第十三章 轴对称 单元检测题-2024-2025学年人教版八年级数学上册

八年级数学第十三章《轴对称》单元检测题 (时间：100分钟　　满分：120分) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、选择题(每小题3分，共30分) 1．在一些汉字的美术字中，有的是轴对称图形．下面四个美术字中可以看作轴对称图形的是( ) A　　　　　　　B　　　　 　　　C　　　　　　　D 2．若等腰三角形的顶角为70°，则它的底角是( ) A．30° B．55° C．65° D．70° 3．如图，虚线MN是四边形AMBN的对称轴，P是虚线MN上的点，下列判断错误的是( ) A．AM＝BM B．AP＝BN C．∠MAP＝∠MBP D．∠ANM＝∠BNM 　　　　　　　　 4．如图，点E，F，G，Q，H在一条直线上，且EF＝GH，我们知道如图所作的直线l为线段FG的垂直平分线．下列说法正确的是( ) A．l是线段EH的垂直平分线 B．l是线段EQ的垂直平分线 C．l是线段FH的垂直平分线 D．直线EH是l的垂直平分线 5．如图，∠ABC＝50°，AD垂直平分线段BC，∠ABC的平分线BE交AD于点E，连接EC，则∠AEC的度数是( ) A．115° B．75° C．105° D．50° 6．将含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已知∠α＝60°，点B，C 表示的刻度分别为1 cm，3 cm，则线段AC的长为( ) A．1 cm B．2 cm C．3 cm D．4 cm 　　　　 7．如图，坐标平面内一点A(3，－2)，O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为( ) A．2 B．3 C．4 D．1 8．“三等分角”大约是在公元前四世纪提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC＝CD＝DE，点D，E可在槽中滑动．若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数是( ) A．60° B．65° C．75° D．80° 9．如图，已知S△ABC＝12，AD平分∠BAC，直线BD⊥AD于点D，交AC于点E，连接DC，则S△ADC的值是( ) A．10 B．8 C．6 D．4 　　　 10．如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，在AB，CB上分别取点M，N，且AM＝BN＝8，DN＝4，在AD上有一动点P，则PM＋PN的最小值为( ) A．12 B．14 C．16 D．18 二、填空题(每小题3分，共15分) 11．点A(－2，3)关于y轴对称的点A′的坐标为______． 12．在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC.若∠BDC＝75°，则∠A的度数为______． 13．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，大于BC的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点；②作直线MN交AB于点D，连接CD.若CD＝AC，∠B＝25°，则∠ACB的度数为______． 　　　　　　 14．如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，点B在直线l2上，AB＝BC，∠C＝30°，∠1＝80°，则∠2＝______． 15．如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E是△ABC内的两点，AE平分∠BAC，∠D＝∠DBC＝60°，若BD＝5 cm，DE＝3 cm，则BC的长是______． 三、解答题(共75分) 16．(6分)如图，在△ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数． 17．(6分)如图，在△ABC中，AB＝AC，CE＝6，直线ED是线段AC的垂直平分线，∠BAC＝120°，求线段BE的长． 18．(8分)如图，点D，E在△ABC的边BC上，AD＝AE，BD＝CE，求证：AB＝AC. 19．(8分)如图，已知点M，N是∠AOB的边OA上的两点． (1)尺规作图：作∠AOB的平分线OC； (2)在∠AOB的平分线OC上求作一点P，使PM＋PN的值最小．(保留作图痕迹，不写画法) 20．(8分)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠D，点E在BA的延长线上，连接CE. (1)试说明：∠E＝∠ECD； (2)若∠E＝60°，CE平分∠BCD，求证：△ECB为等边三角形． 21．(8分)已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，A，B，C三点均在格点上. (1)在平面直角坐标系内画出△ABC关于x轴对称的△A′B′C′，并写出点A′，B′，C′的坐标； (2)若点P与点C关于y轴对称，则点P的坐标为______； (3)如果要使△ABD与△ABC全等，那么点D的坐标是____________． 　　 22．(10分)如图，在△ABC中，AB＝AC，D为CA延长线上一点，DE⊥BC于点E，交AB于点F，若AF＝BF. 求证：(1)△ADF是等腰三角形； (2)DF＝2EF. 23．(10分)如图，已知AE⊥FE，垂足为E，且E是DC的中点． (1)如图①，如果FC⊥DC，AD⊥DC，垂足分别为C，D，且AD＝DC，则AE是∠FAD的平分线吗？(不必说明理由) (2)如图②，如果(1)中的条件“AD＝DC”去掉，其余条件不变，(1)中的结论仍成立吗？请说明理由． 24．(11分)如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由点A向点C运动(与A，C不重合)，Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由点B向CB延长线方向运动(点Q不与点B重合)，过点P作PE⊥AB于点E，连接PQ交AB于点D. (1)若设AP＝x，则CP＝______，QC＝______；(用含x的式子表示) (2)当∠BQD＝30°时，求AP的长； (3)在运动过程中，线段DE的长是否发生变化？如果不变，求出线段DE的长；如果变化，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级数学第十三章《轴对称》单元检测题答案 (时间：100分钟　　满分：120分) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、选择题(每小题3分，共30分) 1．在一些汉字的美术字中，有的是轴对称图形．下面四个美术字中可以看作轴对称图形的是( D ) A　　　　　　　B　　　　 　　　C　　　　　　　D 2．若等腰三角形的顶角为70°，则它的底角是( B ) A．30° B．55° C．65° D．70° 3．如图，虚线MN是四边形AMBN的对称轴，P是虚线MN上的点，下列判断错误的是( B ) A．AM＝BM B．AP＝BN C．∠MAP＝∠MBP D．∠ANM＝∠BNM 　　　　　　　　 4．如图，点E，F，G，Q，H在一条直线上，且EF＝GH，我们知道如图所作的直线l为线段FG的垂直平分线．下列说法正确的是( A ) A．l是线段EH的垂直平分线 B．l是线段EQ的垂直平分线 C．l是线段FH的垂直平分线 D．直线EH是l的垂直平分线 5．如图，∠ABC＝50°，AD垂直平分线段BC，∠ABC的平分线BE交AD于点E，连接EC，则∠AEC的度数是( A ) A．115° B．75° C．105° D．50° 6．将含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已知∠α＝60°，点B，C 表示的刻度分别为1 cm，3 cm，则线段AC的长为( B ) A．1 cm B．2 cm C．3 cm D．4 cm 　　　　 7．如图，坐标平面内一点A(3，－2)，O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为( C ) A．2 B．3 C．4 D．1 8．“三等分角”大约是在公元前四世纪提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC＝CD＝DE，点D，E可在槽中滑动．若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数是( D ) A．60° B．65° C．75° D．80° 9．如图，已知S△ABC＝12，AD平分∠BAC，直线BD⊥AD于点D，交AC于点E，连接DC，则S△ADC的值是( C ) A．10 B．8 C．6 D．4 　　　 10．如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，在AB，CB上分别取点M，N，且AM＝BN＝8，DN＝4，在AD上有一动点P，则PM＋PN的最小值为( C ) A．12 B．14 C．16 D．18 二、填空题(每小题3分，共15分) 11．点A(－2，3)关于y轴对称的点A′的坐标为__(2，3)__． 12．在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC.若∠BDC＝75°，则∠A的度数为__40°__． 13．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，大于BC的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点；②作直线MN交AB于点D，连接CD.若CD＝AC，∠B＝25°，则∠ACB的度数为__105°__． 　　　　　　 14．如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，点B在直线l2上，AB＝BC，∠C＝30°，∠1＝80°，则∠2＝__40°__． 15．如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E是△ABC内的两点，AE平分∠BAC，∠D＝∠DBC＝60°，若BD＝5 cm，DE＝3 cm，则BC的长是__8_cm__． 三、解答题(共75分) 16．(6分)如图，在△ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数． 解：∵∠C＝∠ABC＝2∠A，∴∠C＋∠ABC＋∠A＝5∠A＝180°，∴∠A＝36°.则∠C＝∠ABC＝2∠A＝72°.又∵BD是AC边上的高，则∠DBC＝90°－∠C＝18° 17．(6分)如图，在△ABC中，AB＝AC，CE＝6，直线ED是线段AC的垂直平分线，∠BAC＝120°，求线段BE的长． 解：连接AE，∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝(180°－∠BAC)＝30°.∵直线ED是线段AC的垂直平分线，∴EA＝EC＝6，∴∠EAC＝∠C＝30°，∴∠BAE＝∠BAC－∠EAC＝90°，∴BE＝2AE＝12，∴线段BE的长为12 18．(8分)如图，点D，E在△ABC的边BC上，AD＝AE，BD＝CE，求证：AB＝AC. 证明：过点A作AF⊥BC于点F，∵AD＝AE，∴DF＝EF，∵BD＝CE，∴BF＝CF，∴AB＝AC 19．(8分)如图，已知点M，N是∠AOB的边OA上的两点． (1)尺规作图：作∠AOB的平分线OC； (2)在∠AOB的平分线OC上求作一点P，使PM＋PN的值最小．(保留作图痕迹，不写画法) 解：(1)如图①所示，OC即为所求作的∠AOB的平分线 (2)如图②，作点M关于OC的对称点M′，连接M′N交OC于点P，则点P即为所求 20．(8分)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠D，点E在BA的延长线上，连接CE. (1)试说明：∠E＝∠ECD； (2)若∠E＝60°，CE平分∠BCD，求证：△ECB为等边三角形． 解：(1)∵AD∥BC，∴∠EAD＝∠B.∵∠B＝∠D，∴∠D＝∠EAD，∴BE∥CD，∴∠E＝∠ECD (2)证明：由(1)知∠E＝∠ECD， ∵∠E＝60°，∴∠ECD＝60°. ∵CE平分∠BCD，∴∠BCE＝∠ECD＝60°， ∴∠EBC＝180°－60°－60°＝60°，∴∠E＝∠B＝∠BCE，∴△ECB为等边三角形 21．(8分)已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，A，B，C三点均在格点上. (1)在平面直角坐标系内画出△ABC关于x轴对称的△A′B′C′，并写出点A′，B′，C′的坐标； (2)若点P与点C关于y轴对称，则点P的坐标为__(－5，3)__； (3)如果要使△ABD与△ABC全等，那么点D的坐标是__(0，3)或(5，－1)或(0，－1)__． 　　 解：(1)如图所示的△A′B′C′即为所求，A′(1，－1)，B′(4，－1)，C′(5，－3) 22．(10分)如图，在△ABC中，AB＝AC，D为CA延长线上一点，DE⊥BC于点E，交AB于点F，若AF＝BF. 求证：(1)△ADF是等腰三角形； (2)DF＝2EF. 证明：(1)∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵DE⊥BC，∴∠B＋∠BFE＝∠C＋∠D＝90°，∴∠D＝∠BFE.∵∠BFE＝∠DFA，∴∠D＝∠DFA，∴AD＝AF，∴△ADF是等腰三角形 (2)过点A作AH⊥DE于点H，∵DE⊥BC，∴∠AHF＝∠BEF＝90°，由(1)知，AD＝AF，∴DH＝FH.在△AFH和△BFE中，∴△AFH≌△BFE(AAS)，∴FH＝EF， ∴DH＝FH＝EF，∴DF＝2EF 23．(10分)如图，已知AE⊥FE，垂足为E，且E是DC的中点． (1)如图①，如果FC⊥DC，AD⊥DC，垂足分别为C，D，且AD＝DC，则AE是∠FAD的平分线吗？(不必说明理由) (2)如图②，如果(1)中的条件“AD＝DC”去掉，其余条件不变，(1)中的结论仍成立吗？请说明理由． 解：(1)AE是∠FAD的平分线 (2)成立．理由如下：延长FE交AD的延长线于点G.∵E为CD的中点，∴CE＝DE.易证△CEF≌△DEG(ASA)，∴EF＝EG.∵AE⊥FG， ∴AF＝AG，∴AE是∠FAD的平分线 24．(11分)如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由点A向点C运动(与A，C不重合)，Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由点B向CB延长线方向运动(点Q不与点B重合)，过点P作PE⊥AB于点E，连接PQ交AB于点D. (1)若设AP＝x，则CP＝__6－x__，QC＝__6＋x__；(用含x的式子表示) (2)当∠BQD＝30°时，求AP的长； (3)在运动过程中，线段DE的长是否发生变化？如果不变，求出线段DE的长；如果变化，请说明理由． 解：(2)∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠C＝∠ABC＝60°.∵∠BQD＝30°，∴∠QPC＝90°.∴PC＝QC，即6－x＝(6＋x)，解得x＝2，∴AP＝2 (3)线段DE的长不会改变．理由如下：作QF⊥AB，交AB的延长线于点F.又∵PE⊥AB，∴∠DFQ＝∠AEP＝90°. ∵点P，Q速度相同，∴AP＝BQ.在△APE和△BQF中，∴△APE≌△BQF(AAS)，∴AE＝BF，PE＝QF.又∵∠DEP＝∠DFQ＝90°，∠PDE＝∠QDF，∴△PDE≌△QDF(AAS)，∴DE＝DF＝DB＋BF＝DB＋AE，∴DE＝AB.又∵等边△ABC的边长为6，∴DE＝3，∴运动过程中线段DE的长不会改变 学科网（北京）股份有限公司 $$