11.2与三角形有关的角 讲义2024－2025学年人教版数学八年级上册

11.2与三角形有关的角讲义-数学八年级上册人教版 高频考点梳理 1．三角形内角和定理 （1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°． （2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°． （3）三角形内角和定理的证明 证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线． （4）三角形内角和定理的应用 主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角． 2．三角形的外角性质 （1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角． 三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对． （2）三角形的外角性质： ①三角形的外角和为360°． ②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． ③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角． （3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去． （4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角． 3．直角三角形的性质 （1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形． （2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质： 性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）． 性质2：在直角三角形中，两个锐角互余． 性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点） 性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积． 性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°． 清易错 1．如图，在△ABC中，∠B＝38°，∠C＝60°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线．求∠DAE的度数． 【解答】解：∵∠B＝38°，∠C＝60°， ∴∠BAC＝180°﹣38°﹣60°＝82°， ∵AE是∠BAC平分线， ∴， ∵AD是BC边上的高，∠B＝38°， ∴∠BAD＝180°﹣38°﹣90°＝52°， ∴∠DAE＝∠BAD﹣∠BAE＝52°﹣41°＝11°． 2．如图，AD⊥BC，EF⊥BC，∠1＝∠2． （1）求证：∠3＝∠C； （2）若DG⊥AB，且∠2＝2∠3，求∠DAC的度数． 【解答】（1）证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC， ∴AD∥EF， ∴∠2＝∠DAC， ∵∠1＝∠2， ∴∠1＝∠DAC， ∴AC∥GD， ∴∠3＝∠C． （2）解：∵∠2＝2∠3，∠1＝∠2， ∴∠1＝2∠3， ∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， ∴∠1+∠3＝3∠3＝90°， ∴∠3＝30°，∠1＝60°， ∴∠1＝∠DAC＝60°． 3．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，CE平分∠ACB，若∠CAD＝20°，∠B＝50°，求∠AEC的度数． 【解答】解：∵AD是BC边上的高， ∴∠ADC＝90°， ∵∠CAD＝20°， ∴∠ACD＝90°﹣20°＝70°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝180°﹣50°﹣70°＝60°， ∵CE平分∠ACB， ∴∠ACE＝ACB＝35°， ∴∠AEC＝180°﹣∠EAC﹣∠ACE＝180°﹣60°﹣35°＝85°． 精选好题 一、单选题 1．如图，已知点是的边延长线上一点，且满足，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图为商场某品牌一张椅子的侧面图，已知，，，则（    ） A． B． C． D． 3．在下列条件中：①；②；③；④；⑤；能确定为直角三角形的条件有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．如图，在中，，，过点A作，则的度数是（　　） A． B． C． D． 5．具备下列条件的中，不是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 6．如图，在中，平分，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点在的延长线上，点、分别为直角顶点，且，，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 8．潮州市的广济桥是中国古代著名桥梁之一，如图中的照片是某处栏杆的拐角，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，直线，直线，，则 ． 10．在直角三角形中，比的3倍还多，则的大小为 ． 11．将一把直尺与一块三角板在同一平面内按如图所示的方式放置，若，则的度数为 ． 12．在中，，，则是 三角形．（填“锐角”“直角”或“钝角”） 13．如图，，分别是的高和角平分线，，，则的度数为 ． 14．如图1，已知直线，且和分别相交于A，B两点，和分别交于C，D两点，点P在线段上若，则 ． 15．如图，已知线段与直线的夹角，点在上，点是直线上的一个动点，将沿折叠，使点落在点处，当时，则 度．    16．如图，中，，，平分，于D，，则的度数 ． 三、解答题 17．已知：如图，在中，是角平分线，E为边上一点，连接，过点E作，垂足为F． (1)说明：； (2)若，求的度数． 18．如图，在中，是高，是角平分线，它们相交于点O，． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 19．如图，C在上，，．    (1)求证：平分； (2)连接，若，，求的度数． 20．如图1，将三角板与三角板摆放在一起；如图2，其中，，．固定三角板，将三角板绕点按顺时针方向旋转，记旋转角． (1)在旋转过程中，当为多少度时； (2)在旋转过程中，试探究与之间的关系； 21．已知在中，，过点D作，垂足为E，为的一条角平分线，为的平分线． (1)如图1，若，点G在边上且不与点B重合． ①判断与的数量关系，并说明理由， ②判断与的位置关系，并说明理由； (2)如图2，若，点G在边上，与交于点M，用含有的代数式表示，则 ； (3)如图3，若，点G在边上，与的延长线交于点H，用含有的代数式表示，并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C C A C B A C 1．B 【分析】本题考查了三角形的外角性质， “三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”；由是的外角，利用三角形的外角性质，即可求出的度数． 【详解】解：是的外角， ． 故选：B． 2．C 【分析】本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理，先根据两直线平行，内错角相等得到，再根据三角形内角和定理可求得结果，正确求出角度是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 即， 故选：C． 3．C 【分析】本题考查了三角形内角和定理和直角三角形的定义，根据已知条件，熟练运用三角形内角和定理进行求解判定是解题的关键．根据已知条件，结合三角形内角和定理，如果有一个角是，则可确定为直角三角形． 【详解】解：①∵ ， ∴， ∵， ∴，故可确定为直角三角形； ②∵，， ∴， 解得： ， 则，故不能确定为直角三角形； ③， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴，故可确定直角三角形； ④∵，， ∴， ∴，故可确定直角三角形； ⑤∵， ∴， ∵， ∴， 解得： ， 故不能确定为直角三角形． 综上，能确定为直角三角形的条件有3个． 故选：C． 4．A 【分析】本题考查了三角形内角和，平行线的性质，利用三角形内角和定理求出，再根据两直线平行内错角相等，即可作答． 【详解】∵，，， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 5．C 【分析】此题主要考查了三角形的内角和定理，解答此题的关键是要明确三角形的内角和是．根据三角形的内角和是，分别求出每个三角形中、、的度数各是多少，即可判断三角形的形状． 【详解】解：．， ， 是直角三角形， 选项不符合题意； ．， ，，， 是直角三角形， 选项不符合题意； ．， ，， 不是直角三角形， 选项符合题意； ．， ，， 是直角三角形， 选项不符合题意． 故选：． 6．B 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形外角性质，直角三角形两锐角互余等知识，根据角平分线定义求得，根据直角三角形的两个锐角互余求得，再根据三角形的外角的性质即可求得的度数． 【详解】解：平分，，， ， ， ， ． 故选：B． 7．A 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题关键．由两直线平行，同旁内角互补，可得，再结合三角形外角的性质，即可求出的度数． 【详解】解：，， ， ，， ，， ， ， 故选：A． 8．C 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角性质，掌握两直线平行，同位角相等和三角形外角性质是解题的关键． 根据平行线的性质和三角形外角性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵，， ∴． 故选：C． 9．30 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角性质，根据两直线平行，同位角相等，求出的度数，根据三角形的外角的性质，得到，即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：30． 10．或 【分析】本题主要考查了直角三角形两锐角互余，解题的关键是注意进行分类讨论，分两种情况：当为直角时，当为直角时，分别求出结果即可． 【详解】解：当为直角时，， 当为直角时，， ∵比的3倍还多， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：或． 11．/40度 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键，根据平行线的性质可得，然后利用三角形外角的性质进行计算即可解答． 【详解】解：如图：    由题意得：， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 12．钝角 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，结合三角形的内角和为，求出与的度数，再判断三角形的类型即可．解题的关键是掌握：三角形的内角和为． 【详解】解：∵，，， ∴， 解得：， ∴， ∴是钝角三角形． 故答案为：钝角． 13．16 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、三角形的角平分线和高等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．首先根据三角形内角和定理可得的值，结合角平分线的性质可得，再根据是的高解得的值，然后根据求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 又∵是的高， ∴， ∴， ∴． 故答案为：16． 14． 【分析】本题主要考查平行线的性质和三角形内角和定理，利用平行线性质和三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 在中，， ∴； 故答案为：； 15．110或70 【分析】本题考查了平行线的性质，翻折变换（折叠问题），分两种情况讨论是解题的关键． 分两种情况：当点N在射线上运动时；当点N在射线上运动时；然后分别进行计算，即可解答． 【详解】分两种情况： 当点N在射线上运动时，如图：    延长到D， ∵， ∴， 由折叠得：， ∵， ∴， ∴， ∴； 当点N在射线上运动时，如图：    延长到E， 由折叠得：， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述：当时，则或， 故答案为：或． 16． 【分析】本题考查了三角形的内角和以及角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和以及角平分线的定义是解题的关键．首先根据三角形的内角和定理求得的度数，根据角平分线的定义求得的度数，则可以求解，然后在中，利用内角和定理即可求得的度数． 【详解】，， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 17．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查角平分线的定义、平行线的判定、三角形内角和定理，（1）根据角平分线的定义可得，再根据平行线的判定即可得证； （2）利用三角形内角和定理求得， 再根据平行线的性质可得，再利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）可得，， ∴， ∴． 18．(1) (2) 【分析】本题考查了三角形角平分线，三角形内角和定理，掌握三角形内角和定理是解题的关键． （1）根据角平分线的定义得出，根据三角形内角和定理得出，进而即可求解； （2）根据三角形内角和定理求得，根据是的角平分线，得出，根据，即可求解． 【详解】（1）解：是的角平分线， ， 在中，， ， ； （2）在中，是高，， ，， 是的角平分线，     ， ， ． 19．(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的性质和三角形外角的性质． （1）根据平行线的性质可得，，结合即可证明； （2）根据三角形外角的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴平分； （2）∵平分， ∴， ∵， ∴． 20．(1) (2)当时，；当时，；当时，；理由见解析 【分析】本题考查了平行线性质和判定，三角形外角性质，三角板中角的相关计算，解题的关键在于利用数形结合的思想解决问题． （1）记与的交点为，与的交点为G，利用三角板角度特点得到，进而得到，利用三角形外角性质得到，即可解题． （2）根据旋转过程，分以下情况讨论，①当时，②当时，③当时，对以上情况画出示意图，结合三角板中的角度进行运算，即可解题． 【详解】（1）解：如图，记与的交点为，与的交点为G， ， ， 又已知， ， ， 在中， ， ，， ， 解得，． 当为时． （2）解：当时，， 当时，， 当时，， 理由如下： ①当时，如图2(1)，，， ；        ②当时，如图2(2)，，，     ； ③当时，如图2(3)， ， ， ． 21．(1)①，见解析；②，见解析 (2) (3) ，见解析 【分析】（1）①利用角平分线的定义及直角三角形的性质即可解答；②利用三角形外角的性质可求得，即可证明与的位置关系； （2）根据四边形内角和等于可求出，，根据角平分线的定义可得出，，进而得到，再进行等量代换即可； （3）根据三角形外角的性质先得到，，，再利用角平分线的定义和四边形内角和等于进行等量代换即可求出． 【详解】（1）①，理由如下 ∵，， ∴． 又∵， ∴，即， ∴． ②，理由如下 ∵， ， ∴， ∴． （2）三角形内角和为，则四边形可以看作是两个三角形拼接而成，即有四边形内角和为：， ∵， ∴． 又∵，，， ∴， ∴． 将其代入， 得． 故答案为：． （3），理由如下 ∵，， ∴， ∴． ∵，，， ∴． 又∵，， ∴， 整理得， ∴． 将其代入， 得． 【点睛】本题考查三角形外角的性质，四边形内角和，平行线的性质和判定，角平分线的定义，直角三角形的性质，解答本题的关键是找到各相关角之间的等量关系进行等量代换． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$