第1章《勾股定理》 章末测试题 2024-2025学年北师大版八年级数学上册

勾股定理 章末测试题 考试时间:120分钟 满分150分 班级：________________ 姓名：________________ 考号：________________ 一、单选题（本大题共10小题，总分40分） 1．以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（　　） A．2，3，4 B．10，8，4 C．7，25，24 D．7，15，12 2．如果直角三角形的边长为3，4，a，则a的值是（　　） A．5 B．6 C． D．5或 3．已知△ABC中，AB＝AC＝2，点D在BC边的延长线上，AD＝4，则BD•CD＝（　　） A．16 B．15 C．13 D．12 4．满足下述条件的三角形中，不是直角三角形的是（　　） A．三边之比为 B．三内角之比为3：4：5 C．其中一个内角的度数等于另外两个内角度数的差 D．三边长分别为40、9、41 5．勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”．如图所示，弦图由四个边长分别为a，b，c（a＜b）的全等的直角三角形围成一个中间镂空的大正方形，若弦图中小正方形和大正方形的面积分别是1和9，则a﹣b+c的值等于（　　） A．4 B．2 C．﹣2 D．﹣4 6．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，属于“勾股数”的是（　　） A．1，2，3 B．3，4，5 C．4，5，6 D．5，6，7 7．如图，正方体的棱长为2cm，点B为一条棱的中点．蚂蚁在正方体表面爬行，从点A爬到点B的最短路程是（　　） A．cm B．4cm C．cm D．5cm 8．华表柱是一种中国传统建筑形式，天安门前耸立着高大的汉白玉华表，每根华表重约20000公斤，如图，在底面周长约为3米带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底向柱顶（从A点到B点）均匀地盘绕3圈，每根华表刻有雕龙部分的柱身高约12米，则雕刻在石柱上的巨龙至少（　　）米． A． B．20 C．15 D． 9．如图，一架云梯长25米，斜靠在一面墙上，梯子靠墙的一端距地面24米，如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底部在水平方向滑动了多少米？（　　） A．8米 B．6米 C．10米 D．4米 10．如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（　　） A．5 B．5 C．105 D．25 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11．已知△ABC的三边长分别为5、12、13，则△ABC的面积为 　 　． 12．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的侧面积是 　 　． 13．如图，在四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，CD＝1，AD＝2，∠B＝90°，则四边形ABCD的面积为 　 　． 14．如图，圆柱形玻璃杯的杯高为10cm，底面周长为16cm，在杯内壁离杯底2cm的点B处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿1cm，且与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处所走的最短路程为 　 　cm．（杯壁厚度不计） 15．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，如图所示的“垂美”四边形ABCD的对角线AC，BD交于点D，若AB＝5，CD＝4，则AD2+BC2＝　 　． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16．已知：如图，在Rt△ABC中，BC＝5，AC＝12，CD⊥AB于D．求CD． 17．如图，在△ABC中，D是边BC上的一点，且DE⊥BC，若BD＝CD，EA2+AC2＝BD2+DE2，求证：△ABC是直角三角形． 18．如图，车高4m（AC＝4m），货车卸货时后面支架AB弯折落在地面A1处，经过测量A1C＝2m，求弯折点B与地面的距离． 19．《中华人民共和国道路交通安全法》规定，汽车在公路上行驶，要遵守道路限速规定．菜海路限速70千米/小时．小明的爸爸驾车在这条路上行驶，某一时刻刚好驶到车速检测仪A的正前方30米的C处，过2秒后，测得小汽车与车速检测仪距离为50米，请问，小明的爸爸超速了吗？为什么？ 20．如图，一图书馆的两个书柜相对平行摆放，当把一架梯子斜靠在左侧书柜时，梯子底端到左侧书柜底角的距离0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右侧书柜上时，顶端距离地面2米，那么两个书柜的距离是多少米？ 21．如图，每个格子都是边长为1的小正方形，∠ABC＝90°，四边形ABCD的四个顶点都在格点上． （1）求四边形ABCD的周长； （2）连接AC，试判断△ACD的形状，并求四边形ABCD的面积． 22．港珠澳大乔是一座连接香港，广东珠海和澳门的跨海大桥，总长55km，现有一艘游轮即将靠岸，当游轮到达B点后熄灭发动机，在离水面高度为5m的岸上，工作人员用绳子牵引靠岸，开始时绳子BC的长为13m．（假设绳子是直的，结果保留根号） （1）若工作人员以1.5m/s的速度收绳．4s后船移动到点D的位置，问此时游轮距离岸边还有多少m？ （2）若游轮熄灭发动机后保持0.8m/s的速度匀速靠岸，10s后船移动到E点，工作人员手中的绳子被收上来多少米？ 23．如图，一架25m的云梯AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为24m （1）求这个梯子的底端距墙的垂直距离有多远； （2）当BD＝8m时，AC的长是多少米； （3）如果梯子的底端向墙一侧移动了2米，那么梯子的顶端向上滑动的距离是多少米？ 24．如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“美丽三角形”． （1）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，求证：△ABC是“美丽三角形”； （2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC，若△ABC是“美丽三角形”，求BC的长． 25．“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．赵爽利用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，在验明勾股定理，为中国古代以形证数形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范． （1）如图1，是小琪制作的一个“赵爽弦图”纸板． ①设AH＝a，BH＝b，AB＝c，请你利用图1验证：a2+b2＝c2； ②若大正方形ABCD的边长为13，小正方形EFGH的边长为7，求直角三角形两直角边之和为多少？ （2）如图2，小昊把四个全等的直角三角板紧密地拼接在一起，已知外围轮廓（实线）的周长为48，OB＝6，求这个图案的面积． 答案 一、单选题（本大题共10小题，总分40分） 1-5．CDDBB． 6-10．BCCAD． 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11．30． 12．20π． 13．． 14．． 15．41． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16．解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5， ∴AB13， ∵S△ABCAC×BCAB×CD， ∴5×12＝13×CD， ∴CD． 17．证明：如图，连接CE． ∵BD＝CD，DE⊥BC， ∴CE＝BE． ∵DE⊥BC， ∴BD2+DE2＝BE2＝CE2． ∵EA2+AC2＝BD2+DE2， ∴EA2+AC2＝CE2， ∴△ACE是直角三角形，∠A＝90°， ∴△ABC是直角三角形． 18．解：由题意得，AB＝A1B，∠BCA1＝90°， 设BC＝xm，则AB＝A1B＝（4﹣x）m， 在Rt△A1BC中，A1C2+BC2＝A1B2， 即：22+x2＝（4﹣x）2， 解得：x， 答：弯折点B与地面的距离为米． 19．解：由题意得，AC⊥BC，AC＝30，AB＝50， ∴BC40， 40米＝0.04千米， 2秒小时． 0.0472＞70． 所以超速了． 20．解：依题意可知，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，BC＝0.7米，AC＝2.4米， 由勾股定理，得AB2＝0.72+2.42＝6.25． 依题意AB＝A′B， ∴AB2＝A′B2， 在Rt△A′BD中，∠A′DB＝90°，A′D＝2，BD2+A′D2＝A′B2， ∴BD2+22＝6.25， ∴BD2＝2.25， ∵BD＞0， ∴BD＝1.5米， ∴CD＝BC+BD＝0.7+1.5＝2.2（米）． 答：两个书柜的距离是2.2米． 21．解：（1）∵AB＝4，BC＝3，，， ∴四边形ABCD的周长＝4+3+5+512+5； （2）如图， ∵AC5，CD＝5，， ∴AC2+CD2＝50＝AD2， ∴△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°， ∴S△ACDAC•CD， ∵S△ABCBC•AB＝6， ∴． 22．解：（1）∵在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，BC＝13m，AC＝5m， ∴， ∵此人以1.5m/s的速度收绳，4s后船移动到点D的位置， ∴CD＝13﹣1.5×4＝7（m）， ∴Rt△ACD中，， ∴游轮距离岸边还有； （2）由题知，AE＝AB﹣BE＝12﹣0.8×10＝4m， ∴， ∴绳子被收上来． 23．解：（1）由题意可知∠O＝90°， ∵AB＝25m，AO＝24m， ∴OB7m； （2）∵OB＝7m，BD＝8m， ∴OD＝15m， ∵CD＝25m， ∴OC＝20m， ∵AO＝24m， ∴AC＝AO﹣OC＝4m； （3）如图所示：由题意可知BM＝2m， ∴OM＝5m， ∵MN＝25m， ∴ON10， ∴AN＝ON﹣AO＝（1024）m． 24．（1）证明：过点A作AD⊥BC于D， ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴BDBC＝2， 由勾股定理得，AD4， ∴AD＝BC，即△ABC是“美丽三角形”； （2）解：当AC边上的中线BD等于AC时，如图2， BC6， 当BC边上的中线AE等于BC时， AC2＝AE2﹣CE2，即BC2﹣（BC）2＝（4）2， 解得BC＝8． 综上所述，BC的长是6或8． 25．（1）①证明：∵中间小正方形的边长为b﹣a， ∴小正方形的面积为（b﹣a）2． 又∵四个直角三角形的面积为：， ∴大正方形的面积为：（b﹣a）2+2ab＝a2+b2． 又∵大正方形的边长为c， ∴大正方形的面积还可以表示为c2， ∴a2+b2＝c2． ②解：由①可知， a2+b2＝c2＝169， ∵b﹣a＝7， ∴（b﹣a）2＝a2+b2﹣2ab＝49， ∴2ab＝120， ∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝169+120＝289， ∴a+b＝17（舍负）， 即直角三角形两直角边之和为17． （2）解：设AO＝CO＝GO＝EO＝m， ∵OB＝OH＝OD＝OF＝6， ∴AH＝CB＝DE＝FG＝m﹣6． ∵外围轮廓（实线）的周长为48， ∴4（AB+m﹣6）＝48， 则AB＝18﹣m． 在Rt△ABO中， 62+m2＝（18﹣m）2， 解得m＝8， 即AO＝8， ∴。 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$