第四章　图形的相似 课件 2024-2025学年 北师大版数学九年级上册

第四章　图形的相似 1　成比例线段 第1课时　线段的比和成比例线段 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 1 2．已知线段AB.若在线段BA的延长线上取一点C，使CA＝3AB，则线段CA与线段CB的比是(　 　) A．3 ：4 B．2 ：3 C．3 ：5 D．1 ：2 1 线段的比 A A 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 3．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，则AC：AB＝__________，OA ：OD＝________. 1 ：1 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 2 成比例线段 4．下列各组线段中，成比例线段的是(　 　) A．1,2,3,4 B．1,2,2,4 C．3,5,9,13 D．1,2,2,3 5．在1 ：100 000的地图上，A，B两点之间的距离是 5 cm，则A，B两地之间的实际距离是(　 　) A．5 km B．50 km C．500 km D．5 000 km 6．已知线段a，b，c，d成比例，且a＝3 cm，b＝6 cm，c＝2 cm，则d＝______cm. B A 4 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） D 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 10．如图，下列各组线段：①AC，AD，CD，BD；②BC，AB，CD，BC；③AB，BC，BC，CD；④CD，BD，AD，AB.其中成正比例的有(　 　) A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 B 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 9 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 13．如图，矩形纸片ABCD的长BC＝5，宽AB＝2，按照图中所示方式将它裁成矩形ABFE与矩形CDEF，若矩形ABFE和矩形CDEF的短边与长边之比相等，求AE的长． 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 1．若线段AB＝10 cm，CD＝20 cm，则AB ：CD的值是(　 　) A． B． C． D．2 ：1 7．已知线段a，b，c，根据以下条件回答问题． (1)若a＝2 cm，b＝5 cm，c是a，b的比例中项线段，求c的长． (2)若＝＝，a＋b＋c＝54 cm，求a，b，c的长． 解：(1)∵c2＝a×b＝2×5＝10， ∵c的长是 cm. (2)设＝＝＝k. ∴a＝2k，b＝3k，c＝4k， ∴a＋b＋c＝2k＋3k＋4k＝54，解得k＝6 cm， ∴a＝12 cm，b＝18 cm，c＝24 cm. 8．如图，已知矩形ABCD和矩形A′B′C′D′，AB＝8 cm，BC＝12 cm，A′B′＝4 cm，B′C′＝6 cm. (1)求和的值． (2)线段A′B′，AB，B′C′，BC是成比例线段吗？ 解：(1)，. (2)是成比例线段． 9．如图，作线段AB的垂直平分线交AB于点O，在这条垂直平分线上截取OC＝OA，以点A为圆心，AC长为半径画弧交AB于点P，则线段AP与线段AB的比是(　 　) A． ：2　 B．1 ： C． ：　 D．1 ： 11．如图，在△ABC中，AB＝24，AE＝6，EC＝10，＝，则AD＝______. 12．如图，若点P在线段AB上，点Q在线段AB的延长线上，AB＝10，＝＝.求线段PQ的长． 解：设AP＝3x，BP＝2x. ∵AB＝10， ∴AB＝AP＋BP＝3x＋2x＝5x，即5x＝10. ∴x＝2，∴AP＝6，BP＝4. ∵＝， ∴可设BQ＝y，则AQ＝AB＋BQ＝10＋y. ∴＝，解得y＝20. ∴PQ＝BP＋BQ＝4＋20＝24. 解：设AE＝x，则DE＝5－x.应分两种情况进行讨论： ①当＝时，即＝，解得x＝1或4； ②当＝时，即＝，解得x＝. 综上所述，AE的长为1或4或. $$第四章　图形的相似 1　成比例线段 第2课时　比例的性质 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 1 1 比例的基本性质 A 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） B 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 2 比例的等比性质 30 30 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） C C 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 4 10 14 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 1．已知2x＝3y(y≠0)，则的值是(　 　) A． B．2 C． D． 2．已知＝，则下列等式中一定成立的是(　 　) A．2x＝3y B．3x＝2y C．x＝2y D．xy＝6 3．(1)若＝，则＝____. (2)若＝，则＝____. 4．已知＝＝(b＋d≠0)，则＝____. 5．已知＝＝＝，b＋d＋f＝50，则a＋c＋e＝________. 6．在△ABC和△DEF中，若＝＝＝，则△ABC与△DEF的周长之比为____. 7．在△ABC和△DEF中，已知＝＝＝，且△DEF与△ABC的周长之差为15 cm，则△ABC的周长为________cm. 8．已知＝＝＝，则 的值是(　 　) A． B． C． D． 9．已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且(a－c)：(a＋b)：(c－b)＝－2：7：1，则△ABC是(　 　) A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 10．若＝＝，且x＋2y＋z＝38，则x＝______，y＝________，z＝________. 11．已知＝＝＝＝k，求k的值． 解：①当a＋b＋c＋d≠0时， 由题意，得＝＝k， ∴k＝. ②当a＋b＋c＋d＝0时， 由题意，得＝＝－1＝k， ∴k＝－1. 综上所述，k的值为－1或. $$第四章　图形的相似 2　平行线分线段成比例 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 1 1 平行线分线段成比例 B 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 2．如图，AD∥BE∥CF，它们分别交直线l1，l2于点A，B，C和点D，E，F.若AB＝1，AC＝4，DE＝2，则DF的长是(　 　) A．4 B．5 C．6 D．8 D 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 3．如图，AD∥BE∥CF，它们分别交直线l1，l2于点A，B，C和点D，E，F.若DE：EF＝3：5，AC＝24，则BC＝_____. 15 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 4．如图，直线l1∥l2∥l3，它们分别交直线l4，l5于点A，B，C和点D，E，F. (1)若AB＝3，BC＝6，DE＝4，求EF的长． (2)若DE：EF＝2：3，AC＝25，求AB的长． 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 2 平行线分线段成比例的推论 C 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 6．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝6，AB＝9，AE＝4，则EC的长是(　 　) A．1 B．2 C．3 D．4 B 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） B 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） B 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 4 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 11．教材P85习题T4改编如图，在△ABC中，点D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，且DE∥BC，DF∥AC，若AE：EC＝3：4，BC＝21，则BF＝________. 12 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 13．如图，AB∥DF，∠EAB＝∠BCF. (1)判断四边形ABCD的形状，并说明理由． (2)求证：OB2＝OE·OF. 解：(1)四边形ABCD是平行四边形．理由如下： ∵AB∥DF， ∴∠EAB＝∠D. 又∵∠EAB＝∠BCF， ∴∠D＝∠BCF， ∴AD∥BC. 又∵AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形． 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 1．如图，直线a∥b∥c，直线m分别交直线a，b，c于点A，B，C，直线n分别交直线a，b，c于点D，E，F.若＝，则的值是(　 　) A． B． C． D． 解：(1)∵l1∥l2∥l3，∴＝. ∵ AB＝3，BC＝6，DE＝4， ∴＝，∴EF＝8. (2)∵l1∥l2∥l3，∴＝， 又∵DE：EF＝2：3， ∴＝，∴AC＝AB＋BC＝25， ∴AB＝×25＝10. 5．如图，在△ABC中，DE∥BC.若＝，则的值是(　 　) A． B． C． D． 7．如图，在△ABC中，点D，E分别在边BA，CA的延长线上，且DE∥BC，＝2，则下列结论中正确的是(　 　) A．＝ B．＝ C．＝2 D．＝2 8．如图，在四边形ABCD中，点E是对角线BD上的一点，EF∥AB，EM∥CD，求＋的值． 解：∵EF∥AB，EM∥CD， ∴＝，＝， ∴＋＝＋＝＝＝1. 9．如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AB交AC于点E.若＝，则的值是(　 　) A． B． C． D． 10．(2023·益阳)如图，在▱ABCD中，AB＝6，AD＝4，以点A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，连接DE，分别以点D，E为圆心，以大于DE的长为半径画弧，两弧交于点F，作射线AF，交DE于点M，过点M作MN∥AB交BC于点N，则MN的长为______. 12．如图，AC∥BD，AD与BC相交于点E，过点E作EF∥BD，交线段AB于点F. (1)求证：＝. (2)求证：＋＝1. 证明：(1)∵EF∥BD， ∴＝. ∵AC∥BD， ∴EF∥AC，∴＝，∴＝. (2)∵EF∥BD， ∴＝. ∵EF∥AC， ∴＝. ∴＋＝＋＝＝＝1. (2)证明：∵AE∥BC，∴＝. ∵AB∥CF，∴＝， ∴＝，∴OB2＝OE·OF. $$第四章　图形的相似 3　相似多边形 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 1 1．用放大镜观察到的多边形与原多边形的关系是(　 　) A．形状不同，大小不同 B．形状相同，大小相同 C．形状相同，大小不同 D．形状不同，大小相同 1 相似多边形的定义及性质 C 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 2．下列说法中错误的是(　 　) A．相似多边形的对应边成比例 B．相似多边形的对应角相等 C．相似多边形的边数相同 D．对应边成比例的两个多边形是相似多边形 3．一个四边形各边之比为1：2：5：7.若与它相似的四边形的最长边为21 cm，则其余三边之和是(　 　) A．24 cm B．21 cm C．13 cm D．9 cm D A 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 5 90° 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 5．如图是两个相似的四边形，求边x，y的长和α，β的度数． 解：β＝140°，α＝360°－140°－66°－54°＝100°. ∵14：4＝y：8＝x：6， ∴x＝21，y＝28. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 2 相似多边形的判定 6．下列说法中正确的是(　 　) A．对应角相等的两个多边形相似 B．对应边成比例的两个多边形相似 C．边数相同的正多边形都相似 D．有一组角对应相等的两个平行四边形相似 C 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 7．甲、乙、丙三名同学各制作了一个矩形模型，尺寸如图所示，其中相似的是(　 　) A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．甲、乙和丙 B 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 8．下列图形中不一定是相似图形的是(　 　) A．两个等边三角形 B．两个等腰直角三角形 C．两个菱形 D．两个正方形 C 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 9．如图，点E，F分别是▱ABCD的边AD，BC的中点．若四边形AEFB与▱ABCD相似，且AB＝4，则AD＝______. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 10．如图，矩形ABCD的长AB＝30，宽BC＝20. (1)若沿矩形ABCD四周有宽为1的环形区域，图中所形成的两个矩形ABCD与A′B′C′D′相似吗？请说明理由． (2)若沿矩形ABCD四周有上下宽为1，左右宽为 x的环形区域，当x为何值时，矩形ABCD∽矩形A′B′C′D′？ 解：(1)不相似．∵AB＝30，A′B′＝28，BC＝20，B′C′＝18，而28：30≠18：20， ∴不相似． (2)由题意知，(30－2x)：30＝(20－2)：20， 解得x＝1.5. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 4．若△ABC∽△A′B′C′，相似比为，且AC＝3，BC＝4，AB＝5，则A′C′＝______，B′C′＝____，A′B′＝____，∠C′＝_____. 4 $$第四章　图形的相似 4　探索三角形相似的条件 第1课时　两角分别相等 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 1 1．(2023·重庆B卷)如图，已知△ABC∽△EDC，AC∶EC＝2∶3，若AB的长为6，则DE的长为(　 　) A．4 B．9 C．12 D．13.5 1 相似三角形的定义 B 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 2．如图，△ABC∽△DEF，若∠EDF＝135°，则∠BAC的度数是(　 　) A．105° B．115° C．125° D．135° D 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 3．若△ABC的各边都分别扩大到原来的2倍，得到△A1B1C1，则下列说法中正确的是(　 　) A．△ABC与△A1B1C1的对应角不相等 B．△ABC与△A1B1C1不一定相似 C．△ABC与△A1B1C1相似 D．△ABC与△A1B1C1全等 C 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 2 两角分别相等的两个三角形相似 4．如图所示的三个三角形中，相似的是(　 　) A．①和② B．②和③ C．①和③ D．①和②和③ A 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 5．下列各组图形中有可能不相似的是(　 　) A．各有一个角是45°的两个等腰三角形 B．各有一个角是60°的两个等腰三角形 C．各有一个角是105°的两个等腰三角形 D．两个等腰直角三角形 A 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 6．如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E在边AC上，请添加一个条件________________________，使△ADE∽△ABC. ∠ADE＝∠B(答案不唯一) 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 15 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） ABC ACD ∠ACB 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 9．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点E是边AC上一点，且BE＝BC，过点A作BE的垂线，交BE的延长线于点D，求证：△ADE∽△ABC. 证明：∵BE＝BC， ∴∠C＝∠BEC. ∵∠BEC＝∠AED， ∴∠AED＝∠C. ∵AD⊥BD，∴∠D＝90°. ∵∠ABC＝90°，∴∠D＝∠ABC， ∴△ADE∽△ABC. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 10.如图，∠BCA＝∠CDA＝90°. (1)求证：CD2＝BD·DA． (2)若AC＝3，BC＝4，求BD，DA的长． 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 11．如图，在平面直角坐标系中，点C为△AOB的边OA上的一点，AC：OC＝1：2，过点C作CD∥OB交AB于点D，点C，D的纵坐标分别为1,3，则点B的纵坐标为(　 　) A．4 B．5 C．6 D．7 C 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 12．如图，点P为线段AB上的一点，AD交BC于点E，∠CPD＝∠A＝∠B，BC交PD于点F，AD交PC于点G，则下列说法中错误的是(　 　) A．△CGE∽△CBP B．△APD∽△PGD C．△APG∽△BFP D．△PCF∽△BCP A 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 13．如图，在▱ABCD中，点E是边AD上的三等分点．若∠AEB＝∠BDC，AB＝3，则与△ABE相似的三角形有______ ________，AE＝____. △BCD， △ABD 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 14．(2023·河南)在矩形ABCD中，点M为对角线BD的中点，点N在边AD上，且AN＝AB＝1.当以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，AD的长为____________. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 15．(2023·上海)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点F，E分别在线段BC，AC上，且∠FAC＝∠ADE，AC＝AD. (1)求证：DE＝AF. (2)若∠ABC＝∠CDE，求证：AF2＝BF·CE. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 7．如图，已知AB∥CD，AD与BC相交于点O.若＝，AB＝10，则CD＝________. 8．如图，若∠ACD＝∠B. (1)△_________∽△_______，对应边的比例式为___________ _____，∠ADC＝__________. (2)若AC＝2，AB＝3，则AD＝____. ＝＝ 解：(1)易证△CDA∽△BDC， ∴＝， ∴CD2＝BD·DA． (2)BD＝，DA＝. 2或＋1 证明：(1)∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠ACF. 在△DAE和△ACF中， ∴△DAE≌△ACF(ASA)，∴DE＝AF. (2)∵△DAE≌△ACF，∴∠AFC＝∠DEA， ∴180°－∠AFC＝180°－∠DEA， 即∠AFB＝∠CED. 在△ABF和△CDE中， ∴△ABF∽△CDE，∴＝. 由(1)可知DE＝AF， ∴＝，∴AF2＝BF·CE. $$第四章　图形的相似 4　探索三角形相似的条件 第2课时　两边成比例且夹角相等 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 1 1．下列能说明△ABC和△A1B1C1相似的条件是(　 　) A．AB：A1B1＝AC：A1C1 B．AB：A1C1＝BC：A1C1且∠A＝∠C1 C．AB：A1B1＝BC：A1C1且∠B＝∠A1 D．AB：A1B1＝AC：A1C1且∠B＝∠B1 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 C 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 夯实基础 能力提升 思维拓展 2．如图，BD，CE相交于点A．在下列条件中，能得到△ABC∽△ADE的条件是(　 　) A．AE：AC＝AD：AB B．AD：AB＝DE：BC C．AD：DE＝AB：BC D．BD：AB＝AC：EC A 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 夯实基础 能力提升 思维拓展 D 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 夯实基础 能力提升 思维拓展 4．如图，点D是△ABC的边AB上的一点，AD＝2，BD＝1，当AC＝____时，△ACD与△ABC相似． 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 夯实基础 能力提升 思维拓展 5．如图，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝6，点E是AD的中点，在AB上取一点F，当BF＝_____时，△CBF与△CDE相似． 1.8 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 夯实基础 能力提升 思维拓展 6．如图，在△ABC中，AB≠AC，点D，E分别是边AB，AC上的点，AC＝3AD，AB＝3AE，点F是边BC上一点，添加一个条件：_____________________，可以使得△FDB与△ADE相似(只需写出一个)． DF∥AC(答案不唯一) 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 夯实基础 能力提升 思维拓展 8．如图，BD，CE分别是边AC与AB上的高．求证：△ADE∽△ABC. 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 夯实基础 能力提升 思维拓展 9．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝9，将△ABC沿图中的线段剪开，剪下的三角形(阴影部分)与原三角形不相似的是(　 　) B 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 夯实基础 能力提升 思维拓展 D 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 夯实基础 能力提升 思维拓展 11．如图，△ABC，△DCE，△FEG，△HGI是4个全等的等腰三角形，底边BC，CE，EG，GI在同一条直线上，且AB＝ 2，BC＝1，连接AI，交FG于点Q，则QI＝____ . 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 夯实基础 能力提升 思维拓展 12．如图，四边形ABCD，CDEF，EFGH都是正方形． (1)△ACF与△GCA相似吗？请说明理由． (2)求∠1＋∠2的度数． 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 夯实基础 能力提升 思维拓展 3．在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，若AD＝2，BD＝3，则由下列条件能够判定DE∥BC的是(　 　) A．＝ B．＝ C．＝ D．＝ 7．教材P91例2改编如图，点D，E分别是△ABC的边AC，AB上的点，AE＝1.5，AC＝2，BC＝3，且＝.求DE的长． 解：∵＝＝＝， ∠A＝∠A， ∴△EAD∽△CAB， ∴＝＝， ∴DE＝BC＝×3＝. 证明：∵BD，CE分别是AC与AB边上的高， ∴∠ADB＝∠AEC＝90°. ∵∠A＝∠A，∴△ADB∽△AEC， ∴＝，即＝. ∵∠A＝∠A， ∴△ADE∽△ABC. 10．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，且＝，若AE＝BE，则有(　 　) A．△AED∽△ABC B．△ADB∽△BED C．△BCD∽△ABC D．△AED∽△CBD 解：(1)相似．理由如下：设正方形边长为1，可求得AC＝. ∴＝＝. 又∵∠ACF＝∠GCA，∴△ACF∽△GCA. (2)∵△ACF∽△GCA，∴∠CAF＝∠1. ∵∠CAF＋∠2＝45°，∴∠1＋∠2＝45°. 13．如图，在△OAB和△COD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°，连接AC交BD的延长线于点M. (1)求的值． (2)若∠OBD＝15°，AM＝4，求AB的长． 解：(1)由题意，得＝＝，∠AOC ＝90°＋∠AOD＝∠BOD， ∴△AOC∽△BOD，∴＝＝. (2)如图，设OA交BD于点N，则∠BNO＝∠ANM. 又∵△AOC∽△BOD， ∴∠CAO＝∠DBO， ∴∠AMB＝∠AOB＝90°. ∵∠OBD＝15°， ∴∠ABM＝45°，∴AB＝AM＝4. $$第四章　图形的相似 4　探索三角形相似的条件 第3课时　三边成比例 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 1 1．若△ABC的每条边长增加各自边长的23%得到△A′B′C′，则∠B′的度数与其对应角的度数相比(　　) A．增加了23% B．减少了23% C．增加了(1＋23%) D．没有改变 三边成比例的两个三角形相似 D 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 2．有一个三角形的三边长分别为3,4,5，另一个三角形的三边长分别为8,6,10，则这两个三角形(　 　) A．都是直角三角形，但不相似 B．都是直角三角形，也相似 C．都是钝角三角形，也相似 D．都是锐角三角形，也相似 3．一个三角形的三边长分别为2,3,4，另一个与它相似的三角形的最长边的长为16，则其他两边长的和是(　 　) A．16 B．18 C．20 D．24 B C 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） A 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 5．如图，下面图形及各选项均是由边长为1的小方格组成的网格，三角形的顶点均在网格的格点上．下列选项中，阴影部分的三角形与已知△ABC相似的是(　 　) A 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 7．如图，若∠ACB＝∠ADC＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，则当CD＝____时，△ABC∽△CAD. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 9．如图，判断4×4正方形网格中的两个三角形是否相似，并说明理由． 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） △DEF 3：2 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 11．如图，在正方形网格中画出梯形ABCD，连接BD，则∠BDC的度数是_______. 135° 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 12．要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边长分别为4,5,6，另一个三角形框架的一边长为2，它 的另外两边长分别为______________________. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 13．如图，在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，DF＝3CF.试判断△AEF与△ECF是否相似？并说明理由． 解：△AEF与△ECF相似．理由如下：设正方形ABCD的边长为4A． ∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝BC＝CD＝DA＝4a， ∠B＝∠C＝∠D＝90°. ∵点E是边BC的中点，DF＝3CF， ∴BE＝EC＝2a，CF＝a，DF＝3a， 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 14．如图，A，B，C，P四点均在边长为1的小正方形网格格点上． (1)判断△PBA与△ABC是否相似，并说明理由． (2)求∠BAC的度数． (3)在线段BC所经过的格点上是否存在一点Q(点P除外)，使得以点A，C，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请标出点Q的位置，并证明；若不存在，请说明理由． 解：(1)△PBA∽△ABC，理由略． 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） (2)∠BAC＝∠BPA＝135°. (3)存在点Q，且点Q为线段PC的中点，理由略． 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 4．若△ABC和△DEF满足下列条件，其中能使△ABC与△DEF相似的是(　 　) A．AB＝6，BC＝6，AC＝9，DE＝4，EF＝4，DF＝6 B．AB＝4，BC＝6，AC＝8，DE＝5，EF＝10，DF＝15 C．AB＝1，BC＝，AC＝2，DE＝，EF＝，DF＝ D．AB＝1，BC＝，AC＝3，DE＝，EF＝2，DF＝ 6．如图，已知＝＝k，请再添加一个条件，使△ABC∽ △ACD，你添加的条件是______________________________(写出一个即可)． ＝k或∠BAC＝∠CAD 8．如图，已知＝＝，求证：∠BAD＝∠CAE. 证明：∵＝＝， ∴△ABC∽△ADE， ∴∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAD＝∠CAE. 解：相似．理由如下： ∵AB＝，AC＝2，BC＝5，EF＝，ED＝2，FD＝， ∴AB：EF＝AC：ED＝BC：DF＝：， ∴△ABC∽△EFD. 10．如图，点O是△ABC内任意一点，AD＝AO，BE＝BO，CF＝CO，则△ABC∽___________，相似比为__________. 2.5,3或，或1.6,2.4 ∴AE＝＝2a，EF＝＝a，AF＝＝5a， ∴＝＝＝， ∴△AEF∽△ECF. $$第四章　图形的相似 4　探索三角形相似的条件 第4课时　黄金分割 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 1 1 黄金分割的有关概念 C 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） C 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） B 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 4．数学文化在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所做EF将矩形窗框ABCD分为上下两部分，其中点E为边AB的黄金分割点，即BE2＝AE·AB.已知AB为2 m，则线段BE的长为___________m. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 5．如图，线段AB＝6，点C为线段AB的黄金分割点，(AC>BC)，求下列各式的值． (1)AC－BC. (2)AC·BC. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 2 黄金分割的应用 6．一般认为肚脐是人的上下半身的分界点．已知某人的肚脐恰好是他的身高的黄金分割点，且他的下半身比上半身长．若该人的身高约为1.8 m，则他的下半身长约为(精确到0.1 m)(　 　) A．0.9 m B．1.0 m C．1.1 m D．1.2 m C 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） C 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 8．如图，已知点C是线段AB的黄金分割点，且BC＞AC.若S1表示以BC为边的正方形的面积，S2表示长为AB、宽为AC的矩形的面积，则S1与S2的大小关系是(　 　) A．S1＞S2　 B．S1＝S2 C．S1＜S2　 D．不能确定 B 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） A 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 10．美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．某女士的身高为160 cm，下半身长x与身高l的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为______cm(结果保留整数)． 8 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 解：(1)如图所示，点B即为所作． 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） (3)按(1)中作点E的方法作点F，以点B为圆心，AF长为半径画弧，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交点为C，则△ABC即为所求，如图所示： 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 1．已知点C把线段AB分成两条线段AC和BC.下列说法中错误的是(　 　) A．如果＝，那么线段AB被点C黄金分割 B．如果AC2＝AB·BC，那么线段AB被点C黄金分割 C．如果线段AB被点C黄金分割，那么AC与AB的比叫作黄金比 D．一条线段有两个黄金分割点 2．若线段MN的长为1 cm，点P是线段MN的黄金分割点，则较长的线段MP的长为(　 　) A．(－1)cm B．(3－)cm C． cm D． cm 3．如图，点C是线段AB的黄金分割点(AC＞BC)，下列说法中错误的是(　 　) A．＝ B．BC2＝AB·AC C．＝ D．≈0.618 (－1) 解：(1)∵点C为线段AB的黄金分割点，且AB＝6， ∴AC＝×6＝3－3， BC＝6－(3－3)＝9－3， ∴AC－BC＝3－3－(9－3)＝6－12. (2)AC·BC＝(3－3)×(9－3)＝36－72. 7．新情景在自然界中黄金分割很常见，如图是一个有着“最美比例”的鹦鹉螺，点B是线段AC的黄金分割点，AB>BC，若AC＝16 cm，则AB的长为(　 　) A．(24－8)cm B．(48－16)cm C．(8－8)cm D．(16－16)cm 9．如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝36°，AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点H，AC的垂直平分线交BC于点E，交AC于点G，连接AD，AE，则下列说法中错误的是(　 　) A．＝ B．AD，AE将∠BAC三等分 C．△ABE≌△ACD D．S△ADH＝S△CEG 11．宽与长之比为 ：1的矩形叫作黄金矩形，黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调匀称的美感．如图所示，如果在一个黄金矩形里面画一个正方形，那么余下的矩形CDFE还是黄金矩形吗？请证明你的结论． 解：矩形CDFE是黄金矩形． 证明：∵＝， ∴＝， ∴点F是线段AD的黄金分割点， ∴＝＝，∴＝， ∴矩形CDFE是黄金矩形． 12．(1)在图1中按下列步骤作图： 第一步：过点C画CD⊥AC，使CD＝AC； 第二步：连接AD，以点D为圆心，DC的长为半径画弧，交AD于点E； 第三步：以点A为圆心，AE的长为半径画弧，交AC于点B. (2)在所画图中，点B是线段AC的黄金分割点吗？为什么？ (3)如果一等腰三角形的底边与腰的比等于黄金比，那么这个等腰三角形就叫作黄金三角形．请你在图2中以线段AB为腰，用直尺和圆规，作一个黄金三角形ABC.(不写作法，保留作图痕迹) (2)设AC＝a，则CD＝a，∴DE＝DC＝A． ∵AD＝＝a， ∴AE＝AD－DE＝a－a＝a， ∴AB＝a，即AB＝AC， ∴点B是线段AC的黄金分割点． $$第四章　图形的相似 *5　相似三角形判定定理的证明 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 1 相似三角形的判定定理 1．如图，在△ABC中，点D是边BC上的一点，∠ADC＝∠BAC，则下列结论中正确的是(　 　) A．△ABC∽△DAB B．△ABC∽△DAC C．△ABD∽△ACD D．以上结论都不对 B 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 思维拓展 C 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 思维拓展 3．如图，四边形ABCD是平行四边形，则图中与△DEF相似的三角形共有(　 　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 B 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 思维拓展 4．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上．若AB＝2AE，AC＝2AD，DE＝3，则BC＝______ . 6 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 思维拓展 5．如图，∠C＝∠E＝90°，AC＝3，BC＝4，AE＝2，则AD ＝____ . 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 思维拓展 6．如图，在四边形ABCD中，连接BD.已知AB＝14，AD＝28，BD＝21，BC＝42，DC＝31.5，则AB与CD的位置关系为________. 平行 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 思维拓展 7．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，CE⊥AB于点E.求证：△ABD∽△CBE. 证明：在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD， ∴AD⊥BC. 又∵CE⊥AB， ∴∠ADB＝∠CEB＝90°. 又∵∠B＝∠B， ∴△ABD∽△CBE. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 思维拓展 8．如图是由4个边长为1的正方形组成的图形，求∠ABC的度数． 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 思维拓展 9．如图，在▱ABCD中，点E在AD上，连接CE并延长，与BA的延长线交于点F.若AD＝3ED，CD＝3 cm，则BF的长是(　 　) A．3 cm B．6 cm C．9 cm D．12 cm C 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 思维拓展 D 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 思维拓展 11．如图，正方形ABCD边长是2，BE＝CE，MN＝1，线段 MN的端点M，N分别在CD，AD上移动，当DM＝__________ 时，△ABE与以点D，M，N为顶点的三角形相似． 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 思维拓展 12．如图，在▱ABCD中，过点B作BE⊥CD于点E，连接AE，点F为AE上的一点，且∠BFE＝∠C.若AB＝8，BE＝6，AD＝7，则BF＝______. 5.6 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 思维拓展 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 思维拓展 (2)证明：∵∠ACB＝90°，点E为AB的中点， ∴CE＝AE，∴∠ACE＝∠EAC， 又∵∠EAC＝∠DAC，∴∠ECA＝∠DAC. ∴CE∥AD. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 思维拓展 14．如图1，点E，F在正方形ABCD的对角线AC上，∠EBF＝45°. (1)当BE＝BF时，求证：AE＝CF. (2)求证：△ABF∽△CEB. (3)如图2，延长BF交CD于点G， 连接EG.判断线段EB与EG的关 系，并说明理由． 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 思维拓展 证明：(1)∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠BAE＝∠BCF＝45°. ∵BE＝BF，∴∠BEF＝∠BFE， ∴∠AEB＝∠CFB，∴△ABE≌△CBF(AAS)， ∴AE＝CF. (2)∵∠BEC＝∠BAE＋∠ABE＝45°＋∠ABE， ∠ABF＝∠EBF＋∠ABE＝45°＋∠ABE， ∴∠BEC＝∠ABF. ∵∠BAF＝∠BCE＝45°，∴△ABF∽△CEB. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 思维拓展 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 思维拓展 2．如图，在△ABC中，若DE与BC不平行，则下列条件中，不能判断△ADE∽△ACB的是(　 　) A．∠ADE＝∠C B．∠AED＝∠B C．＝ D．＝ 解：∵AB＝，BC＝，BD＝，AD＝2，CD＝1， ∴AB：BC＝AD：BD＝BD：CD＝， ∴△ABD∽△BCD， ∴∠BAD＝∠CBD， ∴∠1＝∠BAD＋∠ABD＝∠ABD＋∠CBD＝45°， ∴∠ABC＝45°. 10．如图，在△ABC中，点D在BC上，点E在线段AD上，点F，G在BC上，且EF∥AB，EG∥AC，则下列结论一定正确的是(　 　) A．＝ B．＝ C．＝ D．＝ 或 13．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，点E为AB的中点，连接CE. (1)求证：AC2＝AB·AD. (2)求证：CE∥AD. (3)若AD＝4，AB＝6，求的值． 解：(1)证明： ∵AC平分∠DAB， ∴∠DAC＝∠BAC. 又∵∠ADC＝∠ACB＝90°， ∴△ACD∽△ABC， ∴＝， ∴AC2＝AB·AD. (3)∵CE∥AD，∴△CEF∽△ADF，∴＝. ∵AB＝6，∴CE＝3， ∴＝＝，∴＝. (3)EB＝EG，EB⊥EG，理由如下： ∵∠EBF＝∠GCF＝45°，∠EFB＝∠GFC， ∴△BEF∽△CGF， ∴＝，即＝. ∵∠EFG＝∠BFC，∴△EFG∽△BFC， ∴∠EGF＝∠BCF＝45°， ∴∠EBF＝∠EGF＝45°， ∴EB＝EG，∠BEG＝90° ∴EB＝EG，EB⊥EG. $$第四章　图形的相似 6　利用相似三角形测高 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 1 1．要测量出一棵树的高度，除了测量出人的身高与人的影子长外，还需测量出(　 　) A．仰角 B．树的影子长 C．标杆的影子长 D．都不需要 2．一根长1.5 m的标杆竖直地立在水平地面上，它在阳光下的影子长为2.1 m，此时一棵水杉树的影子长为10.5 m，则这棵水杉树的高为(　 　) A．7.5 m B．8 m C．14.7 m D．15.75 m 利用相似三角形测高 B A 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 夯实基础 能力提升 思维拓展 3．数学文化(2023·江西)《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺(即图中的ABC)．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点A，B，Q在同一水平线上，∠ABC和∠AQP均为直角，AP与BC相交于点D.若测得AB＝40 cm，BD＝20 cm，AQ＝12 m，则树高PQ＝______m. 6 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 夯实基础 能力提升 思维拓展 4．雨后初晴，一名学生在运动场上玩耍，在他前面2 m 远的一块积水处，他看到了旗杆顶端的倒影．若旗杆底端到积水处的距离为40 m，该学生的眼部高度是1.5 m，则旗杆的高度是_____ m. 30 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 夯实基础 能力提升 思维拓展 5．如图，火焰的光线穿过小孔O，在竖直的屏幕上形成倒立的实像，像的长度BD＝2 cm，OA＝60 cm，OB＝15 cm，求火焰的高度． 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 夯实基础 能力提升 思维拓展 6．新考法(2023·河南)在综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪ABCD为正方形，AB＝30 cm，顶点A处挂了一个铅锤M.如图是测量树高的示意图，测高仪上的点D，A与树顶E在一条直线上，铅垂线AM交BC于点H.经测量，点A距地面1.8 m，到树EG的距离AF＝11 m，BH＝20 cm.求树EG的高度(结果精确到0.1 m)． 解：由题意，可知∠BAE＝∠MAF＝90°， 则∠EAF＋∠BAF＝∠BAF＋∠BAH＝90°， ∴∠EAF＝∠BAH. ∵∠AFE＝∠ABH＝90°， 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 夯实基础 能力提升 思维拓展 答：树EG的高度为9.1 m. 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 夯实基础 能力提升 思维拓展 7．如图，某超市在一楼至二楼之间安装有电梯，天花板与地面平行．某人扛着箱子(人与箱子的总高度约为2.2 m)乘电梯刚好安全通过，根据图中数据，两层楼之间的高约为(　 　) A．5.5 m　　　　　 B．6.2 m　　　　　　 C．11 m　　　　　 D．2.2 m A 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 夯实基础 能力提升 思维拓展 8．如图，在离某建筑物4 m处有一棵树AB，在某时刻，1.2 m长的竹竿A′B′垂直地面，影长BB′＝2 m，此时，树的影子有一部分映在地面上，还有一部分影子映在建筑物的墙上，墙上的影高CD＝2 m，那么这棵树的高度是______m. 4.4 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 夯实基础 能力提升 思维拓展 9．如图，小明在A处测得某树的影子长为2 m，在B处又测得该树的影子长为8 m，若两处日照的光线互相垂直，则树的高度为______m. 4 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 夯实基础 能力提升 思维拓展 10．核心素养·模型观念周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽度．测量时，他们选择了河对岸的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在点B处竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D竖起标杆DE，使得点E与点A，C共线．已知CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC＝1 m，DE＝1.5 m，BD＝8.5 m．测量示意图如图所示．请根据相关测量数据，求河宽AB. 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 夯实基础 能力提升 思维拓展 答：河宽AB为17 m. 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 夯实基础 能力提升 思维拓展 11．一天晚上，小明和小龙利用灯光下的影子长来测量一路灯CD的高度．如图，当小明走到点A处时，小龙测得小明直立身高AM与其影子长AE正好相等；接着小明沿AC方向继续向前走，走到点B处时，小明直立时身 高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB ＝1.25 m．已知小明直立时的身高为 1.75 m，求路灯的高CD的长(结果精确 到0.1 m)． 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 夯实基础 能力提升 思维拓展 答：路灯的高CD的长约为6.1 m. 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 夯实基础 能力提升 思维拓展 解：易得△AOC∽△BOD， ∴＝，∴＝， 解得AC＝8 cm. ∴△AFE∽△ABH，∴＝. ∵AB＝30 cm＝0.3 m，BH＝20 cm＝0.2 m，AF＝11 m， ∴＝，则EF＝ m. 又∵FG＝1.8 m， ∴EG＝EF＋FG＝＋1.8≈9.1(m)． 解：∵CB⊥AD，ED⊥AD， ∴∠CBA＝∠EDA＝90°. ∵∠CAB＝∠EAD， ∴△ABC∽△ADE， ∴＝. 又∵AD＝AB＋BD，BD＝8.5 m，BC＝1 m，DE＝ 1．5 m， ∴＝，解得AB＝17. 解：设CD的长为x m. ∵AM⊥EC，CD⊥EC， BN⊥EC，EA＝MA， ∴AM∥CD，BN∥CD， ∴EC＝CD＝x. 易得△ABN∽△ACD， ∴＝， 即＝. 解得x＝6.125≈6.1. $$第四章　图形的相似 7　相似三角形的性质 第1课时　相似三角形的性质定理(1) 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 1 1．若△ABC∽△A′B′C′，且相似比为2：3，则对应边上的高的比为(　 　) A．2∶3 B．3：2 C．4：9 D．9：4 2．若两个相似三角形对应角平分线的比为1：2，则它们对应中线的比为(　 　) A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：8 相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比 A A 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 3．若两个相似三角形的相似比为1：4，其中较小三角形某一条边上的中线长为3，则较大三角形对应边上的中线长为___ . 4．两个相似三角形的对应中线之比是3∶5，其中较大的三角形一边上的高是10 cm，那么另一个三角形对应边上的高为______cm. 12 6 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 5．如图，在△ABC中，DE∥BC，AH是△ABC的角平分线，交DE于点G.若DE：BC＝2：3，则AG：GH＝_______. 2：1 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 6．如图，顽皮的小聪在小芳的作业本上用红笔画了个“×”(作业本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等)，点A，B，C，D，O都在横格线上，且线段AD，BC交于点O.若线段AB＝4 cm，则线段CD＝______ cm. 6 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 7．如图，△ABC∽△A′B′C′，且AE，A′E′是它们对应角的平分线，AD，A′D′是它们对应边上的中线．求证：△A′D′E′∽△ADE. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 8．如图，某校宣传栏BC后面12 m处种有一排与宣传栏平行的若干棵树，即BC∥DE，且相邻两棵树的间隔为2 m，一人站在距宣传栏前面的A处正好看到两端的树，其余的树均被宣传栏挡住．已知AF⊥BC，AF＝3 m，BC＝10 m，求该宣传栏后DE处共有多少棵树？(不计宣传栏的厚度) 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 答：宣传栏后DE处共有26棵树． 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） B 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 10．如图1是装了液体的高脚杯示意图，用去一部分液体后如图2所示，此时液面AB的长为(　 　) A．1 cm B．2 cm C．3 cm D．4 cm C 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边AC上的一点，∠CBD＝∠A，点E，F分别是AB，BD的中点．若AB＝5，AC＝4，则CF ：CE＝__________. 3：4 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 12．如图，在△ABC中，点F，G在BC上，点E，H分别在AB，AC上，四边形EFGH是矩形，EH＝2EF，AD是△ABC的 高．若BC＝8，AD＝6，则EH的长为_______. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 13．跨学科·物理如图是一个照相机成像的示意图． (1)若像高MN＝35 mm，焦距CL＝50 mm，拍摄的景物高度AB＝4.9 m，则拍摄点离景物有多远？ (2)若要完整的拍摄高度是2 m的景物，拍摄点离景物有4 m，像高不变，则相机的焦距应调整为多少？ 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 证明：由题意，得＝，＝， ∴＝. 又∵△A′B′C′∽△ABC， ∴∠B′＝∠B，＝. 又∵点D，D′分别是边BC，B′C′的中点， ∴B′D′＝B′C′，BD＝BC，∴＝， ∴△A′B′D′∽△ABD，∴∠B′A′D′＝∠BAD， ∴∠D′A′E′＝∠DAE，∴△A′D′E′∽△ADE. 解：∵BC∥ED， ∴△ABC∽△ADE， ∴＝. 又∵BC＝10 m， AF＝3 m，FG＝12 m， ∴AG＝AF＋FG＝15 m，即＝， 解得DE＝50 m, 50÷2＝25,25＋1＝26. 9．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E为边AB的中点，BM⊥CE，则Rt△BEM与Rt△BCM对应角的平分线的长度之比为(　 　) A．1：1 B．1：2 C．1： D．1：4 解：根据物体成像原理知，△LMN∽△LBA， ∴＝. ∵像高MN＝35 mm，焦距CL＝50 mm， 拍摄的景物高度AB＝4.9 m， ∴＝，解得LD＝7， ∴拍摄点距离景物有7 m. (2)拍摄高度AB是2 m的景物，拍摄点离景物LD＝4 m，像高MN不变，∴＝，解得LC＝70. ∴相机的焦距应调整为70 mm. 14．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，BC⊥AC，CD⊥AD，且AB＝18，AC＝12. (1)求AD和CD的长． (2)若DE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E，F，求 的值． 解：(1)∵AC平分∠BAD， ∴∠BAC＝∠CAD. ∵BC⊥AC，CD⊥AD， ∴∠ACB＝∠ADC＝90°， ∴△ABC∽△ACD，∴＝， ∴AD＝＝＝8， ∴CD＝＝＝4. (2)由(1)可知△ABC∽△ACD. ∵DE⊥AC，CF⊥AB，∴＝＝＝. $$第四章　图形的相似 7　相似三角形的性质 第2课时　相似三角形的性质定理(2) 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 1 1．若△ABC∽△A′B′C′，相似比为1：2，则△ABC与△A′B′C′的周长比为(　 　) A．1：2 B．2：1 C．1：4 D．4：1 2．△ABC的三边长分别为2,3,4，另有一个与它相似的△DEF，其最长边为12，则△DEF的周长是(　 　) A．54 B．36 C．27 D．21 1 相似三角形的周长比等于相似比 A C 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 夯实基础 能力提升 思维拓展 3．已知两个相似三角形的对应边上的中线之比为2：3，周长之和为20，则这两个三角形的周长分别是_______. 4．如图，在△ABC中，DE∥BC，若△ABC的周长是△ADE的周长的5倍，DE＝2，求BC的长． 解：10. 8和12 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 夯实基础 能力提升 思维拓展 2 相似三角形的面积比等于相似比的平方 5．已知△ABC∽△DEF，相似比为2，且△ABC的面积为16，则△DEF的面积为(　 　) A．32 B．8 C．4 D．16 C 6．如图，在△ABC中，两条中线BE，CD相交于点O，则△DOE与△COB面积比为(　 　) A．1：4 B．2：3 C．1：3 D．1：2 A 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 夯实基础 能力提升 思维拓展 7．如图，点D，E分别为△ABC的边AB，AC的中点，则S△ADE：S四边形BCED＝__________. 1：3 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 夯实基础 能力提升 思维拓展 C 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 夯实基础 能力提升 思维拓展 C 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 夯实基础 能力提升 思维拓展 11．如图，每个小方格的边长均为1，则△ABC与△CDE的周长比为_______. 2：1 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 夯实基础 能力提升 思维拓展 12．如图，在▱ABCD中，点E是AB的中点，EC交BD于点F，则△BEF与△DCB的面积比为________. 1：6 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 夯实基础 能力提升 思维拓展 13．如图，在▱ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE于点G，BG＝4，求△FCE的周长． 解：先证△ABE∽△FCE，再求得AE＝2AG＝4， ∴△ABE的周长是16， ∴△FCE的周长是8. 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 夯实基础 能力提升 思维拓展 解：(1)证△BPQ∽△BCA即可． 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 夯实基础 能力提升 思维拓展 8．已知△ABC∽△DEF，＝，且△ABC的周长是12 cm，面积是30 cm2. (1)求△DEF的周长． (2)求△DEF的面积． 解：(1)∵△ABC∽△DEF，＝，△ABC的周长是12 cm，∴C△DEF＝12×＝8(cm)，即△DEF的周长是8 cm. (2)∵△ABC∽△DEF，＝，△ABC的面积是 30 cm2，∴S△DEF＝30×2＝ (cm2)，即△DEF的面积是 cm2. 9．如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则阴影部分的面积为(　 　) A．5 B．6 C． D． 10．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠ACD＝90°，AB＝2，DC＝3，则△ABC与△DCA的面积比为(　 　) A．2：3 B．2：5 C．4：9 D．： 14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点P为边AB上的一点，点Q是BC上的一点，且PQ⊥AB. (1)求证：BP·BA＝BQ·BC. (2)若S△BPQ＝S四边形APQC，AB＝5 cm，PB＝2 cm，求△ABC的面积． (2)∵S△BPQ：S△BCA＝1：5， ∴＝， ∴QB＝，∴QP＝1， ∴S△BPQ＝1，∴S△BAC＝5. 15．如图，点E，F是▱ABCD对角线AC上的两点，AE＝CF＝AC，连接DE，DF并延长，分别交AB，BC于点G，H，连接GH. (1)求和的值． (2)求的值． 解：(1)∵AE＝CF＝AC，AG∥CD，CH∥AD， ∴AG：CD＝AE：CE＝1：3， CH：AD＝CF：AF＝1：3. ∴＝，＝. (2)∵DC＝AB，AD＝BC， ∴AG：AB＝CH：BC＝1：3， ∴GH∥AC，∴△BGH∽△BAC. ∴＝2＝2＝. $$第四章　图形的相似 8　图形的位似 第1课时　位似图形及其性质 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 1 1．下列选项中的两个图形不是位似图形的是(　 　) 1 位似图形的概念及性质 A 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 2．下列说法中正确的是(　 　) A．如果两个图形是相似图形，那么它们一定位似 B．如果两个图形是位似图形，那么它们一定相似 C．位似图形的对应边平行且相等 D．位似图形的位似中心不只有一个 B 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 4．已知△ABC与△A′B′C′是位似图形，且相似比是1：2.若△ABC的面积是3，则△A′B′C′的面积是_____. 12 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 2 画位似图形 5．下列关于△ABC位似图形的画法中正确的有(　 　) 　 　 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 D 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 6．如图，在四边形ABCD内任选一点O为位似中心，将它放大为原来的两倍(保留作图痕迹)． 解：如图所示，四边形A′B′C′D′即为所作． 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 7．如图，若图中两个四边形是位似图形，则它们的位似中心是(　 　) A．点M B．点N C．点O D．点P D 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 8．如图，矩形ABCD与矩形AB′C′D′是位似图形，点A是位似中心．已知矩形ABCD的周长为24，BB′＝4，DD′＝2，求AB，AD的长． 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 3．如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心点是点O，＝，则两四边形周长的比值是____. 解：连接AC并延长，则AC的延长线经过点C′，设AB＝x，AD＝y. 由矩形ABCD的周长为24， 得2(x＋y)＝24，∴y＝12－x①. 又∵矩形ABCD与矩形AB′C′D′是位似图形， ∴AB∶A′B′＝AD∶A′D′， ∴＝②. 联立①②，解得x＝8，y＝4. ∴AB，AD的长分别为8,4. $$第四章　图形的相似 8　图形的位似 第2课时　平面直角坐标系中的位似变换 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 1 1．(2023·嘉兴)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A(1,2)，B(2,1)，C(3,2)，现以原点O为位似中心，在第一象限内作与△ABC的相似比为2的位似图形△A′B′C′，则顶点C′的坐标是(　 　) A．(2,4) B．(4,2) C．(6,4) D．(5,4) 平面直角坐标系中的位似变换 C 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 2．在平面直角坐标系中，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′关于原点O位似，点A的坐标为(－2,1)，它的对应点A′的坐标为(1，－0.5)，若AB＝2，则 A′B′＝______. 1 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 4．如图，将△ABC的三边分别扩大1倍得到△A1B1C1(顶点均在格点上)，若它们是以点P为位似中心的位似图形，则点P的坐标是____________. (－4，－3) 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 5．如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为3：4，∠OCD＝90°，∠AOB＝60°.若点B的坐标是(6,0)，则点C的坐标是________. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 7．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为5，则C点坐标 为________. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 8．如图，△OAB的顶点坐标分别为O(0,0)，A(－2，－1)，B(－1，－3)，△O1A1B1与△OAB位似，位似中心为点O. (1)请在图中标出位似中心点P的位置，并写出点P的坐标及△O1A1B1与△OAB的相似比． (2)请以原点O为位似中心，在y轴的左侧画出△OAB的另一个位似图形△OA2B2，使它与△OAB的相似比为2，并写出点B的对应点B2的坐标． 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 解：(1)如图所示，点P的坐标为(－5，－1)， △O1A1B1与△OAB的相似比为2. (2)如图所示，△OA2B2即为所求，点B2的坐标为(－2，－6)． 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 3．(2023·盘锦)如图，△ABO的顶点坐标是A(2,6)，B(3,1)，O(0,0)，以点O为位似中心，将△ABO缩小为原来的，得到 △A′B′O，则点A′的坐标为_________________. 或 (2,2) 6．如图，△AOB三个顶点的坐标分别为点A(8,0)，O(0,0)，B(8，－6)，点M为OB的中点．以点O为位似中心，把△AOB缩小为原来的，得到△A′O′B′，点M′为O′B′的中点，则 MM′的长为_________. 或　 $$第四章　图形的相似 ★单元核心考点归纳 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 1 1 成比例线段、比例的性质和黄金分割 B C 创新作业本·数学九年级上（北师大版） C 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 2 平行线分线段成比例 2 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 3 相似三角形的判定和性质 7．(2023·重庆A卷)若两个相似三角形周长的比为1∶4，则这两个三角形对应边的比是(　 　) A．1∶2 B．1∶4 C．1∶8 D．1∶16 B 创新作业本·数学九年级上（北师大版） D 创新作业本·数学九年级上（北师大版） B 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 1 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 11．如图，点E，F，G分别在正方形ABCD的边AB，BC，AD上，连接AF，EG，AF⊥EG.若AB＝5，AE＝DG＝1，则BF的 长为_____. 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 12．(2023·广东)如图，边长分别为10,6,4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上，则图中阴影部分的面积为______. 15 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 4 利用相似三角形测高 14．跨学科·物理如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P处水平放置一面平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好照射到古城墙CD的顶端点C处．已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.2 m，BP＝1.8 m，PD＝12 m，则该古城墙的高度是(　 　) A．6 m B．8 m C．18 m D．24 m B 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 15．某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆AB的高度，把标杆DE直立在同一水平地面上(如图所示)．同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC＝8.72 m，EF＝2.18 m．已知点B，C，E，F在同一直线上，AB⊥BC，DE⊥EF，DE＝2.47 m，则AB＝_______m. 9.88 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 6 位似 (3,4) 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 17．如图，在网格中，已知△ABC和点 M(1，2)． (1)以点M为位似中心，相似比为2，请画出△ABC的位似图形△A′B′C′. (2)写出△A′B′C′的各顶点坐标． 解：(1)如图所示，△A′B′C′即为所求． (2)A′(3,6)，B′(5,2)，C′(11,4)． 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 1．下列线段中成比例的是(　 　) A．1,2,3,4　 B．，，1， C．2,4,6,8　 D．2,5,3,10 2．等边三角形的高与它的边长之比是(　 　) A．：1 B．1： C．：2 D．2： 3．已知点M将线段AB黄金分割(AM>BM)，则下列各式中错误的是(　 　) A．AM：BM＝AB：AM B．AM＝AB C．BM＝AB D．AM≈0.618AB 4．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交直线l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF分别交直线l1，l2，l3于点D，E，F.已知＝，DE＝1，则EF＝______. 5．(2023·北京)如图，直线AD，BC交于点O，AB∥EF∥CD.若AO＝2，OF＝1，FD＝2.则的值为______. 6．如图，已知点C，D是位于直线AB异侧的两个点，连接AC，BD，CD，设AB与CD相交于点O，若∠C＝∠D，OA＝4，OB＝2，OD＝，则CD的长为_____. 8．如图，已知∠1＝∠2，添加下列条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是(　 　) A．＝ B．∠B＝∠D C．∠C＝∠AED D．＝ 9．(2023·安徽)如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，EF⊥AB于点F，连接DE并延长，交边BC于点M，交边AB的延长线于点G.若AF＝2，FB＝1，则MG的长为(　 　) A．2 B． C．＋1 D． 10．如图，在矩形ABCD中，若AB＝3，AC＝5，＝，则AE的长为______. 13．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF，已知四边形BFED是平行四边形，＝. (1)若AB＝8，求线段AD的长． (2)若△ADE的面积为1，求▱BFED的面积． 解：(1)∵四边形BFED是平行四边形，∴DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴＝. ∵＝，∴＝， ∴AD＝AB＝×8＝2. (2)∵四边形BFED是平行四边形， ∴DE∥BC，EF∥AB，DE＝BF， ∴∠AED＝∠ECF，∠EAD＝∠CEF， ∴△ADE∽△EFC，∴＝2. ∵＝，DE＝BF， ∴FC＝BC－DE＝4DE－DE＝3DE， ∴＝＝，∴＝2＝2＝. ∵△ADE∽△ABC，＝， ∴＝2＝2＝. ∵S△ADE＝1，∴S△EFC＝9，S△ABC＝16， ∴S▱BFED＝S△ABC－S△EFC－S△ADE＝16－9－1＝6. 16．在平面直角坐标系中，线段AB两个端点的坐标分别为A(6,8)，B(10,2)，若以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩短为原来的后得到线段CD，则点A的对应点C的坐 标为________. $$第四章　图形的相似 实践操作一　尺规作图与相似 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 1 解：(1)如图所示，即为所求． 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 2．如图，在△ABC中，点D在边AB上，且AD∶AB＝2∶3. (1)在边AC上求作点E，使AE∶AC＝2∶3(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)． (2)在(1)的条件下，若△ABC的周长为12，求△ADE的周长． 解：(1)如图所示，点E即为所求． 创新作业本·数学九年级上（北师大版） (2)∵AE∶AC＝2∶3，AD∶AB＝2∶3， ∴AE∶AC＝AD∶AB. ∵∠A＝∠A， ∴△ADE∽△ABC， ∴△ADE的周长∶△ABC的周长＝AD∶AB＝2∶3， ∵△ABC的周长为12，∴△ADE的周长为8. 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°. (1)在AB上求作点D，使△CDB∽△ACB(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)． (2)在(1)的条件下，若BC＝5，AC＝12，求BD的长． 解：(1)如图所示，点D即为所求． 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 4．如图，在△ABC中，AC＝BC>AB，∠C＝36°. (1)在线段BC上求作一点D，使得△ABC∽△DBA(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)． (2)在(1)的条件下，若AB＝2，求BC的长． 解：(1)如图所示，点D即为所求． 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 1．求证：三角形的重心与一边中点的连线的长是对应中线长的. (1)如图，在△ABC中，用尺规作出边AB上的中线CD，AC边上的中线BE，且CD与BE交于点G(不写做法，保留作图痕迹)． (2)在(1)的基础上，写出已知，求证和证明过程． (2)已知：在△ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的中线，且BE与CD交于点G. 求证：GE＝BE，GD＝CD. 证明：连接DE. ∵D，E分别是边AB，AC的中点， ∴DE∥BC，＝，∴△GDE∽△GCB， ∴＝＝＝，∴＝＝， ∴GE＝BE，GD＝CD. (2)∵BC＝5，AC＝12，∠ACB＝90°， ∴AB＝＝13. ∵△CDB∽△ACB， ∴＝，∴BD＝＝. (2)∵△ABC∽△DBA， ∴∠DAB＝∠C＝36°. ∵AC＝BC，∴∠CAB＝72°， ∴∠CAD＝∠DCA＝36°， ∴AD＝CD. ∵AB＝AD， ∴CD＝AD＝AB＝2. ∵△ABC∽△DBA， ∴＝，∴＝， ∴DB2＋2DB－4＝0，解得DB＝－1(负值舍去)， ∴BC＝BD＋CD＝＋1. $$第四章　图形的相似 实践操作三　无刻度直尺作图(二)作平行线、垂线 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 1 一、作平行线 1．如图是由边长为1的小正方形构成的网格，点A，B，C均为小正方形的顶点，D为AC与网格线的交点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成下列作图．(作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示) (1)如图1，过点D作AB的平行线DE. (2)如图2，过点D作BC的平行线DF. 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 解：(1)如图1所示，DE即为所求． (2)如图2所示，DF即为所求． 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 2．如图是由边长为1的小正方形构成的8×8网格，每个正方形的顶点叫做格点，四边形ABDC的顶点均在格点上，点M是边AB与网格线的交点．仅用无刻度的直尺在给定网格中按步骤完成下列作图，作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示． (1)过点C作线段CE，使CE∥AB，且CE＝AB. (2)在边AB上作一点F，使直线DF平分四边形 ABEC的面积． (3)过点M作线段MN，使MN∥CD，且MN＝ CD. 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 解：(1)如图所示，线段CE即为所求． (2)如图所示，直线DF即为所求． (3)如图所示，线段MN即为所求． 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 二、作垂线 3．如图是由边长为1的小正方形构成的，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的顶点在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成下列作图．(作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示) (1)如图1，作△ABC的高BD. (2)如图2，作△ABC的高BE. (3)如图3，作△ABC的高AD. 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 解：(1)如图1所示，BD即为所求． (2)如图2所示，BE即为所求． (3)如图3所示，AD即为所求． 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 4．如图是由边长为1的小正方形构成的，其中A，B为小正方形的顶点，C，D，E是AB与网格线的交点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成下列作图．(作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示) (1)如图1，过点C作AB的垂线． (2)如图2，过点D作AB的垂线． (3)如图3，过点E作AB的垂线． 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 解：(1)如图1所示，即为所求． (2)如图2所示，即为所求． (3)如图3所示，即为所求. 创新作业本·数学九年级上（北师大版） $$第四章　图形的相似 实践操作二　无刻度直尺作图(一)分割线段、作相似 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 1 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 解：(1)如图1所示，点E即为所求． (2)如图2所示，点F即为所求． 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 解：(1)如图1所示，点E即为所求． (2)如图2所示，点F即为所求． 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 解：(1)如图1所示，△ADE即为所求． (2)如图2所示，△DEF即为所求． (3)如图3所示，点P即为所求． 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 4．如图是由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．点A，B，C，D均为格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成下列作图．(作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示) (1)如图1，在AC上作点E，使△ABE∽△CDE. (2)如图2，在AB上作点F，使△ACF∽△ABC. (3)如图3，在AB上作点G，使△ACG∽△ABC. 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 解：(1)如图1所示，点E即为所求． (2)如图2所示，点F即为所求． (3)如图3所示，点G即为所求. 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 一、直接利用A型或X型分割线段 1．如图是由边长为1的小正方形构成的，其中A，B均为小正方形的顶点，仅用无刻度的直尺按要求分别完成下列作图： (1)如图1，在AB上作点P，使＝. (2)如图2，在AB上作点D，使＝. 二、构造A型或X型分割线段 2．如图是由边长为1的小正方形构成的，其中A，B均为小正方形的顶点，仅用无刻度的直尺按要求分别完成下列作图： (1)如图1，在AB上作点E，使＝. (2)如图2，在AB上作点F，使＝. 三、分割线段作相似 3．如图1，图2，图3均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A，B，C，D均在格点上．在图1，图2，图3中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图，不要求写作法，要求保留必要的作图痕迹． (1)在图1中以线段AD为边作一个格点三角形，使它与△ABC相似． (2)在图2中作一个格点三角形， 使它与△ABC相似(不全等)． (3)在图3中的线段AB上作一个 点P，使AP＝AB. $$第四章　图形的相似 综合探究　新定义问题 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 1 【了解概念】有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，连接这两个角的顶点的线段称为对余线． 【理解运用】 (1)如图1，在对余四边形ABCD中，∠BCD>90°，AB＝AC＝5，BC＝6，CD＝4，求点C到AD的距离． (2)如图2，在凸四边形ABCD中，AD＝BD，AD⊥BD，当2CD2＋CB2＝CA2时，判断四边形ABCD是否为对余四边形？证明你的结论． 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 创新作业本·数学九年级上（北师大版） (2)四边形ABCD是对余四边形，理由如下： 在DC上方过点D作DM⊥DC，使得DM＝DC，连接CM，MB. ∵四边形ABCD中，AD＝BD，AD⊥BD， ∴∠DAB＝∠DBA＝45°. ∵∠DCM＝∠DMC＝45°，∠CDM＝∠ADB＝90°，∴∠ADC＝∠BDM. ∵AD＝DB，CD＝DM，∴△ADC≅△BDM(SAS)，∴AC＝BM. ∵2CD2＋CB2＝CA2，CM2＝DM2＋CD2＝2CD2， ∴CM2＋CB2＝BM2，∴∠BCM＝90°， ∴∠DCB＝45°，∴∠DAB＋∠DCB＝90°， ∴四边形ABCD是对余四边形． 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 解：(1)过点A作AE⊥BC于点E，过点C作CF⊥AD于点F. ∵AC＝AB＝5，∴BE＝CE＝3，∴AE＝4. ∵CF⊥AD，∴∠D＋∠FCD＝90°. ∵∠B＋∠D＝90°，∴∠B＝∠DCF. ∵∠AEB＝∠CFD＝90°，∴△AEB∽△DFC， ∴＝，即＝，CF＝. 【拓展提升】 (3)如图3，四边形ABCD是对余四边形，AC＝BC＝2，AB＝4，点E在对余线BD上，∠ACE＝∠ADE.若DB2－2DC2＝3，请直接写出的值． (3)∵AC＝BC＝2，AB＝4， ∴∠ACB＝90°，∠ABC＝∠CAB＝45°＝∠ADC. 设AC交BD于点O. ∵∠ACE＝∠ADE，∠DOA＝∠COE， ∴△DOA∽△COE，∴＝. ∴△CDO∽△EAO，∴∠CDB＝∠CAE. 又∵∠CAE＋∠EAB＝45°＝∠CDB＋∠ADB， ∴∠ADB＝∠EAB. ∵∠ABE＝∠ABD，∴△ABE∽△DBA， ∴＝＝， 在DC上方过点C作CN⊥CD，使CN＝CD，连接AN，DN，由(2)知DB＝AN， DA2＋2DC2＝DA2＋DN2＝AN2＝DB2. ∴DA2＝DB2－2DC2＝3，∴DA＝(负值舍去)， ∴＝. $$