新课预习衔接：数学好玩(讲义)-2024-2025学年五年级上册数学北师大版

数学好玩 【思维导图+知识精讲+典型例题+高频真题+答案解析】编者的话：同学们，恭喜你已经开启了本单元的求知之旅，相信你已经正确规划了自己的学习任务，本套资料为课前预习，课中巩固，课后提升而设计，对单元知识点进行全面精讲，易错点逐个分解，强化练习常考易错真题，答案解析非常通俗易懂，可助你轻松掌握、理解、运用单元知识点解决问题！ 2024年9月 目录导航 资料说明 第一部分：思维导图：单元知识简单且高效的发散性思维呈现，是一种实用性的知识小结。 第二部分：知识精讲：把握知识要点，掌握方法技巧，理解数学本质，提升数学思维。 第三部分：典型例题：选题典型、高频易错、考试母题，具有理解一题，掌握一类的优势。 第四部分：高频真题：精选近两年统考真题，助您学习有方向，做好题，达到事半功倍的效果。 第五部分：答案解析：重点、难点题精细化解析，犹如名师讲解，可以轻松理解。 第一部分 思维导图 第二部分 知识精讲 知识清单+方法技巧 知识点一：设计秋游方案（简单规划问题） 最优化问题：最优化概念反映了人类实践活动中十分普遍的现象，即要在尽可能节省人力、物力和时间前提下，争取获得在可能范围内的最佳效果。最优化问题不仅具有趣味性，而且由于解题方法灵活，技巧性强，因此对于开拓解题思路，增强数学能力很有益处．但解决这类问题需要的基础知识相当广泛，很难做到一一列举． 知识点二：图形中的规律（间隔排列规律） 事物的间隔排列规律：间隔排列是指两种物体一个隔一个地排成一行的排列方式，它具有以下规律： 当两端物体相同时，两端物体比中间物体多 1。 当两端物体不同时，两种物体数量相等。 在解决一些数学问题时，可以利用间隔排列的规律快速确定物体的数量。 生活中的设计与布局：在园林设计中，常常利用间隔排列规律来布置花卉和树木，使景观更加美观。比如，在一条小路两边每隔一段距离种一朵花和一棵树，形成有规律的间隔排列。 室内装饰中，也会运用间隔排列来摆放装饰品，如在书架上间隔排列书籍和摆件。 知识点三：尝试与猜测（鸡兔同笼） 鸡兔同笼：方法：假设法，方程法，抬腿法，列表法 公式1：（兔的脚数×总只数﹣总脚数）÷（兔的脚数﹣鸡的脚数）＝鸡的只数； 总只数﹣鸡的只数＝兔的只数 公式2：（ 总脚数﹣鸡的脚数×总只数）÷（兔的脚数﹣鸡的脚数）＝兔的只数； 总只数﹣兔的只数＝鸡的只数 公式3：总脚数÷2﹣总头数＝兔的只数； 总只数﹣兔的只数＝鸡的只数 公式4：鸡的只数＝（4×鸡兔总只数﹣鸡兔总脚数）÷2； 兔的只数＝鸡兔总只数﹣鸡的只数 公式5：兔总只数＝（鸡兔总脚数﹣2×鸡兔总只数）÷2； 鸡的只数＝鸡兔总只数﹣兔总只数 公式6：（头数x4﹣实际脚数）÷2＝鸡 公式7：4×+2（总数﹣x）＝总脚数 （x＝兔，总数﹣x＝鸡数，用于方程） 公式8：鸡的只数：兔的只数＝兔的脚数﹣（总脚数÷总只数）：（总脚数÷总只数）﹣鸡的脚数． 第三部分 典型例题 例题1：想一想，后面的该怎么画？ 【考点】事物的间隔排列规律． 【答案】。 【分析】宏观：四个图形的相对位置的没有变化，只是方向发生了变化，不难看出，整个图形按顺时针方向旋转90°。 细观：图中四个部分的图形，每次按照逆时针旋转90°。 【解答】解：根据分析画图如下： 。 【点评】对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解。 例题2：按规律接着画。 ▲〇▲▲〇▲▲▲〇　▲▲▲▲〇　。 【考点】事物的间隔排列规律． 【答案】▲▲▲▲〇。 【分析】根据图示可知，1个三角形、1个圆；2个三角形、1个圆；……三角形的个数每组增加1个，圆的个数都是1。据此解答。 【解答】解：如图： ▲〇▲▲〇▲▲▲〇▲▲▲▲〇。 故答案为：▲▲▲▲〇。 【点评】先找到规律，再根据规律求解。 例题3：根据规律圈出被挡住的部分。 【考点】事物的间隔排列规律． 【答案】 【分析】根据图示可知，灯笼之间的圆的个数依次加1。据此解答。 【解答】解：如图： 【点评】得出这组图形排列的特点，是解决本题的关键。 例题4：根据图形的变化规律接着画。 【考点】事物的间隔排列规律． 【答案】 【分析】图形按顺时针方向旋转90°，画出图形即可。 【解答】解：如图： 【点评】根据题目给出的图形，找出它们之间的变化规律，然后根据这一变化规律进行解答即可。 第四部分 高频真题 1．笼子里有若干只鸡和兔。从上面数有12个头，从下面数有40只脚。兔子有（　　）只。 A．4 B．6 C．8 D．10 2．……按这样的规律摆下去，下一个图形应该是什么？（　　） A． B． C． 3．28名师生去公园划船，恰好坐满了大、小船共5只。大船每只坐6人，小船每只坐4人，租了（　　）只小船。 A．1 B．2 C．3 D．4 4．停车场现有汽车和电动车（两轮）一共8辆，轮胎数是一个两位数，两个数位上的数都是最小的质数，其中电动车有（　　）辆。 A．3 B．2 C．5 D．6 5．科学课上，老师给同学们准备了甲组、乙组两种电路实验材料（如图），一共有12套，用了28节电池。甲组实验材料有（　　） A．8套 B．4套 C．10套 D．2套 6．按照下面的规律，盒子里有（　　）颗珠子。 A．2 B．3 C．4 7．某次数学竞赛共20道题，评分标准是：每做对一题得5分，每做错或不做一题扣1分．小华参加了这次竞赛，得了64分．小华做对 （　　）道题． A．6 B．9 C．11 D．14 8．停车场上一共停了小轿车和二轮摩托车共12辆，这些车共38个轮子。小轿车有　 　辆，摩托车有　 　辆。 9．，遮住了7个珠子，有 　 　个，有 　 　个。 10．“垃圾分类”宣传活动中，8名同学共收集21条建议。男生平均每人收集2条建议，女生平均每人收集3条建议。男生有 　 　名，女生有 　 　名。 11．小明有5元和10元的人民币共计315元，其中5元的人民币比10元的人民币少12张，5元的人民币有 　 　张，10元的人民币有 　 　张。 12．四年级同学分组参加兴趣小组，每人只能参加一个小组．艺术类每4人一组，科技类每5人一组，一共有42名学生报名，正好分成10个组．参加艺术类的有　 　人，参加科技类的有　 　人． 13．海边灯塔上的一盏照明灯以固定的规律发出亮光，如图是表示前15秒灯光明暗的变化情况：第1秒是亮的，第2、3秒是暗的……第47秒是 　 　的。 14．按照如图的规律摆图形，如果一共摆了42“△”，那么“□”最少有 　 　个，最多有 　 　个。 △□△□△□…… 15．文明城市创建，人人有责。某小学以文明城市创建为契机，举办“环保小卫士”知识竞赛活动。一共20道题，答对一题得5分，答错一题倒扣3分，刘东得52分，你知道刘东一共答对了几道题吗？ 16．元旦节一位老师带领43名少先队员划船，一共乘坐10条船，每条大船可坐5人，每条小船可坐4人。大船和小船各有几条？（坐满） 17．有20张5元和10元的人民币，一共是160元，5元和10的人民币各有多少张？（用两种方法解题，其中一种列表法） 18．家委会采购了一批口罩，分20个装的和50个装的共10袋，合计410个口罩，20个装和50个装的口罩各有多少袋？（用列表的方法解答） 参考答案与试题解析 1．笼子里有若干只鸡和兔。从上面数有12个头，从下面数有40只脚。兔子有（　　）只。 A．4 B．6 C．8 D．10 【考点】鸡兔同笼． 【答案】C 【分析】假设都是鸡，用计算所得脚数与实际脚数的差，除以每只兔子与鸡的脚数的差，求兔子的数量。 【解答】解：（40﹣12×2）÷（4﹣2） ＝16÷2 ＝8（只） 答；兔子有8只。 故选：C。 【点评】此题属于鸡兔同笼问题，解这类题的关键是用假设法进行分析，进而得出结论；也可以用方程进行解答。 2．……按这样的规律摆下去，下一个图形应该是什么？（　　） A． B． C． 【考点】事物的间隔排列规律． 【答案】B 【分析】根据题意，本题是按照1个正方形2个圆1个三角形进行循环排列的，所以按这样的规律摆下去，下一个图形应该是三角形据此解答即可。 【解答】解：……按这样的规律摆下去，下一个图形应该是。 故选：B。 【点评】本题考查了事物间的排列规律，得出这组图形排列的周期特点，是解决本题的关键。 3．28名师生去公园划船，恰好坐满了大、小船共5只。大船每只坐6人，小船每只坐4人，租了（　　）只小船。 A．1 B．2 C．3 D．4 【考点】鸡兔同笼． 【答案】A 【分析】假设都坐大船，5只大船共坐6×5＝30（名）师生，多了30﹣28＝2（个）座位，把一只大船换成一只小船，减少2个座位，需要把2÷2＝1（只）大船换成小船。 【解答】解：6×5＝30（名） 30﹣28＝2（个 2÷2＝1（只） 5﹣1＝4（只） 答：租了1只小船，4只大船。 故选：A。 【点评】假设法是解答鸡兔同笼问题的一般方法，本题也可以用假设都坐小船的方法解答。 4．停车场现有汽车和电动车（两轮）一共8辆，轮胎数是一个两位数，两个数位上的数都是最小的质数，其中电动车有（　　）辆。 A．3 B．2 C．5 D．6 【考点】鸡兔同笼． 【答案】C 【分析】轮胎数是一个两位数，两个数位上的数都是最小的质数，是22；根据题干，假设全是汽车，则轮子是8×4＝32（个），这比已知的22个多了10个，又因为一辆汽车比一辆两轮车多4﹣2＝2个轮子，所以两轮（电动）车有10÷2＝5（辆），据此即可解答问题。 【解答】解：（8×4﹣22）÷（4﹣2） ＝10÷2 ＝5（辆） 答：电动车有5辆。 故选：C。 【点评】解决鸡兔同笼问题往往用假设法解答，有些应用题中有两个或两个以上的未知量，思考问题时，可以假设要求的两个或两个以上的未知量相等，或假设它们为同一种量，然后按照题中的已知条件进行推算，如果数量上出现矛盾，可适当调整。 5．科学课上，老师给同学们准备了甲组、乙组两种电路实验材料（如图），一共有12套，用了28节电池。甲组实验材料有（　　） A．8套 B．4套 C．10套 D．2套 【考点】鸡兔同笼． 【答案】A 【分析】假设都是乙组实验材料，用计算的电池数减去实际电池数，除以每套甲组与乙组电池数的差，计算甲组实验材料的套数即可。 【解答】解：（12×3﹣28）÷（3﹣2） ＝8÷1 ＝8（套） 答：甲组实验材料有8套。 故选：A。 【点评】此题属于鸡兔同笼问题，解这类题的关键是用假设法进行分析，进而得出结论；也可以用方程进行解答。 6．按照下面的规律，盒子里有（　　）颗珠子。 A．2 B．3 C．4 【考点】事物的间隔排列规律． 【答案】B 【分析】根据珠子排列的规律，每组1个白色，黑色珠子的颗数依次加1，画图解答即可。 【解答】解：如图： 答：按照下面的规律，盒子里有3颗黑色珠子。 故选：B。 【点评】先找到规律，再根据规律求解。 7．某次数学竞赛共20道题，评分标准是：每做对一题得5分，每做错或不做一题扣1分．小华参加了这次竞赛，得了64分．小华做对 （　　）道题． A．6 B．9 C．11 D．14 【考点】鸡兔同笼． 【答案】D 【分析】每做错或不做一题，不仅不得分，还要倒扣1分，相当于每做错或不做一道要丢（5+1）分．假设他全做对了，应得100分，现在得了64分，说明他被扣了100﹣64＝36分，故他做错或不做了36÷6＝6道，做对了14道．据此解答． 【解答】解：20﹣（20×5﹣64）÷（5+1） ＝20﹣36÷6 ＝20﹣6 ＝14（道）； 答：小华做对了14道题． 故选：D． 【点评】利用方程和假设法是解答鸡兔同笼问题的常用方法，希望同学们熟练掌握． 8．停车场上一共停了小轿车和二轮摩托车共12辆，这些车共38个轮子。小轿车有　7　辆，摩托车有　5　辆。 【考点】鸡兔同笼． 【答案】7；5。 【分析】摩托车的辆数＝（每辆小轿车轮子的个数×一共有车的辆数﹣一共有轮子的个数）÷两种车的轮子之差，小轿车的辆数＝一共有车的辆数﹣摩托车的辆数。 【解答】解：摩托车：（4×12﹣38）÷（4﹣2） ＝10÷2 ＝5（辆） 小轿车：12﹣5＝7（辆） 所以小轿车有7辆，摩托车有5辆。 故答案为：7；5。 【点评】此题属于典型的鸡兔同笼问题，解答此类题的关键是用假设法进行分析比较，进而得出结论；也可以用方程，设其中的一个数为未知数，另一个数也用未知数表示，列出方程解答即可。 9．，遮住了7个珠子，有 　3　个，有 　4　个。 【考点】事物的间隔排列规律． 【答案】3；4。 【分析】根据图示，是按照2黑3白的规律排列的，据此解答即可。 【解答】解：根据题意，，遮住了7个珠子，应该是1黑3白2黑1白，所以有3个，有4个。 故答案为：3；4。 【点评】本题考查了事物的间隔规律知识，结合题意分析解答即可。 10．“垃圾分类”宣传活动中，8名同学共收集21条建议。男生平均每人收集2条建议，女生平均每人收集3条建议。男生有 　3　名，女生有 　5　名。 【考点】鸡兔同笼． 【答案】3，5。 【分析】假设全是女生，则应有（3×8）条建议，实际却是21条。用除法求出假设与实际相差的数量里面有多少个（3﹣2），就是有多少男生。再用减法即可求出女生的数量。 【解答】解：（3×8﹣21）÷（3﹣2） ＝3÷1 ＝3（名） 8﹣3＝5（名） 答：男生有3名，女生有5名。 故答案为：3，5。 【点评】此题主要使用了假设法来解决鸡兔同笼问题，要熟练掌握。 11．小明有5元和10元的人民币共计315元，其中5元的人民币比10元的人民币少12张，5元的人民币有 　13　张，10元的人民币有 　25　张。 【考点】鸡兔同笼． 【答案】13，25。 【分析】可10元的人民币有x张，则5元的人民币有（x﹣12）张，然后再根据5元的总钱数加上10元的总钱数＝315，由此列出方程，再进行计算即可。 【解答】解：设10元的人民币有x张，则5元的人民币有（x﹣12）张。 5（x﹣12）+10x＝315 5x﹣60+10x＝315 15x﹣60＝315 15x＝315+60 15x＝375 x＝25 5元的人民币有：25﹣12＝13（张） 答：5元的人民币有13张，10元的人民币有25张。 故答案为：13，25。 【点评】此题考查鸡兔同笼的应用。较复杂时，可用方程解答。 12．四年级同学分组参加兴趣小组，每人只能参加一个小组．艺术类每4人一组，科技类每5人一组，一共有42名学生报名，正好分成10个组．参加艺术类的有　32　人，参加科技类的有　10　人． 【考点】鸡兔同笼． 【答案】见试题解答内容 【分析】假设10组都为科技类的，则应该有5×10＝50（人），于是相差50﹣42＝8（人）．艺术类与科技类一组就相差5﹣4＝1（人），所以艺术类有：8÷1＝8（组），科技类有：10﹣8＝2（组），再分别求得各自的人数． 【解答】解：（10×5﹣42）÷（5﹣4） ＝（50﹣42）÷1 ＝8÷1 ＝8（组） 4×8＝32（人） 10﹣8＝2（组） 2×5＝10（人） 答：参加艺术类的有 32人，参加科技类的有 10人． 故答案为：32，10． 【点评】此题属于鸡兔同笼问题，解这类题的关键是用假设法进行分析，进而得出结论；也可以用方程进行解答． 13．海边灯塔上的一盏照明灯以固定的规律发出亮光，如图是表示前15秒灯光明暗的变化情况：第1秒是亮的，第2、3秒是暗的……第47秒是 　亮　的。 【考点】事物的间隔排列规律． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意，照明灯是按照“第1秒是亮的，第2、3秒是暗的，第5、6秒是亮，第7秒是暗……”每6个一循环，计算第47秒是第几组零几个，即可判断明暗。 【解答】解：47÷6＝7（组）•••••••5（秒） 答：第47秒是亮。 故答案为：亮。 【点评】明确排列的周期特点，是解决本题的关键，解答本题先找到规律，再根据规律求解。 14．按照如图的规律摆图形，如果一共摆了42“△”，那么“□”最少有 　41　个，最多有 　42　个。 △□△□△□…… 【考点】事物的间隔排列规律． 【答案】41；42。 【分析】2个图形是一组，每组中有1个△，一个□，如果摆了42个“△“，那么□可能是41组零1个，这样有41个“□“；也可能是42组，这样就有42个□；所以“□”最少有41个，最多有42个。 【解答】解：根据分析可得： △□△□△□……，按照如图的规律摆图形，如果一共摆了42“△”，那么“□”最少有41个，最多有42个。 故答案为：41；42。 【点评】解决这类问题往往是把重复出现的部分看成一组，先找出排列的周期性规律，再根据规律求解。 15．文明城市创建，人人有责。某小学以文明城市创建为契机，举办“环保小卫士”知识竞赛活动。一共20道题，答对一题得5分，答错一题倒扣3分，刘东得52分，你知道刘东一共答对了几道题吗？ 【考点】鸡兔同笼． 【答案】14道题。 【分析】假设他20道题全做对，则应得20×5分，实际得了52分，做对一道题得5分，做错一题倒扣3分，这样做错一题就少得（5+3）分，据此解答。 【解答】解：根据题意，一共20道题，答对一题得5分，答错一题倒扣3分，刘东得52分，可知： 假设刘东20道题全答对。 20×5＝100（分） 100﹣52＝48（分） 48÷（5+3）＝6（道） 20﹣6＝14（道） 答：刘东一共答对了14道题。 【点评】本题的关键是做错一题少得（5+3）分，根据他的实际得分，求出它做错的题目数，再求做对的题目数。 16．元旦节一位老师带领43名少先队员划船，一共乘坐10条船，每条大船可坐5人，每条小船可坐4人。大船和小船各有几条？（坐满） 【考点】鸡兔同笼． 【答案】大船有4条，小船有6条。 【分析】假设大船有x条，小船有（10﹣x）条，根据题意可知，大船的条数×5人+小船的条数×4人＝总人数，据此列方程为5x+4×（10﹣x）＝43+1，然后解出方程，进而求出小船的条数。 【解答】解：设大船有x条，小船有（10﹣x）条。 5x+4×（10﹣x）＝43+1 5x+4×（10﹣x）＝44 5x+40﹣4x＝44 x+40＝44 x+40﹣40＝44﹣40 x＝4 小船：10﹣4＝6（条） 答：大船有4条，小船有6条。 【点评】此题考查鸡兔同笼的应用。 17．有20张5元和10元的人民币，一共是160元，5元和10的人民币各有多少张？（用两种方法解题，其中一种列表法） 【考点】鸡兔同笼． 【答案】5元有8张，10元有12张。 【分析】可以用假设法来解答，假设都是5元，那么一共有5×20＝100（元），因为一共160元，则少了160﹣100＝60（元），就是因为把10元的也看作了5元，所以10元的有60÷（10﹣5）张，按此计算即可。 运用列表法，可以从两种面值张数差不多的时候进行列表，20＝10+10，即从有10张5元和10张10元进行讨论，用5元的张数乘5元加上10元的张数乘10元，二者相加求出总共钱数，再与160元比较，看是比160元多还是比160元少，然后调整纸币张数，找出正好是160元即可。 【解答】解：由分析可得： 方法一：假设法 5×20＝100（元） 10元的张数： （160﹣100）÷（10﹣5） ＝60÷5 ＝12（张） 5元的张数： 20﹣12＝8（张） 答：5元有8张，10元有12张。 方法二：列表法 5元面值张数 10元面值张数 总钱数 10 10 150 9 11 155 8 12 160 7 13 165 答：5元有8张，10元有12张。 【点评】本题考查了运用假设法和列表法解决鸡兔同笼的问题，列表时可以从中间的数量进行解答，根据总钱数进行调整数据，从而解决问题。 18．家委会采购了一批口罩，分20个装的和50个装的共10袋，合计410个口罩，20个装和50个装的口罩各有多少袋？（用列表的方法解答） 【考点】鸡兔同笼． 【答案】3袋，7袋。 【分析】根据题意，只能采用列表法，列表找出符合题意对应的数量即可。 【解答】解：如下表所示： 根据图表可知：410个口罩是3袋20个装的和7袋50个装的。 答：20个装的口罩有3袋，50个装的口罩有7袋。 【点评】本题考查了列表法解决鸡兔同笼问题的方法。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$