精品解析：北师大版2023-2024学年八年级数学下册期末复习测试题

北师大版八年级数学下册期末复习测试题 考试时间∶120分钟 满分150分 一、单选题（本大题共10小题，每小题4分，总分40分） 1. 下列数学表达式，是不等式的有（ ） ①；②；③；④；⑤；⑥ A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2. 下列式子从左到右变形正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 直线：与直线：在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 无法确定 5. 已知，则代数式的值为（ ） A. 2022 B. 2021 C. 2020 D. 2019 6. 如图，在中，点、分别为、上的中点，则（ ） A. B. C. D. 7. 若锐角三角形内的点满足，则称点为的费马点．如图，在中，，，则的费马点到，，三点的距离之和为（ ） A. B. C. D. 8. 从A地出发去B地，既有高速动车组列车也有普通动车组列车，高速动车组列车比普通动车组列车时速高100千米/小时，乘坐高速动车组列车行驶875千米所用的时间比乘坐普通动车组列车少用1小时，若普通动车组列车的速度是x千米/小时，下列所列方程正确的是（ ） A. B. C D. 9. 如图，在中，，以点B为圆心，以为半径作弧交于点E，以点A为圆心．以任意长为半径作弧，分别交于点M，N，分别以M，N为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在内交于点P，射线交于点F，连接，则的长是（ ） A. B. C. D. 10. 已知在中，，点D是延长线上任意一点，作于点E，于点F，连接，则最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，总分20分） 11. 如果点在第二象限，那么m 的取值范围________． 12. 把分解因式得：，则c的值为______． 13. 如图，在中，，，将绕点B顺时针转，得到，连接，则的长为______． 14. 若关于的不等式组有解且至多有个整数解，且关于的分式方程有正整数解，则所有满足条件的整数的值之和为______． 15. 如图，矩形的面积为，对角线交于点O，以、为邻边作平行四边形，对角线交于点，以，为邻边作平行四边形……依此类推，则平行四边形的面积为 ____________________． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16. （1）解不等式组：； （2）解不等式：； （3）因式分解：； （4）因式分解：． 17. 如图，，点P在的内部，满足．求证：． 18. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1，已知三角形及三角形外一点，平移三角形使点移动到点，得到三角形，的对应点为E，对应点． （1）画出三角形； （2）直接写出三角形的面积． 19. 化简，下面是甲、乙两同学的部分运算过程： 【甲】 【乙】 解：原式…… 解：原式…… 请解答下列问题： （1）甲同学解法依据是______，乙同学解法的依据是______；（填序号） ①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律． （2）请选择一种解法，写出完整的解答过程． 20. 如图，在中，，垂足分别为E，F．求证：． 21. 先化简、再求值：，其中． 22. 超市购进A、B两种商品，购进4件A种商品比购进5件B种商品少用10元，购进20件A种商品和10件B种商品共用去160元． （1）求A、B两种商品每件进价分别是多少元？ （2）若该商店购进A、B两种商品共200件，都标价10元出售，售出一部分商品后降价促销，以标价的八折售完所有剩余商品，以10元售出的商品件数比购进A种商品的件数少30件，该商店此次销售A、B两种商品共获利不少于640元，求至少购进A种商品多少件？ 23. 如图，在中，，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿移动到点时停止，设移动的时间为秒，的面积为． （1）求的面积； （2）求与之间函数关系式，并指出自变量的取值范围． 24. 在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式——利用函数图象研究其性质一一运用函数解决问题＂的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图象．同时，我们也学习了绝对值的意义．结合上面经历的学习过程，现在来解决下面的问题在函数中，当时，当时， （1）求这个函数的表达式； （2）在给出的平面直角坐标系中，请用你喜欢的方法画出这个函数的图象并写出这个函数的一条性质； （3）已知函的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式的解集． 25. 已知四边形是平行四边形，点在对角线上，点在边上，连接，，． （1）如图①，求证； （2）如图②，若，过点作交于点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图②中四个角（除外），使写出的每个角都与相等． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北师大版八年级数学下册期末复习测试题 考试时间∶120分钟 满分150分 一、单选题（本大题共10小题，每小题4分，总分40分） 1. 下列数学表达式，是不等式的有（ ） ①；②；③；④；⑤；⑥ A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的辩别．熟练掌握不等式的特征，是解答此题的关键．不等式的定义：用符号“<”或“>”表示大小关系的式子，叫做不等式，用符号“”表示不相等关系的式子也是不等式． 根据上述定义分别对各个式子进行分析判断即可得出结论． 【详解】在①；②；③；④；⑤；⑥中， 不等式有②；③；⑤；⑥，共4个； 是等式； ④是代数式． 故选：C． 2. 下列式子从左到右变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，分子和分母同时乘上不为0的数，分式的值不变，如果是同时加上或减去不为0的数，分式的值可能会变，据此即可作答． 【详解】解：A、，故该选项是错误的； B、∵分式同时减去4，分式的值可能会变，即，故该选项是错误的； C、，故该选项是错误； D、，故该选项是正确的； 故选：D 3. 下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别．熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义，是解题的关键． 根据轴对称图形：一个平面图形，沿某条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，以及中心对称图形：一个平面图形，绕一点，旋转180°，与自身完全重合，进行判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意； B、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意； 故选D ． 4. 直线：与直线：在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据两函数图象的交点，找出的图象低于的图象时，自变量的取值范围即可． 【详解】解：由图可知，当时，， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一次函数和一元一次不等式，解题关键是根据函数图象，找出符合条件是自变量的取值范围． 5. 已知，则代数式的值为（ ） A. 2022 B. 2021 C. 2020 D. 2019 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是代数式求值，熟练掌握代数式求值的方法是解题的关键．根据，可得，再将其整体代入原式计算即可． 【详解】解：， ， ， 故选：C 6. 如图，在中，点、分别为、上的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中位线，比例的性质．熟练掌握中位线，比例的性质是解题的关键． 由题意知，，，，则，即． 【详解】解：∵点、分别为、上的中点， ∴，，， ∴， ∴， 故选：D． 7. 若锐角三角形内的点满足，则称点为的费马点．如图，在中，，，则的费马点到，，三点的距离之和为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理和解直角三角形，过作于点，过分别作，则，证明，所以点是的费马点，再通过解直角三角形即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】过作于点，过分别作， ∵是等腰三角形， ∴， ∴， ∴点是的费马点， ∵，， ∴， ∴，， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， 即的费马点到，，三点的距离之和为， 故选：． 8. 从A地出发去B地，既有高速动车组列车也有普通动车组列车，高速动车组列车比普通动车组列车时速高100千米/小时，乘坐高速动车组列车行驶875千米所用的时间比乘坐普通动车组列车少用1小时，若普通动车组列车的速度是x千米/小时，下列所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式方程的实际应用，根据题意找到提速前和提速后所用时间的等量关系是解决本题的关键．根据题意可得等量关系为乘坐高速动车组列车的时间=乘坐普通动车组列车的时间，根据等量关系列式即可判断． 【详解】解：根据题意，得， 即． 故选：B． 9. 如图，在中，，以点B为圆心，以为半径作弧交于点E，以点A为圆心．以任意长为半径作弧，分别交于点M，N，分别以M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点P，射线交于点F，连接，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，勾股定理，尺规作图，等边三角形的判定和性质； 过点F作于点G，设，则，列方程求出，再结合勾股定理求解即可． 【详解】过点F作于点G， 由题意得：为的平分线，， ∵， ∴，，是等边三角形，， ∴，则 设，则，，，， ∵，即， ∴， ∴，， ∴ 故选：B． 10. 已知在中，，点D是延长线上任意一点，作于点E，于点F，连接，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理，熟练掌握掌握等边三角形的性质和勾股定理是关键； 连接，延长交于点G，当时，是等边三角形，得出，证明是等边三角形，得出，得出，得出，此时最小，进而即可求解 【详解】连接，延长交于点G，如图： ∵， ∴， 当时，最小，此时， ∵， ∴ ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴，此时最小， ∵， ∴， ∴的最小值， 故选A 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，总分20分） 11. 如果点在第二象限，那么m 取值范围________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查点的坐标所在象限，熟练掌握点的坐标所在象限的特征是解题的关键．根据点的坐标所在第二象限的特征进行求解即可． 【详解】解：根据题意：， ， 故答案：． 12. 把分解因式得：，则c的值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式法则是解题的关键． 根据多项式乘以多项式法则计算，再对比原多项式即可求解． 【详解】解：∵ ∴， 故答案为：3． 13. 如图，在中，，，将绕点B顺时针转，得到，连接，则的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，垂直平分线的判定和性质，解题的关键是掌握直角三角形两直角边平方和等于斜边平方，旋转前后对应边相等． 连接，设与交于点，则是等边三角形，可以得到，进而得到，，然后利用解直角三角形即可解题． 【详解】如图，连接，设与交于点， 由题意得， 是等边三角形， ， ， ，， ， 又∵， ∴， ，， ， ，， ， 故答案为：． 14. 若关于的不等式组有解且至多有个整数解，且关于的分式方程有正整数解，则所有满足条件的整数的值之和为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解不等式组，分式方程，掌握解不等式的方法，取值方法，分式方程解法等知识是解题的关键． 根据解不等式组的方法，取值的方法先算出的取值范围，再解分式方程，得到解，结合题意找出符合题意的的值，即可求解． 【详解】解：， 由①得，， 移项整理得，， 由②去分母得，， 整理得，， ∴， ∵不等式组有解，且至多有5个整数解， ∴， 解得，，且是整数， 关于的分数方程， 去分母得，， ∴，该解是正整数，且，， ∴当时，，不符合题意 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； ∴的值为：， ∴满足条件的整数的值之和为， 故答案为：． 15. 如图，矩形的面积为，对角线交于点O，以、为邻边作平行四边形，对角线交于点，以，为邻边作平行四边形……依此类推，则平行四边形的面积为 ____________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据矩形的性质求出，再根据平行四边形的性质，求得和，同理可得、、、、……观察得到规律，即可得到答案． 【详解】解：四边形是矩形， ，， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， 同理可得，， ， ，， …… 平行四边形的面积为， 平行四边形的面积为， 故答案为：． 【点睛】本题是规律探究型题目，考查了矩形的性质，平行四边形的性质，三角形的面积的应用，解此题的关键是能根据求出的结果得出规律，注意：等底等高的三角形的面积相等． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16. （1）解不等式组：； （2）解不等式：； （3）因式分解：； （4）因式分解：． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【解析】 【分析】本题考查的是一元一次不等式（组）的解法，因式分解，掌握解法步骤是解本题的关键． （1）分别解不等式组中的两个不等式，再确定解集的公共部分即可； （2）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可； （3）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可； （4）逐步利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：（1）； 由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为； （2）； 去分母得：， 去括号得：， 解得：； （3） ； （4） ； 17. 如图，，点P在的内部，满足．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，理解等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 先依据“”判定和全等得，再根据等腰三角形三线合一定理即可得出结论． 【详解】证明：在和中， ， ， ， 即是等腰三角形顶角角平分线， 根据等腰三角形三线合一定理得：． 18. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1，已知三角形及三角形外一点，平移三角形使点移动到点，得到三角形，的对应点为E，对应点． （1）画出三角形； （2）直接写出三角形的面积． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【小问1详解】 解：平移后的三角形如图所示： ； 【小问2详解】 解：如图，三角形的面积为． 19. 化简，下面是甲、乙两同学的部分运算过程： 【甲】 【乙】 解：原式…… 解：原式…… 请解答下列问题： （1）甲同学解法的依据是______，乙同学解法的依据是______；（填序号） ①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律． （2）请选择一种解法，写出完整的解答过程． 【答案】（1）③，② （2） 【解析】 【分析】本题主要考查的是分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据甲、乙的解题过程即可得出结论； （2）选择一种解法进行计算即可． 【小问1详解】 解：甲同学解法的依据是乘法分配律，乙同学解法的依据是分式的基本性质； 故答案为：③，②； 【小问2详解】 解：选择甲： 原式 ； 选择乙： 原式 ． 20. 如图，在中，，垂足分别为E，F．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、平行四边形的性质，先根据平行四边形的性质和垂直定义得到，，，进而证明，然后利用全等三角形的对应边相等可得结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，, ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 21. 先化简、再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的化简是解题的关键．根据运算法则进行化简，再将数值代入即可得到答案． 【详解】解：原式 当时， 原式 ． 22. 超市购进A、B两种商品，购进4件A种商品比购进5件B种商品少用10元，购进20件A种商品和10件B种商品共用去160元． （1）求A、B两种商品每件进价分别是多少元？ （2）若该商店购进A、B两种商品共200件，都标价10元出售，售出一部分商品后降价促销，以标价的八折售完所有剩余商品，以10元售出的商品件数比购进A种商品的件数少30件，该商店此次销售A、B两种商品共获利不少于640元，求至少购进A种商品多少件？ 【答案】（1）A种商品每件进价5元，B种商品每件进价6元； （2）至少购进A种商品100件． 【解析】 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用： （1）根据“购进4件A种商品比购进5件B种商品少用10元，购进20件A种商品和10件B种商品共用去160元”列出方程组解答即可； （2）设购进A种商品件，则B种商品件，“利润不少于640元”列出不等式解答即可． 【小问1详解】 解：设A甲种商品每件进价x元，B种商品每件进价y元， 根据题意，得，解得：， 答：A种商品每件进价5元，B种商品每件进价6元． 【小问2详解】 解：设A种商品购进a件，则B种商品件， 根据题意，得， 解得：， 答：至少购进A种商品100件． 23. 如图，在中，，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿移动到点时停止，设移动的时间为秒，的面积为． （1）求的面积； （2）求与之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了列函数关系式，勾股定理，求三角形面积： （1）根据三角形面积计算公式求解即可； （2）过点C作于D，利用勾股定理求出，再利用面积法求出，再分点P在上，点P在上两种情况根据三角形面积计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵在中，， ∴； 【小问2详解】 解：如图所示，过点C作于D， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， 当点P在上运动，即时，， ∴； 当点P在上运动，即时，， ∴； 综上所述，． 24. 在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式——利用函数图象研究其性质一一运用函数解决问题＂的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图象．同时，我们也学习了绝对值的意义．结合上面经历的学习过程，现在来解决下面的问题在函数中，当时，当时， （1）求这个函数的表达式； （2）在给出的平面直角坐标系中，请用你喜欢的方法画出这个函数的图象并写出这个函数的一条性质； （3）已知函的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式的解集． 【答案】（1）；（2）见解析，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小；（3）. 【解析】 【分析】（1）根据在函数y=|kx-3|+b中，当x=2时，y=-4；当x=0时，y=-1，可以求得该函数的表达式；（2）根据（1）中的表达式可以画出该函数的图象并写出它的一条性质；（3）根据图象可以直接写出所求不等式的解集. 【详解】解：（1）由题意，可得 ∴函数的解析式为： （2） 当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小； （3）； 【点睛】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式与一次函数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答. 25. 已知四边形是平行四边形，点在对角线上，点在边上，连接，，． （1）如图①，求证； （2）如图②，若，过点作交于点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图②中四个角（除外），使写出的每个角都与相等． 【答案】（1）见解析； （2），理由见解析． 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质得，，进而有，从而利用即可证明结论成立； （2）先证四边形是菱形，得，又证，得，由（）得得，根据等角的补角相等即可证明． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（）得， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定及性质、等边对等角、全等三角形的判定及性质以及等角的补角相等．熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$