2.4圆周角 讲义2024－2025学年苏科版数学九年级上册

2.4圆周角讲义-数学九年级上册 【易错考点】+【例题精讲】+【针对性训练】 ( 目录导航 ) 第一部分：易错考点 第二部分：例题精讲 第三部分：针对性训练 【第一部分】 ( 易错考点 ) 圆周角定理 （1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可． （2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． （3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握． （4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角． 圆内接四边形的性质 （1）圆内接四边形的性质： ①圆内接四边形的对角互补． ②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）． （2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补． 【第二部分】 ( 例题精讲 ) 1．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，CD⊥AB于点E，点F在⊙O上且，连接AF． （1）求证：AF＝CD； （2）连接BF，BD．若AE＝2，BF＝6，求BD的长． 【解答】（1）证明：∵CD⊥AB于点E， ∴＝， ∵， ∴＝， ∴AF＝CD； （2）解：连接OC， ∵， ∴OC⊥AF， ∴AH＝FH， ∵OA＝OB， ∴OH是△ABF的中位线， ∴OH＝BF＝×6＝3， ∵OE⊥CD，CD＝AF， ∴OH＝OE＝3， ∴OA＝AE+OE＝2+3＝5， ∴BE＝AB﹣AE＝10﹣2＝8， ∵CE＝＝4， ∴DE＝CE＝4， ∴BD＝＝4． 2．已知，△ABC中，∠A＝68°，以AB为直径的⊙O与AC，BC的交点分别为D，E （Ⅰ）如图①，求∠CED的大小； （Ⅱ）如图②，当DE＝BE时，求∠C的大小． 【解答】解：（Ⅰ）∵四边形ABED 圆内接四边形， ∴∠A+∠DEB＝180°， ∵∠CED+∠DEB＝180°， ∴∠CED＝∠A， ∵∠A＝68°， ∴∠CED＝68°． （Ⅱ）连接AE． ∵DE＝BE， ∴＝ ∴∠DAE＝∠EAB＝∠CAB＝34°， ∵AB是直径， ∴∠AEB＝90°， ∴∠AEC＝90°， ∴∠C＝90°﹣∠DAE＝90°﹣34°＝56° 【第三部分】 ( 针对性训练 ) 一．选择题（共8小题） 1．如图，AB是半圆的直径，D是弧AC的中点，∠ABC＝50°，则∠DAB等于（　　） A．55° B．60° C．65° D．70° 2．如图在⊙O中，弦AB，CD相交于点P．若∠A＝38°，∠APD＝80°，则∠B的度数为（　　） A．32° B．42° C．48° D．52° 3．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠C＝25°，则∠BOC的度数是（　　） A．25° B．50° C．65° D．75° 4．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，已知∠AOC＝80°，则∠ABC的度数为（　　） A．20° B．30° C．40° D．50° 5．如图，EF、CD是⊙O的两条直径，A是劣弧的中点，若∠EOD＝32°，则∠CDA的度数是（　　） A．37° B．74° C．53° D．63° 6．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，若∠AOC＝140°，则∠BDC＝（　　） A．20° B．40° C．55° D．70° 7．如图，将直角三角板30°角的顶点放在圆心O上，斜边和一直角边分别与⊙O相交于A、B两点，C是优弧AB上任意一点（与A、B不重合），则∠ACB的度数是（　　） A．30° B．15° C．22.5° D．20° 8．如图，AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直径，CD⊥AB于点E．在下列结论中，不一定成立的是（　　） A．AE＝BE B．∠CBD＝90° C．∠COB＝2∠D D．∠COB＝∠C 二．填空题（共8小题） 9．如图，点A、B、O是单位为1的正方形网格上的三个格点，⊙O的半径为OA，点P是优弧的中点，则△APB的面积为 　 　． 10．在半径为1的⊙O中，弦AB的长等于⊙O的半径，则弦AB所对圆周角等于 　 　． 11．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD＝140°，则∠BCD的度数为 　 　． 12．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，∠ACD＝60°，∠ADC＝40°，则∠AED＝　 　． 13．如图，已知AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，且BD平分∠ABC，连接CD，AC，若∠CDB＝32°，则∠ACD的度数为 　 　． 14．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC、BD为对角线，BD经过圆心O．若∠DBC＝65°，则∠BAC的度数为 　 　． 15．如图，在半径为2的⊙O中，弦AB⊥直径CD，垂足为E，∠ACD＝30°，点P为⊙O上一动点，CF⊥AP于点F．当点P在⊙O上运动的过程中，线段OF长度的最小值为 　 　． 16．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点，∠DCE＝64°，则∠BOD的度数是 　 　． 三．解答题（共6小题） 17．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，若＝，求证：OD∥BC． 18．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，CD⊥AB于点E，点F在⊙O上且，连接AF． （1）求证：AF＝CD； （2）连接BF，BD．若AE＝2，BF＝6，求BD的长． 19．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E． （1）求证：点E是BC的中点； （2）若∠C＝70°，求∠BOD的度数． 20．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠ABD＝20°，求∠C的度数． 21．如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交AC，BC分别于点E，D两点，连接ED，BE． （1）求证：＝． （2）若BC＝6．AB＝5，求BE的长． 22．如图，已知⊙O内接ABC，AD为⊙O直径，AE⊥BC于E点，连接BD．求证：∠BAD＝∠CAE． 2.4圆周角讲义-数学九年级上册 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．如图，AB是半圆的直径，D是弧AC的中点，∠ABC＝50°，则∠DAB等于（　　） A．55° B．60° C．65° D．70° 【解答】解：连接OD，OC， ∵∠ABC＝50°， ∴∠AOC＝2∠ABC＝100°， ∴AC弧＝100°， ∵D是弧AC的中点， ∴AD弧＝50°， ∴BD弧＝130°， ∴∠DOB＝130°， ∴∠DAB＝∠DOB＝65° 故选：C． 2．如图在⊙O中，弦AB，CD相交于点P．若∠A＝38°，∠APD＝80°，则∠B的度数为（　　） A．32° B．42° C．48° D．52° 【解答】解：∵∠A＝38°， ∴∠A＝∠D＝38°， ∵∠APD＝80°， ∴∠B＝∠APD﹣∠D＝42°； 故选：B． 3．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠C＝25°，则∠BOC的度数是（　　） A．25° B．50° C．65° D．75° 【解答】解：∵OA＝OC， ∴∠A＝∠C＝25°， ∴∠BOC＝2∠A＝50°， 故选：B． 4．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，已知∠AOC＝80°，则∠ABC的度数为（　　） A．20° B．30° C．40° D．50° 【解答】解：∵＝， ∴∠ABC＝∠AOC＝×80°＝40°， 故选：C． 5．如图，EF、CD是⊙O的两条直径，A是劣弧的中点，若∠EOD＝32°，则∠CDA的度数是（　　） A．37° B．74° C．53° D．63° 【解答】解：如图，连接OA， ∵A是劣弧的中点， 即弧DA＝弧FA， ∴∠DOA＝∠FOA， ∵∠EOD＝32°， ∴， ∵OD＝OA， ∴， 即∠CDA＝53°． 故选：C． 6．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，若∠AOC＝140°，则∠BDC＝（　　） A．20° B．40° C．55° D．70° 【解答】解：∵∠BOC+∠AOC＝180°，∠AOC＝140°， ∴∠BOC＝180°﹣140°＝40°， ∴∠BDC＝∠BOC＝20°． 故选：A． 7．如图，将直角三角板30°角的顶点放在圆心O上，斜边和一直角边分别与⊙O相交于A、B两点，C是优弧AB上任意一点（与A、B不重合），则∠ACB的度数是（　　） A．30° B．15° C．22.5° D．20° 【解答】解：根据题意得：∠AOB＝30°， ∴． 故选：B． 8．如图，AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直径，CD⊥AB于点E．在下列结论中，不一定成立的是（　　） A．AE＝BE B．∠CBD＝90° C．∠COB＝2∠D D．∠COB＝∠C 【解答】解：∵CD是⊙O的直径，CD⊥AB， ∴AE＝BE，∠CBD＝90°，∠COB＝2∠D，∠CBO＝∠C， 故A、B、C不符合题意，D符合题意； 故选：D． 二．填空题（共8小题） 9．如图，点A、B、O是单位为1的正方形网格上的三个格点，⊙O的半径为OA，点P是优弧的中点，则△APB的面积为 　　． 【解答】解：过点B作BC⊥PA于点C， ∵点P是优弧的中点， ∴PA＝PB， ∵∠AOB＝90°， ∴∠APB＝∠AOB＝45°， ∴△PBC是等腰直角三角形， ∴PC＝BC， 设PC＝x，则PA＝PB＝x， ∴AC＝PA﹣PC＝（﹣1）x， ∵AB2＝AC2+BC2，AB＝， ∴2＝[（﹣1）x]2+x2， 解得：x2＝， ∴S△APB＝PA•BC＝x2＝． 故答案为：． 10．在半径为1的⊙O中，弦AB的长等于⊙O的半径，则弦AB所对圆周角等于 　30°或150°　． 【解答】解：如图，连接OA、OB， ∵AB＝OA＝OB， ∴∠AOB＝60°． 分两种情况： ①在优弧上任取一点C，连接CA，CB， 则∠C＝∠AOB＝30°， ②在劣弧上任取一点D，连接AD、BD， ∵四边形ADBC是⊙O的内接四边形， ∴∠C+∠ADB＝180°， ∴∠ADB＝180°﹣∠C＝150°． 综上所述，弦AB所对的圆心角是60°，圆周角是30°或150°． 故答案为：30°或150°． 11．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD＝140°，则∠BCD的度数为 　110°　． 【解答】解：由圆周角定理得，∠A＝∠BOD＝70°， ∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形， ∴∠A+∠BCD＝180°， ∴∠BCD＝110°． 故答案为：110°． 12．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，∠ACD＝60°，∠ADC＝40°，则∠AED＝　110°　． 【解答】解：如图所示，连接BD， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵∠ADC＝40°， ∴∠BDC＝90°﹣40°＝50°， 又∵∠ABD＝∠ACD＝60°， ∴∠AED＝∠ABD+∠BDC＝110°， 故答案为：110°． 13．如图，已知AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，且BD平分∠ABC，连接CD，AC，若∠CDB＝32°，则∠ACD的度数为 　29°　． 【解答】解：∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠A+∠ABC＝90°， ∵∠A＝∠CDB＝32°， ∴∠ABC＝58°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠ABC＝29°， ∴∠ACD＝∠ABD＝29°， 故答案为：29°． 14．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC、BD为对角线，BD经过圆心O．若∠DBC＝65°，则∠BAC的度数为 　25°　． 【解答】解：∵BD是⊙O的直径， ∴∠BCD＝90°， ∴∠DBC+∠BDC＝90°， ∵∠DBC＝65°， ∴∠BDC＝25°， ∴∠BAC＝∠BDC＝25°， 故答案为：25°． 15．如图，在半径为2的⊙O中，弦AB⊥直径CD，垂足为E，∠ACD＝30°，点P为⊙O上一动点，CF⊥AP于点F．当点P在⊙O上运动的过程中，线段OF长度的最小值为 　﹣1　． 【解答】解：如图，连接OA． ∵OA＝OC＝2， ∴∠OCA＝∠OAC＝30°， ∴∠AOE＝∠OAC+∠ACO＝60°， ∴AE＝OA•sin60°＝， ∵OE⊥AB， ∴AE＝EB＝， ∴AB＝2AE＝2， 取AC的中点H，连接OH，OF，HF， ∵OA＝OC，AH＝HC， ∴OH⊥AC， ∴∠AHO＝90°， ∵∠COH＝60°， ∴∠HCO＝30°， ∴OH＝OC＝1，HC＝，AC＝2， ∵CF⊥AP， ∴∠AFC＝90°， ∴HF＝AC＝， ∴OF≥FH﹣OH，即OF≥﹣1， ∴OF的最小值为﹣1． 故答案为：﹣1． 16．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点，∠DCE＝64°，则∠BOD的度数是 　128°　． 【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠A+∠BCD＝180°， ∵∠DCE+∠BCD＝180°， ∴∠BAD＝∠DCE＝64°， ∵＝， ∴∠BOD＝2∠BAD＝128°， 故答案为：128°． 三．解答题（共6小题） 17．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，若＝，求证：OD∥BC． 【解答】证明：∵， ∴∠AOD＝∠COD， ∴， ∵ ∴， ∴∠AOD＝∠B， ∴OD∥BC． 18．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，CD⊥AB于点E，点F在⊙O上且，连接AF． （1）求证：AF＝CD； （2）连接BF，BD．若AE＝2，BF＝6，求BD的长． 【解答】（1）证明：∵CD⊥AB于点E， ∴＝， ∵， ∴＝， ∴AF＝CD； （2）解：连接OC， ∵， ∴OC⊥AF， ∴AH＝FH， ∵OA＝OB， ∴OH是△ABF的中位线， ∴OH＝BF＝×6＝3， ∵OE⊥CD，CD＝AF， ∴OH＝OE＝3， ∴OA＝AE+OE＝2+3＝5， ∴BE＝AB﹣AE＝10﹣2＝8， ∵CE＝＝4， ∴DE＝CE＝4， ∴BD＝＝4． 19．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E． （1）求证：点E是BC的中点； （2）若∠C＝70°，求∠BOD的度数． 【解答】（1）证明：连接AE， ∵AB是圆的直径， ∴AE⊥BC， ∵AB＝AC， ∴E是BC的中点； （2）解：∵AB＝AC ∴∠B＝∠C＝70° ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝40°， ∵∠BAC＝∠BOD， ∴∠BOD＝80°． 20．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠ABD＝20°，求∠C的度数． 【解答】解：∵AB是圆的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵∠ABD＝20°， ∴∠A＝90°﹣20°＝70°， ∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠A+∠C＝180°， ∴∠C＝110°． 21．如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交AC，BC分别于点E，D两点，连接ED，BE． （1）求证：＝． （2）若BC＝6．AB＝5，求BE的长． 【解答】（1）证明方法一：连接AD， ∵AB为⊙O的直径， ∴AD⊥BC， ∵AB＝AC， ∴CD＝BD， ∵A、E、D、B四点共圆， ∴∠CED＝∠ABC， ∵AB＝AC， ∴∠ACB＝∠ABC， ∴∠ACB＝∠CED， ∴DE＝DC， ∴DE＝BD， ∴＝； 方法二：如图②，连接AD， ∵AB为⊙O的直径， ∴AD⊥BC， ∵AB＝AC， ∴∠EAD＝∠BAD， ∴＝； （2）解：连接OD交BE于H，作OF⊥BD于F， BD＝BC＝3，AB＝5， 又勾股定理得，AD＝＝4， ∵AD⊥BC，OF⊥BD， ∴OF∥AD，又OA＝OB， ∴OF＝AD＝2， 则××BH＝×3×2， 解得，BH＝， ∵＝， ∴BE＝2BH＝． 22．如图，已知⊙O内接ABC，AD为⊙O直径，AE⊥BC于E点，连接BD．求证：∠BAD＝∠CAE． 【解答】证明：∵AD是圆的直径， ∴∠ABD＝90°， ∵AE⊥BC， ∴∠AEC＝90°， ∴∠ABD＝∠AEC， ∵∠D＝∠C， ∴∠BAD＝∠CAE． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$