第二章　一元二次方程 课件 2024-2025学年 北师大版数学九年级上册

第二章　一元二次方程 第1课时　一元二次方程 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 1 1 一元二次方程的相关概念 D C 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 3．方程(2x＋1)(x－1)＝0的二次项系数是______，一次项系数是________，常数项是________. 2 －1 －1 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 2 建立一元二次方程模型 4．根据题意，分别列出方程，并将其化成一元二次方程的一般形式． (1)已知两个连续正奇数的积是15，求这两个数中较小的一个数x. (2)一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长x. (3)一个直角三角形的斜边长为10，两条直角边相差2，求较长的直角边长x. 解：(1)x(x＋2)＝15，x2＋2x－15＝0. (2)x(x－2)＝100，x2－2x－100＝0. (3)x2＋(x－2)2＝100,2x2－4x－96＝0. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 5.若关于x的一元二次方程(m－1)x2＋2x＋m2－1＝0的常数项为0，则m的值是________. 6．如图，一个农户用24 m长的篱笆围成一排一面靠墙、大小相等且彼此相连的三个矩形鸡舍，三个鸡舍的总面积为36 m2.若设每个鸡舍的长为x m，根据题意列出的方程是_______ _________. －1 x(24－ 4x)＝36 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 1．下列方程中，是一元二次方程的是(　 　) A．3x2＋＝0 B．2x－1＝0 C．x2－2x－3 D．x2－1＝0 2．若关于x的方程ax2－2x＋1＝0是一元二次方程，则a的取值范围是(　 　) A．a>0 B．a≥0 C．a≠0 D．a＝1 7．根据题意，分别列出方程，并化成一般形式． (1)如图，某小区有一块长18 m、宽6 m的矩形空地，计划在其中修建两块形状相同的矩形绿地，它们的面积之和为60 m2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．求人行道的宽． (2)教材P33习题T3改编从前有一个醉汉拿着竹竿进城，横拿竖拿都进不去，横着拿竹竿比城门宽 m，竖着拿竹竿比城门高 m，有人告诉他可以试试沿着城 门的两对角斜着拿竿，这个醉汉一试， 不多不少刚好进去了．求竹竿的长． 解：(1)设人行道的宽为x m. 根据题意，得(18－3x)(6－2x)＝60， 即x2－9x＋8＝0. (2)设竹竿的长为x m. 根据题意，得2＋2＝x2. 即x2－4x＋＝0. $$第二章　一元二次方程 第2课时　一元二次方程的根及其估算 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 1 1．下列选项中，是方程x2＋x－12＝0的根的是(　 　) A．1 B．2 C．3 D．4 2．若1是方程x2－3x＋k＝0的一个根，则常数k的值是(　 　) A．1 B．2 C．－1 D．－2 3．若关于x的一元二次方程mx2＋nx－1＝0(m≠0)的一个解是x＝1，则m＋n的值是______. 1 一元二次方程的根 C B 1 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 2 探索一元二次方程的近似解 4．方程x2－92＝0的一个根可能在(　 　) A．4与5之间 B．6与7之间 C．7与8之间 D．9与10之间 D 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 5．下表是某同学求代数式x2－x－2的值的情况，根据表格可知方程x2－x＝2的根是(　 　) A．x＝－1 B．x＝0 C．x＝2 D．x1＝－1，x2＝2 x －2 －1 0 1 2 3 … x2－x－2 4 0 －2 －2 0 4 … D 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 6．根据关于x的一元二次方程x2＋px＋q＝0，可列表如下： 则方程x2＋px＋q＝0的解满足(　 　) A．整数部分是0，十分位是5 B．整数部分是0，十分位是8 C．整数部分是1，十分位是1 D．整数部分是1，十分位是2 x 0 0.5 1 1.1 1.2 1.3 x2＋px＋q －15 －8.75 －2 －0.59 0.84 2.29 C 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 7．已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0.若a－b＋c＝0，则该方程一定有一个根是(　 　) A．x＝0 B．x＝1 C．x＝－1 D．x＝2 C 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 8．已知m是方程x2－3x＋1＝0的一个根，求代数式(m－2)2＋(m－3)(m＋1)的值． 解：由题意，得m2－3m＋1＝0， ∴m2－3m＝－1， ∴(m－2)2＋(m－3)(m＋1)＝2m2－6m＋1＝2(m2－3m)＋1＝－2＋1＝－1. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 9.某大学为改善校园环境，计划在一块长80 m、宽 60 m 的矩形场地中央建一个矩形网球场，网球场占地面积为3 500 m2.如图，四周为宽度相等的人行走道，若设人行走道的宽为x m. (1)请列出相应的方程． (2)x的值可能小于0吗？说说你的理由． (3)x的值可能大于40吗？可能大于30吗？说说你的理由． (4)你知道人行走道的宽是多少吗？说说你的求解过程． 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 解：(1)由题意，得(80－2x)·(60－2x)＝3 500， 整理，得x2－70x＋325＝0. (2)不可能．理由如下： ∵网球场的四周为宽度相等的人行走道，人行走道的宽为x m，∴x＞0. (3)都不可能．理由如下： ∵80－2x＞0,60－2x＞0， ∴x＜40，x＜30， ∴x的值不可能大于40，也不可能大于30. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） (4)人行走道的宽为5 m，求解过程如下： 显然，当x＝5时，x2－70x＋325＝0，所以人行走道的宽为5 m. x 2 3 4 5 6 7 … x2－70x ＋325 189 124 61 0 －59 －116 … 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） $$第二章　一元二次方程 2　用配方法求解一元二次方程 第1课时　直接开平方法与配方法(1) 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 1 1．方程2x2＝8的根是(　 　) A．x1＝x2＝2 B．x1＝x2＝－2 C．x1＝2，x2＝－2 D．x1＝4，x2＝－4 2．方程(x－1)2＝9的根是(　 　) A．x1＝3，x2＝－3 B．x1＝4，x2＝－4 C．x1＝4，x2＝－2 D．x1＝x2＝4 3．若(x＋2)与(x－2)互为倒数，则x的值是______. 1 用直接开平方法解一元二次方程 C C 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 夯实基础 能力提升 思维拓展 4．用直接开平方法解下列方程： (1)(x－1)2＝16.　　　　 解：x1＝5，x2＝－3. (2)3x2－75＝0. 解：x1＝5，x2＝－5. (3)(3x－2)2＝1. 解：x1＝4，x2＝0. 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 夯实基础 能力提升 思维拓展 2 配方 5．用配方法将二次三项式x2＋4x－96变形，下列结果中正确的是(　 　) A．(x＋2)2－100　 B．(x－2)2－100 C．(x＋2)2－92　 D．(x－2)2－92 A 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 夯实基础 能力提升 思维拓展 4 2 9 3 16 4 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 夯实基础 能力提升 思维拓展 3 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 7．用配方法解方程x2－2x＝2时，配方后正确的是(　 　) A．(x＋1)2＝3 B．(x＋1)2＝6 C．(x－1)2＝3 D．(x－1)2＝6 8．一元二次方程x2－4x＋3＝0配方为(x－2)2＝k，则k的值是______. C 1 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 夯实基础 能力提升 思维拓展 9．解方程：x2＋6x＝－8. 解：两边都加______，得x2＋6x＋______＝－8＋______， 即(_______)2＝______， 两边开平方，得______________， 即___________或______________， 所以x1＝________，x2＝________. 32 32 32 x＋3 1 x＋3＝±1 x＋3＝1 x＋3＝－1 －2 －4 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 夯实基础 能力提升 思维拓展 (1)x2－6x＝－4.　　　　 (2)x2＋4x－1＝0. (3)x2－5x＝6. 解：x1＝6，x2＝－1. 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 夯实基础 能力提升 思维拓展 11．用配方法解下列方程，其中配方正确的是(　 　) A．x2－2x＝3可化为(x－1)2＝4 B．x2－4x＝0可化为(x＋2)2＝4 C．x2＋8x＋9＝0可化为(x＋4)2＝25 D．y2－2y－5＝0可化为(y＋1)2＝6 A 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 夯实基础 能力提升 思维拓展 12．已知 x1，x2 是一元二次方程3(x－1)2＝15的两个根，且x1＜x2.下列说法中正确的是(　 　) A．x1 ＜－1，x2 ＞3 B．x1 ＜－2，x2 ＞3 C．－1＜x1＜3，－1＜x2＜3 D．x1＜3，x2＜3 13．已知一元二次方程x2－6x＝－8的两个根分别是等腰三角形ABC的底边长和腰长，则△ABC的周长为________. A 10 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 夯实基础 能力提升 思维拓展 14．在学校劳动基地里有一块长50 m、宽30 m的矩形试验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横开辟三条等宽的小道，如图所示．若这块矩形试验田的种植面积为1 421 m2，求小道的宽. 解：解法一：设小道的宽为x m. 根据题意，得50×30－50x－30x＋x2＝1 421， 整理，得x2－80x＋79＝0， 解得x1＝1，x2＝79(不合题意，舍去)． 答：小道的宽为1 m. 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 夯实基础 能力提升 思维拓展 解法二：设小道的宽为x m. 根据题意，得(50－x)(30－x)＝1 421， 整理，得x2－80x＋79＝0， 解得x1＝1，x2＝79(不合题意，舍去)． 答：小道的宽为1 m. 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 夯实基础 能力提升 思维拓展 15．核心素养·运算能力有n个方程：x2＋2x－8＝0，x2＋2×2x－8×22＝0，…，x2＋2nx－8n2＝0(n≥1，且为正整数)． 小静同学解第一个方程x2＋2x－8＝0的步骤如下： x2＋2x＝8，① x2＋2x＋1＝8＋1，② (x＋1)2＝9，③ x＋1＝±3，④ x＝1±3，⑤ x1＝4，x2＝－2.⑥ 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 夯实基础 能力提升 思维拓展 (1)小静的解法是从步骤______(填序号)开始出现错误． (2)用配方法解第n个方程x2＋2nx－8n2＝0(用含n的代数式表示方程的根)． 解：(1)小静的解法是从步骤⑤开始出现错误的，正确的步骤应为x＝－1±3. (2)x2＋2nx－8n2＝0， x2＋2nx＝8n2， x2＋2nx＋n2＝8n2＋n2， (x＋n)2＝9n2， x＋n＝±3n， x1＝2n，x2＝－4n. ⑤ 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 夯实基础 能力提升 思维拓展 ± 解：x1＝1，x2＝. (4)(x－2)2＝6. 6．填空： (1)x2－4x＋______＝(x－______)2. (2)x2－6x＋______＝(x－______)2. (3)x2＋8x＋________＝(x＋______)2. (4)x2－x＋____ ＝(x－____ )2. 解：x1＝－，x2＝－－. 解：x1＝3＋，x2＝3－. 解：x1＝－2＋，x2＝－2－. (4)x2＋2x－4＝0. $$第二章　一元二次方程 2　用配方法求解一元二次方程 第2课时　配方法(2) 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 1 1 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 D 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 思维拓展 D 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 思维拓展 3．用配方法解一元二次方程3x2＋6x－1＝0时，将它化为(x＋a)2＝b的形式，则a＋b的值为____. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 思维拓展 4．解方程：2x2＋1＝3x. 解：移项，得_____________， 两边同除以______，得___________________， 配方，得______________________________， 即_____________， 2x2－3x＝－1 2 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 思维拓展 两边开平方，得_______________， 即______________________________， 所以___________________. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 思维拓展 5．已知y1＝2x2＋7x－1，y2＝6x＋2，当x＝__________时，y1＝y2. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 思维拓展 6．用配方法解下列方程： (1)2x2－4x－6＝0.　　　 解：x1＝－1，x2＝3. (2)2x2－x－1＝0. (4)3x2－6x－1＝0. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 思维拓展 2 配方法的应用 7．对于任意实数x，代数式 x2－6x＋10 的值是(　 　) A．非负数 B．正数 C．负数 D．整数 8．已知代数式－x2 ＋4x＋1，当x＝______时，代数式有最大值，最大值为______. B 2 5 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 思维拓展 D 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 思维拓展 11．已知2x2－1和x的值互为相反数，则x的值是___________. 12．已知实数a，b满足a－b＝4，则代数式a2－3b＋a－14的最小值是________. B －1或0.5 －3 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 思维拓展 13．教材P38习题T2改编如图，在长32 m、宽20 m的矩形耕地上，修建同样宽的三条道路(两条纵向，一条横向，横向与纵向互相垂直)，把耕地分成大小不等的六块试验田．要使试验田的总面积为570 m2，问道路应多宽？ 解：设道路的宽为x m. 由题意，得(32－2x)(20－x)＝570， 解得x1＝1，x2＝35. ∵x2＝35＞20，不合题意，故舍去， ∴x＝1. 答：道路的宽应为1 m. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 思维拓展 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 思维拓展 请根据材料回答下列问题： (1)根据上面的例子，写出x2－4x＋9三种不同形式的配方． (2)已知x2＋y2＋4x－6y＋13＝0，求－xy的值． (3)当x，y为何值时，代数式5x2－4xy＋y2＋6x＋25取得最小值，最小值为多少？ 解：(1)第一种形式：选取二次项和一次项配方， x2－4x＋9＝x2－4x＋4－4＋9＝(x－2)2＋5. 第二种形式：选取二次项和常数项配方， x2－4x＋9＝x2＋6x＋9－6x－4x＝(x＋3)2－10x，或x2－4x＋9＝x2－6x＋9＋6x－4x＝(x－3)2＋2x. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 思维拓展 (2)原式配方，得x2＋4x＋4＋y2－6y＋9－4－9＋13＝0， 即(x＋2)2＋(y－3)2＝0. ∵(x＋2)2≥0，(y－3)2≥0， ∴x＋2＝0，y－3＝0，解得x＝－2，y＝3， ∴－xy＝(－3)×(－2)＝6. (3)5x2－4xy＋y2＋6x＋25＝4x2－4xy＋y2＋x2＋6x＋9＋16＝(2x－y)2＋(x＋3)2＋16. ∵(2x－y)2＋(x＋3)2≥0，∴(2x－y)2＋(x＋3)2＋16≥16. 当2x－y＝0，x＋3＝0时，5x2－4xy＋y2＋6x＋25取得最小值， 即当x＝－3，y＝－6时，5x2－4xy＋y2＋6x＋25取得最小值，最小值为16. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 思维拓展 1．用配方法解一元二次方程2x2－3x－1＝0时，下列变形结果中正确的是(　 　) A．2＝　 B．2＝ C．2＝　 D．2＝ 2．下列用配方法解方程x2－x－2＝0的四个步骤中，出现错误的步骤是(　 　) x2－x－2＝0x2－2x＝4x2－2x＋1＝5(x－1)2＝5x＝＋1 A．① B．② C．③ D．④ x2－x＝－ x2－x＋2＝－＋2　 2＝ x－＝± x－＝或x－＝－　 x1＝1，x2＝ 1或－ 解：x1＝1＋ ，x2＝1－ . 解：x1＝－，x2＝1. (3)x2＋3＝6x. 解：x1＝12＋2，x2＝12－2. 9．用配方法解下列方程时，配方错误的是(　 　) A．2x2－7x－4＝0化为2＝ B．2t2－4t＋2＝0化为(t－1)2＝0 C．4y2＋4y－1＝0化为2＝ D.x2－x－4＝0化为2＝ 10．如果ax2－2x＋＝2＋m，则a，m的值分别为(　 　) A．3,0　　　　　 B．9，　　　　 C．9，　　　　 D．，9 14．核心素养·运算能力阅读材料：选取二次三项式ax2＋bx＋c(a≠0)中的两项，配成完全平方式的过程叫配方．例如： ①选取二次项和一次项配方：x2－4x＋2＝(x－2)2－2. ②选取二次项和常数项配方：x2－4x＋2＝(x－)2＋(2－4)x，或x2－4x＋2＝(x＋)2－(4＋2)x. ③选取一次项和常数项配方：x2－4x＋2＝(x－)2－x2. 第三种形式：选取一次项和常数项配方， x2－4x＋9＝x2－4x＋9－x2＋x2＝2＋x2. $$第二章　一元二次方程 3　用公式法求解一元二次方程 第1课时　用公式法求解一元二次方程 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 1 1 用公式法解一元二次方程 B 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 思维拓展 D 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 思维拓展 3．解方程：2(x2－2)＝7x. 解：把原方程化成一般形式，得_________________， 这里a＝______，b＝________，c＝________. ∵b2－4ac＝_____________________________0， ∴x＝_________＝______， 即x1＝______，x2＝______. 2x2－7x－4＝0 2 －7 －4 (－7)2－4×2×(－4)＝81> 4 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 思维拓展 4．用公式法解下列方程： (1)x2＋x－3＝0. (2)2x2－1＝4x. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 思维拓展 (3)4x2－3x＝－1. 解：Δ＝－7<0, 无实数根． (4)x(x＋8)＝16. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 思维拓展 2 一元二次方程的判别式 5．一元二次方程x2－2x＝0的根的判别式的值是(　 　) A．4 B．2 C．0 D．－4 6．(2023·河南)关于x的一元二次方程x2＋mx－8＝0的根的情况是(　 　) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 A A 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 思维拓展 7．若关于x的一元二次方程x2－2x－k＝0没有实数根，则k的值可以是(　 　) A．－2 B．－1 C．0 D．1 8．(2023·徐州)关于x的方程x2－4x＋m＝0有两个相等的实数根，则m的值是______. A 4 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 思维拓展 9．(2023·杭州)设一元二次方程x2＋bx＋c＝0.在下面的四组条件中选择其中一组b，c的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程． ①b＝2，c＝1；②b＝3，c＝1；③b＝3，c＝－1；④b＝2，c＝2. 解：在一元二次方程x2＋bx＋c＝0中，a＝1. ①b＝2，c＝1时，Δ＝b2－4ac＝22－4×1×1＝0，方程有两个相等的实数根； ②b＝3，c＝1时，Δ＝b2－4ac＝32－4×1×1＝5>0，方程有两个不相等的实数根； 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 思维拓展 ③b＝3，c＝－1时，Δ＝b2－4ac＝32－4×1×(－1)＝13>0，方程有两个不相等的实数根； ④b＝2，c＝2时，Δ＝b2－4ac＝22－4×1×2＝－4<0，方程没有实数根； 因此可选择②或③. 选择②b＝3，c＝1时，x2＋3x＋1＝0，Δ＝b2－4ac＝32－4×1×1＝5>0， 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 思维拓展 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 思维拓展 10．已知a是一元二次方程2x2－2x－1＝0较大的实数根，则a的值应在(　 　) A．3和4之间 B．2和3之间 C．1和2之间 D．0和1之间 C 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 思维拓展 11．函数y＝kx＋b的图象如图所示，则关于x的一元二次方程x2＋bx＋k－1＝0的根的情况是(　 　) A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 12．若关于x的一元二次方程x2＋2ax＋a＋2＝0有两个相等的实数根，则实数a的值是____________. C －1或2 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 思维拓展 13．用公式法解下列方程： (1)(x－2)(3x－5)＝1. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 思维拓展 (2)0.3y2＋y＝0.8. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 思维拓展 14．(2023·遂宁)我们规定：对于任意实数a，b，c，d有[a，b]*[c，d]＝ac－bd，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：[3,2]*[5,1]＝3×5－2×1＝13. (1)求[－4,3]*[2，－6]的值． (2)已知关于x的方程[x,2x－1]*[mx＋1，m]＝0有两个实数根，求m的取值范围． 解：(1)∵[a，b]*[c，d]＝ac－bd， ∴[－4,3]*[2，－6]＝－4×2－3×(－6)＝－8＋18＝10. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 思维拓展 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 思维拓展 15．已知关于x的一元二次方程(x－1)(x－2k)＋k(k－1)＝0. (1)求证：该方程总有两个不相等的实数根． (2)若该方程的两个根x1，x2是一个矩形的一边长和对角线的长，且矩形的另一边长为3，试求k的值． 解：(1)证明：将方程化成一般形式，得 x2－(2k＋1)x＋k2＋k＝0， 这里a＝1，b＝－(2k＋1)，c＝k2＋k， ∴Δ＝b2－4ac＝(2k＋1)2－4×1×(k2＋k)＝1>0， ∴该方程总有两个不相等的实数根． 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 思维拓展 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 思维拓展 1．用求根公式解方程x2＋2＝2x时，a，b，c的值分别是(　 　) A．a＝1，b＝2，c＝－2 B．a＝1，b＝－2，c＝2 C．a＝－1，b＝－2，c＝－2 D．a＝－1，b＝2，c＝2 2．x＝是下列哪个一元二次方程的根(　 　) A．3x2＋2x－1＝0 B．2x2＋4x－1＝0 C．－x2－2x＋3＝0 D．3x2－2x－1＝0 － 解：x＝. 解：x＝. 解：x＝－4±4. x＝＝，x1＝， x2＝； 选择③b＝3，c＝－1时，x2＋3x－1＝0，Δ＝b2－4ac＝32－4×1×(－1)＝13>0， x＝＝，x1＝， x2＝. 解：将方程化成一般形式，得3x2－11x＋9＝0， 可知a＝3，b＝－11，c＝9， ∴Δ＝b2－4ac＝(－11)2－4×3×9＝13>0， ∴x＝＝， ∴x1＝，x2＝. 解：将方程化成一般形式，得0.3y2＋y－0.8＝0， 可知a＝0.3，b＝1，c＝－0.8， ∴Δ＝b2－4ac＝12－4×0.3×(－0.8)＝1.96>0， ∴y＝＝，∴y1＝－4，y2＝. (2)∵[x,2x－1]*[mx＋1，m]＝0， ∴x·(mx＋1)－(2x－1)·m＝0， 整理，得mx2＋(1－2m)x＋m＝0. ∵关于x的方程[x,2x－1]*[mx＋1，m]＝0有两个实数根， ∴Δ＝b2－4ac＝(1－2m)2－4m2≥0，且m≠0， 解得m≤且m≠0. (2)x2－(2k＋1)x＋k2＋k＝0， x＝＝， ∴x1＝k，x2＝k＋1. ①当x＝k为对角线时，k2＝(k＋1)2＋32， 解得k＝－5(不合题意，舍去)； ②当x＝k＋1为对角线时，(k＋1)2＝k2＋32， 解得k＝4. 综上所述，k的值为4. $$第二章　一元二次方程 3　用公式法求解一元二次方程 第2课时　利用一元二次方程解决面积问题 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 1 1 利用一元二次方程解决面积问题 1．用长为100 cm的金属丝制作一个面积为600 cm2 的矩形框，设该矩形框的长是x cm.根据题意，可列方程为(　 　) A．x(100－x)＝600 B．x(50－x)＝600 C．x(50－2x)＝600 D．x(100－2x)＝600 B 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 思维拓展 2．教材P48习题T3改编某公园有一块正方形的空地，从这块空地上划出部分区域栽种鲜花(如图所示)，原空地一边减少了1 m，另一边减少了2 m，剩余空地的面积为18 m2，求原正方形空地的边长．若设原正方形的空地的边长为x m，则可列方程为(　 　) A．(x＋1)(x＋2)＝18　 B．x2－3x＋16＝0 C．(x－1)(x－2)＝18 D．x2＋3x＋16＝0 C 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 思维拓展 3．如图，把一块长50 cm、宽40 cm的矩形硬纸板的四角分别剪去一个大小相同的小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒(接口处忽略不计)．若该无盖纸盒的底面积为400 cm2，设剪去小正方形的边长为x cm，则可列方程为_______________________. (40－2x)(50－2x)＝400 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 思维拓展 4．如图，该图形的面积为24，根据图中的条件，列出关于x的方程为_____________，x的值是______. (x＋1)2＝25 4 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 思维拓展 5．如图，在平面直角坐标系中，已知点A(a,0)，B(－a，a＋3)(a＞0)．若△AOB的面积为2，求a的值． 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 思维拓展 6．如图，在长为50 m、宽为38 m的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积为1 260 m2，则道路的宽应为多少米？　　　 解：设道路的宽应为x m. 由题意，得(50－2x)×(38－2x)＝1 260， 解得x1＝4，x2＝40(不符合题意，舍去)． 答：道路的宽应为4 m. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 思维拓展 7．如图，EF是一面足够长的墙，用总长为30 m的木栅栏(图中的虚线)围一个矩形场地ABCD，中间用栅栏隔成大小、形状完全相同的三块．若要围成的矩形面积为54 m2，设垂直于墙的边长为x m，则x的值是(　 　) A．3 B．4 C．3或5 D．3或4.5 D 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 思维拓展 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 思维拓展 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 思维拓展 9．为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边，用总长为80 m的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC的长为x m，矩形区域ABCD的面积为y m2. (1)求AE的长(用含x的代数式表示)． (2)当y＝108 m2时，求x的值． 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 思维拓展 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 思维拓展 10．如图，有一农户要建一个矩形鸡舍，鸡舍的一边利用长为a m的墙，另外三边用25 m长的篱笆围成．为了方便进出，在垂直于墙的一边CD上留一个1 m宽的门． (1)若a＝12，问矩形的长和宽分别为多少米时，鸡舍的面积为84 m2? (2)问a的值在什么范围时，(1)中的解有两个？有一个？无解？ (3)若墙的长度足够长，问鸡舍的面积能否达到86 m2? 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 思维拓展 解：(1)设BC＝x m， 则AB＝[(25＋1－x)÷2]m. 由题意，得[(25＋1－x)÷2]·x＝84， 解得x1＝12，x2＝14. ∵0<x≤12，∴x＝12， 则AB＝(25＋1－x)÷2＝(25＋1－12)÷2＝7(m)． 答：矩形的长为12 m，宽为7 m时，鸡舍的面积为84 m2. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 思维拓展 (2)由(1)知x1＝12，x2＝14. ∵0<x≤a， 当a≥14时，(1)中的解有两个； 当12≤a<14时，(1)中的解有一个； 当0<a<12时，(1)中无解． (3)假设鸡舍的面积能达到86 m2. 设BC＝y m，则AB＝[(25＋1－y)÷2]m. 由题意，得[(25＋1－y)÷2]·y＝86， 整理，得y2－26y＋172＝0. ∵Δ＝(－26)2－4×1×172＝676－688＝－12<0， ∴方程无解，故假设不成立． 即鸡舍的面积不能达到86 m2. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 思维拓展 解：由△AOB的面积为2，得a(a＋3)＝2. 化简，得a2＋3a－4＝0， 解得a1＝－4(不合题意，舍去)，a2＝1，∴a＝1. 8．如图，一次函数y＝－2x＋3的图象交x轴于点A，交y轴于点B，点P在线段AB上(不与点A，B重合)，过点P分别作OA和OB的垂线，垂足分别为点C，D. (1)若矩形OCPD的面积为1，则点P的坐标是____________. (2)是否存在一点P，使矩形OCPD的面积为？说明你的理由． 或(1,1) 解：不存在．理由如下： 由题意，可设点P的坐标为(t，－2t＋3)，0<t<，∴t(－2t＋3)＝， 整理，得4t2－6t＋3＝0. ∵a＝4，b＝－6，c＝3， ∴Δ＝b2－4ac＝(－6)2－4×4×3＝－12<0. 即原方程无实数根，则不存在点P，使矩形OCPD的面积为. 解：(1)∵三块矩形区域的面积相等， ∴矩形AEFD的面积是矩形BCFE面积的2倍， ∴AE＝2BE. 设BE＝a，则AE＝2a，AB＝3a， ∴8a＋2x＝80， ∴a＝－x＋10，∴AE＝2a＝－x＋20. (2)∵矩形区域ABCD的面积S＝3BE·BC， ∴3·x＝108， 整理，得x2－40x＋144＝0， 解得x1＝4，x2＝36， 即当y＝108 m2时，x的值为4或36. $$第二章　一元二次方程 4　用因式分解法求解一元二次方程 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 1 1 用因式分解法求解一元二次方程 1．方程(x＋1)(x－1)＝0的根是(　 　) A．x＝－1 B．x＝1 C．x＝0或x＝1 D．x＝±1 2．方程x2－3x＝0的根是(　 　) A．x1＝x2＝3 B．x1＝x2＝0 C．x1＝0，x2＝－3 D．x1＝0，x2＝3 3．方程x(x－2)＝x－2的根是_________________. D D x1＝1，x2＝2 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 思维拓展 4．用因式分解法解下列方程： (1)x2＋3x＝0. 解：x1＝0，x2＝－3. (2)x(x－1)＝2(x－1)． 解：x1＝1，x2＝2. (3)x2－4x＝－4. 　 解：x1＝x2＝2. 　 (4)(3x－1)2－25＝0. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 思维拓展 5．小敏解方程3(x－3)＝(x－3)2的过程如图所示，你认为她的解法是否正确？若错误，请指出错误并写出正确的解答过程. 解：她的解法不正确，忽略了x－3＝0的情况． 正确的解答过程：移项，得3(x－3)－(x－3)2＝0，提取公因式，得(x－3)(3－x＋3)＝0， ∴x－3＝0或3－x＋3＝0，解得x1＝3，x2＝6. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 思维拓展 2 用适当的方法解一元二次方程 6．解方程(x－2)2＝3(x－2)最适当的方法是(　 　) A．因式分解法 B．配方法 C．直接开平方法 D．公式法 A 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 思维拓展 7．用适当的方法解下列方程： (1)4x2－121＝0. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 思维拓展 (2)3x2－6x＝－3. 解：两边同除以3，得x2－2x＝－1， 配方，得x2－2x＋1＝－1＋1， (x－1)2＝0， 开平方，得x－1＝0， 解得x1＝x2＝1. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 思维拓展 (3)2x2＋6x－3＝0. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 思维拓展 (4)3x(2x＋1)＝4x＋2. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 思维拓展 8．当代数式x2＋6x＋5与x－1的值相等时，x的值是(　 　) A．1 B．－1或－5 C．2或3 D．－2或－3 9．已知三角形的两边长为2和5，第三边满足方程x2－7x＋12＝0，则三角形的周长是(　 　) A．10　 B．11 C．10或11　 D．以上都不对 D B 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 思维拓展 12．如图，由铁丝围成的正五边形和正六边形的周长相等，其中正五边形的边长为(x2＋17)cm，正六边形的边长为(x2＋2x)cm(x＞0)，则这两段铁丝的总长为_______cm. 420 10．若矩形ABCD的两邻边长分别为一元二次方程(x－3)2＝x－3的两个实数根，则矩形ABCD的对角线长是_____. 11．若实数a，b满足(a＋2b)(a＋2b－2)＝2a＋4b－4，则4a＋8b＝______. 5 8 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 思维拓展 13．已知M＝x2－x＋1. (1)当M＝3时，求x的值． (2)若M＝3x2＋1，求x的值． 解：(1)当M＝3时，x2－x＋1＝3， 即x2－x－2＝0，∴(x－2)(x＋1)＝0， 解得x1＝2，x2＝－1. (2)若M＝3x2＋1，则x2－x＋1＝3x2＋1， 即2x2＋x＝0， 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 思维拓展 0 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 思维拓展 解：(1)设x2＋y2＝m(m≥0)，则原方程可以转化为2m2＋m＝0， ∴2m(m＋1)＝0， 解得m1＝0，m2＝－1(不合题意，舍去)， ∴m＝0， ∴x2＋y2＝m＝0. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 思维拓展 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 思维拓展 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 思维拓展 解：x1＝2，x2＝－. 解：移项，得4x2＝121， 开平方，得2x＝±11， 解得x1＝－，x2＝. 解：a＝2，b＝6，c＝－3， Δ＝b2－4ac＝62－4×2×(－3)＝60>0， 代入求根公式，得x＝， 解得x1＝－，x2＝－. 解：移项，得3x(2x＋1)－(4x＋2)＝0， 把方程左边因式分解，得(3x－2)(2x＋1)＝0， ∴3x－2＝0或2x＋1＝0， 解得x1＝，x2＝－. 解得x1＝0，x2＝－. 14．新考法“通过等价变换，化复杂为简单，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本思维方式．例如：解方程x－＝0时，就可利用该思维方式，设＝y(y≥0)，将原方程转化为y2－y＝0，这是我们熟悉的关于y的一元二次方程，解出y，再求x，这种方法又叫换元法．请你用这种思维方式和换元法解决下列问题： (1)填空：若2(x2＋y2)2＋(x2＋y2)＝0，则x2＋y2 的值是______. (2)解方程：x2－x＋2－8＝0. (2)设＝t(t≥0)，则原方程可以转化成 t2＋2t－8＝0， ∴(t＋4)(t－2)＝0， 解得t1＝2，t2＝－4(不合题意，舍去)， ∴t＝2， ∴＝t＝2， ∴x2－x＝4， ∴x2－x＋＝，即2＝， 解得x＝±， ∴x1＝，x2＝. $$第二章　一元二次方程 *5　一元二次方程的根与系数的关系 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 1 1 一元二次方程的根与系数的关系 1．若方程x2－3x＋2＝0的两个根为x1，x2，则x1＋x2的值是(　 　) A．1 B．3 C．－3 D．2 B 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 思维拓展 3．若方程x2＋x＝2的两个根为x1，x2，则x1＋x2＋x1x2的值是________. 4．若m，n是方程x2＋x－1＝0的两个实数根，则(m＋1)(n＋1)的值是________. A －3 －1 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 思维拓展 5．已知x1，x2是方程x2＋5x＋1＝0的两个实数根，求下列各式的值： (1)x1＋x2. (2)x1x2. 解：－5. 解：1. 解：23. 解：21. 解：－5. 解：23. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 思维拓展 2 一元二次方程的根与系数的关系的应用 6．若方程x2－(m－4)x－m＝0的两根互为相反数，则m的值为(　 　) A．－2 B．2 C．±2 D．4 7．(2023·乐山)若关于x的一元二次方程x2－8x＋m＝0两根为x1，x2，且x1＝3x2，则m的值为(　 　) A．4 B．8 C．12 D．16 D C 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 思维拓展 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 思维拓展 9．已知关于x的方程x2＋x＋a－2＝0的一个根为1，求a的值及该方程的另一个根． 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 思维拓展 10．已知关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0有两个不相等的实数根x1，x2，则(　 　) A．x1＋x2＜0 B．x1x2＜0 C．x1x2＞－1 D．x1x2＜1 D 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 思维拓展 11．在解关于x的一元二次方程x2＋px＋q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是x1＝－3，x2＝1.小明看错了一次项系数p，得到方程的两个根是x1＝5，x2＝－4，则原来的方程是_______________. 12．若Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长恰好是关于x的一元二次方程x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0的两个实数根，斜边AB＝6，则△ABC的周长为______. x2＋2x－20＝0 14　 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 思维拓展 解：x1＋x2＝4，x1x2＝1， 原式＝x1x2(x1＋x2)＝1×4＝4. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 思维拓展 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 思维拓展 7 1 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 思维拓展 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 思维拓展 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 思维拓展 2．(2023·天津)若x1，x2是方程x2－6x－7＝0的两个根，则(　 　) A．x1＋x2＝6 B．x1＋x2＝－6 C．x1·x2＝ D．x1·x2＝7 (3)x＋x. (4)(x1－x2)2. (5)＋. (6)＋. 8．关于x的一元二次方程2x2＋4mx＋m＝0有两个不相等的实数根x1，x2，且x＋x＝，则m＝______. －　 解：设另一个根为x1， 则 解得 ∴a＝0，另一个根为－2. 13．已知x1，x2是方程x2－4x＋1＝0的两个实数根，求(x1＋x2)2÷的值． 14．已知关于x的一元二次方程x2－(m－3)x－m＝0. (1)求证：方程总有两个不相等的实数根． (2)若方程的两个根为x1，x2，且x＋x－x1x2＝7，求m的值． 解：(1)∵Δ＝[－(m－3)]2＋4m＝(m－1)2＋8>0， ∴方程总有两个不相等的实数根． (2)∵x1＋x2＝m－3，x1x2＝－m， ∴x＋x－x1x2＝(x1＋x2)2－3x1x2＝(m－3)2＋3m＝7， 解得m1＝1，m2＝2. 15．已知实数m，n满足m2－m－1＝0，n2－n－1＝0，且m≠n，则m，n是方程x2－x－1＝0的两个不相等的实数根，由根与系数的关系可知m＋n＝1，mn＝－1. 根据上述材料，解决以下问题： (1)直接应用：已知实数a，b满足：a2－7a＋1＝0，b2－7b＋1＝0，且a≠b，则a＋b＝______，ab＝______. (2)间接应用：在(1)的条件下，求＋的值． (3)拓展应用：已知实数m，n满足：＋＝7，n2－n＝7且mn＋1≠0，求－n的值． 解：(1)∵a2－7a＋1＝0，b2－7b＋1＝0，且a≠b， ∴a，b是方程x2－7x＋1＝0的两个不相等的实数根， ∴a＋b＝7，ab＝1. (2)＋＝＝. ∵a＋b＝7，ab＝1， ∴原式＝＝47. (3)∵＋＝7，n2－n＝7且mn＋1≠0， ∴，－n是方程x2＋x－7＝0的两个不相等的实数根， ∴－n＝＋＝－1. $$第二章　一元二次方程 6　应用一元二次方程 第1课时　运动类问题 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 1 1．新情景如图，某海关缉私艇在C处发现在正北方向30 km 的A处有一艘可疑船只，测得它正以75 km/h 的速度向南偏东方向航行．缉私艇随即以60 km/h的速度向正东方向航行，并在B处拦截．设缉私艇从C处到B处需航行x h，则可列方程为____________________. 运动类问题 (30)2＋(60x)2＝(75x)2　 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 2 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 3．教材P53习题T2改编如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，点P从点A出发沿AC以1 cm/s的速度向点C移动，同时点Q从点C出发沿CB以2 cm/s 的速度向点B移动．当Q运动到B点时，P，Q停止运动，设点P运动的时间为t s，t为何值时，△PCQ的面积等于5cm2? 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 4．如图，一架2.5 m长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，这时B到墙底端C的距离为 0.7 m. (1)若梯子的顶端沿墙下滑0.4 m，则点B将向外移动多少米？ (2)将“下滑0.4 m”改为“下滑0.9 m”，那么该题的答案会是0.9 m吗？为什么？ (3)梯子的顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点 B向外移动的距离，有可能相等吗？为什么？ 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 答：梯子的顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等，此时下滑的距离为1.7 m. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 5．如图，将边长为2 cm的正方形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′.若两个三角形重叠部分的面积为1 cm2，则它移动的距离AA′的长是(　 　) A．0.5 cm　 B．1 cm　 C．1.5 cm　 D．2 cm B 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 答：若这艘轮船自A处按原速度继续航行，在途中会遇到台风；经过1 h轮船最初遇到台风． 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 7．教材P40习题T3改编如图，在矩形ABCD中，AB＝16 cm，AD＝6 cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3 cm/s的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以2 cm/s的速度向点D移动． (1)P，Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ 的面积为33 cm2? (2)P，Q两点从出发开始到几秒时，点P，Q之间 的距离是10 cm? 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 2．如图，甲、乙两点分别从正方形ABCD的顶点C，B同时出发，甲由点C向点D运动，乙由点B向点C运动，甲的速度为1 m/min，乙的速度为2 m/min.若正方形的周长为40 m，则______min后，甲、乙两点首次相距2 m. 解：由题意，得AP＝t cm，CQ＝2t cm，∴CP＝AC－AP＝(6－t)cm. ∵△PCQ的面积等于5cm2， ∠C＝90°，∴CQ·CP＝5， ∴×2t×(6－t)＝5，即t2－6t＋5＝0， 解得t＝1或t＝5(舍去)， ∴当t＝1 s时，△PCQ的面积等于5cm2. 解：(1)设点B将向外移动x m，即BB1＝x，则B1C＝x＋0.7. 由题意，得AC2＋BC2＝AB2， 解得AC＝2.4 m. 在Rt△A1B1C中，由B1C2＋A1C2＝A1B，得方程(x＋0.7)2＋22＝2.52， 解得x1＝0.8，x2＝－2.2(舍去)， ∴点B将向外移动0.8 m. (2)不会是0.9 m. 若AA1＝BB1＝0.9，则A1C＝2.4－0.9＝1.5(m)，B1C＝0.7＋0.9＝1.6(m)． ∴1.52＋1.62＝4.81,2.52＝6.25， ∴A1C2＋B1C2≠A1B， ∴该题的答案不会是0.9 m. (3)有可能相等．设梯子顶端从A处下滑a m，点B向外也移动a m，则有(a＋0.7)2＋(2.4－a)2＝2.52，解得a1＝1.7，a2＝0(舍去)． 6．如图，已知一艘轮船以20 n mile/h的速度由西向东航行，途中接到台风警报，台风中心正以40 n mile/h 的速度由南向北移动，距台风中心20 n mile 的圆形区域(包括边界)都属台风区．当轮船到A处时，测得台风中心移到位于点A正南方向的B处，且AB＝100 n mile.若这艘轮船自 A处按原速度继续航行，在途中会不会遇 到台风？若会，试求经过多长时间轮船最 初遇到台风；若不会，请说明理由． 解：假设轮船途中会遇到台风，且经过t h最初遇到，此时轮船位于C处，台风中心移到E处，如图，连接CE， 则AC＝20t，AE＝AB－BE＝100－40t. ∵AC2＋AE2＝EC2， ∴(20t)2＋(100－40t)2＝(20)2， 化简，得t2－4t＋3＝0， 解得t1＝1，t2＝3(不合题意，舍去)． 解：(1)设P，Q两点从出发开始到x s时，四边形PBCQ的面积为33 cm2， 则PB＝(16－3x)cm，QC＝2x cm. 根据梯形的面积公式，得 (16－3x＋2x)×6＝33，解得x＝5. ∴P，Q两点从出发开始到5 s时，四边形PBCQ的面积为33 cm2. (2)设P，Q两点从出发开始到t s时， 点P，Q之间的距离是10 cm. 如图，过点Q作QE⊥AB，垂足为点E， 则QE＝AD＝6 cm，PQ＝10 cm. ∵PA＝3t cm，CQ＝BE＝2t cm， ∴PE＝AB－AP－BE＝|16－5t|cm， 由勾股定理，得(16－5t)2＋62＝102， 解得t1＝4.8，t2＝1.6， ∴P，Q两点从出发开始到1.6 s或4.8 s时，点P，Q之间的距离是10 cm. $$第二章　一元二次方程 6　应用一元二次方程 第2课时　营销问题与平均变化率问题 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 1 1．某商店购进一种商品，单价为30元．试销中发现这种商品每天的销售量P(件)与每件的销售价 x(元)满足关系：P＝100－2x.若商店在试销期间每天销售这种商品获得200元的利润，根据题意，可列方程为(　 　) A．(x－30)(100－2x)＝200 B．x(100－2x)＝200 C．(30－x)(100－2x)＝200 D．(x－30)(2x－100)＝200 1 营销问题 A 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 2．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每下降1元，平均每天可多售出2件，若降价后商场销售这批衬衫每天盈利 1 250 元．设衬衫的单价降了x元，则可列方程为(　 　) A．(20＋x)(40－2x)＝1 250 B．(20＋x)(40－x)＝1 250 C．(20＋2x)(40－2x)＝1 250 D．(20＋2x)(40－x)＝1 250 D 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 3．新情景某烘焙店生产的蛋糕产品分为六个档次，第一档次(最低档次)的产品每天生产76件，每件利润10元．调查表明：生产提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元．由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，每天的产量会减少4件．若生产的某档次产品一天的总利润为1 080元，则该烘焙店生产的是第几档次的产品？ 解：设烘焙店生产的是第x档次的产品． 根据题意，得(2x＋8)(76＋4－4x)＝1 080， 解得x1＝5，x2＝11(不合题意，舍去)． 答：该烘焙店生产的是第五档次的产品． 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 2 平均变化率问题 4．(2023·无锡)2020年～2022年无锡居民人均可支配收入由5.76万元增长至6.58万元，设人均可支配收入的平均增长率为x，下列方程正确的是(　 　) A．5.76(1＋x)2＝6.58 B．5.76(1＋x2)＝6.58 C．5.76(1＋2x)＝6.58 D．5.76x2＝6.58 A 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 5. (2024·经开一模)2023年以来，某厂生产的电子产品处于高速上升期，该厂生产一件产品起初的成本为225元，经过两次技术改进，现生产一件这种产品的成本比起初下降了30.2元，设每次技术改进产品的成本下降率均为x，则下列方程正确的是(　 　) A．225(1－2x)＝225－30.2 B．30.2(1＋x)2＝225 C．225(1－x)2＝30.2 D．225(1－x)2＝225－30.2 D 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 6．某公司5月份的营业额为25万元，7月份的营业额为36万元，已知6,7月份的增长率相同，则增长率为______. 7．某商店服装销量较好，于是将一件原标价为 1 200 元的服装加价200元销售，结果仍畅销，商家在这基础上将售价又涨了10%.现商家决定搞促销活动，采用连续两次降价的方式将售价恢复原价．若每次降价的百分率相同，求每次降价的百分率(精确到1%)． 解：设每次降价的百分率为x. 根据题意，得(1 200＋200)×(1＋10%)(1－x)2＝1 200， 解得x1≈1.88(不合题意，舍去)，x2≈0.12＝12%. 答：每次降价的百分率约为12%. 20% 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 8．某果园今年栽种果树300棵，现计划扩大种植面积，使今后两年的栽种量都比前一年增长相同的百分数，这样三年(包括今年)的总栽种量为 2 100 棵．若这个百分数为x，则根据题意，可列方程为(　 　) A．300(1＋x)2＝2 100　 B．300(1＋x)＋300(1＋x)2＝2 100 C．300＋300(1＋x)2＝2 100　 D．300＋300(1＋x)＋300(1＋x)2＝2 100 D 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 9．某水果店标价为10元/千克的某种水果，经过两次降价后，价格为8.1元/千克，并且两次降价的百分率相同． (1)求该水果每次降价的百分率． (2)从第二次降价的第1天算起，第x天(x为整数)的销量及储藏和损耗费用的相关信息如下表所示： 时间/天 x 销量/千克 120－x 储藏和损耗费用/元 3x2－64x＋400 已知该水果的进价为4.1元/千克，设销售该水果第x天(1≤x＜10)的利润为377元，求x的值． 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 解：(1)设该水果每次降价的百分率为y. 由题意，得10(1－y)2＝8.1， 解得y1＝0.1＝10%，y2＝1.9(不合题意，舍去)． 答：该水果每次降价的百分率为10%. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） (2)由题意，得(8.1－4.1)(120－x)－(3x2－64x＋400)＝377， 整理，得x2－20x＋99＝0， 解得x1＝9，x2＝11(不合题意，舍去)． ∴x＝9. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 解：(1)设3月份再生纸产量为x t，则4月份的再生纸产量为(2x－100)t， 由题意，得x＋(2x－100)＝800，解得x＝300， ∴2x－100＝500. 答：4月份再生纸的产量为500 t. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） (3)设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为y,5月份再生纸的产量为a t， 得1 200(1＋y)2·a(1＋y)＝(1＋25%)×1 200·(1＋y)·a， ∴1 200(1＋y)2＝1 500. 答：6月份每吨再生纸的利润是1 500元． 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 10．新情景某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使再生纸项目的生产规模不断扩大．该厂3,4月份共生产再生纸800 t，其中4月份再生纸产量是3月份的2倍少100 t. (1)求4月份再生纸的产量． (2)若4月份每吨再生纸的利润为1 000元，5月份再生纸产量比上月增加m%.5月份每吨再生纸的利润比上月增加%，则5月份再生纸项目月利润达到66万元．求m的值． (2)由题意，得500(1＋m%)·1 000(1＋%)＝660 000， 解得m%＝20%或m%＝－3.2(不合题意，舍去)， ∴m＝20. $$第二章　一元二次方程 6　应用一元二次方程 第3课时　其他问题 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 1 1 数字问题 B 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 3．在2024年8月日历表上可以用一个方框框出4个数(如图所示)．若框出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最小数．(请用方程知识解答) 解：设这个最小数为x，则最大数为(x＋8)． 由题意，得x(x＋8)＝65， 整理，得x2＋8x－65＝0， 解得x1＝5，x2＝－13(不合题意，舍去)． 答：这个最小数为5. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 2 循环问题 4．某初中毕业班的每一名同学都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送了462张照片．设全班有x名学生，则可列方程为(　 　) A．x(x＋1)＝462 B．x(x－1)＝462 C．2x(x＋1)＝462 D．x(x－1)＝462×2 5．在一次生日聚会上，有人提议与会的每名同学都与其他同学握一次手．若参加这次聚会的所有同学共握手105次，则参加此次聚会的同学共有________人． B 15 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 3 传播问题 6．跨学科·生物学生物学家研究发现，很多植物的生长都有一定的规律：主干长出若干数目的枝干后，每个枝干又会长出同样数目的小分枝．现有符合上述生长规律的某种植物，它的主干、枝干和小分枝的总数是91.若设这种植物每个枝干长出x个小分枝，则可列方程为(　 　) A．(1＋x)2＝91 B．1＋x＋x2＝91 C．1＋x＋(1＋x)x＝91 D．1＋(1＋x)＋(1＋x)2＝91 B 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 7．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有64个人患了流感．假设每轮传染中，平均一个人传染了x个人，则可列方程为______________________________. 1＋x＋x(x＋1)＝64或(x＋1)2＝64 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 8．一个多边形有9条对角线，则这个多边形的边数是(　 　) A．6 B．7 C．8 D．9 A 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 9．某研究所在研究某种流感病毒时发现，若一人携带此病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有169人患病(假设每轮每人传染的人数相同)，求： (1)每轮传染中平均每个人传染了几个人？ (2)若这些病毒携带者未进行有效隔离，按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有多少人患病？ 解：(1)设每轮传染中平均每个人传染了x个人． 依题意，得1＋x＋x(x＋1)＝169， 解得x1＝12，x2＝－14(不合题意，舍去)． 答：每轮传染中平均每个人传染了12个人． 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） (2)169×(1＋12)＝2 197(人)． 答：按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有 2 197 人患病． 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 1．两个连续奇数的积为323，设其中较小的一个奇数为x，则可列方程为(　 　) A．x(x－2)＝323 B．x(x＋2)＝323 C．x(x－1)＝323 D．(2x－1)(2x＋1)＝323 2．一个两位数字，十位数字比个位数字大3，且这两个数字之积等于这个两位数字的，若设个位数字为x，则可列方程为________________________. x(x＋3)＝× $$第二章　一元二次方程 ★单元核心考点归纳 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 1 1 一元二次方程的相关概念 1．已知关于x的方程x2＋4kx＋2k2＝4的一个根是x＝－2，则k的值是(　 　) A．2或4 B．0或4 C．－2或0 D．－2或2 2．已知m是方程x2－x－1＝0的一个根，则式子2m2－2m＋2 024的值是(　 　) A．2 023 B．2 024 C．2 025 D．2 026 B D 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 3．已知关于x的方程(n－2)x|3n－4|＋3nx＋3＝0是一元二次方程，则n＝____，这个一元二次方程是___________________. 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 2 解一元二次方程 4．方程(x－1)2＝1的根是(　 　) A．x1＝x2＝1 B．x1＝x2＝－1 C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝－2，x2＝0 5．一元二次方程x2－6x－6＝0配方后可化为(　 　) A．(x－3)2＝15 B．(x－3)2＝3 C．(x＋3)2＝15 D．(x＋3)2＝3 C A D 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 7．已知0是关于x的方程mx2＋5x＋m2－2m＝0的一个根，则m的值是______. 8．已知三角形的两边长为3和7，第三边的长是方程x(x－7)－10(x－7)＝0的一个根，则这个三角形的周长为______. 2或0 17 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 9．解下列方程： (1)(x－1)2＝16. 解：(1)x1＝5，x2＝－3. (2)x2－6＝－2(x＋1)． (3)3x2＋5(2x＋1)＝0. (4)3x(x－2)－2(2－x)＝0. 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 3 一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系 10．下列一元二次方程中有实数解的是(　 　) A．2x2－x＋1＝0 B．x2－2x＋2＝0 C．x2＋3x－2＝0 D．x2＋2＝0 11．设x1，x2是方程x2＋5x－3＝0的两个根，则x1＋x1x2＋x2的值是(　 　) A．5 B．8 C．2 D．－8 C D 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 13．(2023·泰州)关于x的一元二次方程x2＋2x－1＝0的两根之和为________. 14．(2023·上海)已知关于x的一元二次方程ax2＋6x＋1＝0没有实数根，那么a的取值范围是________. A －2 a>9 创新作业本·数学九年级上（北师大版） (一)数字问题 15．已知两个连续整数的积是20，求这两个整数的和． 解：设这两个整数是x和x＋1. 由题意，得x(x＋1)＝20，解得x1＝4，x2＝－5， ∴这两个整数的和是9或－9. 4 一元二次方程的应用 创新作业本·数学九年级上（北师大版） (二)循环问题 16．已知参加某次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手10次，则有多少人参加聚会？ 解：设有x人参加聚会． 答：有5个人参加聚会． 创新作业本·数学九年级上（北师大版） (三)面积问题 17．在一幅长8 dm、宽6 dm的矩形风景画(如图1所示)的四周镶宽度相同的金色纸边，制成一幅矩形挂图(如图2所示)．若要使整个挂图的面积是80 dm2，求金色纸边的宽． 解：设金色纸边的宽为x dm. 由题意，得(2x＋6)(2x＋8)＝80. 解得x1＝1，x2＝－8(不合题意，舍去)． 答：金色纸边的宽为1 dm. 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 18．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm，点P从点A开始沿边AB向点B以1 cm/s 的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以 2 cm/s 的速度移动，点P，Q分别从点A，B同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动． (1)经过几秒钟，△PBQ的面积为8 cm2? 解：(1)2 s或4 s. (2)3.4 s. 创新作业本·数学九年级上（北师大版） (四)营销问题 19．新情景成都大运会吉祥物为“蓉宝”，“蓉宝”的样子和形态，充分诠释了成都的新时代特点和城市魅力，吸引了无数人们的目光，因而“蓉宝”手办特别惹人喜爱． (1)据市场调研发现，某工厂今年7月份共生产500个“蓉宝”手办，9月份生产了720个，求该工厂平均每月生产量增长率是多少． (2)已知某商店“蓉宝”手办平均每天可销售20个，每个盈利40元，在每个降价幅度不超过10元的情况下，每下降2元，则每天可多售10件，如果每天要盈利1 440元，则每个“蓉宝”手办应降价多少元？ 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 解：(1)设该工厂平均每月生产量的增长率为x. 依题意，得500(1＋x)2＝720， 解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(不合题意，舍去)． 答：该工厂平均每月生产量的增长率为20%. 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 答：每个“蓉宝”手办应降价4元． 创新作业本·数学九年级上（北师大版） －x2＋2x＋3＝0 6．下列方程中，最适合用公式法求解的是(　 　) A．(x＋1)2＝16 B．x2＝1 C．(x－1)2－4＝0 D．x2－3x＋1＝0 解：(2)x1＝－1＋，x2＝－1－. 解：(3)x1＝，x2＝. 解：(4)x1＝－，x2＝2. 12．(2023·广州)已知关于x的方程x2－(2k－2)x＋k2－1＝0有两个实数根，则－()2的化简结果是(　 　) A．－1 B．1 C．－1－2k D．2k－3 由题意，得 ＝10，解得x1＝－4(不合题意，舍去)，x2＝5. (2)经过几秒钟，P，Q两点间的距离为 cm? (2)设每个“蓉宝”手办降价y元，则每个盈利(40－y)元，平均每天可售出20＋10×＝(20＋5y)个． 依题意，得(40－y)(20＋5y)＝1 440， 整理，得y2－36y＋128＝0， 解得y1＝4，y2＝32(不合题意，舍去)． $$第二章　一元二次方程 综合与实践一　数形结合与方程思想 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 1 大约于公元前2000年，古巴比伦人用“长”，“宽”及“面积”来代表未知数及它们的乘积．如图1，长代表a，宽代表b，长方形的面积代表ab.大约于公元830年，阿尔·花拉子米(Al-Khwarizmi)在《代数学》中介绍了用几何学方式求方程的解． 创新作业本·数学九年级上（北师大版） (1)某实践小组对《代数学》的内容进行研习后，也尝试用几何学方式解方程x2＋4x－5＝0(x>0)，并形成以下操作步骤： 第一步：将方程变形成x2＋4x＝5； 第二步：构造边长为x＋2的正方形(如图2)； 第三步：求得右下角正方形面积S的值是____； 第四步：用两种方法表示图中大正方形的面积： (x＋2)2＝x2＋2x＋2x＋S＝x2＋4x＋S， 将x2＋4x＝5代入等式右边， 可得(x＋2)2＝____. ∵x>0， ∴x＝____. 请补全该实践小组求解过程中①②③所缺的内容． (2)请参照上述方法解方程x2＋5x－14＝0(x>0)． ① ② ③ 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 解：(1)①4；②9；③1. (2)第一步：将方程变形成x2＋5x＝14； 第二步：构造一个边长为x＋的正方形(如图)； 第三步：求得右下角正方形的面积S的值是； 第四步：用两种方法表示图中大正方形的面积： 2＝x2＋x＋x＋S＝x2＋5x＋S， 将x2＋5x＝14代入等式的右边，可得2＝14＋S＝. ∵x>0，∴x＝2. $$第二章　一元二次方程 综合与实践二　数形规律与方程思想 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 1 在数学活动课上，同学们对三角形点阵中前n行的点数计算进行探究活动：如图1是一个三角形点阵，从上到下有无数行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第n行有n个点…… [发现问题]在探究的过程中，容易发现10是三角形前4行的点数和，但是遇到较大的点数，“逐个数”行数很繁琐． [提出问题]小明提出问题：300是前多少行的点数和？ [分析问题]智慧小组分别从数和形两个角度探究前n行的点数和. 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 从数的角度看 从形的角度看 通过具体的数字，想到了一种计算方法——倒序相加法． 例：求前10行的点数和． S＝1＋2＋3＋…＋10①， 由①式倒序：S＝10＋9＋…＋2＋1②， ①＋②：2S＝(10＋1)＋(9＋2)＋…＋(10＋1) ＝11×10＝110， 所以S＝55，即前10行点数和为55. 利用图形的特征进行计算．如图2，将一个正立的三角形点阵倒立，再与正立的原图形的三角形点阵拼成一个平行四边形点阵，三角形点阵点数和为平行四边形点阵数量的一半． 创新作业本·数学九年级上（北师大版） [解决问题](1)根据以上材料，类比“从数的角度看”的推理方法，请推导出前n行的点数和(用含n的式子表示)，并解决小明提出的问题． [应用延伸](2)如果把三角形点阵的点数依次换为1,3,5,7…，如图3，这个三角形点阵前n行的点数和能是600吗？请说明理由． 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 创新作业本·数学九年级上（北师大版） (2)这个三角形点阵前n行的点数和不能是600.理由如下： S＝1＋3＋5＋…＋(2n－1)①， 由①式倒序：S＝(2n－1)＋(2n－3)＋(2n－5)＋…＋3＋1②， ①＋②：2S＝2n＋2n＋…＋2n＝2n·n， 所以S＝n2，即前n行点数和为n2. 当n2＝600时，n不是整数，所以这个三角形点阵前n行的点数和不能是600. 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 解：(1)S＝1＋2＋3＋…＋n①， 由①式倒序：S＝n＋(n－1)＋…＋2＋1②， ①＋②：2S＝(n＋1)＋(n－1＋2)＋…＋(n＋1)＝n(n＋1)， 所以S＝，即前n行点数和为. 当＝300时，解得n＝24或n＝－25(舍)， 即前24行的点数之和为300. $$