精品解析：上海市南洋模范中学2024-2025学年高三上学期开学考试数学试卷

南洋模范中学高三开学考数学试卷 2024.09 一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分） 1. 已知a，b均为实数，，则___________. 2. 的展开式中，常数项为______． 3. 已知平面向量的夹角为，则___________ 4. 不等式的解集为________． 5. 设，若，则实数的取值为______. 6. 圆的半径的最大值为______. 7. 已知，则______. 8. 已知点为双曲线右支上的一点，点，分别为双曲线的左、右焦点，若M为的内心，且，则双曲线的离心率为________． 9. 在一座尖塔的正南方向地面某点，测得塔顶的仰角为，又在此尖塔北偏东地面某点，测得塔顶的仰角为，且，两点距离为，在线段上的点处测得塔顶的仰角为最大，则点到塔底的距离为______m. 10. 已知是定义在上的奇函数，且，都有，当时，，则函数在区间内所有零点之和为______． 11. 已知函数若存在实数满足，且，则的取值范围为__________. 12. 定义：对于函数和数列，若，则称数列具有“函数性质”.已知二次函数图象的最低点为，且，若数列具有“函数性质”，且首项为1的数列满足，记的前项和为，则数列的最小值为__________. 二、单选题（本大题共4题，满分20分） 13. 某校高一年级个班参加艺术节合唱比赛，通过简单随机抽样，抽得个班的比赛得分如下：，则这组数据的分位数为（ ） A. B. C. D. 14. 已知两条不同的直线m，n，两个不同的平面，，则（ ） A. 若∥，，，则∥ B. 若，，，则 C. 若，，则∥ D. 若，，∥，则∥ 15. 已知函数．若存在，，使得，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 16. 在平面直角坐标系中，定义为两点，的“切比雪夫距离”，又设点与直线上任意一点，称的最小值为点与直线间的“切比雪夫距离”，记作，给定下列两个命题： ①已知点，直线，则； ②定点、，动点满足则点的轨迹与直线（为常数）有且仅有2个公共点；下列说法正确的是（ ） A. 命题①成立，命题②不成立 B. 命题①不成立，命题②成立 C. 命题①②都成立 D. 命题①②都不成立 三、解答题（本大题共5题，满分76分） 17. 如图，在直三棱柱中，所有棱长均为4，D是AB的中点． （1）求证：平面； （2）求异面直线与所成角的正弦值． 18. 已知函数是定义在上的奇函数. （1）求的解析式； （2）求当时，函数的值域. 19. 某大学数理教学部为提高学生的身体素质，并加强同学间的交流，特组织以“让心灵沐浴阳光，让快乐充满胸膛”为主题的趣味运动比赛，其中A、B两名学生进入趣味运动比赛的关键阶段，该比赛采取累计得分制，规则如下：每场比赛不存在平局，获胜者得1分，失败者不得分，其中累计得分领先对方2分即可赢得最终胜利，但本次比赛最多进行6场．假设每场比赛中A同学获胜的概率均为，且各场比赛的结果相互独立． （1）求趣味比赛进行到第2场时比赛就结束的概率； （2）此次趣味比赛中记比赛停止时已比赛的场数为X，求X的分布列及数学期望． 20. 已知椭圆，点、分别为椭圆的左、右焦点. （1）若椭圆上点满足，求的值； （2）点为椭圆的右顶点，定点在轴上，若点为椭圆上一动点，当取得最小值时点恰与点重合，求实数的取值范围； （3）已知为常数，过点且法向量为的直线交椭圆于、两点，若椭圆上存在点满足（），求的最大值. 21. 我们把底数和指数同时含有自变量的函数称为幂指函数，其一般形式为.幂指函数在求导时，可以将函数“指数化”再求导.例如，对于幂指函数，. （1）已知，，求曲线在处的切线方程； （2）若且，研究函数的单调性； （3）已知，，，均大于0，且，讨论和的大小关系. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南洋模范中学高三开学考数学试卷 2024.09 一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分） 1. 已知a，b均为实数，，则___________. 【答案】21 【解析】 【分析】直接由复数的乘法及复数相等求解即可. 【详解】根据可得到， 故，，求得， 所以. 故答案为：21 2. 的展开式中，常数项为______． 【答案】3 【解析】 【分析】先求出展开式中的通项公式，然后令的指数为0求解. 【详解】由展开式中的通项公式为：， 令，则， 故展开式中的常数项为：， 故答案为：3. 3. 已知平面向量的夹角为，则___________ 【答案】 【解析】 【分析】由向量的数量积运算及运算律可求得答案. 【详解】， 所以． 故答案为：. 4. 不等式的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】由于恒成立，所以将解分式不等式问题转化为解一元二次不等式，则答案可得. 【详解】因为，所以恒成立， 所以， 所以，， 所以． 故答案为：. 5. 设，若，则实数的取值为______. 【答案】 【解析】 【分析】解二次方程化简集合，即可根据分别求解. 【详解】， 由，可得，故， 当时，， 当时，， 当时，， 故实数的取值为. 故答案为：. 6. 圆的半径的最大值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】化为圆的标准方程求出半径，根据的范围利用抛物线的单调性可得答案. 【详解】由可得， 当表示圆，即解得的取值范围是， 半径为， 是开口向下对称轴为的抛物线，在单调递增， 在单调递减，所以时最大值为. 故答案为：． 7. 已知，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】利用辅助角公式求出，再利用诱导公式和二倍角公式求解即可． 【详解】， ∴，则，故， ， 故答案为： 8. 已知点为双曲线右支上的一点，点，分别为双曲线的左、右焦点，若M为的内心，且，则双曲线的离心率为________． 【答案】 【解析】 【分析】设出内切圆半径，由三角形面积等式，结合双曲线定义可得关系，进而求出离心率. 【详解】设内切圆半径为，由题意知， 所以， 即，由点为双曲线右支上的一点， 则， 故双曲线的离心率. 故答案为：. 9. 在一座尖塔的正南方向地面某点，测得塔顶的仰角为，又在此尖塔北偏东地面某点，测得塔顶的仰角为，且，两点距离为，在线段上的点处测得塔顶的仰角为最大，则点到塔底的距离为______m. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可确定，，设尖塔高为，则，，在中解三角形即可. 【详解】 如图，尖塔为，设， 则由题意可知，，， 在中，由余弦定理可知， 即，解得，即，， 由线段上的点处测得塔顶的仰角为最大可知， 故，即， 得， 故答案为： 10. 已知是定义在上的奇函数，且，都有，当时，，则函数在区间内所有零点之和为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数是奇函数结合得出函数的周期，再应用数形结合转化为零点是函数的交点横坐标，最后应用对称性即可求出零点和. 【详解】奇函数，对于都有， ，则，即， 则函数是周期为4的周期函数．且关于直线对称， 作出函数与的图象知共有5个交点，其横坐标从小到大依次为， 所以，，，， 则，故在内所有的零点之， 故答案为:． 11. 已知函数若存在实数满足，且，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出每一段函数的值域，然后由题意得到，根据，可将化简为，构造函数，利用导数求最值即可. 【详解】结合解析式可知当时，；当时，. 因为，所以. 令，得，则， 故. 令，则， 令得；令得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 当时，， 因为，所以. 所以的取值范围为. 故答案为： 12. 定义：对于函数和数列，若，则称数列具有“函数性质”.已知二次函数图象的最低点为，且，若数列具有“函数性质”，且首项为1的数列满足，记的前项和为，则数列的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用二次函数的性质求解析式，再利用数列的递推思想构造等比数列，即可求和，从而用数列的单调性来求出最小值. 【详解】由二次函数最低点为可知：， 又，所以， 则.由题意得， 又由，得， 因为，所以， 即，又， 所以，则，即， 故是以1为首项，2为公比的等比数列，所以. 令.，则， 故当时，，当时，， 故. 故答案为：. 【点睛】方法点睛，根据二次递推，则需要通过构造两边对数，来得到等比数列递推关系. 二、单选题（本大题共4题，满分20分） 13. 某校高一年级个班参加艺术节合唱比赛，通过简单随机抽样，抽得个班的比赛得分如下：，则这组数据的分位数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将比赛得分从小到大重新排列，结合百分位数定义求其分位数. 【详解】将比赛得分从小到大重新排列：， 因为， 所以这组数据的分位数是第个数. 故选：A. 14. 已知两条不同的直线m，n，两个不同的平面，，则（ ） A. 若∥，，，则∥ B. 若，，，则 C. 若，，则∥ D. 若，，∥，则∥ 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，由题意可得m，n可能平行，也可能异面，即可判断；对于B，由题意可得能有，也可能有∥，也可能平面，相交，即可判断；对于C，由题意可得有可能是∥，也可能，即可判断；对于D，根据线面平行的性质定理即可判断. 【详解】解：对于A，若∥，，，则m，n可能平行，也可能异面，故A错误； 对于B，若，，，则可能有，也可能有∥，也可能平面，相交，故B错误； 对于C，若，，则有可能是∥，也可能，故C错误， 对于D，根据线面平行的性质定理可知若，，∥，则∥，故D正确， 故选：D. 15. 已知函数．若存在，，使得，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可知，或者，，即可求解. 【详解】由， 因，必有，或者，， 由，，分别得到，． 于是，，或者，，得的最大值为． 故选：D． 16. 在平面直角坐标系中，定义为两点，的“切比雪夫距离”，又设点与直线上任意一点，称的最小值为点与直线间的“切比雪夫距离”，记作，给定下列两个命题： ①已知点，直线，则； ②定点、，动点满足则点的轨迹与直线（为常数）有且仅有2个公共点；下列说法正确的是（ ） A. 命题①成立，命题②不成立 B. 命题①不成立，命题②成立 C. 命题①②都成立 D. 命题①②都不成立 【答案】C 【解析】 【分析】对于①，设点是直线上一点，且，可得，讨论与的大小，可得距离，再由函数的性质，可得最小值；对于②，根据定义得，再根据对称性进行讨论，求得轨迹方程，即可判断． 【详解】对于①，设点Q是直线上一点，且，可得， 由，解得，即有， 当时，取得最小值； 由，解得或，即有， 的范围是，无最值， 综上可得，P，Q两点的“切比雪夫距离”的最小值为，故①正确； 对于②，定点、，动点， 满足， 则：， 显然上述方程所表示的曲线关于原点对称，故不妨设，. 当时，有，得：； 当时，有，此时无解； 当时，有，； 则点P的轨迹是如图所示的以原点为中心的两支折线. 结合图像可知，点的轨迹与直线（为常数）有且仅有2个公共点，因此②正确， 故选：C. 【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好基础知识，以不变应万变才是制胜法宝. 三、解答题（本大题共5题，满分76分） 17. 如图，在直三棱柱中，所有棱长均为4，D是AB的中点． （1）求证：平面； （2）求异面直线与所成角的正弦值． 【答案】（1）证明过程见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接交于，利用三角形中位线定理，结合线面平行的判定定理进行证明即可； （2）根据（1）的结论，结合异面直线所成角定理、直棱柱的性质、余弦定理、同角的三角函数关系式进行求解即可. 【小问1详解】 连接交于， 在直三棱柱中，所有棱长均为4， 因此四边形是正方形，所以是的中点，而D是AB的中点， 因此有，而平面，平面， 所以平面； 【小问2详解】 由（1）可知：， 因此异面直线与所成角为（或其补角）， 因为是正方形，所以， 在直三棱柱中，所有棱长均为4， 因此四边形是正方形，因此有， 在直三棱柱中，侧棱垂直于底面，因此也就垂直底面中任何直线， 因此有， 由余弦定理可知：， 因此. 18. 已知函数是定义在上的奇函数. （1）求的解析式； （2）求当时，函数的值域. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用奇函数定义及性质，列式计算求出，作答. （2）由（1）的结论，求出函数的解析式，利用换元法转化为二次函数求出值域即可. 【小问1详解】 由函数是上的奇函数，则有，解得， 所以， ，， 即，，解得， 经验证得，时，是奇函数， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，， 令，，则， 于是函数变为， 对称轴为，所以在单调递减，在单调递增， 因此当时，，当时，， 所以函数的值域为. 19. 某大学数理教学部为提高学生的身体素质，并加强同学间的交流，特组织以“让心灵沐浴阳光，让快乐充满胸膛”为主题的趣味运动比赛，其中A、B两名学生进入趣味运动比赛的关键阶段，该比赛采取累计得分制，规则如下：每场比赛不存在平局，获胜者得1分，失败者不得分，其中累计得分领先对方2分即可赢得最终胜利，但本次比赛最多进行6场．假设每场比赛中A同学获胜的概率均为，且各场比赛的结果相互独立． （1）求趣味比赛进行到第2场时比赛就结束的概率； （2）此次趣味比赛中记比赛停止时已比赛的场数为X，求X的分布列及数学期望． 【答案】（1） （2）分布列： 2 4 6 数学期望为 【解析】 【分析】（1）根据独立重复试验的概率公式计算即可； （2）的取值可能是，分别求出概率，即可写出分布列，根据数学期望的公式计算即可． 【小问1详解】 由题可知，A同学连胜2场或连败2场，则其概率． 【小问2详解】 由题可知，的取值可能是， 由（1）知，， 当时，前2场打平，后两场连胜或连败， 则， ， 所以分布列为： 2 4 6 所以数学期望． 20. 已知椭圆，点、分别为椭圆的左、右焦点. （1）若椭圆上点满足，求的值； （2）点为椭圆的右顶点，定点在轴上，若点为椭圆上一动点，当取得最小值时点恰与点重合，求实数的取值范围； （3）已知为常数，过点且法向量为的直线交椭圆于、两点，若椭圆上存在点满足（），求的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设点，然后代入椭圆方程，即可求出，再根据椭圆定义求； （2）设，求出，根据二次函数在给定区间上的最值要求列不等式求解； （3）设直线的方程为，与椭圆联立，写出韦达定理，再根据求出的坐标，代入椭圆方程，利用韦达定理计算，利用基本不等式求最值. 【小问1详解】 因为，所以设点， 则，所以，即， 所以； ； 【小问2详解】 设，则，， 则， 所以，， 要时取最小值，则必有， 所以； 【小问3详解】 设过点且法向量为的直线的方程为，， 联立，消去得， 则， 则， ， 又， 又点在椭圆上，则， 所以， 即， 所以， 所以， 所以， 即的最大值为. 21. 我们把底数和指数同时含有自变量的函数称为幂指函数，其一般形式为.幂指函数在求导时，可以将函数“指数化”再求导.例如，对于幂指函数，. （1）已知，，求曲线在处的切线方程； （2）若且，研究函数的单调性； （3）已知，，，均大于0，且，讨论和的大小关系. 【答案】（1） （2）在单调递增. （3）当时， ； 当时， 【解析】 【分析】（1）根据幂指函数的求导法则结合导数的几何意义求解即可； （2）根据幂指函数的求导法则结合导数和函数单调性的联系求解即可； （3）构造函数，利用函数单调性求解即可. 【小问1详解】 ， 故， ，且， 故切线方程为，即 【小问2详解】 ， 故 ， 设，， 则， 故当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以， 即，故在单调递增. 【小问3详解】 设，则， 设， 由在单调递增知，在单调递增. 故当时，，即， 即， 当时，，即， 即. 综上，当时， ； 当时， 【点睛】关键点点睛：本题是导数中的新定义问题，关键是明确幂指函数的求导法则，然后结合函数的单调性比较大小即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $