)所示,使成立的所有整数有2,-12. (3)使成立,即数轴上x表示的点到-5.3和2.6表示的点的距离和为7.9.因为5.3+2.6=7.9,所以-5.3和2.6之间的所有整数均符合要求,故所有整数有-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2. (4)由(3)可知超市的位置应在B,C两个村庄之间. 课时2 有理数比较大小 基础巩固 题型1 有理数大小的比较 1.下列各数中,比-2小的数是( ) A.-1 B.0 C.-3 D.1 1.C 【解析】根据有理数大小比较的方法,可得-3<-2<-1<0<1,所以各数中比-2小的数是-3,故选C. 2.下列四个小数中,与最接近的是( ) A.0.76 B.0.78 C.0.776 D.0.777 2.D 【解析】因为,所以与最接近的是0.777.故选D. 3.下列各组数的大小比较的式子:①25<1000;②-50>-20;③;④.其中正确的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.C 【解析】①25<1000;②-50>-20;③;④四个式子中,正确的有①③④,共3个,故选C. 题型2 利用数轴比较有理数的大小 4.如图所示,a,b,c表示有理数,则a,b,c的大小顺序是( ) A.a<b<c B.a<c<b C.b<a<c D.c<b<a 4.A 【解析】因为在数轴上表示的有理数,右边的数总比左边的数大,所以从左到右把各字母用“<”号连接为a<b<c.故选A. 5.a,b两数在数轴上的位置如图所示,将a,b,-a,-b用“<”号连接,其中正确的是( ) A.a<-a<b<-b B.-b<a<-a<b C.-a<b<-b<a D.-b<a<b<-a 5.B 【解析】令a=-0.7,b=1.3,则-a=0.7,-b=-1.3,则可得-b<a<-a<b.故选B. 6.有理数a在数轴上的位置如图所示. 用“>”或“<”填空:_0,-a+1_0. 6.> > 【解析】根据题图数轴可知a<0<1,,所以,-a+1>0. 7.把如图所示的直线补充成一条数轴,在数轴上表示下列各数:0,,,,,,并用“<”号连接. 7.【解】因为,,,,且, 所以, 在数轴上表示: 题型3 利用绝对值比较有理数的大小 8.下列说法正确的有( ) ①有理数的绝对值一定比0大; ②有理数的相反数一定比0小; ③如果两个数的绝对值相等,那么这两个数相等; ④互为相反数的两个数的绝对值相等. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 8.A 【解析】①有理数的绝对值一定比0大,错误,例如,0的绝对值为0;②有理数的相反数一定比0小,错误,例如,0的相反数为0;③如果两个数的绝对值相等,那么这两个数相等或互为相反数,故错误;④互为相反数的两个数的绝对值相等,正确.正确的有1个.故选A. 9.在-0.1426中用数字3替换其中的一个非零数字后,使所得的数最大,则被替换的数字是( ) A.1 B.2 C.4 D.6 9.C 【解析】被替换后的数可以是-0.3426,-0.1326,-0.1436,-0.1423.因为 , 所以最大的数是-0.1326,所以使所得的数最大,则被替换的数字是4.故选C. 10.用“>”或“<”填空:_. 10.> 【解析】.因为,所以. 题型4 生活中的有理数的大小比较 11.水冻结的温度是0 ,酒精冻结的温度是-117 ,水银冻结的温度是-39 ,冻结温度最低的是_. 11.酒精 【解析】因为-117<0,-39<0,,,且117>39,所以-117<-39,所以-117<-39<0,所以冻结温度最低的是酒精. 拓展培优 12.探索研究: (1)比较下列各式的大小(用“<”“>”或“=”连接) ①_; ②_; ③_. (2)通过以上比较,请你归纳出当a,b为有理数时,与的大小关系.(直接写出结果) (3)根据(2)中得出的结论,当时,x的取值范围是_.若,,则_. 12.【解】(1)①因为,, 所以. ②因为, 所以. ③因为,, 所以. 故答案为>,=,>. (2)当a,b异号时,, 当a,b同号时,, 所以. (3)由(2)中得出的结论可知,x与-2015同号, 所以x的取值范围是. 因为,, 所以与异号, 则或-10或5或-5. 故答案为,10或-10或5或-5. 学科网(北京)股份有限公司 $$