第8单元：垂线与平行线（讲义）-2024-2025学年四年级数学上册苏教版

垂线与平行线 (思维导图+知识梳理+典例分析+高频真题+答案解析) 【直线、线段和射线的认识】 1． 基本概念： （1）、直线：一根拉得很紧的线，就给我们以直线的形象，直线是直的，并且是向两方无限延伸的．一条直线可以用一个小写字母表示． （2）、线段：直线上两个点和它们之间的部分叫做线段，这两个点叫做线段的端点．一条线段可用它的端点的两个大写字母来表示． （3）、射线：直线上一点和它一旁的部分叫做射线．这个点叫做射线的端点．一条射线可以用端点和射线上另一点来表示． 2、注意事项： （1）线和射线无长度，线段有长度． （2）直线无端点，射线有一个端点，线段有两个端点． 【平行】 1、 定义：在同一平面内，永远不相交的两条直线称为平行线。 2、平行线间的距离：从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离。 3、定理：平行线间的距离处处相等。 4、平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。 这个需要我们和垂直公理进行辨析。 5、平行公理推论：平行于同一条直线的两直线平行。 这个可以用来判定两条直线平行。 【相交与垂直】 1、 当两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直。 2、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。垂直一定会出现90°。 3、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简单说成：垂线段最短。 4、点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 【垂直与平行的特征及性质】 1．垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直．其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足． 直线AB，CD互相垂直，记作“AB⊥CD”（或“CD⊥AB”），读作“AB垂直于CD”（或“CD垂直于AB”）． 2．垂线的性质： 性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 性质2：连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简称：垂线段最短． 3．垂直的判定：垂线的定义． 4．平行线的判定方法： （1）平行于同一条直线的两直线平行． （2）垂直于同一条直线的两直线平行． （3）平行线的定义． 【两点间线段最短与两点间的距离】 1、两点之间，线段最短：在两点之间连接出若干条折线、曲线和线段，其中线段的长度最小． 2、应用：当两点在直线两侧时，直接连接两点即可，而不必找对称点；当两点在直线同侧时，需要作出其中一个点关于直线的对称点． 【过直线外一点作已知直线的平行线】 1．画法：设直线外一点为a，在直线上任取两点b和c，以a为圆心，以bc为半径作弧；以b为圆心，以ac为半径作弧，两弧交于d点；连接ad作直线，则ad必平行于bc． 2．在同一平面内，过直线外一点画已知直线的平行线，只能画一条．如果没有在同一平面内的限制，过直线外一点画已知直线的平行线，能画无数多条． 【过直线上或直线外一点作直线的垂线】 1、以直线外一点为圆心，以大于这点到直线的距离为半径画弧交直线于A、B两点． 2、分别以A、B为圆心，以大于AB为半径画弧在直线的两侧相交于两点． 3、连结这一点和任意一个交点（或连结两个交点）的直线就是已知直线的垂线． 【角的度量】 1．角的度量：角度的测量是最基本的测量，最常用的工具是量角器． 2．角的度量单位通常有两种，一种是角度制，另一种就是弧度制． 3．度量方法： （1）、量角要注意两对齐：量角器的中心和角的顶点对齐． （2）、量角器的0刻度线和角的一条边对齐． （3）、做到两对齐后看角的另一条边对着刻度线几，这个角就是几度． （4）、看刻度要分清内外圈． 【角的画法】 1．画一条射线，使量角器的中心和射线的端点重合，0刻度线和射线重合． 2．在量角器刻度线的地方点一个点． 3．以画出的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线． 4．画完后在角上标上符号，写出度数． 【画指定度数的角】 三角板能画出15、30、45、60、75、90、105、120、135、150、165、180度的角，是30°，45°，60°，90度的和差，因为通过三角尺只能作角的和差．其余的度数只能通过量角器画角． 【用三角尺画30°，45°，60°，90°角】 1、30°和60°可以通过30°直角三角形得到． 2、45°通过等腰直角三角形可以得到． 3、90°的角两个直角三角形尺都可以得到． 【典例1】量一量，说一说． （1）上图中，有哪 条线段的长度是相等的？ （2）A和B两条直线是平行的吗？ （3）两条平行线之间的距离有什么特点？ 【答案】b，c，e 平行 相等 【典例2】和平新区要从煤气总管道连接一条新煤气管道，怎样连接最节省管道材料，请画一画。 【答案】见详解 【思路分析】过直线外一点向直线作垂线，就是最节省管道材料的。 【详解】 【典例3】如图，如果李华要从M点划船穿过小河到河对岸，那么怎样走路线最短？把最短的路线画出来． 【答案】 【典例4】按要求作图： （1）画出直线AB。 （2）画出射线BC。 （3）画出线段AC。 （4）测量∠ACB＝（    ）。 【答案】（1）（2）（3）图见详解 （4）105° 【思路分析】根据直线、射线、线段的特征，直线没有端点，能够向两端无限延长，不能度量长度；射线：只有一个端点，可以向一端无限延长，不能度量长度；线段：有两个端点，不能向两端延长，可以度量长度；把量角器放在角的上面，使量角器的中心和角的顶点重合，零度刻度线和角的一条边重合，角的另一条边所对应的量角器上的刻度，就是这个角的度数。 【详解】根据要求作图如下： （1）（2）（3） （4）测量∠ACB＝105° 【典例5】如图，已知∠1＝∠2，∠3＝42°，求∠1和∠2的度数。 【答案】69°；69° 【思路分析】根据题图可知：∠1、∠2、∠3组成一个平角，∠1＋∠2＝180°－∠3；再根据∠1＝∠2，即可求出∠1和∠2的度数。据此解答。 【详解】∠1＋∠2＋∠3＝180° ∠1＋∠2＝180°－∠3 ＝180°－42° ＝138° ∠1＝∠2 138°÷2＝69° 所以∠1＝∠2＝69° 答：∠1和∠2的度数均为69°。 1．李爷爷从A点到对面的河边取水，怎样走才最近呢？请在图中画出来。 2．过A点画出直线a的垂线。 3．点A是大象的家，BCED表示河。大象要去河岸边饮水，请设计一条使大象饮水最近的线路图。 4．王明和爸爸在游泳池游泳，王明在B处，他想尽快上岸，你能帮他设计一条最近的游上岸的路线吗？请在下图中画一画。 5．以A点为角的顶点，用你喜欢的方法以已知射线为一条边，画一个120°的角；再过P点分别画AB边的垂线和平行线。 6．小明要从家门口的B点修一条小路与门前的公路相连，怎样修路最短。 7．下图是一个梯形的广场。 （1）从A点走到对边，怎样走最近，在图上画出来。 （2）过A点作边的平行线。 （3）量出的度数，并标在图中。 8．小东要去河边画画，请你画出从A点处到河边的最短路线。 9．AB是一条公路，公路两侧有甲、乙两村（如下图），现在要在公路上修建一个公共汽车站，让这两村的人到公共汽车站的路线之和最短。公共汽车站应建在什么地方？请在图上表示出来。 10．按要求作图。 （1）过点A画出已知直线P的垂线； （2）以点B为顶点，引出一条射线，与已知直线P相交成130°的角。 11．小鸭子要从河岸的点A游到对岸，怎样游路线最短？画出来，并说说为什么。 12．淘气准备从A点牵小马到河边去饮水，如下图。请你帮他设计一条最近的路线图，并画出来。 13．画一画。 （1）画一条连接AC的线段。 （2）过B点画AC的垂线。 （3）过D点画出AC的平行线。 14．假如直线AB是一条公路，公路同侧有甲、乙两个村庄(如下图所示).现要在公路上修建一个公共汽车站，让两个村子的人到汽车站的路线之和最短.则车站应该建在什么地方？ 15．按要求画一画。 （1）过点A画直线。 （2）过点B画射线。 （3）过A、B两点画直线。 （4）我发现经过一点可以画（    ）条直线，可以画（    ）条射线；经过两点只能画（    ）条直线。 16．如图所示，求∠1和∠2的度数。 17．把一张长方形纸折成下图形状，已知∠1＋∠2＋∠3＝220°，求∠1，∠2，∠3的度数。（提示：两条直线相交形成的四个角中，相对的两个角大小相等） 18．如图，∠1＝30°，∠2＝20°，求∠3的度数。 19．在图上画一画，比一比。 （1）南华村离太平村和五阳村哪个村更近？ （2）太平村和五阳村哪个村离小河更近？ 20．先画一画，再回答问题。 （1）如图1所示过点A可以画几条直线？ （2）如图1所示以点A为端点可以画几条射线？ （3）如图2所示每两点之间画一条线段，如下四点可以画几条线段？ 21．按要求量一量、填一填，画一画。 （1）在下面的平行四边形中、∠A＝（    ）度、∠B＝（    ）度。 （2）一只小蚂蚁在图中的黑点处，它想快点爬到平行四边形的边线上，请你帮它设计一条最近的爬行路线，在图中面出来。 22．请你为红星工厂设计一条污水排放管道，在下图中画一画，并说明理由。 设计理由： 23．求图中∠1的度数。（需要写出计算过程） 24．先经过A点画出已知直线的平行线，再画出点A到已知直线的垂直线段；点A到直线的距离是（　　）厘米。（取整厘米数） 25．求图中∠2=？ 26．如图，∠1是50°，则∠2、∠3、∠4分别是多少度？ 27．如下图，小华家附近有一条小河分成A、B两段，（      ）路与小河（    ）段平行。为了到河边方便，她家准备修一条水泥小路到河边，怎样修路最近？请画出最短路线。 28．在下图中，森林北路垂直于森林东路，森林南路垂直于森林东路，森林北路和森林南路之间有什么样的关系? 29．某学校教学楼和图书馆之间有一片草坪，于是很多学生不从道路走，而从草坪上踏过，时间长了便形成了一条小路．你知道为什么会造成这种不文明的现象吗？ 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 1．见详解 【思路分析】从直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最段，所以只需从A点作小河左边所在直线的垂线，即可确定最近的路线。 【详解】最近的路线如图所示： 2．见详解 【思路分析】过直线外一点画垂线的方法：把三角尺的一条直角边与直线a重合，让三角尺的另一条直角边通过点A，沿着三角尺的另一条直角边画直线，这条直线就是直线a的垂线。 【详解】 3．见详解 【思路分析】从直线外一点向已知直线画垂直线段和斜线，垂线段最短。过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短，这条垂直线段就是大象饮水最近的线路。 【详解】 图中所做的垂直线段就是大象饮水最近的线路。 4．见详解 【思路分析】直线外一点与这条直线所有点的连线中，垂线段最短。从B点到下面的一条岸边的距离最近，用三角板的一条直角边与长方形下边的长重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边分别与B点重合，过B点沿直角边向已知直线画直线即可。 【详解】如图所示： 【名师点评】本题考查了学生过直线外一点向已知直线作垂线的能力。 5．见详解 【思路分析】用量角器的圆点和A点重合，0刻度线和射线重合，在量角器120度的刻度上点上点，过A点和刚作的点，画射线即可； 用三角板的一条直角边与已知直线AB重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边和P点重合，过P沿直角边向已知直线AB画直线即可；把三角板的一条直角边与已知直线AB重合，用直尺靠紧三角板的另一条直角边，沿直尺移动三角板，使三角板的原来和已知直线AB重合的直角边和P点重合，过P点沿三角板的直角边画直线即可。 【详解】根据分析画角、垂线和平行线如下： 【名师点评】熟练掌握角的画法，平行线及垂线的画法是本题解答的关键。 6．见详解 【思路分析】根据垂直线段的性质：从直线外一点向已知直线画垂直线段和斜线，垂线段最短。把公路看作一条直线，点B向直线画垂直线段即可。 【详解】 【名师点评】本题主要考查垂直线段的性质，利用这一性质作最短线路图。 7．见详解 【思路分析】（1）直线外一点与这条直线所有点的连线中，垂线段最短，所以只要作出A点到边CD的垂线段，这条垂线段就是A点到边CD最近的路线； （2）过直线外一点作已知直线的平行线的方法：把直角三角板的一条直角边和已知直线重合，紧靠另一条直角边放一把直尺并固定，然后沿着直尺平移三角板到A点的地方画一条直线，这条直线就是过点A与已知直线平行的线； （3）量角的步骤：先把量角器放在角的上面，使量角器的中心和角的顶点重合，零度刻度线和角的一条边重合，角的另一条边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数． 【详解】根据分析可得：（1）从A点走到对边，最近路线如下图所示： （2）过A点作边的平行线如下图所示： （3）用量角器量出∠ADC的度数是57°，如下图所示： 【名师点评】本题考查的是对过直线外一点作已知直线的垂线、平行线方法以及对用量角器量角的方法的掌握及应用。 8．见详解 【思路分析】从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短，这条垂直线段的长度叫做点到直线的距离。据此可知，要求最短路线，则从A点向河边作垂线，这条垂线即为所求。 【详解】 【名师点评】解决本题的关键是明确从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短。而这个性质常用于解决求最短路线的问题。 9．见详解 【思路分析】在公路AB上建的公交站，能够兼顾甲村和乙村的人到这个公交站来的路程之和最短，因为两个地点之间走直线最近，所以，只要在甲村乙村间连一条直线，这条直线与公路AB交点O，就是所求的公共汽车站的建站点了； 【详解】用直线把甲村、乙村连起来，因为甲村乙村在公路的两侧，所以这条连线必与公路AB有一个交点，设这个交点为O，那么在O点建立汽车站，就能使甲村乙村的人到汽车站所走的路程之和最短；（如图）： 【名师点评】两点之间的距离，线段最短，根据此性质解决问题。 10．见详解 【思路分析】（1）过A点作直线P的垂线的方法：先把三角尺的一条直角边与直线P重合；沿着直线移动三角尺，使A点在三角尺的另一条直角边上。再沿三角尺的另一条直角边画一条直线，并画上垂直符号。这条直线就是直线P的垂线。 （2）使量角器的中心和B点重合，0°刻度线和直线P重合。在量角器130°刻度线的地方点一个点。以B点为端点，通过刚画的点，再画一条射线。据此画出130°的角。 【详解】 【名师点评】两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。用量角器量角的度数时，注意把量角器的中心与角的顶点重合，0°刻度线与角的一条边重合。 11．见详解 【思路分析】把河的对岸看做一条直线，依据垂线段最短，作出A点到直线的垂线段即可解答。 【详解】 【名师点评】本题考查了学生对点到直线距离知识的掌握和画垂线段的能力。 12．见详解 【思路分析】把河岸看做一条直线，利用点到直线的所有连接线段中，垂直线段最短的性质即可解决问题。 【详解】 【名师点评】此题考查了垂直线段最短的性质的在解决实际问题中的灵活应用。 13．见详解 【思路分析】（1）把直尺放在AC点上，然后沿着直尺连接A、C两点； （2）用三角板的一条直角边的AC重合，沿AC平移三角板，使三角板的另一条直角边和B点重合，过B沿直角边向AC画直线即可； （3）把三角板的一条直角边与AC重合，用直尺靠紧三角板的另一条直角边，沿直尺移动三角板，使三角板的原来和AC重合的直角边和D点重合，过D点沿三角板的直角边画直线即可。 【详解】（1）（2）（3）作图如下： 【名师点评】本题考查了学生画线段、垂线和平行线的作图能力，注意规范作图。 14．如图所示: 【详解】如果甲、乙两村分别在AB的两侧(如下左图)，因为两点之间线段最短，那么汽车站应建在C处.现在，甲、乙两村在公路的同侧，汽车站应建在什么位置呢？我们不妨把甲村(或乙村)搬到公路的另一侧(搬的时候，不能改变它到公路的距离)，如右图所示，甲村到P点的距离与丙到P点的距离一定要相等.连接乙村与丙，与AB交于C点，此时两个村子的人到汽车站的路线之和最短，汽车站应设在C处.选择最短路线，可以借助辅助线来解决. 15．（1）（2）（3）见详解 （4）无数；无数；一 【思路分析】（1）直线没有端点，可以向两端无限延伸，不能量出长度，据此过A点向两端延长，即可画出直线； （2）射线只有一个端点，只能向一端无限延伸，不能量出长度，据此向B点的一端延长，即可画出射线； （3）直线没有端点，可以向两端无限延伸，不能量出长度，据此连接AB并向两端延长，即可画出直线； （4）经过一点可以画无数条直线；从一点出发可以画无数条射线；经过两点只能画一条直线；据此解答即可。 【详解】（1）过点A画直线。作图如下： （2）过点B画射线。作图如下： （3）过A、B两点画直线。作图如下： （4）我发现经过一点可以画无数条直线，可以画无数条射线；经过两点只能画一条直线。 16．145°；60° 【思路分析】图中30°的角与∠2组成的角是直角，而1直角＝90°，所以90°减30°即可求出∠2的度数；∠1与35°的角组成1个平角，1平角＝180°，所以用180°减35°即可求出∠1的度数。 【详解】∠1＝180°－35°＝145° ∠2＝90°－30°＝60° 答：∠1是145°，∠2是60°。 【名师点评】熟记直角与平角的特点，此题重点考查学生对平角、直角的认识。 17．∠1＝40°；∠2＝140°；∠3＝40° 【思路分析】∠2与∠3组成一个平角，1平角＝180°，220°减180°即可求出∠1的度数，因为∠1与∠3度数相等，再用180°减∠1的度数即可求出∠2的度数。 【详解】∠1＝220°－（∠2＋∠3）＝220°－180°＝40° ∠3＝∠1＝40° ∠2＝180°－∠3＝180°－∠1＝180°－40°＝140° 【名师点评】此题利用∠2与∠3组成的大角是平角，求出∠1的度数，进而再利用平角求∠2的度数。 18．80° 【思路分析】 如上图：折成∠1的部分还原后正好是∠4，折成∠2的部分还原后正好是∠5，∠4＝∠1＝30°， ∠5＝∠2＝20°，用180°减去2个30°的和再减去2个20°的和，求出∠3的度数。 【详解】180°－2×30°－2×20° ＝180°－60°－40° ＝120°－40° ＝80° 答：∠3的度数是80°。 【名师点评】本题主要考查了线段与角的综合，折叠产生两个相等的角，这是解答本题的关键。 19．（1）太平村 （2）五阳村 【思路分析】（1）两点之间线段最短，先用一条线段把南华村和太平村连起来，用一条线段把南华村和五阳村连起来，再比较这两条线段的长短； （2）从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短，这条垂直线段的长度叫做点到直线的距离。据此可知，分别从太平村、五阳村向小河边作垂线，再比较这两条垂线的长短。 【详解】画图如下： （1）如上图可知：南华村离太平村更近。 （2）如上图可知：五阳村离小河更近。 【名师点评】解答此题的关键是明确两点之间线段最短以及连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 20．图见详解过程 （1）一条 （2）无数条 （3）六条 【思路分析】（1）依据“两点确定一条直线”可知：过点A可以画一条直线，据此解答即可； （2）根据射线的特点：有一个端点，无限长，不可以度量；可以得出由一点可以引出无数条射线，由此解答即可； （3）因为任意两个点确定一条线段，所以分别以上面的点为起始点向其它的点画出线段即可。 【详解】（1）如图1所示过点A可以画一条直线。 （2）如图1所示以点A为端点可以画无数条射线。 （3）如图2所示每两点之间画一条线段，如下四点可以画六条线段。 【名师点评】（1）本题考查直线、射线、及线段的知识，属于基础题，注意掌握基本概念是关键。 （2）此题考查了射线的特点。 （3）关键是利用分类的方法，画出题中的线段，注意不要重复和遗漏。 21．（1）120；60；（2）见详解 【思路分析】（1）角的度量方法：用量角器量角时，先把量角器的中心与角的顶点重合， 0°刻度线与角的一条边重合。角的另一条边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数。 （2）根据上图可知，从黑点作BC边的垂线段，沿垂线段爬行路线最短。 【详解】（1）在下面的平行四边形中、∠A＝120度、∠B＝60度。 （2） 【名师点评】本题主要考查学生对角的度量方法和垂线画法的掌握。 22．见详解 【思路分析】设计的污水排放管道要是最短的，即工厂到污水处理厂的距离最短，要使距离最短即作垂线段。 【详解】 理由：直线外一点到直线上所有连线中垂直线段最短。 【名师点评】点到直线的最短距离为从这点到直线的垂线段。 23．50° 【思路分析】由图可知：∠1和中间的未知角组成直角；50°的角也和中间未知角组成直角；由此可得∠1和50°的角相等。 【详解】∠1＝90°－（90°－50°） ∠1＝90°－40° ∠1＝50° 所以∠1＝50°。 【名师点评】应明确：∠1＋中间未知角＝中间未知角＋50°＝90°，是解答此题的关键。 24．图见详解；2 【思路分析】（1）把三角板的一条直角边与已知直线重合，沿直线移动三角板，使三角板的另一条直角边和A点重合，过A点沿三角板的直角边，向已知直线画直线即可； （2）把三角板的一条直角边与已知直线重合，用直尺靠紧三角板的另一条直角边，沿直尺移动三角板，使三角板的原来和已知直线重合的直角边和A点重合，过A点沿三角板的直角边画直线即可； （3）利用刻度尺测量出点A与垂足之间的线段的长度，就是点A到直线的距离。 【详解】如图所示： 点A到直线的距离是2厘米。 【名师点评】本题考查了学生平行线和垂线的作法，培养学生的作图能力。 25．∠2=60° 【思路分析】观察图形可知，∠2与30°的角组成一个直角，所以∠2=90°﹣30°，据此即可解答． 【详解】∠2=90°﹣30°=60°， 答：∠2=60°． 26．∠2＝130°；∠3＝50°；∠4＝130° 【思路分析】观察图形可知，两条直线相交，组成的四个角中，每相邻的两个角都组成一个平角，据此利用平角的度数和∠1＝50°，即可分别计算出∠2、∠3、∠4的度数。 【详解】∠2＝180°﹣50°＝130° ∠3＝180°﹣130°＝50° ∠4＝180°﹣50°＝130° 【名师点评】解答此题的关键是利用图形中的特殊角：平角的度数进行计算解答。 27．太平；A   从小华家到小河B段画垂直线段 【解析】略 28．互相平行 【思路分析】解答此题依据垂直于同一条直线的两条直线互相平行，据此解答即可． 【详解】 因为森林北路和森林南路都垂直于森林东路，所以森林北路和森林南路是互相平行的． 29．两点之间线段最短，为了省距离。 【详解】根据两点之间，线段最短，学生为了省距离，就从草坪上直接踏过，走出一条径直的小路。 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$