精品解析：天津市武清区天和城实验中学2024-2025学年高三第一次月考数学试题

2024-2025天津市武清区天和城实验中学一轮复习 月考试题 一.选择题（每小题5分，共45分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，角以为始边，其终边经过点，则（ ） A. B. C. 2 D. 3. 将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，则“”是“函数为偶函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4 已知向量，满足，，，则（ ） A. 1 B. C. D. 5. ，点边上，，设，则（ ） A. B. C. D. 6. 设，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 等差数列中，，且，，，构成等比数列，则公差（ ） A. 0或2 B. 2 C. 0 D. 0或 8. 若函数在其定义域内单调递增，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数在处取得极小值1，则在区间上的最大值为（ ） A 2 B. 4 C. 6 D. 8 二.填空题（每小题5分，共30分） 10. 若复数满足，则对应的点位于第_______象限. 11. ，向量在方向上的投影___________. 12. 已知向量，，则与的夹角为钝角时，的取值范围为__________. 13. 在中，已知，，，为边的中点.若，垂足为，则的值为__. 14. 已知函数，若将的图象向左平行移动个单位长度后得到的图象，则把的图象向右至少平行移动________个单位可得到的图象． 15. 已知函数.下列结论正确是___________.①的一个对称中心为；②是的最大值；③在上单调递增；④把函数的图象上所有点向右平行移动个单位长度后，再向上平移个单位长度，可得到的图象. 三.解答题（每小题15分，共75分） 16. 已知. （1）若，求； （2）若，求. 17. 如图所示，平行四边形中，，，，， 试用向量，来表示，． 18. 设函数，. （1）求的最小正周期和对称中心； （2）若函数的图像向左平移个单位得到函数的图像，求函数在区间上的值域. 19. 已知的内角的对边分别为，且. （1）求角的大小； （2）若，求的面积； （3）若，求. 20. 记为等差数列的前项和，已知． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 21. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积； （2）求的单调区间和极小值． 22. 已知函数，求： （1）函数的图象在点处的切线方程； （2）的单调递减区间； （3）求的极大值和极小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025天津市武清区天和城实验中学一轮复习 月考试题 一.选择题（每小题5分，共45分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简集合，结合交集的概念即可得解. 【详解】因为，， 所以. 故选：B. 2. 在平面直角坐标系中，角以为始边，其终边经过点，则（ ） A B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数的定义即可求解. 【详解】由三角函数的定义可知， 故选：A 3. 将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，则“”是“函数为偶函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意求出函数解析式，然后通过函数是偶函数求出的取值范围，最后与进行对比，即可得出“”与“为偶函数”之间的关系． 【详解】因为函数的图像向右平移个单位长度后得到函数的图像， 所以， 因为为偶函数， 所以，即， 当时，可以推导出函数为偶函数， 而函数为偶函数不能推导出， 所以“”是“为偶函数”的充分不必要条件. 故选：A 4. 已知向量，满足，，，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合已知条件，首先对两边同时平方求出，然后利用求解即可. 【详解】因为，， 所以，即， 故. 故选：D. 5. ，点在边上，，设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的线性运算求得正确答案. 【详解】依题意， . 故选：B 6. 设，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数以及对数的单调性即可求解. 【详解】因为，所以，因为，所以. 因为，所以，所以. 故选：D 7. 在等差数列中，，且，，，构成等比数列，则公差（ ） A. 0或2 B. 2 C. 0 D. 0或 【答案】A 【解析】 【分析】根据等比中项的性质和等差数列的通项公式建立方程，可解得公差d得选项. 【详解】解：因为在等差数列中，，且，，，构成等比数列，所以，即， 所以，解得或， 故选：A. 8. 若函数在其定义域内单调递增，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将问题转化在上恒成立，利用基本不等式可得. 【详解】的定义域为，， 因为函数在其定义域内单调递增， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 因为，当且仅当时，等号成立， 所以，所以. 故选：B 9. 已知函数在处取得极小值1，则在区间上的最大值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数在处取得极小值1求出，利用导数判断出区间上的单调性，求出极值、端点值可得答案. 【详解】， 因为函数在处取得极小值1， 所以，解得， 可得，且，解得， ，， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，， ，， 则在区间上的最大值为6. 故选：C. 二.填空题（每小题5分，共30分） 10. 若复数满足，则对应点位于第_______象限. 【答案】四 【解析】 【分析】根据给定条件，利用复数的除法求出即可得解. 【详解】依题意，， 所以复数对应的点位于第四象限. 故答案为：四 11. ，向量在方向上的投影___________. 【答案】## 【解析】 【分析】结合数量积的公式以及余弦定义即可求得结果. 【详解】由题知，令与的夹角为， 则， 则向量在方向上的投影为. 故答案为： 12. 已知向量，，则与的夹角为钝角时，的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据与的夹角为钝角利用平面向量的夹角公式列出不等式，但是要排除两个向量成角时的情况. 【详解】因为与的夹角为钝角，所以， 即，所以，解得， 同时向量，也不能成的角， 所以， 所以的取值范围为. 故答案为：. 13. 在中，已知，，，为边的中点.若，垂足为，则的值为__. 【答案】 【解析】 【分析】 在中，由余弦定理即可求出，从而得出，并求出，这样在中，由余弦定理即可求出的值，从而求出，这样在中即可求出、、的值，而，从而可求出数量积的的值． 【详解】在中，由余弦定理可得 ，则， 则，再由余弦定理，， 在中，，则 所以， 则在中，，， ， 则 故答案为：． 【点睛】本题考查余弦定理的应用，直角三角形的边角关系，向量加法的几何意义，相反向量的概念，以及数量积的运算． 14. 已知函数，若将的图象向左平行移动个单位长度后得到的图象，则把的图象向右至少平行移动________个单位可得到的图象． 【答案】## 【解析】 【分析】根据辅助角公式结合图象平移可得，根据题意结合图象平移分析可得，运算求解即可. 【详解】∵， 将的图象向左平行移动个单位长度后得到， 把的图象向右平行移动个单位，可得， 由题意可得，故， 解得， 注意到，可得当时，取到最小值. 故答案为： 15. 已知函数.下列结论正确的是___________.①的一个对称中心为；②是的最大值；③在上单调递增；④把函数的图象上所有点向右平行移动个单位长度后，再向上平移个单位长度，可得到的图象. 【答案】②③④ 【解析】 【分析】先利用三角函数恒等变换有关公式，把函数化成的形式，再结合三角函数的性质判断各项内容的准确性. 【详解】因为. 对①：由函数性质，函数的对称中心的纵坐标为，故①错误； 对②：因为，是函数的最大值，故②正确； 对③：由，，得：，. 所以函数在，上为增函数. 令，得函数在上为增函数.故③正确； 对④：将函数的图象上所有点向右平行移动个单位长度，可得函数的图象，再把函数向上平移个单位长度，可得到的图象，即为函数的图象，故④正确. 故答案为：②③④ 三.解答题（每小题15分，共75分） 16. 已知. （1）若，求； （2）若，求. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用向量线性运算的坐标表示及共线向量的坐标表示，列式计算即得. （2）由（1）中信息，利用垂直关系的坐标表示，列式计算即得. 【小问1详解】 由，得， ，而， 则，所以. 【小问2详解】 由（1）知，，， 由，得， 所以. 17. 如图所示，平行四边形中，，，，， 试用向量，来表示，． 【答案】， 【解析】 【分析】根据向量加减、数乘的几何意义，结合题设条件及数形结合法，应用、表示、即可. 【详解】由，即， 所以， 由，则， 所以； 18. 设函数，. （1）求的最小正周期和对称中心； （2）若函数的图像向左平移个单位得到函数的图像，求函数在区间上的值域. 【答案】（1）的最小正周期为，对称中心为；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换公式化简函数的解析式为，根据正弦函数的图象与性质即可求解的最小正周期与对称中心；（2）根据三角函数图象变换规则求出的解析式，判断函数在上的单调性从而求得值域. 【详解】（1） 令，解得， 所以的最小正周期为，对称中心为； （2）函数的图像向左平移个单位得到函数， 令，解得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 因为， 所以函数在区间上的值域为. 【点睛】本题考查三角恒等变换，求正弦型函数的周期性、对称性与单调性，三角函数图象变换规则，属于中档题. 19. 已知的内角的对边分别为，且. （1）求角的大小； （2）若，求的面积； （3）若，求. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）首先分析题意，利用正弦定理进行边角互化，进而通过特殊角的余弦值求解即可. （2）通过余弦定理列出方程，求解关键边长，进而求出三角形面积即可. （3）通过正弦定理判断角为锐角，利用二倍角公式结合两角和的正弦公式求解即可. 【小问1详解】 由正弦定理得：， ， 显然则， 又，故； 【小问2详解】 ， 由余弦定理可得，整理可得， 又，解得， 【小问3详解】 由正弦定理得：，则， ，即，则，故为锐角， ， ， ， 20. 记为等差数列的前项和，已知． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意列式求解，进而可得结果； （2）先求，讨论的符号去绝对值，结合运算求解. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 由题意可得，即，解得， 所以， 【小问2详解】 因为， 令，解得，且， 当时，则，可得； 当时，则，可得 ； 综上所述：. 21. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积； （2）求的单调区间和极小值． 【答案】（1） （2）的增区间为，，减区间为；的极小值为 【解析】 【分析】（1）由切点为，求出切线斜率，写出切线的点斜式方程，得到切线方程的横纵截距，即可求得切线与坐标轴围成的三角形的面积； （2）由导数的正负，解出的定义域内的范围，即可求出的单调区间，由的单调情况，可以得到的极小值． 【小问1详解】 因为，定义域为， 所以，， 则，又， 所以曲线在点处的切线方程为，即， 令得，令得， 故所求三角形的面积为． 【小问2详解】 因为，， 令得或， 令得或，令得， 又函数的定义域为， 所以的增区间为，，减区间为， 所以的极小值为． 22. 已知函数，求： （1）函数的图象在点处的切线方程； （2）的单调递减区间； （3）求的极大值和极小值． 【答案】（1） （2）， （3）极大值为，极小值为 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义可求得切线斜率，进而得到切线方程； （2）根据导函数的正负即可确定所求的单调区间； （3）根据（2）可求极值. 【小问1详解】 由题意得：， ，又， 图象在处的切线方程为，即. 【小问2详解】 由（1）知：， 当时，；当时，； 的单调递减区间为，. 【小问3详解】 根据（2）可知，当为函数的极小值点，且， 当为函数的极大值点，且， 所以的极大值为，极小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$